第4章 平面直角坐标系（高效培优讲义）数学苏科版2024八年级上册

第4章 平面直角坐标系 单元复习 教学目标 ①掌握平面直角坐标系的概念，能识别其组成部分（x轴、y轴、原点、象限），并理解点与有序实数对的一一对应关系； ②能绘制坐标系，根据坐标描点或由点写坐标，初步体会数形结合思想； ③通过实际应用（如地图定位、座位编号）激发兴趣，感受数学与生活的联系。‌ 教学重难点 1.重点 （1）平面直角坐标系的构成与绘制； （2）点与坐标的相互转化（如描点、写坐标）。 2.难点 （1）理解坐标平面内点与有序实数对的一一对应关系； （2）坐标轴上点的坐标特征（如x轴上点的纵坐标为0）。 ‌ 知识点01 点的位置与坐标系 1. 平面直角坐标系概念：平面内两条互相 垂直 的数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。 2. x轴：平面直角坐标系中， 水平 的数轴称为x轴或横轴， 向右 为正方向。 3. y轴：平面直角坐标系中， 竖直 方向的数轴称为y轴或纵轴。 向上 为正方向。 4. 原点：在平面直角坐标系中，x轴与y轴的交点是 原点 ， 原点 是两条坐标轴的唯一的公共点。 5. 坐标：在平面直角坐标系中，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足在x轴、y轴上表示的数分别为a、b，则有序实数对（a，b）称为点P的 坐标 。其中a称为点的 横坐标 ，b成为点的 纵坐标 。 注意：建立平面直角坐标系后，平面内的点与 有序实数对 是一一对应的。 7. 象限：在平面直角坐标系中，两条坐标轴将平面分成四个区域称为 象限 ，按 逆时针 顺序分别记为第一、二、三、四象限。坐标轴不属于任何象限。 8.点的坐标的特征 点的位置 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 坐标特征 （+，+） （-，+） （-，-） （+，-） 点的位置 x轴 y轴 第一、三象限角平分线 第二、四象限角平分线 坐标特征 （a，0） （0，b） （m，m） （m，-m） 【即学即练】 1.（24-25·河北·八年级期末）下列条件不能确定点的位置的是（       ） A．第二阶梯教室6排3座 B．小岛北偏东30°，距离1600m C．距离北京市180千米 D．位于东经114.8°，北纬40.8° 【答案】C 【详解】解：A．第二阶梯教室6排3座的位置明确，故本选项不符合题意； B．小岛北偏东30°，距离1600m的位置明确，故本选项不符合题意； C．距离北京市180千米无法确定的具体位置，故本选项符合题意； D．东经114.8°，北纬40.8°的位置明确，故本选项不符合题意；故选：C． 2．（24-25·河南 八年级期末）下列说法正确的是（　　） A．已知点M（2，﹣5），则点M到x轴的距离是2 B．若点A（a﹣1，0）在x轴上，则a＝0 C．点A在第四象限内 D．点C（﹣3，2）在第一象限内 【答案】C 【详解】解：A．已知点M（2，-5），则点M到x轴的距离是|-5|=5，故本选项不合题意； B．若点A（a-1，0）在x轴上，则a可以是全体实数，故本选项不合题意； C．∵，∴，∴点P的横坐标是正数，∴点P(，－2) 所在的象限是第四象限． 故本选项符合题意； D．C（-3，2）在第二象限内，故本选项不合题意；故选：C． 3．（2022·河北八年级阶段练习）已知点，分别根据下列条件求出点M的坐标． （1）点M在x轴上；______（2）点M在第二象限，且a为整数；______ 【答案】          【详解】解：（1）当点M在x轴上时，则有：a-1=0， ∴a=1，∴3a-8=3×1-8=-5，∴点M的坐标为； （2）由点M在第二象限可知，解得：， ∵a为整数，∴a=2，∴，∴点M的坐标为；故答案为，． 4．（24-25七年级下·河北沧州·期中）在平面直角坐标系内，已知轴． （1）若点坐标为，点坐标为，则的值为 ． （2）若点坐标为，且，则点的坐标为 ． （3）若点、、的坐标分别为、、，且轴，则 ． 【答案】 或 【详解】解：（1）∵轴，，，∴，∴，故答案为：； （2）∵轴，，∴B的纵坐标为7， 又，∴当B在A的左侧时，B的横坐标为； 当B在A的右侧时，B的横坐标为；∴B的坐标为或； （3）∵轴，、，∴，∴， ∵轴，，，∴，∴，故答案为：． 5.（24-25·广东·校考一模）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由的度数与的长度m确定，有序数对称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边在射线上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，设正六边形的中心为D，连接AD， ∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴OD=OA=4，∠AOD=60°，∴OC=2OD=2×4=8， ∴正六边形的顶点C的极坐标应记为．故选A． 6．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，为等腰三角形，AB=AC，轴，若，，则的面积为（   ） A．8 B．9 C．12 D．24 【答案】C 【详解】解：∵轴，，，∴点的纵坐标为， 过点作，交轴于点，交于点，则：，    ∵∴，∴，， ∴的面积为．故选：C． 知识点02 图形变换与坐标变化 1.平移与坐标变化 1）（a，b）向上平移n个单位后的坐标为 （a，b+n） ； 2）（a，b）向下平移n个单位后的坐标为 （a，b-n） ； 3）（a，b）向左平移m个单位后的坐标为 （a+m，b） ； 4）（a，b）向右平移m个单位后的坐标为 （a-m，b） ； 记忆口诀：左加右减，上加下减！ 2.轴对称与坐标变化 1）（a，b）关于x轴对称的点的坐标为 （a，-b） ； 2）（a，b）关于y轴对称的点的坐标为 （-a，b） ； 3）（a，b）关于原点对称的点的坐标 （-a，-b） ； 记忆口诀：关于谁，谁不变，另一个，变相反数，关于原点，都相反。最重要的是数形结合，理解记忆！ 【即学即练】 1．（25-26八年级上·江苏·课后作业）如图所示，三架飞机P，M，N保持编队飞行，某时刻在直角坐标系中的坐标分别为，30秒后，飞机P飞到的位置，则飞机M，N飞到的位置为 ，为 ． 【答案】 【详解】解：∵飞机P飞到的位置， ∴平移方式为向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点的坐标为，即，点的坐标为，即．故答案为：，． 2．（24-25八年级上·江苏·阶段练习）已知与点关于x轴对称，则 ． 【答案】0 【详解】解：与点关于x轴对称，故，解得， 故，故答案为：0． 3.（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，，点C的坐标为，点D的坐标为，则的最小值为 ． 【答案】7 【详解】解：如图所示，将向左平移2个单位，使点B和点A重合，并得到线段，连接， ∴，，∴， ∴当点C，A，E三点共线时，有最小值，即的长度， ∵点的坐标为，，∴， ∴，∴的最小值为7．故答案为：7． 4．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，．(1)画出关于轴的对称图形；(2)画出沿轴向下平移4个单位长度后得到的；(3)求出的面积；(4)若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是_______．    【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3.5(4) 【详解】（1）解：如图所示：即为所求；       （2）解：如图所示：即为所求； （3）解：． （4）解：∵与关于轴的对称，∴点经过第一次变换后对应点， ∵沿轴向下平移4个单位长度后得到的， ∴点经过两次变换后对应点，故答案为：． 5．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线经过点且与轴平行． (1)请在坐标系中画出关于轴对称的图形．(2)请在坐标系中画出关于直线对称的图形． (3)若点是内一点，则点关于直线对称的坐标是 ． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：点关于直线对称点的纵坐标为，横坐标为， ∴点关于直线对称的坐标是．故答案为：． 题型01 描述物体的位置 【典例1】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）根据下列描述，能确定具体位置的是（   ） A．北纬，东经 B．石家庄裕华区 C．狮城公园北偏东方向 D．七年级（1）班第5排 【答案】A 【详解】解：A：地球上的经纬度是一组精确的坐标，北纬，东经能在地球表面确定唯一的一个点，可精准定位； B：石家庄裕华区是一个较大的区域范围，不能确定裕华区内的具体位置，范围太宽泛； C：狮城公园北偏东方向，只说明了方向，没有距离等信息，无法确定在北偏东方向上的哪个具体点，不能精准定位； D：七年级（1）班第 5 排，没有说明是第几列，在第 5 排上有多个座位，不能确定唯一位置．故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·江苏·校考期中）如图，一艘船在雾中航行，某时刻雷达屏幕上出现了A，B，C三个目标．图中中央位置为这艘船的位置，目标相对于船的位置表示方法为．其中，表示目标与船的距离，表示以正东方向开始逆时针旋转的角度．例如，目标A，B相对于船的位置分别表示为，．用这种方法表示目标C相对于船的位置，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵中，其中，表示目标与船的距离，表示以正东方向开始逆时针旋转的角度． ∴用这种方法表示目标C的位置为．故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，学校相对于淇淇家的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距淇淇家1200米处 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 【答案】C 【详解】解：由题意可知，，∴， 则学校相对于淇淇家的位置：北偏东方向上的1200米处，故选：C． 【变式3】（2025八年级上·江苏·专题练习）中药斗是存放中医药材的橱柜，由于药橱上下左右有七排斗，故又称七星斗橱．