专题4.1 点的位置与坐标系（高效培优讲义）数学苏科版2024八年级上册

4.1 点的位置与坐标系 教学目标 . 1、理解平面直角坐标系的定义及相关概念，如：x轴、y轴、原点及正方向、象限等； . 2、会根据点的位置写出坐标，或根据坐标画出点的位置；熟练掌握点的坐标特征； 3、理解坐标与点的唯一对应关系，即“数形结合”思想； . 4、能利用坐标系描述地理位置（如参照物、方向距离）或解决实际问题； . 5、除直角坐标系外，还可引入极坐标、地理坐标等描述点的位置。‌ 教学 重难点 1.重点 （1）‌坐标与位置的互推‌：通过垂线法确定点的坐标，或根据坐标定位点； （2）‌单位长度一致性‌：明确同一坐标系中单位长度的统一性（特殊情况下可不同）。 2.难点 （1）‌坐标系建立‌：如何选择原点、确定单位长度以适应实际问题（如地图比例）； （2）‌坐标顺序规范‌：避免混淆横纵坐标顺序（如(列,行)与(x,y)的差异）。 知识点01 认识平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系概念：平面内两条互相 垂直 的数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。 2. x轴：平面直角坐标系中， 水平 的数轴称为x轴或横轴， 向右 为正方向。 3. y轴：平面直角坐标系中， 竖直 方向的数轴称为y轴或纵轴。 向上 为正方向。 4. 原点：在平面直角坐标系中，x轴与y轴的交点是 原点 ， 原点 是两条坐标轴的唯一的公共点。 5. 坐标：在平面直角坐标系中，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足在x轴、y轴上表示的数分别为a、b，则有序实数对（a，b）称为点P的 坐标 。其中a称为点的 横坐标 ，b成为点的 纵坐标 。 注意：建立平面直角坐标系后，平面内的点与 有序实数对 是一一对应的。 7. 象限：在平面直角坐标系中，两条坐标轴将平面分成四个区域称为 象限 ，按 逆时针 顺序分别记为第一、二、三、四象限。坐标轴不属于任何象限。 8.点的坐标的特征 点的位置 坐标特征 象限内的点 第一象限 （+，+） 第二象限 （-，+） 第三象限 （-，-） 第四象限 （+，-） 坐标轴上的点 x轴 （a，0） y轴 （0，b） 象限角平分线上的点 第一、三象限角平分线 （m，m） 第二、四象限角平分线 （m，-m） 【即学即练】 1．（24-25八年级上·浙江·期末）下列各点中，位于第二象限的点是（      ） A． B．) C． D． 【答案】C 【详解】解：A、在第一象限，故本选项错误；B、)在第四象限，故本选项错误； C、在第二象限，故本选项正确.D、在第三象限，故本选项错误；故选：C． 2．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知点处于第二象限，且，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， 点处于第二象限，，，，点的坐标是，故选A． 3．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点A在第二象限，∴； ∵点A到轴的距离是3，到轴的距离是5，∴，∴点A的坐标为；故选：A． 4．（25-26八年级上·江苏·随堂练习）已知点在x轴上，点在y轴上，则点位于第 象限． 【答案】二 【详解】解： ∵点在x轴上，点在y轴上， ∴，，∴，，∴点位于第二象限，故答案为：二． 5．（24-25七年级下·湖南·阶段练习）如果点在第一、三象限的角平分线上，那么m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上，∴，解得．故选：A． 6．（24-25七年级上·山东滨州·期末）已知点的坐标为，轴且，则点的坐标为 ． 【答案】或 【详解】解：∵轴，点的坐标为，， ∴点在点的下边时，纵坐标为，点在点的上边时，纵坐标为， ∴点的坐标为或．故答案为：或． 知识点02 建立合适的平面直角坐标系 1.确定点的坐标的方法： （1）建立合适的平面直角坐标系； （2）过该点向 横轴 作垂线，垂足在横轴上对应的实数a就是点的横坐标； （3）过该点向 纵轴 作垂线，垂足在纵轴上对应的实数b就是点的纵坐标； （3）把 横坐标 写在前面， 纵坐标 写在后边，中间用 逗号 隔开，并用 小括号 将它们括起来，就是该点的坐标（a，b）。 2.由点的坐标（a，b）确定点的位置的方法： （1）过横轴上表示实数a的点作 横轴 的垂线；（2）过纵轴上表示实数b点作 纵轴 的垂线； （3）两条垂线的 交点 即为点（a，b）的位置。 ( ● ) 3.极坐标系（拓展） 如图，在平面上取一点O，由点O出发画一条射线，则平面上任意一点M可以用M来确定； 其中表示OM的长度，表示以为始边，逆时针旋转后∠xOM的大小。 这里的点O称为极点，射线称为极轴，称为点M的极坐标。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·河北沧州·期中）小李、小王、小张、小谢原位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（　　） A．小王现在位置为第3排第2列 B．小李现在位置为第1排第4列 C．小谢现在位置为第4排第3列 D．小张现在位置为第4排第1列 【答案】B 【详解】解：A． 小王现在位置为第2排第3列，故A选项错误，不符合题意； B． 小李现在位置为第1排第4列，故B选项正确，符合题意； C． 小谢现在位置为第4排第4列，故C选项错误，不符合题意； D． 小张现在位置为第3排第2列，故D选项错误，不符合题意．故选：B． 2．（24-25七年级下·河南三门峡·期末）根据下列表述，能确定某地点位置的是（   ） A．万达影院第2排 B．黄河东路 C．北偏东25° D． 【答案】D 【详解】A、仅给出排数，未说明具体座位号，无法确定唯一位置，不符合题意； B、仅给出道路名称，未说明门牌号或交叉路口，无法精确定位，不符合题意； C、仅给出方向，未提供距离，无法确定具体点不符合题意； D、经纬度（东经，北纬）是地理坐标的两个参数，可唯一对应地球上的一个点符合题意；选：D． 3．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，七颗棋子只有“兵”是红方的，“马”所在的位置的坐标为，“象”所在位置的坐标为，若“兵”再往前走一步，则“兵”所在位置的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：平面直角坐标系如下所示， 由上可得，“兵”再往前走一步，则“兵”所在位置的坐标为，故选：A 4．（24-25七年级下·广东·期末）如图，这是某动物园的平面示意图，建立平面直角坐标系，每个小正方形的边长均代表． (1)根据以下提示，在图中标出熊猫馆、大象馆、狮虎山(三者均在格点上)的位置： ①动物园大门位于点，向北走到达熊猫馆；②大象馆位于点； ③狮虎山在熊猫馆的北方，且到大象馆和熊猫馆的距离相等． (2)根据图上信息填空：①海洋馆位于点(________，________)，在大门的________偏________方向_______； ②狮虎山位于点(________，________)． 【答案】(1)见解析(2)①1；4；北；西；；②7；6 【详解】（1）解：如图所示 （2）由图，可得①海洋馆位于点，在大门的北偏西方向；②狮虎山位于点． 故答案为：①1；4；北；西；；②7；6． 5．（25-26八年级上·江苏·课后作业）我们知道，如果已知一点相对于定点的距离和方向，那么这个点就被唯一确定了．这就是说，我们可用角度和距离来确定平面上点的相对位置． 在平面内取一个定点，叫做极点，引一条射线，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）．对于平面内任一点，用表示线段的长度，表示从到的角度，叫做点的极径，叫做点的极角，有序数对就叫做点的极坐标，这样就在平面上建立了极坐标系．极坐标为的点，可表示为．建立极坐标系后，给定和就可以在平面内唯一确定一点． 如图，如果点的位置为，点的位置为． (1)请表示点与点的位置；(2)若以为极点，为极轴，写出点、点和点的极坐标． 【答案】(1)，；(2)；；． 【详解】（1）解：根据点的位置为，点的位置为， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：连接，则有，，∴，， ∵，，∴点的极坐标为，点的极坐标为，点的极坐标为． 7．（24-25八年级上·河南·校考期末）如图，，以A为顶点，为腰在第三象限作等腰，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，过点作轴于点， ∵，，则， 在和中，∴（AAS）， ∴，，∴，∴点的坐标为．故选：B． 题型01 点所在的象限 【典例1】（24-25七年级下·四川·期中）若实数a，b满足等式，则点一定在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：，又，， ，，，，点在第二象限，故选： 【变式1】（24-25七年级下·广西河池·期末）下列坐标中，在第四象限的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：平面直角坐标系中第四象限内点的坐标特征为：横坐标大于0，纵坐标小于0， 符合该特征的是B选项，故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·河北沧州·期中）在坐标平面内，有一点，若均不为0且，那么点的位置（　　） A．只能在第三象限 B．不可能在第四象限 C．在四个象限均可 D．不可能在第一象限 【答案】D 【详解】解：∵均不为0且，∴和不可能同时为正数， ∴点不可能在第一象限；故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在轴上方，且，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵点在轴上方，∴点在第一象限或第二象限， ∵，∴，异号，∴点在第二象限，故选：． 