如图，是中药斗部分中药位置的示意图，若“莲子”的位置可用第7行第6列描述，记作，“菖蒲”的位置记作，则“杏仁”的位置可记作（   ） 菖蒲 桂枝 官桂 桃仁 杏仁 红花 山豆 丹参 莲子 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵“莲子”的位置可用第7行第6列描述，记作，“菖蒲”的位置记作， ∴“菖蒲”的位置可用第5行第4列描述，∴“杏仁”的位置可用第6行第5列描述， ∴“杏仁”的位置可记作，故选：C． 【变式4】（2025八年级上·江苏·专题练习）如图所示的是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步、宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为，那么有序数对记为对应的田地面积为（   ） A．一亩八十步 B．一亩二十步 C．半亩七十八步 D．半亩八十四步 【答案】D 【详解】解：根据可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看， 故对应的是半亩八十四步，故选D． 题型02 点所在的象限 【典例1】（25-26八年级上·江苏·课后作业）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：因为，，所以点所在的象限是第二象限，故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知平面直角坐标系中点的坐标为，则点在第 象限． 【答案】四 【详解】解：∵点的坐标为，，∴点在第四象限．故答案为：四． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点不经过第几象限（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：根据题意可知，当时，，则点在第一象限， 当时，，则点在第四象限， 当时，，则点在第三象限，点不可能在第二象限，故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）如果点在第三象限，则点在第 象限． 【答案】四 【详解】解：点在第三象限，，， ，，则点在第四象限．故答案为：四． 【变式4】（24-25八年级上·江苏·阶段练习）若点在轴上，则点在第 象限． 【答案】一 【详解】解：∵点在轴上，∴， ∴，即∴点在第一象限，故答案为：一． 题型03 点到坐标轴的距离 【典例1】（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）若点到轴的距离为2，到轴的距离为3，且，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【详解】解：∵点到轴的距离为2，到轴的距离为3，∴，，∴，， ∵，∴，或，∴点P的坐标为或．故答案为：或． 【变式1】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）点到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则这样的点M有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵点到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，∴， ∴，∴点M的坐标为或或或， ∴这样的点M有4个，故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）点在第三象限，且到轴的距离为3，到轴的距离为2，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点在第三象限，∴点P的横纵坐标都是负数， ∵点P到x轴距离为，到y轴距离为，∴点P的横坐标的绝对值为2，纵坐标的绝对值为3， ∴点P的横坐标是，纵坐标是，∴点P的坐标为．故选：C． 【变式3】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）点P在第二象限，且到x轴、y轴的距离分别是3和5，则点P关于x轴的对称点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点在第二象限，∴ P点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∵P点到轴、轴的距离是 3 和 5 ，∴P点的坐标为， ∴P点关于轴的对称点坐标是，故选：A． 【变式4】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）已知平面直角坐标系中有一点． （1）若P点在x轴上，则m的值为 ；（2）当点P到y轴的距离为3时，点P的坐标为 【答案】 3 或 【详解】解：（1）根据P点在x轴上，得，解得，故答案为：3； （2）解：根据点P到y轴的距离为3，得到， 得或，解得或， 故或，故答案为：或． 题型04 已知点在坐标轴上或象限求参数 【典例1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：点在直角坐标系的x轴上，，解得， ，点P的坐标为，故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）已知点在轴的负半轴上，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】解：∵点在轴的负半轴上，∴，∴， ∴Q的横坐标为正，纵坐标为正，∴Q位于第一象限，故选：A． 【变式2】（2025·四川广元·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在第二象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵平面直角坐标系中的点在第二象限，∴，解得：． 故选：A． 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）已知点关于轴对称的点在第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵点，∴关于轴对称的点为， ∵对称点在第二象限，∴，解得：，故答案为：． 【变式4】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知点在第一、三象限的角平分线上，则m的值是（    ） A． B．4 C． D．或 【答案】C 【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴，解得：． 故选：C ． 题型05 建立坐标系确定物体的位置 【典例1】（24-25九年级下·山西·专题练习）第届亚运会于年9月日至月8日在杭州举行．如图1是杭州亚运会足球场馆图，图2是足球场馆座位示意图，将其放入正方形网格中（每个小正方形的边长都是1）．小李、小亮、小东的座位如图所示．若小亮的座位表示为，小李的座位表示为，则小东的座位可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据小亮、小李的位置确定坐标系位置如图所示， 小东的座位可以表示为，故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期末）“庆州古城·马嵬驿”项目位于庆城县柔远河东侧，北接周祖陵，南邻药王洞村，由陕西马嵬驿集团公司投资建设．依托庆城独特的地形环境，建设一个集文化展示、文化交流、原生态餐饮、特色住宿、民俗文化体验、中医药养生、休闲娱乐、环境保护于一体的西部文化名城（图1）．若利用网格（图2）建立适当的平面直角坐标系，表示民俗文化村的点的坐标为，表示儿童游乐园的点的坐标为，则万佛崖所在的位置的坐标应是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示：万佛崖所在的位置B的坐标为：．故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）为培养青少年阅读经典和传承中华文化，某校创建了“典籍传习”社团，小红将“典”“籍”“传”“习”四个字写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使得“籍”“习”的坐标分别为，则“传”字的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图建立直角坐标系，则“传”在第三象限，坐标为 ． 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端两点的坐标分别为，则叶柄底部点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵叶片尖端两点的坐标分别为，∴建立坐标系如图所示∶ ∴叶柄底部点C的坐标为．故答案为∶． 【变式4】（24-25七年级下·河北·期末）如图，这是南宁园博园的部分示意图，建立平面直角坐标系，使“中国一东盟友谊馆”位于点，“园博商街“位于点，则“颐心园”位于点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：以东盟向上1个单位的水平方向为x轴，且以右为正方向，以东盟向右1个单位的垂直方向为y轴，建立直角坐标系，以100为1个单位长度，如图所示， 所以“颐心园”位于点的坐标为.故答案为：. 题型06 已知平移方式求坐标 【典例1】（24-25八年级下·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点的坐标是，即，故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）将点向右平移2个单位后，得到的对应点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：由题知，将点向右平移2个单位后，得到的对应点B的坐标是．故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·广西玉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将点先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到对应点的坐标是，即，故选：D． 【变式2】（24-25九年级下·广东佛山·期中）把平面直角坐标系上一点向上平移个单位，这时它恰好在轴的正半轴上，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵将点向上平移个单位后的点的坐标为， 此时它恰好在轴的正半轴上，∴，∴．故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·广东中山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将点A先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点B．则点B的坐标为 ． 【答案】 【详解】解∶∵点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点B． ∴点B的坐标为，即，故答案为∶ ． 题型07 由平移前后点的坐标确定平移方式 【典例1】（24-25七年级下·湖北黄石·期末）如图，已知点，点，连接，将线段平移至线段，点A的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵点的对应点的坐标为， ∴将线段向左平移4个单位，向下平移1个单位得到线段， ∴点的对应点的坐标为，即．故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·江苏·单元测试）已知，经过平移，由点B到点A，平移方法是 ． 【答案】先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度． 【详解】∵由经过平移得到∴， 根据平移规律：横坐标，右加左减；纵坐标，上加下减， ∴点是先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度就得到点． 故答案为：先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度． 【变式2】（2025八年级上·江苏·专题练习）的三个顶点坐标分别为，，，将平移到，其中，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的对应点，向左平移个单位，向上平移个单位得到， 点的对应点点的坐标为，即．故选：A． 【变式3】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，将线段平移至，若点，的坐标分别为，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意知：、的坐标分别为和， 点、的坐标分别为和， 【变式4】（24-25八年级上·浙江台州·培优）在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移后，其中一个点的坐标变为，则另一个的坐标变为（ ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【详解】解：分以下两种情况：①若平移后坐标变为， 可知点向左平移个单位，向下平移个单位，点坐标平移后变为； ②若平移后坐标变为，可知点向左平移个单位，向上平移个单位， 点坐标平移后变为．综上所述：另一个点的坐标为或．故选：B． 题型08 关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标 【典例1】（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）已知点，． (1)、为何值时，点、关于轴对称？ (2)、为何值时，点、关于轴对称？ (3)、为何值时，点、关于原点对称？ 【答案】(1)，(2)，(3)， 【详解】（1）解：∵点、关于轴对称，∴，且，∴，； （2）解：∵点、关于轴对称，∴，且，∴，； （3）解：∵点、关于原点对称，∴，且，∴，． 【变式1】（25-26九年级上·湖南衡阳·开学考试）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， ∵，， ∴在第四象限， ∴点关于原点对称的点在第四象限，故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·四川眉山·期中）已知点A，如果点A关于轴的对称点是B，点B关于原点的对称点是C，那么C点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：∵点，点A关于轴的对称点是B，∴， ∵点B关于原点的对称点是C，∴C点的坐标是，故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏·单元测试）“小马虎”在做作业时，将点A横纵坐标的顺序颠倒了，误写为，“小糊涂”也不细心，将点B的坐标写成其关于y轴对称的点的坐标，误写为，则A，B两点原来的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．重合 【答案】D 【详解】解：由题意，得点A坐标应为，点B的坐标应为， 所以A，B两点原来的位置关系是重合．故选：D． 【变式4】（24-25八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 ． 【答案】 【详解】解：∵与点关于轴对称，∴∴故答案为：． 题型09 坐标系中的平移、轴对称与旋转相关作图 【典例1】（24-25八年级上·广西百色·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于轴对称的；(2)将向左平移4个单位长度，作出平移后的； (3)观察和，它们是否关于某直线对称？若是，请用粗线条画出对称轴． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)和关于直线对称，作图见解析 【详解】（1）解：根据题意，得， 故关于轴对称的坐标为， 如图所示，为所求： （2）解：根据题意，得， 平移后的坐标为，如图所示，为所求： （3）解：由（1）和（2）知，， ∴，故和关于直线对称，画图如下： 【变式1】（24-25八年级上·广东中山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)在图中作出关于x轴的对称图形；(2)直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_______； (3)在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)图象见解析(2)(3)见解析 【详解】（1）解：关于x轴对称对应点分别为，如图所示： ； （2）解：关于y轴对称点为，故答案为：； （3）解：如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求： 理由如下：由对称可知， 的周长为，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴当P为与y轴的交点时，的周长最小． 【变式2】（25-26八年级上·江苏·期中）如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为，，，过点作x轴的垂线l． (1)作出关于x轴对称的，并写出各顶点的坐标； (2)作出关于直线l对称的，并写出各顶点的坐标． 【答案】(1)详见解析，，，(2)详见解析，，， 【详解】（1）解：如图，即为所求作， ，，； （2）解：如图，即为所求作，，，． 【变式3】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，和关于某一点中心对称，其中点，，，．(1)对称中心的坐标为 ；(2)将绕点O顺时针旋转得到，在平面直角坐标系中画出． 【答案】(1)；(2)见解析． 【详解】（1）解： 由中点坐标公式得：， 即对称中心的坐标为；故答案为：； （2）解：如图，即为所求． 【变式4】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点都在方格纸的格点上，坐标分别为：点，，． (1)将绕点顺时针旋转后得到，请画出； (2)将向右移动3个单位后得到，请画出； (3)与是否中心对称，若是中心对称，直接写出对称中心的坐标；若不是中心对称，说明理由． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)是中心对称，对称中心的坐标为 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：如图，连接、、交于一点，则与是中心对称， ，向右移动3个单位后点的坐标为， 点的坐标为，即． 题型10 有关点的坐标与性质的计算（含中点坐标） 【典例1】（24-25八年级上·吉林·期末）等腰在平面直角坐标系中，底边的两端点坐标是，，则其顶点的坐标能确定的是（   ） A．横坐标 B．纵坐标 C．横坐标及纵坐标 D．横坐标或纵坐标 【答案】B 【详解】解：∵等腰三角形底边的两端点坐标是，， ∴两点都在y轴上，∴底边中点的坐标为：，即， ∴由等腰三角形的性质可以知道其顶角顶点的纵坐标为．故选：B． 【变式1】（2023·江苏淮安·模拟预测）如图，含角的的斜边在y轴上， ，顶点O与原点重合，则点B的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：在中，，∴， ∵，∴，∵点B在y轴上，∴B点坐标为，故答案为：． 【变式2】（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，分别过点作轴的垂线，交轴于点， 所以，所以． 因为为等腰直角三角形，所以， 所以，所以． 在和中，，所以，所以． 因为点的坐标为，所以． 因为点在第一象限，所以点的坐标为．故选：A 【变式3】（25-26八年级上·江苏·单元测试）如图，点A的坐标为，点C的坐标为，以点A为圆心、长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，∴， ∵以点A为圆心、长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，∴， 在中，，∴点B的坐标为，故选：D 【变式4】（24-25七年级下·河北廊坊·期末）在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段的中点坐标为．