【变式4】（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）若点的坐标为，且在原点上，则点在第 象限，其坐标为 ． 【答案】 一 【详解】解：∵点的坐标为，且在原点， ∴，且，∴，，∴，， ∴点为，在第一象限，故答案为：一；． 题型02 写出平面直角坐标系中点的坐标 【典例1】（24-25八年级下·陕西汉中·期中）如图是某学校在平面直角坐标系中的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是．(1)写出图中食堂、图书馆和宿舍楼的位置； (2)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置． 【答案】(1)食堂、图书馆，宿舍楼 (2)见解析 【详解】（1）解：根据平面直角坐标系得：食堂、图书馆，宿舍楼． （2）解：如图所示． 【变式1】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，试写出坐标平面内各点的坐标． 解：A： ； B： ；C： ；D： ；E： ；F： 。 【答案】见解析 【详解】解：由图可知：，，，，，． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）若点A的坐标是，且平行于y轴，则点B的坐标为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】解：点的坐标是，，且平行于轴， 点的横坐标为2，纵坐标是或，点的坐标为或，故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·江苏·课后作业）如图，四边形在平面直角坐标系中，根据要求回答下列问题：(1)点A的坐标为________，点B的横坐标为________，纵坐标为________； (2)坐标为的是点________，在第________象限；(3)横、纵坐标互为相反数的是点________． 【答案】(1)，，3；(2)C，三；(3)D． 【详解】（1）由图可知，点A的坐标为，点B的横坐标为，纵坐标为3；故答案：，，3； （2）解：由图可知，坐标为的是点C，在第三象限；故答案为：C，三； （3）解：由图可知，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为， 只有点D的横、纵坐标互为相反数，故答案为：D． 【变式4】（25-26八年级上·江苏·课后作业）完成下列各题： (1)写出图中各点的坐标．(2)描出点． (3)顺次连接各点，围成的封闭图形是什么图形，并计算它的面积． 【答案】(1)(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）解：由题意得；（2）解：如图所示； （3）解：如图所示，四边形是正方形，它的面积是． 题型03 点到坐标轴的距离 【典例1】（24-25八年级上·安徽合肥·培优）已知点在x轴上方，在y轴左侧，则点A到x轴、y轴的距离分别为（       ） A．2b，3a B．2b， C．，3a D．， 【答案】B 【详解】解：∵ 点在轴上方，在轴左侧，∴ 点在第二象限，∴ ，． ∵ 点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值， ∴ 点到轴的距离为，到轴的距离为．故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）点到轴的距离为 ． 【答案】 【详解】解：点到轴的距离为，故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）点到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则这样的点M有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵点到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，∴，∴， ∴点M的坐标为或或或，∴这样的点M有4个，故选：D． 【变式3】（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知点在第四象限，当m为何值时，点A到x轴的距离是它到y轴的距离的2倍（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点在第四象限，∴，， ∴点到x轴的距离是，到y轴距离是， ∵点A到x轴的距离是它到y轴的距离的2倍，∴，解得. 故选：B． 【变式4】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点A在y轴上，则点A的坐标为 ．(2)若点，且轴，则点A的坐标为 ． (3)若点A到x轴的距离为2，求a的值； 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：∵点A在y轴上，∴，即，∴， ∴，∴点A的坐标为； （2）解：∵点B的坐标为，且轴， ∴，即，∴，∴，∴点A的坐标为． （3）∵点A到x轴的距离为2，∴，解得：或 题型04 根据点在坐标轴上求参数值 【典例1】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵点在轴上，∴，解得，故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知点在y轴上，则的值为　　 A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：∵点在y轴上，∴∴ 故选：B ． 【变式2】（24-25八年级上·江苏·专题练习）已知点在第二、四象限的角平分线上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意知：，解得：，∴，故选：A． 【变式3】（24-25八年级上·宁夏·期中）若点在第一、三象限的角平分线上，则点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得：，解得：； 当时，，∴点P的坐标为，故选：A． 【变式4】（25-26八年级上·辽宁盘锦·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，若点M在x轴上，则点M坐标 ． 【答案】 【详解】解：点在x轴上，，， ，点M坐标为．故答案为：． 题型05 根据点所在的象限求参数的范围 【典例1】（24-25七年级下·浙江·期末）已知点在第四象限，若的所有整数解的和是，则的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】解：点在第四象限，，， 的所有整数解的和是，，或，，，，， 或．故答案为：或． 【变式1】（24-25八年级下·湖南株洲·期中）已知点在第二象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵点在第二象限，∴，解得，故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·湖北荆州·期末）点在第三象限，且点的横纵坐标均为整数，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为点P在第三象限，所以，解得． 又因为点的横纵坐标均为整数，所以， 则，，所以点的坐标为，故选：B． 【变式3】（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：点在第一象限， ，解得，故答案为： 【变式4】（2025·广东韶关·三模）在平面直角坐标系中，点在第二象限或第四象限，则、的关系是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点在第二象限或第四象限，则异号，∴，故选：D． 题型06 建立坐标系确定物体的位置 【典例1】（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图标明了李华同学家附近的一些地方． (1)根据图中所建立的平面直角坐标系，写出学校、邮局的坐标；(2)某星期日早晨，李华同学从家里出发，经过了点，，，，写出他路上经过的地方． 【答案】(1)学校的坐标为、邮局的坐标为； (2)李华经过的地方依次为：商店、公园、汽车站 【详解】（1）解：由图可得：学校的坐标为、邮局的坐标为； （2）解：由图可得：是李华家，是商店，是公园，是汽车站， 李华从家里出发经过的地方依次为：商店、公园、汽车站． 【变式1】（25-26八年级上·北京·开学考试）五子棋的比赛规则是：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子记为胜方．如图所示的一盘棋中，若的位置是，的位置是，若轮到黑棋走，小红认为黑棋放在或位置胜利．若轮到白棋走，小刚认为白棋放到位置胜利．下列说法正确的是（　　） A．小红、小刚均正确 B．小红、小刚均错误 C．小红正确，小刚错误 D．小红错误，小刚正确 【答案】C 【详解】解：根据题意建立平面直角坐标系，如图， 由图可知，若轮到黑棋走，黑棋放在或位置胜利；若轮到白棋走，白棋放到位置胜利， ∴小红说法正确，小刚说法错误，故选：． 【变式2】（25-26八年级上·江苏·随堂练习）如图，已知火车站的坐标为，文化宫的坐标为． (1)请根据题目条件画出平面直角坐标系；(2)写出体育场、市场、超市的坐标； (3)若宾馆的坐标为，请在图上标出宾馆所在位置． 【答案】(1)图见解析(2)体育场，市场，超市(3)见解析 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示． （2）体育场，市场，超市． （3）宾馆的位置如图所示． 