例如：点，则线段的中点坐标为． 请利用以上结论解决问题：(1)若点，，则以点和点为端点的线段的中点坐标为_____． (2)已知点，若为线段的中点，求点的坐标． (3)已知点和点的坐标分别为，线段与轴平行，且．若线段的中点与线段的中点在第一象限重合，直接写出点的坐标． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵，， ∴以点和点为端点的线段的中点坐标为，即，故答案为：； （2）解：设点的坐标为，由题意得，解得，点的坐标为； （3）解：点，线段与轴平行，且的中点在第一象限， ∴点在第一象限，且纵坐标为，∵，点的坐标为， 线段的中点坐标为，线段的中点坐标为， 点的坐标为，∴点的坐标为． 题型11 图形变换与几何性质结合 【典例1】（2025·重庆綦江·一模）如图，在平面直角坐标系中，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵，∴，且， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，∴， ∴，∴，且， ∴，∴，∴， ∴，故答案为： ． 【变式1】（2024·湖南·一模）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，点位于第一象限，则点关于原点的对称点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点B作于点C， ∵，∴，∵是等腰直角三角形，，， ∴，∴，∴点B关于原点的对称点的坐标是．故答案是：． 【变式2】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，把一个矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴、y轴上，连接，将纸片沿折叠，使点A落在的位置上．若，，求点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴． ∵，∴，∴（舍负），， 设与交于点F，作于点E ∵纸片沿折叠∴ ∵∴∴， 设∴∴，解得∴， ∵∴∴点的坐标为．故选：A． 【变式3】（2025·湖北·模拟预测）如图，在轴上有，两点，点为轴右侧一动点，且．将线段绕点顺时针旋转到，连接，则线段的最大值为 ． 【答案】5 【详解】解：以为一边在的上方作等边，连接，如图所示： 点，点，，，，， 是等边三角形，，， 由旋转的性质得：，，是等边三角形， ，，， ，， 在和中，，，， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点，，共线时，为最大，最大值是．故答案为：． 【变式4】（24-25七年级下·四川南充·期中）在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度： 【问题情境】在平面直角坐标系中不重合的两点和点， 若，则轴，且线段的长度为； 若，则轴，且线段的长度为； 【实践操作】（1）根据上面的结论，填空．①已知：点、点，则的长度为 ；②若点、，且轴，的长度为 ． 【拓展应用】（2）如图，在平面直角坐标系中，平移线段至线段（点、点的对应点分别是点、点），连接、．若，，，， ①直接写出、的值；②是否存在点，使三角形的面积等于三角形面积的倍．若存在，请求出点坐标；若不存在请说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）①，；②存在，点的坐标为或 【详解】解：（1）①∵点、点， ∴轴，∴，即的长度为，故答案为：； ②∵点、，且轴，∴，∴，∴， 即的长度为，故答案为：； （2）①∵平移线段至线段（点、点的对应点分别是点、点），，，，，又∵点的横坐标加得到点的横坐标，点的纵坐标减得到点的纵坐标， ∴线段向右平移个单位再向下平移个单位得到线段（点、点的对应点分别是点、点）， ∴，； ②∵，，，点，∴轴， ∴三角形的面积为：，三角形的面积为：， ∵三角形的面积等于三角形面积的倍，∴，解得：或， ∴点的坐标为或时，三角形的面积等于三角形面积的倍． 题型12 点的坐标、图形变换与变化规律 【典例1】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图，一个点在第一象限及x轴，y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点，然后按照图中箭头所示方向移动，即→→→→→…，且每秒移动一个单位，那么第20秒时，点所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点从原点开始，先向右移动1秒到， 然后向上移动1秒到，接着向左移动1秒到，再向上移动1秒到， ∴可知到达点用了（秒）；然后向右移动2秒到，向下移动2秒到， 向右移动1秒到，∴可知到达点用了（秒）； ∴当点离开x轴时的横坐标为时间的平方，当点离开y轴时的纵坐标为时间的平方， 此时时间为奇数的点在x轴上，时间为偶数的点在y轴上 ∵，第16秒时，点的坐标为， 故在第20秒时，动点向右平移4秒，点所在位置的坐标是．故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，，依此类推，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，作出如下图形： ∴点坐标为，点关于点对称的点的坐标为， 点关于点对称的点的坐标为，点关于点对称的点的坐标为， 点关于点对称的点的坐标为，点关于点对称的点的坐标为， 点关于点对称的点的坐标为，此时刚好回到最开始的点处， ∴其每个点循环一次，∴，即循环了次后余下， ∴的坐标与点的坐标相同，其坐标为 ，故选：． 【变式2】（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，等边的顶点，规定把等边“先沿轴翻折，再沿轴翻折”为一次变换，连续经过2025次这样的变换后，的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作于，如图所示： 等边的顶点，，由勾股定理可得， 则点到轴的距离为，， 根据题意得，奇数次变换后三角形在第三象限，偶数次变换后三角形在第一象限， 第2025次变换后的三角形在第三象限，则此时点的纵坐标为，横坐标为， 即第2025次变换后点的坐标是，故选：B． 【变式3】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图象可以发现，各个点的坐标在四条射线上， ∵，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形， ∴，，…， ∵，∴点在x轴正半轴，纵坐标是0，横坐标是， ∴的坐标为．故选：B． 【变式4】（24-25八年级下·广东河源·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在其右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵点的坐标是，∴， ∵是等边三角形，∴，∴， ∵过点作轴的垂线，垂足为点，∴，∴， ∵是等边三角形，∴， ∵过点作轴的垂线，垂足为点，∴， ∴，同理得到：，按此规律得到： ∴点的纵坐标为 ．故答案为：． 题型13 点的坐标、图形变换与新定义问题 【典例1】（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以4所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移；余数为3时，向下平移），每次平移1个单位长度．“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：．若“和点”按上述规则连续平移10次后，到达点，则点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：若“和点”R按上述规则连续平移10次后，到达点，则按照“和点”反向运动10次即可， 是R连续平移10次后余1，从第一次平移开始，余2，余1，……循环， 共余2有5次，余1有5次，共计向上平移了5次，向左平移了5次， 即；故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点 叫作点的青蓝点，已知的青蓝点为，点的青蓝点为，点的青蓝点为，⋯，这样依次得到点，，，，…，， 若点的坐标是， 则点P2025的坐标是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵把点 叫作点的青蓝点，已知的青蓝点为，点的青蓝点为，点的青蓝点为，⋯，∴，即；∴，即； 同理可得，，…；∴点的坐标每4个一个循环， ∵，∴的坐标与的坐标相同，即．故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·江苏·单元测试）对点的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：，且规定（为大于1的整数）．如，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，得，，，，，，… 当为偶数时，；当为奇数时，， 则．故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，有一点M的坐标为，若点N的坐标为，其中a为常数，则称点N是点M的“a级倍减点”． (1)已知点的“2级倍减点”是点，则点的坐标为______； (2)已知点的“-3级倍减点”位于轴上，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若第二象限存在点，使轴，且，求点的坐标． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵， ∴“2级倍减点”点横坐标为：，纵坐标为：， ∴坐标为.故答案为：. （2）解：∵点的“-3级倍减点”为， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， 又∵位于轴上，∴，解得 ∴，∴.故答案为：. （3）解：由（2）得∴，∵轴，且，∴K点纵坐标与P点纵坐标相同， ∴设，∴，即或解得或 ∵点在第二象限，∴，∴舍去，∴． 【变式4】（24-25七年级下·广东韶关·阶段练习）综合与实践． 【材料一】如图，象棋棋子“马”每步走“日”字形，“马”所在位置可以直接走到点A，B处． 【材料二】若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位长度），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位长度），则把有序数对叫作这一平移的平移量．平移量与平移量的加法运算法则为． 【解决问题】如图，设“帅”位于点，“相”位于点． (1)图中“马”所在的点的坐标为_________； (2)在整个平面直角坐标系中，不是棋子“马”的一步平移量的是___________（填选项）； A．    B．　C．　    D． (3)“马”的初始位置如图，现在命令“马”每一步只能向右和向上前进，在整个坐标系中， ①“马”___________走到点C（填“能”或“不能”）； ②“马”能否走到点？若能，则需要走几步；若不能，请说明理由． 【答案】(1)(2)C(3)①能，②能，需要走1352步． 【详解】（1）解：由“帅”位于点，“相”位于点，∴“马”坐标为；故答案为：． （2）解：由于马走“日”，因此马的平移量为左或右平移1，则相应的上或下平移2；平移量向左或右平移2，则相应的上或下平移1，∴A、B、D是“马”的一步“平移量”，C不是“马”的一步“平移量”，故选：C． （3）解：①马可以先走到，再走到；也可以先走到，再走到；故答案为：能； ②由题意可知“马”的走法只有两种平移量或， 设马沿着平移量移动次，沿着平移量移动次，则马沿着平移量移动， 如图马的初始位置是，走到点时，向右移动2029，马向上移动2027， ，，，， ∴马沿着平移量移动677次，沿着平移量移动675次，走到点 马能走到；马由点，沿着平移量移动677次，沿着平移量移动675次． ∴共移动（步）. 题型14 坐标、图形变换与几何综合压轴题 【典例1】（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在y轴上．          (1)如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标．(2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标；(3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作轴于F，在滑动的过程中，试猜想的值． 【答案】(1)，，(2)(3)1 【详解】（1）解：，，， ，，，，，， ，， ∴，，， 在和中，， ，，，点的坐标为， （2）解：过点作轴于， ，，， 在和中，，∴，， 点的坐标为，点的坐标为，∴，， ，点的坐标为， （3）解：；如图③中，作于E， ∵，∴∴（平行线之间距离处处相等） ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴． 【变式1】（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，的顶点、、，E是线段上一点，且． (1)求点E的坐标；(2)延长交于 D．①如图2，判断和的位置关系并说明理由； ②连接，如图3 ， 求证：． 【答案】(1)(2)①，理由见解析；②证明见解析 【详解】（1）解：∵、，∴， ，，，，； （2），理由如下：由（）可知，， ，∴，，； 证明：如图，过点分别作，的垂线，垂足分别为，， ，，即， ，，又，，点在的平分线上， 即平分，∴． 【变式2】（25-26七年级上·江苏·课后作业）在平面直角坐标系中，如图①，将线段平移至线段，连结． (1)直接写出图中相等的线段、平行的线段；(2)已知，点在轴的正半轴上．点在第一象限内，且，求点的坐标；(3)如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点，两个动点，请你探索是否存在以两个动点为端点的线段平行于线段且等于线段．若存在，求由点为顶点的四边形的面积，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在，面积为1或3 【详解】（1）解：∵将线段平移至线段，∴； （2）解：连结， ∵，∴向右平移1个单位长度再向下平移2个单位长度得到， ∵将线段平移至线段，∴， ∴向右平移1和单位长度再向下平移2个单位长度得到， 设，∴向右平移1和单位长度再向下平移2个单位长度得到， ∴， 解得；∴，； （3）解：存在，∵以两个动点为端点的线段平行于线段且等于线段．∴， ∵，∴在轴上，轴， ∵∴，∴，或． ∴或，如图， 当时，轴，； 当时，轴，；或． 【变式3】（24-25八年级下·广东惠州·开学考试）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线于于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线于于，求的长； (3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，在平面直角坐标系中是否存在一点B，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出B点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)(3)存在，点B的坐标为或或 【详解】（1）证明：∵，，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴； （2）证明：∵于D，于E，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，， ∵，∴，∴； （3）解：在平面平面直角坐标系中存在点B，使得为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况：①当时，，如图3，过点A作轴，过点C作于E，过点B作于F， 同（1）得：，∴，， ∵，，∴，，∴； ②当时，，如图4，过点C作轴，过点A作于E，过点B作于F，同（1）得：，∴，， ∵，，∴，，∴； ③当时，，如图5，过点B作轴，交x轴于F，过点C作于E， 同（1）得：，∴，，设，则， ∵，，∴，，∴，解得：，∴； 综上，使为等腰直角三角形，点B的坐标为或或． 【变式4】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）我们规定：在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点与点互为“等和点”． 例如：点与点互为“等和点”． (1)已知点，下列各点，，，其中与点互为“等和点”的是______． (2)点与点互为“等和点”，连接，直线交轴于点． 若，求点的坐标；判断点与点是否互为“等和点”，并说明理由． (3)在（2）的条件下，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向下运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向左运动，连接，，直线，相交于点若三角形的面积为，直接写出点的坐标． 【答案】(1)(2)点点与点互为“等和点”，理由见解析(3)点或点 【详解】（1）解：，，，， 与点互为“等和点”的是，故答案为：； （2）解：点与点互为“等和点”，， ，，解得：，点； 点与点互为“等和点”．，． ，．在第二象限．连接，作轴，轴， 则，，，． 三角形的面积三角形的面积三角形的面积， ．，．． ，点与点互为“等和点”； （3）解：如图，和的面积为，作轴于点，轴于点， 由题意得：点的坐标为， ，，解得：，点的坐标为， ，，的中点坐标为：，由题意得：点和点关于点对称， 点的横坐标为：，点的纵坐标为：， 综上：点或点。 1．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，“★”的位置用数对表示，则数对表示的是（   ） A．▲ B．◆ C．● D．■ 【答案】A 【详解】解：由分析可知“★”的位置用数对表示，那么数对表示是“▲”的位置，故选：A． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】解：把各点的横、纵坐标都乘后，即各点关于原点对称， 得到的图形是关于原点对称的图形，故选：C． 3．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）已知平面直角坐标系中点A的坐标为，则下列结论正确的是（   ） A．点A到x轴的距离为5 B．点A到y轴的距离为6 C．点A在第一象限 D．点A在第二象限 【答案】D 【详解】解：A．点A到x轴的距离为纵坐标的绝对值，即，而非5，故A错误； B．点A到y轴的距离为横坐标的绝对值，即，而非6，故B错误； C．第一象限的坐标特征为且，而点A的坐标为，x为负，故C错误； D．第二象限的坐标特征为且，点A的坐标满足此条件，故D正确；故选：D． 4．（2025·贵州遵义·模拟预测）在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，a的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】解：∵线段平移到线段， ∴线段向左平移1个单位，再向上平移5个单位得到线段，∴．故选：C 5．（25-26八年级上·江苏·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点A与点B关于y轴对称，将点A向右平移4个单位长度后，点A的坐标为，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点向右平移4个单位长度的坐标为，∴点，即. ∵点A与点B关于y轴对称，∴点.故选：B. 6．（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）过和两点的直线一定（　　） A．垂直于x轴 B．平行于x轴 C．经过原点 D．以上都不对 【答案】B 【详解】两点的纵坐标相等，横坐标不相等，所以过两点的直线一定平行于轴．故选：B． 7．（24-25九年级下·湖北随州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，若，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点，的坐标分别是，，，， ∵，，，， ，点的坐标是．故选：B． 8．