【变式3】（24-25七年级下·河北沧州·期中）七年级（3）班的同学组织到兴华公园游玩，李静、王明、赵凯三位同学和其他同学走散了，同学们已到中心广场，他们三个在不同的景点对着景区示意图在电话中向在中心广场的同学们说他们的位置，赵凯说他的坐标是，李静说她的坐标是，王明说他的坐标是．（图中小正方形的边长代表100米，每个小正方形的对角线约长141米，牡丹园在中心广场的东北方向） (1)三位同学是如何在景区示意图上建立坐标系的？在图上画出来；(2)写出这三位同学所在位置的景点名称； (3)分别写出牡丹园、西门的坐标以及游乐园相对中心广场的位置． 【答案】(1)见解析(2)赵凯在游乐园，李静在望春亭，王明在湖心亭； (3)牡丹园的坐标为，西门的坐标，游乐园在中心广场东南方向，相距米 【详解】（1）解：根据题意，他们是以中心广场为原点，100米为单位长度，建立直角坐标系，如图： （2）解：根据（1）中的平面直角坐标系，可知： 赵凯在游乐园，李静在望春亭，王明在湖心亭； （3）解：根据题意，得牡丹园的坐标为，西门的坐标，游乐园相对中心广场的位置为游乐园在中心广场东南方向，相距米． 【变式4】（25-26八年级上·广东·课后作业）如图所示的网格处于某个平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1，如果点A的坐标为，点E的坐标为． (1)在图中画出这个平面直角坐标系；(2)求点B，C，D的坐标； (3)如果该平面直角坐标系中另有一点，请你在图中描出点F． 【答案】(1)见解析(2)(3)见解析 【详解】（1）解：平面直角坐标系如下图所示： （2）解：由图可得； （3）解：如图，点即为所求． 题型07 描述物体的位置 【典例1】（24-25八年级上·广东·期末）根据下列表述，能确定位置的是（    ） A．航海东路 B．大卫城负二层停车场 C．奥斯卡影城3号厅2排 D．东经，北纬 【答案】D 【详解】解：A、航海东路，不能确定具体位置，故该选项不符合题意； B、大卫城负二层停车场，不能确定具体位置，故该选项不符合题意； C、奥斯卡影城3号厅2排，不能确定具体位置，故该选项不符合题意； D、东经，北纬，能确定具体位置，故该选项符合题意；故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·江苏·专题练习）在我国新疆西北部有一座全球最大的八卦城——特克斯县．以八卦文化广场为中心，按照八卦具体方位和角度向外延伸出八条主街，如图，是以八卦文化广场为点O绘制的简易地图，若点A的位置用表示，点B的位置用表示，则点C的位置可以表示为 ． 【答案】 【详解】解：如图，点A，B的位置分别表示为，， ∴点C的位置可以表示为，故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·陕西咸阳·开学考试）教室里，聪聪坐在第3列第2行，用数对表示，明明坐在聪聪正后方的第一个位置上，明明的位置用数对表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题干分析可得：明明与聪聪在同一列，即第3列，明明是在第行，由此利用数对表示为：，故选：A． 【变式3】（25-26八年级上·江苏·专项训练）如图，已知字母W对应的有序数对为，有一个英文单词的字母依次对应的有序数对分别为，请你把这个英文单词写出来： ． 【答案】 【详解】解：根据题意，得对应的字母分别是，故答案为：． 【变式4】（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，某轿车行驶在该位置时，前方有四个路口分别为：开拓路、复兴路、振兴路、建设路，若导航提示“向右前方行驶”，此时司机应驶向（    ） A．开拓路 B．建设路 C．复兴路 D．振兴路 【答案】D 【详解】解：由图知，若导航提示“向右前方行驶”，此时司机应驶向振兴路，故选：D． 题型08 有关点的坐标与性质的计算 【典例1】（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）已知点． (1)若点N的坐标为， 且直线轴， 求点M的坐标； (2)若点M在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等，求点M的坐标． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵直线轴，∴两点的纵坐标相等， ∴，解得，∴，； （2）解：∵点M在第二象限，∴， 又点到x轴、y轴的距离相等，∴，解得， ∴，∴． 【变式1】（24-25七年级下·云南大理·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当直线平行于轴，且，求出点的坐标．(2)若点到轴，轴距离相等，求的值； 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：平行于轴，且，，解得：， ，点的坐标为． （2）∵点到x轴，y轴距离相等，∴， ∴或，解得：或． 【变式2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标；(2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：根据题意得：∵点在轴上，，解得：， 则，点的坐标为：； （2）解：直线轴，直线上所有点的纵坐标都相等， ，解得：，则，即点的坐标为； （3）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ，，，即，解得： 【变式3】（25-26八年级上·江苏·课后作业）在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点A在轴上，求点A的坐标；(2)若点，直线轴，求的值； (3)若点A在第四象限，且到两坐标轴距离之和为9，求的值； (4)点的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求的值及点的坐标． 【答案】(1)(2)(3) (4)当的值为2时，点的坐标为；当的值为时，点的坐标为 【详解】（1）解：根据题意得，，解得，代入，∴； （2）解：∵直线轴，∴两点的纵坐标相等，∴，解得； （3）解：因为点A在第四象限，所以，所以， 所以点A到轴的距离为，点A到轴的距离为． 因为点A到两坐标轴距离之和为9，所以，解得； （4）解：因为直线轴，所以两点的横坐标相等，即，解得， 所以，所以点A的坐标为． 因为线段的长为5，所以当点在点A上方时，， 解得，此时点的坐标为； 当点在点A下方时，，解得，此时点的坐标为． 综上所述，当的值为2时，点的坐标为；当的值为时，点的坐标为． 题型09 点的坐标与几何性质 【典例1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）阅读理解：如图①，在平面内选一定点，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点的位置可由的度数与的长度确定，有序数对称为点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”． 应用：在图②的极坐标系下，如果正六边形的边长为，有一边在射线上，则正六边形顶点的极坐标应记为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过作于， 六边形是正六边形，，， ，， 在中，，， 在中，．正六边形的顶点的极坐标应记为．故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·天津·阶段练习）如图,的顶点分别为，且与全等，则点D坐标可以是 ． 【答案】或或 【详解】如图所示，与全等，点D的坐标可以是或或． 故答案为： 或或 【变式2】（24-25八年级上·吉林通化·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，，且的面积为，点、的坐标分别是、，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，轴于点， 点、的坐标分别是、，，， ∵的面积为，，∴， 点的横坐标为，纵坐标为，点坐标为，故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点C在x轴上，点A在第一象限，且，连接，若，则点C的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点A作，交于点D， 在中，，且，∴.∵点，∴，∴. ∵，∴，∴，即点.故答案为：. 【变式4】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，以，为顶点作等腰直角（其中，且点落在第一象限内），则点的坐标为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：过点作轴，垂足为点，则， ∵是等腰直角三角形，，∴，∵，∴， ∵轴，∴，， 在和中，，∴，∴,， ∵的坐标为，∴，∴， ∵点的坐标为，且点在轴正半轴上，∴，∴，∴，∴， ∵点在第一象限，∴点的坐标为，故答案为:． 题型10 点的坐标与变化规律 【典例1】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形的一边与x轴重合并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可得，第一个正方形中，， 各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0； 第二个正方形中，， 各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为； 根据纵坐标的变化规律可知，每 8 个点一次循环，， ∴点在第 254个循环中的第1个点的位置，∴故点的纵坐标为0 ， 又 ∵的横坐标为的横坐标为的横坐标为， ∴点的横坐标为，∴点的坐标为，故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，，…；则根据图示规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可得，，，，，，，，……其中，，，结合图象可得，的横坐标等于，纵坐标等于， ，点的坐标为，故选C． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按，，，，，，，，，，…，根据这个规律探索可得，第2021个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，，，，，，，，，…， ∴除第一个横坐标外，后面横坐标每3个坐标依次增加1，纵坐标每6个一循环， ∵，， ∴第2021个点的坐标为即．故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2025个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，∴四边形的周长为：， ∵，，∴细线的另一端所在位置是点C，点C的坐标是．故选：C． 【变式4】（25-26八年级上·全国·期中）长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从点出发，沿所示的箭头方向运动，到点时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依照题意画出图形，如图所示． 由题意得，点P第1次反弹的点为，第2次反弹的点为，第3次反弹的点为， 第4次反弹的点为，第5次反弹的点为，第6次反弹的点为， 故6次一个循环，， 故点P第2025次反弹的点与第3次反弹的点相同为．故选：B． 题型11 点的坐标与新定义问题 【典例1】（24-25八年级上·广东·期末）新定义：对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”． 例如：的“2属派生点”为，即． (1)点的“2属派生点”的坐标为________；(2)若点的“3属派生点”的坐标为，则点的坐标为________；(3)若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：点的“2属派生点”的坐标为， 即，故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 由题意知，解得：，即点的坐标为，故答案为：； （3）解：∵点在轴的正半轴上，∴，，∴点的坐标为，点的坐标为， ∴线段的长为到轴距离为， ∵在轴正半轴，线段的长为，∴，即，∴． 【变式1】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点和点的关联值如下：若，，在一条直线上，；若，，不在一条直线上，（且）．已知点坐标为点坐标为，回答下列问题：        (1)_____；(2)若，，则点坐标为_____；(3)若，且点的纵坐标为2，求点的坐标；(4)若点和点的关联值满足，请在平面直角坐标系中画出满足条件的所有的点形成的路径图形． 【答案】(1)8(2)或，(3)或．(4)见详解 【详解】（1）解：∵点A坐标为点B坐标为，∴，故答案为：8， （2）解：∵，∴点P在x轴上， ∵∴，设，∴，解得：， ∴或，故答案为：或， （3）解：设点P的坐标为：， ，， ∵∴，∴，∴，∴或． （4）解：解：设点P坐标为，则：， ∴．∴或，即为一三象限和二四象限的角平分线．画图如下： 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，则称点为点的“关联点”．例如，点，则点是点的“关联点”． (1)若点，则点的坐标为______； (2)若点则点的坐标为（______）；并猜想：若点在轴上，则中，的关系式：______． (3)若点是点的“关联点”，若点向右平移个单位可与重合，求点的坐标． 【答案】(1)(2)，，(3)点的坐标为 【详解】（1）解：因为点是点的“关联点”，且点的坐标为，且，， 所以点的坐标为．故答案为：． （2）解：令点的坐标为，根据题意可得，解得，所以点的坐标为． 由点坐标为可知，点的坐标为． 因为点在轴上，所以，即，的关系式为．故答案为：，，． （3）解：令点的坐标为，则点的坐标为， 将点向右平移个单位后，所得点的坐标为， 因为此点与重合，所以，解得，所以点的坐标为． 题型12 坐标与几何综合问题 【典例1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，的面积等于18．(1)求点的坐标；(2)点是线段上一动点，设点的横坐标为，的面积为，求与的数量关系；(3)如图2，在(2)的条件下，延长至点使，在第一象限内是否存在点，使是等腰直角三角形且，连接，的面积等于6，如果存在，请求出的值和点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在，，点的坐标为． 【详解】（1）解：，的面积等于，，， ，，，； （2）过点作于点，如图， ，，，，． 点的横坐标为，，，， ．与的数量关系为． （3）第一象限内存在点，使是等腰直角三角形，且，的面积等于，理由： 过点作于点，轴于点，过点作于点，过点作于点，过点作轴于点，如图， 由（2）知：，，，，轴，， ，，， 的面积等于，，．． ，，，，． ，，，，． 是等腰直角三角形且，． ，．，． 在和中，，， ，．，， ，，，，． 综上，存在点，使是等腰直角三角形，且，的面积等于，此时，点的坐标为． 【变式1】（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）平面直角坐标系中，，分别在轴正半轴和轴负半轴上，在第二象限，满足：，． 已知． (1)求，的坐标；(2)求点的坐标；(3)已知是轴的正半轴上一点，，在第一象限，，，连接交轴于点，求证：． 【答案】(1)，(2)(3)见解析 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：，∴，． （2）解：过点C作轴于F，如图所示：∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，∴，∴，， ∵点C在第二象限，∴． （3）解：过点E作轴于G，∵，∴， ∵， ∴， 在和中，∴，∴， ∵，∴，∵轴，轴，∴． 在和中，∴．∴． 【变式2】（24-25八年级上·广东·培优）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，设，且．(1)直接写出的度数；(2)如图，点为的中点，点为轴负半轴上一点，以为边作等边三角形，连接并延长交轴于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵点在轴负半轴上，，， ，或， ，，，， 在轴的正半轴上取点，使，连接，如图所示： 点在轴正半轴上，，， 又，，，是等边三角形，； （2）连接，如图所示：是等边三角形，，， ，，， 为的中点，，，，， 在和中，，，， 即，，为等边三角形，，． 【变式3】（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图1，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是点，点．点D是y轴正半轴上A点上方一点（不与A点重合），以为腰作等腰过点C作轴于点E．(1)若a，b满足：．①求的度数；②求证：； (2)如图2，过点B作，且，连接，若，求点F的坐标． 【答案】(1)①；②见解析(2) 【详解】（1）解：①∵，∴，∴，， 解得：，，∴，，∴，，∴， ∵，∴； ②∵为等腰直角三角形，∴，， ∵轴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，即； （2）解：过点F作轴于点H，如图所示：则， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，，∴，， ∴，，∴，∴． 【变式4】（22-23八年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上的一点，且． (1)求的长；(2)如图①，若点在轴上，且是等边三角形，则点的坐标是____________； (3)如图②，点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒． ①当是直角三角形时，求的值；②当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)①或；②或 【详解】（1）解：∵点，∴， ∵，，∴，∴； （2）解：设点的坐标为，∵是等边三角形，∴，即， ∴，∴点的坐标是，故答案为：； （3）解：①由题意可得，，，∵，∴， 当时，∵，∴，∴，即，解得； 当时，则，∴，即，解得； 综上，当是直角三角形时，的值为或； ②当点在线段上时，∵是等腰三角形时，， ∴是等边三角形，∴，即，解得， ∴，∴，∴； 当点在线段的延长线上时，， ∵是等腰三角形，∴，即，解得，∴，∴； 综上，点的坐标为或． 1．（24-25七年级下·云南大理·期中）若，且点在第二象限，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， 点在第二象限，，，故选：B． 2．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）如果在y轴上，那么点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在y轴上，∴，解得，∴点P的坐标为，故选：C． 3．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，点在第四象限的角平分线上，且m，n满足，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点在第四象限的角平分线上，∴， ∵，∴，解得：，∴，∴点M的坐标为．