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，从处弹出一个光点，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边界时反弹，反弹时反射角等于入射角（遵循光的反射原理）．当光点第2025次碰到长方形的边界时，光点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，根据题意作出图形得： ，，，，，，，，， 点的坐标六次一循环，经过六次反弹后动点回到出发点． 当点第次碰到长方形的边时为经过个循环组后的第三次反弹， 点的坐标为．故选：A． 9．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为和，是轴上的一个动点，且三点不在同一条直线上．当的周长最小时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：作点关于轴对称点点，连接，交轴于点，此时的周长最小， 点、的坐标分别为和，点坐标为：，，则，即， ，，点的坐标是，此时的周长最小．故选：A． 10．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）已知点关于原点对称的点是，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵点关于原点对称的点是， ∴，∴．故答案为：． 11.（24-25七年级下·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，，Q两点分别在y轴两侧，且轴，若，则点Q的坐标为 【答案】 【详解】解：∵，Q两点分别在y轴两侧，且轴，， ∴点Q的纵坐标为2，横坐标为，∴点Q的坐标为．故答案为：． 12．（24-25七年级下·江苏·期末）以水平数轴的原点为圆心，过正半轴上的每一个刻度点画同心圆，将逆时针依次旋转得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点的坐标分别表示为，则点的坐标表示为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，点在第圈、在的射线上，则点的坐标表示为，故答案为：． 13．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，过点向第一象限作且，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：过点作轴于点，如图所示：， 点的坐标是，点的坐标是，，， 在中，，，且， ，， 在和中，， ，，， 点的坐标是．故答案为：． 14．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，继续以点为圆心，按上述作法得到曲线该曲线称为正方形的“渐开线”，那么点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：观察题图可得（将记作），，，，，，，， ∴，，，（为自然数）． ∵，∴的坐标为．故答案为． 15．（2025九年级·湖南·学业考试）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点P的如意点．已知点 的如意点为点 点 的如意点为点 这样依次得到点 若点 的坐标为，则根据如意点的定义，点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵对于点，把点叫做点P的如意点，， ∴，，，，，，， 发现每4个点为一个循环组依次循环． ∵∴点的坐标与的坐标相同为．故答案为． 16．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知平面直角坐标系中一点； (1)当点在轴上时，写出点的坐标________；(2)当平行于轴，且，写出点的坐标________；(3)当点到两坐标轴的距离相等时，求出的值．（写全过程） 【答案】(1)(2)(3)或1 【详解】（1）解：∵点在轴上，∴，∴， ∴，∴，故答案为：． （2）解：∵当平行于轴，且，， ∴，∴，∴，∴，故答案为：． （3）解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴，∴或， 解得或，综上，的值为或1． 17．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线经过点且与轴平行． (1)请在坐标系中画出关于轴对称的图形，并写出，，点的坐标． (2)请在坐标系中画出关于直线对称的图形，并写出点，，的坐标． (3)若点是上一点，则点关于直线对称的坐标是__________． 【答案】(1)见解析，，，． (2)见解析，，，．(3) 【详解】（1）如图，即为所求．，，． （2）如图，即为所求．，，． （3）点关于直线l对称点的纵坐标为b，横坐标为， ∴点P关于直线l对称的坐标是．故答案为：． 18．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，将平移后得到，其中点，，的对应点分别为点，，，它们的坐标如下表所示： (1)__________；__________；点的坐标是__________； (2)在图中画出，并直接写出线段在平移过程中扫过的图形面积； (3)若点为线段上一点，则，满足的关系式是__________． 【答案】(1)1，7，(2)图见解析，10(3) 【详解】（1）解：∵，，，，且， ∴先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到， ∴，故；故答案为：1，7， （2）由（1）可知：，，，画图如下： 线段在平移过程中扫过的图形面积为； （3）作轴，轴，，则：， 由（1）可知：，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴故答案为：． 19．（24-25七年级下·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．已知：如图，，． (1)若点的坐标为，则三点的“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”___________； (2)若点在轴上，且三点的“矩面积”为10，直接写出点的坐标___________； (3)点，①若三点的“矩面积”为8，求出满足题意的的取值范围； ②若，直接写出三点的“矩面积”的取值范围． 【答案】(1)18(2)或(3)①② 【详解】（1）解：，故答案为：； （2）由题意：，当时，，如图，则，； 当时，，如图，则，； 当时，，如图，此时，不合题意；故答案为：或； （3）①    当时，，如图，此时三点的“矩面积”为8， 由，得，检验：当取其他值时，皆不满足三点的“矩面积”为8，故； ②若，则x坐标最小值为0，最大值为m，如图，； ∵m > 2，得2m > 4，y坐标最大值2m、最小值−1， ，∴， 当m从2往大处变化时，从大于10开始增大，故S的取值范围为． 20．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为． 【实践操作】（1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ． ②若点轴，，则点的坐标为 ． 【初步运用】（2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ． 【问题解决】（3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点（不与端点重合），点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值． 【答案】（1）①4；②或(；（2）；（3） 【详解】解：①∵点，点的横坐标为2，轴，∴的长为，故答案为：4； ②∵轴，点，∴设， ∵，∴，∴或，∴点的坐标为或，故答案为：或； （2）∵正方形的边长为4，∴， ∵的坐标是轴，∴，， ∴，∴，∴顶点A的坐标为；∵正方形，∴， ∵轴，∴顶点B的坐标为，即；故答案为：，； （3）∵点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段， ∴，由题意得， ∵轴，∴点的纵坐标相等，∴，∴． 21．（23-24八年级上·四川泸州·期中）【建立模型】如图①，等腰直角三角形的直角顶点B在线段上，过点A作于点E，过点C作于点F，可以得到结论：． 【运用模型】请利用这一结论解决下列问题： (1)如图①，请证明；(2)如图②，在平面直角坐标系中，，过点A作，使，请直接写出点B的坐标．(3)如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 【答案】(1)见解析；(2)点B的坐标为； (3)第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，且，∴， 又∵，∴，∴， 在和中，，∴． （2）解：如图②，过点B作轴于点E，过点C作轴于点F， 同（1）得：，∴， ∵，∴， ∴，∴点B的坐标为． （3）解：第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分以下三种情况：①如图③，当时，，分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F，同（1）得：，∴， ∵，∴， ∴点P的横坐标为：，纵坐标为：，∴； ②如图④，当时，，分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F，同（1）得：，∴， ∵，∴， ∴点P的横坐标为：，纵坐标为：，∴； ③如图⑤，当∠时，，分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F，同（1）得：，∴， 设，∵，∴， ∴，解得：，∴． 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 平面直角坐标系 单元复习 教学目标 ①掌握平面直角坐标系的概念，能识别其组成部分（x轴、y轴、原点、象限），并理解点与有序实数对的一一对应关系； ②能绘制坐标系，根据坐标描点或由点写坐标，初步体会数形结合思想； ③通过实际应用（如地图定位、座位编号）激发兴趣，感受数学与生活的联系。‌ 教学重难点 1.重点 （1）平面直角坐标系的构成与绘制； （2）点与坐标的相互转化（如描点、写坐标）。 2.