故选：D 4．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）五子棋起源于中国，游戏规则是：双方各执一色，黑棋先下（为先手），白棋后下，黑白双方轮流交替下子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，先形成五子连线者获胜，如图．若白棋A的位置记为，黑棋B的位置记为，为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵白棋A的位置记为，黑棋B的位置记为， ∴建立平面直角坐标系如图所示： 为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置是，故选：C． 5．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）定义：，，例如，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由，得：， A．，与相等，符合题意； B．，与不相等，不符合题意； C．，与不相等，不符合题意； D．，与不相等，不符合题意；故选：A． 6．（24-25七年级下·四川泸州·期中）已知点，点B在x轴上，与坐标轴所围成的三角形面积为4，则点B的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：由题知，因为与坐标轴所围成的三角形面积为4，且点A坐标为， 所以，解得，所以点B的坐标为或故选： 7．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，在一个平面区域内，O处的雷达探测器测得在A，B，C，D，E处均有目标出现．屏幕显示可知E在雷达探测器的北偏西，3海里处，则下列说法正确的是（    ）    A．A在探测器南偏西，1海里处 B．B在探测器南偏东，2海里处 C．C在探测器北偏东，3海里处 D．D在探测器正北方向，1海里处 【答案】B 【详解】解：在雷达探测器的北偏西，3海里处， 点A在雷达探测器的南偏西，2海里处， 点B在雷达探测器的南偏东，2海里处，点C在雷达探测器的北偏东，3海里处， 点D在雷达探测器的正北方向，2海里处，故选：B． 8．（24-25八年级上·江苏·专题练习）中国象棋中“马走日字”（“马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一角，横着走竖着走都可以），如图中“马”从点出发，可到达，中任意一点，若“马”从点出发连续走了次“日”字后到达点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】法1：解：如图所示： 当点 往右上角方向走“日”字时， 有最小值，由图象可得，的最小值为9，故选：D． 法2：要想次数最少，则棋子每次都应只能向上或向右移动（切不可向下或向向左移动）。 能同时满足向上和向右的走法只有两种：即PB型；或PA型。 不妨设PB型需要x次，PA型需要y次。由题意得： 由题意知，解得：，故=9，故选：D． 9．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）一间教室，以讲台为观测点，小明的位置可以表示为，小刚的位置可以表示为，小红的位置可以表示为，那么小明的位置是在小红的位置的（    ） A．右前方 B．左前方 C．右后方 D．左后方 【答案】B 【详解】解：根据数对表示位置的方法，在图中标出三个人的位置如下： 观察图形可知，小明的位置是在小红的位置的左前方．故选：B． 10．（24-25七年级下·福建莆田·期中）已知点的坐标为，且轴，若，且点在第一象限，则的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵轴，点的坐标为，∴两点纵坐标都为， 又∵，∴当点在点左边时，，在第二象限，不符合题意，舍去； 当点在点右边时，，符合题意，故答案为：． 11．（24-25七年级下·河北·期末）已知嘉淇家的正西方向100米处为车站，家的正北方向200米处为学校，且从学校往正东方向走100米，再往正南方向走400米可到达公园．若嘉淇将家、车站、学校分别标示在如图所示的平面直角坐标系上的，，三点，则公园的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知，在这个平面直角坐标系中，1个单位长度等于米， 所以公园的横坐标为，纵坐标为，所以公园的坐标为，故答案为：． 12．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图是根据某学校的平面示意图建立的平面直角坐标系，学校的入口位于坐标原点，弘毅楼位于点，从弘毅楼出发沿射线方向前行是致远楼，从致远楼向左转后直行到博雅楼，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：连接，由题意可得：， 则， 在和中，，， ∵在一条直线上，∴也在一条直线上，∴，则， ∴点坐标为：．故答案为：． 13．（25-26八年级上·江苏课后作业）（1）在平面直角坐标系中，点在第 象限． （2）若点在第二象限，则点在第 象限． 【答案】 二 一 【详解】解：（1）∵，∴， ∵，∴点在第二象限，故答案为：二； （2）点在第二象限，∴， ∴，∴点在第一象限，故答案为：一． 14．（25-26八年级上·重庆·期中）山西被称为“中国古代建筑宝库”．小明作为山西人也想为宣传山西助力，为了便于人们更清晰地了解这些宝贵文化遗产的位置，他用所学知识对部分古建筑的位置进行了表示，如图应县木塔的坐标为，悬空寺的坐标为，则佛光寺的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵应县木塔的坐标为，悬空寺的坐标为，∴建立如图所示平面直角坐标系， ∴佛光寺的坐标为，故答案为：． 15．（24-25八年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为．若是以为顶角的等腰三角形，点C在x轴上，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【详解】解：∵点A、点B的坐标分别为，∴， ∵，∴C或，故答案为：或． 16．（2025·宁夏·模拟预测）将一组正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示的数为8，则正整数2025用有序实数对表示为 ． 【答案】 【详解】解：第一行的最后一个数是1，第二行最后一个数是， 第三行最后一个数是，第四行最后一个数是， 第五行最后一个数是．第行最后一个数是． ，第63行的最后一个数是2016． 2025在第64行从左到右第9个数的位置．正整数2025可以用有序数对来表示．故答案为：． 17．（24-25八年级上·青海西宁·期末）如图，在直角平面坐标系中，，，，，则点C的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点C作轴于E， ∴，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴，故答案为：． 18．（24-25八年级上·江苏·专题练习）西安地铁的不断完善给广大市民的出行带来了很大的变化，如图是西安地铁部分示意图，已知文景路，通化门． (1)根据题意在图中建立平面直角坐标系；(2)写出在第一象限内的地铁站及其坐标； (3)在图中用点表示站点田家湾的位置． 【答案】(1)见解析(2)在第一象限内的地铁站有行政中心，西安北站，辛家庙．(3)见解析 【详解】（1）解：如图， （2）解：在第一象限内的地铁站有行政中心，西安北站，辛家庙； （3）解：如图，点M即为所求． 19．（24-25七年级下·吉林白山·期末）已知点． (1)若点P在轴上，求点P的坐标；(2)若点，轴，求线段的长度． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：点在轴上，，解得， ∴，； （2）解：轴， ，，，  ． 20．（25-26八年级上·江苏·单元测试）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，的三个顶点都在格点上． (1)点A的坐标为________，点B的坐标为________；(2)的面积为________； (3)点P在y轴上，且的面积等于的面积，求点P的坐标． 【答案】(1)，(2)(3)或 【详解】（1）点A的坐标为，点B的坐标为；故答案为：，； （2）；故答案为：， （3）解：设，的面积等于的面积，， 解得：或，点的坐标为或． 21．（24-25八年级上·黑龙江·期中）综合与探究：如图①，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，点C在x轴正半轴上，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______；(2)当点P在线段上时，如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）；(3)若，则t的值为______；(4)若，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)4或8(4)存在，点P的坐标为或 【详解】（1）解：，，， ，，，；故答案为：，； （2）解：由（1）知，，，，， ，，， 当点在线段上时，即时，如图1，由运动知，，， ，，，， 在和中，，，； （3）解：当点在线段上时，，； 当点在轴正半轴时，即， 如图2，由运动知，，， 同（2）的方法得，，，， 即时，的值为4或8；故答案为：4或8； （4）解：，，点，，，， 当时，，，点； 当时，又，，，，点， 综上所述：点P的坐标为或． 22．