难点 （1）理解坐标平面内点与有序实数对的一一对应关系； （2）坐标轴上点的坐标特征（如x轴上点的纵坐标为0）。 ‌ 知识点01 点的位置与坐标系 1. 平面直角坐标系概念：平面内两条互相 的数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。 2. x轴：平面直角坐标系中， 的数轴称为x轴或横轴， 为正方向。 3. y轴：平面直角坐标系中， 方向的数轴称为y轴或纵轴。 为正方向。 4. 原点：在平面直角坐标系中，x轴与y轴的交点是 ， 是两条坐标轴的唯一的公共点。 5. 坐标：在平面直角坐标系中，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足在x轴、y轴上表示的数分别为a、b，则有序实数对（a，b）称为点P的 。其中a称为点的 ，b成为点的 。 注意：建立平面直角坐标系后，平面内的点与 是一一对应的。 7. 象限：在平面直角坐标系中，两条坐标轴将平面分成四个区域称为 ，按 顺序分别记为第一、二、三、四象限。坐标轴不属于任何象限。 8.点的坐标的特征 点的位置 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 坐标特征 （+，+） （-，+） （-，-） （+，-） 点的位置 x轴 y轴 第一、三象限角平分线 第二、四象限角平分线 坐标特征 （a，0） （0，b） （m，m） （m，-m） 【即学即练】 1.（24-25·河北·八年级期末）下列条件不能确定点的位置的是（       ） A．第二阶梯教室6排3座 B．小岛北偏东30°，距离1600m C．距离北京市180千米 D．位于东经114.8°，北纬40.8° 2．（24-25·河南 八年级期末）下列说法正确的是（　　） A．已知点M（2，﹣5），则点M到x轴的距离是2 B．若点A（a﹣1，0）在x轴上，则a＝0 C．点A在第四象限内 D．点C（﹣3，2）在第一象限内 3．（2022·河北八年级阶段练习）已知点，分别根据下列条件求出点M的坐标． （1）点M在x轴上；______（2）点M在第二象限，且a为整数；______ 4．（24-25七年级下·河北沧州·期中）在平面直角坐标系内，已知轴． （1）若点坐标为，点坐标为，则的值为 ． （2）若点坐标为，且，则点的坐标为 ． （3）若点、、的坐标分别为、、，且轴，则 ． 5.（24-25·广东·校考一模）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由的度数与的长度m确定，有序数对称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边在射线上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（       ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，为等腰三角形，AB=AC，轴，若，，则的面积为（   ） A．8 B．9 C．12 D．24 知识点02 图形变换与坐标变化 1.平移与坐标变化 1）（a，b）向上平移n个单位后的坐标为 ； 2）（a，b）向下平移n个单位后的坐标为 ； 3）（a，b）向左平移m个单位后的坐标为 ； 4）（a，b）向右平移m个单位后的坐标为 ； 记忆口诀：左加右减，上加下减！ 2.轴对称与坐标变化 1）（a，b）关于x轴对称的点的坐标为 ； 2）（a，b）关于y轴对称的点的坐标为 ； 3）（a，b）关于原点对称的点的坐标 ； 记忆口诀：关于谁，谁不变，另一个，变相反数，关于原点，都相反。最重要的是数形结合，理解记忆！ 【即学即练】 1．（25-26八年级上·江苏·课后作业）如图所示，三架飞机P，M，N保持编队飞行，某时刻在直角坐标系中的坐标分别为，30秒后，飞机P飞到的位置，则飞机M，N飞到的位置为 ，为 ． 2．（24-25八年级上·江苏·阶段练习）已知与点关于x轴对称，则 ． 3.（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，，点C的坐标为，点D的坐标为，则的最小值为 ． 4．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，．(1)画出关于轴的对称图形；(2)画出沿轴向下平移4个单位长度后得到的；(3)求出的面积；(4)若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是_______．    5．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线经过点且与轴平行．(1)请在坐标系中画出关于轴对称的图形．(2)请在坐标系中画出关于直线对称的图形．(3)若点是内一点，则点关于直线对称的坐标是 ． 题型01 描述物体的位置 【典例1】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）根据下列描述，能确定具体位置的是（   ） A．北纬，东经 B．石家庄裕华区 C．狮城公园北偏东方向 D．七年级（1）班第5排 【变式1】（24-25八年级上·江苏·校考期中）如图，一艘船在雾中航行，某时刻雷达屏幕上出现了A，B，C三个目标．图中中央位置为这艘船的位置，目标相对于船的位置表示方法为．其中，表示目标与船的距离，表示以正东方向开始逆时针旋转的角度．例如，目标A，B相对于船的位置分别表示为，．用这种方法表示目标C相对于船的位置，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，学校相对于淇淇家的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距淇淇家1200米处 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 【变式3】（2025八年级上·江苏·专题练习）中药斗是存放中医药材的橱柜，由于药橱上下左右有七排斗，故又称七星斗橱．如图，是中药斗部分中药位置的示意图，若“莲子”的位置可用第7行第6列描述，记作，“菖蒲”的位置记作，则“杏仁”的位置可记作（   ） 菖蒲 桂枝 官桂 桃仁 杏仁 红花 山豆 丹参 莲子 A． B． C． D． 【变式4】（2025八年级上·江苏·专题练习）如图所示的是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步、宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为，那么有序数对记为对应的田地面积为（   ） A．一亩八十步 B．一亩二十步 C．半亩七十八步 D．半亩八十四步 题型02 点所在的象限 【典例1】（25-26八年级上·江苏·课后作业）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知平面直角坐标系中点的坐标为，则点在第 象限． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点不经过第几象限（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）如果点在第三象限，则点在第 象限． 【变式4】（24-25八年级上·江苏·阶段练习）若点在轴上，则点在第 象限． 题型03 点到坐标轴的距离 【典例1】（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）若点到轴的距离为2，到轴的距离为3，且，则点P的坐标为 ． 【变式1】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）点到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则这样的点M有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）点在第三象限，且到轴的距离为3，到轴的距离为2，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）点P在第二象限，且到x轴、y轴的距离分别是3和5，则点P关于x轴的对称点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）已知平面直角坐标系中有一点． （1）若P点在x轴上，则m的值为 ；（2）当点P到y轴的距离为3时，点P的坐标为 题型04 已知点在坐标轴上或象限求参数 【典例1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为 ． 【变式1】（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）已知点在轴的负半轴上，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（2025·四川广元·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在第二象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）已知点关于轴对称的点在第二象限，则的取值范围是 ． 【变式4】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知点在第一、三象限的角平分线上，则m的值是（    ） A． B．4 C． D．或 题型05 建立坐标系确定物体的位置 【典例1】（24-25九年级下·山西·专题练习）第届亚运会于年9月日至月8日在杭州举行．如图1是杭州亚运会足球场馆图，图2是足球场馆座位示意图，将其放入正方形网格中（每个小正方形的边长都是1）．小李、小亮、小东的座位如图所示．若小亮的座位表示为，小李的座位表示为，则小东的座位可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期末）“庆州古城·马嵬驿”项目位于庆城县柔远河东侧，北接周祖陵，南邻药王洞村，由陕西马嵬驿集团公司投资建设．依托庆城独特的地形环境，建设一个集文化展示、文化交流、原生态餐饮、特色住宿、民俗文化体验、中医药养生、休闲娱乐、环境保护于一体的西部文化名城（图1）．若利用网格（图2）建立适当的平面直角坐标系，表示民俗文化村的点的坐标为，表示儿童游乐园的点的坐标为，则万佛崖所在的位置的坐标应是 ． 【变式2】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）为培养青少年阅读经典和传承中华文化，某校创建了“典籍传习”社团，小红将“典”“籍”“传”“习”四个字写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使得“籍”“习”的坐标分别为，则“传”字的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端两点的坐标分别为，则叶柄底部点的坐标为 ． 【变式4】（24-25七年级下·河北·期末）如图，这是南宁园博园的部分示意图，建立平面直角坐标系，使“中国一东盟友谊馆”位于点，“园博商街“位于点，则“颐心园”位于点的坐标为 ． 题型06 已知平移方式求坐标 【典例1】（24-25八年级下·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）将点向右平移2个单位后，得到的对应点的坐标是 ． 【变式2】（24-25七年级下·广西玉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·广东佛山·期中）把平面直角坐标系上一点向上平移个单位，这时它恰好在轴的正半轴上，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·广东中山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将点A先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点B．则点B的坐标为 ． 题型07 由平移前后点的坐标确定平移方式 【典例1】（24-25七年级下·湖北黄石·期末）如图，已知点，点，连接，将线段平移至线段，点A的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ． 【变式1】（24-25七年级上·江苏·单元测试）已知，经过平移，由点B到点A，平移方法是 ． 【变式2】（2025八年级上·江苏·专题练习）的三个顶点坐标分别为，，，将平移到，其中，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，将线段平移至，若点，的坐标分别为，则 ． 【变式4】（24-25八年级上·浙江台州·培优）在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移后，其中一个点的坐标变为，则另一个的坐标变为（ ） A． B．或 C．或 D． 题型08 关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标 【典例1】（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）已知点，． (1)、为何值时，点、关于轴对称？ (2)、为何值时，点、关于轴对称？ (3)、为何值时，点、关于原点对称？ 【变式1】（25-26九年级上·湖南衡阳·开学考试）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（24-25八年级下·四川眉山·期中）已知点A，如果点A关于轴的对称点是B，点B关于原点的对称点是C，那么C点的坐标是 ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏·单元测试）“小马虎”在做作业时，将点A横纵坐标的顺序颠倒了，误写为，“小糊涂”也不细心，将点B的坐标写成其关于y轴对称的点的坐标，误写为，则A，B两点原来的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．重合 【变式4】（24-25八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 ． 题型09 坐标系中的平移、轴对称与旋转相关作图 【典例1】（24-25八年级上·广西百色·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于轴对称的；(2)将向左平移4个单位长度，作出平移后的； (3)观察和，它们是否关于某直线对称？若是，请用粗线条画出对称轴． 【变式1】（24-25八年级上·广东中山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)在图中作出关于x轴的对称图形；(2)直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_______； (3)在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【变式2】（25-26八年级上·江苏·期中）如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为，，，过点作x轴的垂线l．(1)作出关于x轴对称的，并写出各顶点的坐标；(2)作出关于直线l对称的，并写出各顶点的坐标． 【变式3】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，和关于某一点中心对称，其中点，，，．(1)对称中心的坐标为 ；(2)将绕点O顺时针旋转得到，在平面直角坐标系中画出． 【变式4】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点都在方格纸的格点上，坐标分别为：点，，． (1)将绕点顺时针旋转后得到，请画出； (2)将向右移动3个单位后得到，请画出； (3)与是否中心对称，若是中心对称，直接写出对称中心的坐标；若不是中心对称，说明理由． 题型10 有关点的坐标与性质的计算（含中点坐标） 【典例1】（24-25八年级上·吉林·期末）等腰在平面直角坐标系中，底边的两端点坐标是，，则其顶点的坐标能确定的是（   ） A．横坐标 B．纵坐标 C．横坐标及纵坐标 D．横坐标或纵坐标 【变式1】（2023·江苏淮安·模拟预测）如图，含角的的斜边在y轴上， ，顶点O与原点重合，则点B的坐标是 ． 【变式2】（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·江苏·单元测试）如图，点A的坐标为，点C的坐标为，以点A为圆心、长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25七年级下·河北廊坊·期末）在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段的中点坐标为．例如：点，则线段的中点坐标为． 请利用以上结论解决问题：(1)若点，，则以点和点为端点的线段的中点坐标为_____． (2)已知点，若为线段的中点，求点的坐标． (3)已知点和点的坐标分别为，线段与轴平行，且．若线段的中点与线段的中点在第一象限重合，直接写出点的坐标． 题型11 图形变换与几何性质结合 【典例1】（2025·重庆綦江·一模）如图，在平面直角坐标系中，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为 ． 【变式1】（2024·湖南·一模）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，点位于第一象限，则点关于原点的对称点的坐标是 ． 【变式2】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，把一个矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴、y轴上，连接，将纸片沿折叠，使点A落在的位置上．若，，求点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖北·模拟预测）如图，在轴上有，两点，点为轴右侧一动点，且．将线段绕点顺时针旋转到，连接，则线段的最大值为 ． 【变式4】（24-25七年级下·四川南充·期中）在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度： 【问题情境】在平面直角坐标系中不重合的两点和点， 若，则轴，且线段的长度为； 若，则轴，且线段的长度为； 【实践操作】（1）根据上面的结论，填空．①已知：点、点，则的长度为 ；②若点、，且轴，的长度为 ． 【拓展应用】（2）如图，在平面直角坐标系中，平移线段至线段（点、点的对应点分别是点、点），连接、．若，，，， ①直接写出、的值；②是否存在点，使三角形的面积等于三角形面积的倍．若存在，请求出点坐标；若不存在请说明理由． 题型12 点的坐标、图形变换与变化规律 【典例1】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图，一个点在第一象限及x轴，y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点，然后按照图中箭头所示方向移动，即→→→→→…，且每秒移动一个单位，那么第20秒时，点所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，，依此类推，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，等边的顶点，规定把等边“先沿轴翻折，再沿轴翻折”为一次变换，连续经过2025次这样的变换后，的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式4】（24-25八年级下·广东河源·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在其右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ． 题型13 点的坐标、图形变换与新定义问题 【典例1】（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以4所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移；余数为3时，向下平移），每次平移1个单位长度．“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：．若“和点”按上述规则连续平移10次后，到达点，则点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点 叫作点的青蓝点，已知的青蓝点为，点的青蓝点为，点的青