（24-25八年级上·浙江·期末）在等腰直角三角形中，，，点A，B分别在坐标轴上．(1)如图①，若 ，，求点C的坐标．(2)如图②，若点C的横坐标为2，求点B的坐标．(3)如图③，若点A的坐标为，点B在y轴的正半轴上，以为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，连接交 y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的长；若变化，求出的取值范围． 【答案】(1)(2)(3)，即的长度不发生改变，是定值，为3 【详解】（1）解：作轴于点D，    ∵ ，，∴ ， 在和中， ，∴ ， ∴ ，．∴ ，∴ 点C的坐标为． （2）解：如图，作于D．∵，，∴， 在和中，∴，∴，∴B点坐标． （3）解：的长度不发生改变．如图，作轴于点E． ∵ ，，∴ ， 在和中，，∴，∴，． ∵ ，∴ ．在和中，，∴ ， ∴，∴ ， ∵ 点A的坐标为，∴ ．∴ ，即的长度不发生改变，是定值，为3． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 点的位置与坐标系 教学目标 . 1、理解平面直角坐标系的定义及相关概念，如：x轴、y轴、原点及正方向、象限等； . 2、会根据点的位置写出坐标，或根据坐标画出点的位置；熟练掌握点的坐标特征； 3、理解坐标与点的唯一对应关系，即“数形结合”思想； . 4、能利用坐标系描述地理位置（如参照物、方向距离）或解决实际问题； . 5、除直角坐标系外，还可引入极坐标、地理坐标等描述点的位置。‌ 教学 重难点 1.重点 （1）‌坐标与位置的互推‌：通过垂线法确定点的坐标，或根据坐标定位点； （2）‌单位长度一致性‌：明确同一坐标系中单位长度的统一性（特殊情况下可不同）。 2.难点 （1）‌坐标系建立‌：如何选择原点、确定单位长度以适应实际问题（如地图比例）； （2）‌坐标顺序规范‌：避免混淆横纵坐标顺序（如(列,行)与(x,y)的差异）。 知识点01 认识平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系概念：平面内两条互相 的数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。 2. x轴：平面直角坐标系中， 的数轴称为x轴或横轴， 为正方向。 3. y轴：平面直角坐标系中， 方向的数轴称为y轴或纵轴。 为正方向。 4. 原点：在平面直角坐标系中，x轴与y轴的交点是 ， 是两条坐标轴的唯一的公共点。 5. 坐标：在平面直角坐标系中，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足在x轴、y轴上表示的数分别为a、b，则有序实数对（a，b）称为点P的 。其中a称为点的 ，b成为点的 。 注意：建立平面直角坐标系后，平面内的点与 是一一对应的。 7. 象限：在平面直角坐标系中，两条坐标轴将平面分成四个区域称为 ，按 顺序分别记为第一、二、三、四象限。坐标轴不属于任何象限。 8.点的坐标的特征 点的位置 坐标特征 象限内的点 第一象限 （+，+） 第二象限 （-，+） 第三象限 （-，-） 第四象限 （+，-） 坐标轴上的点 x轴 （a，0） y轴 （0，b） 象限角平分线上的点 第一、三象限角平分线 （m，m） 第二、四象限角平分线 （m，-m） 【即学即练】 1．（24-25八年级上·浙江·期末）下列各点中，位于第二象限的点是（      ） A． B．) C． D． 2．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知点处于第二象限，且，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏·随堂练习）已知点在x轴上，点在y轴上，则点位于第 象限． 5．（24-25七年级下·湖南·阶段练习）如果点在第一、三象限的角平分线上，那么m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 6．（24-25七年级上·山东滨州·期末）已知点的坐标为，轴且，则点的坐标为 ． 知识点02 建立合适的平面直角坐标系 1.确定点的坐标的方法： （1）建立合适的平面直角坐标系； （2）过该点向 横轴 作垂线，垂足在横轴上对应的实数a就是点的横坐标； （3）过该点向 纵轴 作垂线，垂足在纵轴上对应的实数b就是点的纵坐标； （3）把 横坐标 写在前面， 纵坐标 写在后边，中间用 逗号 隔开，并用 小括号 将它们括起来，就是该点的坐标（a，b）。 2.由点的坐标（a，b）确定点的位置的方法： （1）过横轴上表示实数a的点作 横轴 的垂线；（2）过纵轴上表示实数b点作 纵轴 的垂线； （3）两条垂线的 交点 即为点（a，b）的位置。 ( ● ) 3.极坐标系（拓展） 如图，在平面上取一点O，由点O出发画一条射线，则平面上任意一点M可以用M来确定； 其中表示OM的长度，表示以为始边，逆时针旋转后∠xOM的大小。 这里的点O称为极点，射线称为极轴，称为点M的极坐标。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·河北沧州·期中）小李、小王、小张、小谢原位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（　　） A．小王现在位置为第3排第2列 B．小李现在位置为第1排第4列 C．小谢现在位置为第4排第3列 D．小张现在位置为第4排第1列 2．（24-25七年级下·河南三门峡·期末）根据下列表述，能确定某地点位置的是（   ） A．万达影院第2排 B．黄河东路 C．北偏东25° D． 3．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，七颗棋子只有“兵”是红方的，“马”所在的位置的坐标为，“象”所在位置的坐标为，若“兵”再往前走一步，则“兵”所在位置的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·广东·期末）如图，这是某动物园的平面示意图，建立平面直角坐标系，每个小正方形的边长均代表． (1)根据以下提示，在图中标出熊猫馆、大象馆、狮虎山(三者均在格点上)的位置： ①动物园大门位于点，向北走到达熊猫馆；②大象馆位于点； ③狮虎山在熊猫馆的北方，且到大象馆和熊猫馆的距离相等． (2)根据图上信息填空：①海洋馆位于点(________，________)，在大门的________偏________方向_______； ②狮虎山位于点(________，________)． 5．（25-26八年级上·江苏·课后作业）我们知道，如果已知一点相对于定点的距离和方向，那么这个点就被唯一确定了．这就是说，我们可用角度和距离来确定平面上点的相对位置． 在平面内取一个定点，叫做极点，引一条射线，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）．对于平面内任一点，用表示线段的长度，表示从到的角度，叫做点的极径，叫做点的极角，有序数对就叫做点的极坐标，这样就在平面上建立了极坐标系．极坐标为的点，可表示为．建立极坐标系后，给定和就可以在平面内唯一确定一点． 如图，如果点的位置为，点的位置为． (1)请表示点与点的位置；(2)若以为极点，为极轴，写出点、点和点的极坐标． 7．（24-25八年级上·河南·校考期末）如图，，以A为顶点，为腰在第三象限作等腰，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型01 点所在的象限 【典例1】（24-25七年级下·四川·期中）若实数a，b满足等式，则点一定在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（24-25七年级下·广西河池·期末）下列坐标中，在第四象限的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河北沧州·期中）在坐标平面内，有一点，若均不为0且，那么点的位置（　　） A．只能在第三象限 B．不可能在第四象限 C．在四个象限均可 D．不可能在第一象限 【变式3】（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在轴上方，且，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4】（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）若点的坐标为，且在原点上，则点在第 象限，其坐标为 ． 题型02 写出平面直角坐标系中点的坐标 【典例1】（24-25八年级下·陕西汉中·期中）如图是某学校在平面直角坐标系中的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是．(1)写出图中食堂、图书馆和宿舍楼的位置； (2)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置． 【变式1】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，试写出坐标平面内各点的坐标． 解：A： ； B： ；C： ；D： ；E： ；F： 。 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）若点A的坐标是，且平行于y轴，则点B的坐标为（　　） A． B．或 C． D．或 【变式3】（25-26八年级上·江苏·课后作业）如图，四边形在平面直角坐标系中，根据要求回答下列问题：(1)点A的坐标为________，点B的横坐标为________，纵坐标为________； (2)坐标为的是点________，在第________象限；(3)横、纵坐标互为相反数的是点________． 【变式4】（25-26八年级上·江苏·课后作业）完成下列各题： (1)写出图中各点的坐标．(2)描出点． (3)顺次连接各点，围成的封闭图形是什么图形，并计算它的面积． 题型03 点到坐标轴的距离 【典例1】（24-25八年级上·安徽合肥·培优）已知点在x轴上方，在y轴左侧，则点A到x轴、y轴的距离分别为（       ） A．2b，3a B．2b， C．，3a D．， 【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）点到轴的距离为 ． 【变式2】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）点到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则这样的点M有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知点在第四象限，当m为何值时，点A到x轴的距离是它到y轴的距离的2倍（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点A在y轴上，则点A的坐标为 ．(2)若点，且轴，则点A的坐标为 ． (3)若点A到x轴的距离为2，求a的值； 题型04 根据点在坐标轴上求参数值 【典例1】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为 ． 【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知点在y轴上，则的值为　　 A．1 B． C．2 D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏·专题练习）已知点在第二、四象限的角平分线上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·宁夏·期中）若点在第一、三象限的角平分线上，则点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式4】（25-26八年级上·辽宁盘锦·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，若点M在x轴上，则点M坐标 ． 题型05 根据点所在的象限求参数的范围 【典例1】（24-25七年级下·浙江·期末）已知点在第四象限，若的所有整数解的和是，则的取值范围是 ． 【变式1】（24-25八年级下·湖南株洲·期中）已知点在第二象限，则m的取值范围是 ． 【变式2】（24-25七年级下·湖北荆州·期末）点在第三象限，且点的横纵坐标均为整数，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是 ． 【变式4】（2025·广东韶关·三模）在平面直角坐标系中，点在第二象限或第四象限，则、的关系是(    ) A． B． C． D． 题型06 建立坐标系确定物体的位置 【典例1】（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图标明了李华同学家附近的一些地方． (1)根据图中所建立的平面直角坐标系，写出学校、邮局的坐标；(2)某星期日早晨，李华同学从家里出发，经过了点，，，，写出他路上经过的地方． 【变式1】（25-26八年级上·北京·开学考试）五子棋的比赛规则是：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子记为胜方．如图所示的一盘棋中，若的位置是，的位置是，若轮到黑棋走，小红认为黑棋放在或位置胜利．若轮到白棋走，小刚认为白棋放到位置胜利．下列说法正确的是（　　） A．小红、小刚均正确 B．小红、小刚均错误 C．小红正确，小刚错误 D．小红错误，小刚正确 【变式2】（25-26八年级上·江苏·随堂练习）如图，已知火车站的坐标为，文化宫的坐标为． (1)请根据题目条件画出平面直角坐标系；(2)写出体育场、市场、超市的坐标； (3)若宾馆的坐标为，请在图上标出宾馆所在位置． 【变式3】（24-25七年级下·河北沧州·期中）七年级（3）班的同学组织到兴华公园游玩，李静、王明、赵凯三位同学和其他同学走散了，同学们已到中心广场，他们三个在不同的景点对着景区示意图在电话中向在中心广场的同学们说他们的位置，赵凯说他的坐标是，李静说她的坐标是，王明说他的坐标是．（图中小正方形的边长代表100米，每个小正方形的对角线约长141米，牡丹园在中心广场的东北方向）。(1)三位同学是如何在景区示意图上建立坐标系的？在图上画出来；(2)写出这三位同学所在位置的景点名称；(3)分别写出牡丹园、西门的坐标以及游乐园相对中心广场的位置． 【变式4】（25-26八年级上·广东·课后作业）如图所示的网格处于某个平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1，如果点A的坐标为，点E的坐标为． (1)在图中画出这个平面直角坐标系；(2)求点B，C，D的坐标； (3)如果该平面直角坐标系中另有一点，请你在图中描出点F． 题型07 描述物体的位置 【典例1】（24-25八年级上·广东·期末）根据下列表述，能确定位置的是（    ） A．航海东路 B．大卫城负二层停车场 C．奥斯卡影城3号厅2排 D．东经，北纬 【变式1】（24-25八年级上·江苏·专题练习）在我国新疆西北部有一座全球最大的八卦城——特克斯县．以八卦文化广场为中心，按照八卦具体方位和角度向外延伸出八条主街，如图，是以八卦文化广场为点O绘制的简易地图，若点A的位置用表示，点B的位置用表示，则点C的位置可以表示为 ． 【变式2】（24-25七年级上·陕西咸阳·开学考试）教室里，聪聪坐在第3列第2行，用数对表示，明明坐在聪聪正后方的第一个位置上，明明的位置用数对表示是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·江苏·专项训练）如图，已知字母W对应的有序数对为，有一个英文单词的字母依次对应的有序数对分别为，请你把这个英文单词写出来： ． 【变式4】（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，某轿车行驶在该位置时，前方有四个路口分别为：开拓路、复兴路、振兴路、建设路，若导航提示“向右前方行驶”，此时司机应驶向（    ） A．开拓路 B．建设路 C．复兴路 D．振兴路 题型08 有关点的坐标与性质的计算 【典例1】（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）已知点． (1)若点N的坐标为， 且直线轴， 求点M的坐标； (2)若点M在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等，求点M的坐标． 【变式1】（24-25七年级下·云南大理·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当直线平行于轴，且，求出点的坐标．(2)若点到轴，轴距离相等，求的值； 【变式2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标；(2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值． 【变式3】（25-26八年级上·江苏·课后作业）在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点A在轴上，求点A的坐标；(2)若点，直线轴，求的值； (3)若点A在第四象限，且到两坐标轴距离之和为9，求的值； (4)点的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求的值及点的坐标． 题型09 点的坐标与几何性质 【典例1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）阅读理解：如图①，在平面内选一定点，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点的位置可由的度数与的长度确定，有序数对称为点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”． 应用：在图②的极坐标系下，如果正六边形的边长为，有一边在射线上，则正六边形顶点的极坐标应记为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·天津·阶段练习）如图,的顶点分别为，且与全等，则点D坐标可以是 ． 【变式2】（24-25八年级上·吉林通化·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，，且的面积为，点、的坐标分别是、，则点的坐标是 ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点C在x轴上，点A在第一象限，且，连接，若，则点C的坐标为 ． 【变式4】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，以，为顶点作等腰直角（其中，且点落在第一象限内），则点的坐标为 （用含的代数式表示）． 题型10 点的坐标与变化规律 【典例1】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形的一边与x轴重合并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，，…；则根据图示规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按，，，，，，，，，，…，根据这个规律探索可得，第2021个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2025个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【变式4】（25-26八年级上·全国·期中）长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从点出发，沿所示的箭头方向运动，到点时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型11 点的坐标与新定义问题 【典例1】（24-25八年级上·广东·期末）新定义：对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”． 例如：的“2属派生点”为，即．(1)点的“2属派生点”的坐标为________；(2)若点的“3属派生点”的坐标为，则点的坐标为________；(3)若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点和点的关联值如下：若，，在一条直线上，；若，，不在一条直线上，（且）．已知点坐标为点坐标为，回答下列问题：        (1)_____；(2)若，，则点坐标为_____；(3)若，且点的纵坐标为2，求点的坐标；(4)若点和点的关联值满足，请在平面直角坐标系中画出满足条件的所有的点形成的路径图形． 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，则称点为点的“关联点”．例如，点，则点是点的“关联点”． (1)若点，则点的坐标为______； (2)若点则点的坐标为（______）；并猜想：若点在轴上，则中，的关系式：______． (3)若点是点的“关联点”，若点向右平移个单位可与重合，求点的坐标． 题型12 坐标与几何综合问题 【典例1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，的面积等于18．(1)求点的坐标；(2)点是线段上一动点，设点的横坐标为，的面积为，求与的数量关系；(3)如图2，在(2)的条件下，延长至点使，在第一象限内是否存在点，使是等腰直角三角形且，连接，的面积等于6，如果存在，请求出的值和点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）平面直角坐标系中，，分别在轴正半轴和轴负半轴上，在第二象限，满足：，． 已知． (1)求，的坐标；(2)求点的坐标；(3)已知是轴的正半轴上一点，，在第一象限，，，连接交轴于点，求证：． 【变式2】（24-25八年级上·广东·培优）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，设，且．(1)直接写出的度数；(2)如图，点为的中点，点为轴负半轴上一点，以为边作等边三角形，连接并延长交轴于点，若，求点的坐标． 【变式3】（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图1，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是点，点．点D是y轴正半轴上A点上方一点（不与A点重合），以为腰作等腰过点C作轴于点E．(1)若a，b满足：．①求的度数；②求证：； (2)如图2，过点B作，且，连接，若，求点F的坐标． 【变式4】（22-23八年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上的一点，且． (1)求的长；(2)如图①，若点在轴上，且是等边三角形，则点的坐标是____________； (3)如图②，点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒． ①当是直角三角形时，求的值；②当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 1．（24-25七年级下·云南大理·期中）若，且点在第二象限，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）如果在y轴上，那么点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，点在第四象限的角平分线上，且m，n满足，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）五子棋起源于中国，游戏规则是：双方各执一色，黑棋先下（为先手），白棋后下，黑白双方轮流交替下子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，先形成五子连线者获胜，如图．若白棋A的位置记为，黑棋B的位置记为，为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）定义：，，例如，，那么（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·四川泸州·期中）已知点，点B在x轴上，与坐标轴所围成的三角形面积为4，则点B的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 7．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，在一个平面区域内，O处的雷达探测器测得在A，B，C，D，E处均有目标出现．屏幕显示可知E在雷达探测器的北偏西，3海里处，则下列说法正确的是（    ）    A．A在探测器南偏西，1海里处 B．B在探测器南偏东，2海里处 C．C在探测器北偏东，3海里处 D．D在探测器正北方向，1海里处 8．（24-25八年级上·江苏·专题练习）中国象棋中“马走日字”（“马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一角，横着走竖着走都可以），如图中“马”从点出发，可到达，中任意一点，若“马”从点出发连续走了次“日”字后到达点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 9．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）一间教室，以讲台为观测点，小明的位置可以表示为，小刚的位置可以表示为，小红的位置可以表示为，那么小明的位置是在小红的位置的（    ） A．右前方 B．左前方 C．右后方 D．左后方 10．（24-25七年级下·福建莆田·期中）已知点的坐标为，且轴，若，且点在第一象限，则的坐标为 ． 11．（24-25七年级下·河北·期末）已知嘉淇家的正西方向100米处为车站，家的正北方向200米处为学校，且从学校往正东方向走100米，再往正南方向走400米可到达公园．若嘉淇将家、车站、学校分别标示在如图所示的平面直角坐标系上的，，三点，则公园的坐标为 ． 12．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图是根据某学校的平面示意图建立的平面直角坐标系，学校的入口位于坐标原点，弘毅楼位于点，从弘毅楼出发沿射线方向前行是致远楼，从致远楼向左转后直行到博雅楼，则点的坐标是 ． 13．（25-26八年级上·江苏课后作业）（1）在平面直角坐标系中，点在第 象限． （2）若点在第二象限，则点在第 象限． 14．（25-26八年级上·重庆·期中）山西被称为“中国古代建筑宝库”．小明作为山西人也想为宣传山西助力，为了便于人们更清晰地了解这些宝贵文化遗产的位置，他用所学知识对部分古建筑的位置进行了表示，如图应县木塔的坐标为，悬空寺的坐标为，则佛光寺的坐标为 ． 15．（24-25八年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为．若是以为顶角的等腰三角形，点C在x轴上，则点C的坐标为 ． 16．（2025·宁夏·模拟预测）将一组正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示的数为8，则正整数2025用有序实数对表示为 ． 17．（24-25八年级上·青海西宁·期末）如图，在直角平面坐标系中，，，，，则点C的坐标是 ． 18．（24-25八年级上·江苏·专题练习）西安地铁的不断完善给广大市民的出行带来了很大的变化，如图是西安地铁部分示意图，已知文景路，通化门． (1)根据题意在图中建立平面直角坐标系；(2)写出在第一象限内的地铁站及其坐标； (3)在图中用点表示站点田家湾的位置． 19．（24-25七年级下·吉林白山·期末）已知点． (1)若点P在轴上，求点P的坐标；(2)若点，轴，求线段的长度． 20．（25-26八年级上·江苏·单元测试）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，的三个顶点都在格点上． (1)点A的坐标为________，点B的坐标为________；(2)的面积为________； (3)点P在y轴上，且的面积等于的面积，求点P的坐标． 21．（24-25八年级上·黑龙江·期中）综合与探究：如图①，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，点C在x轴正半轴上，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______；(2)当点P在线段上时，如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）；(3)若，则t的值为______；(4)若，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（24-25八年级上·浙江·期末）在等腰直角三角形中，，，点A，B分别在坐标轴上．(1)如图①，若 ，，求点C的坐标．(2)如图②，若点C的横坐标为2，求点B的坐标．(3)如图③，若点A的坐标为，点B在y轴的正半轴上，以为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，连接交 y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的长；若变化，求出的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $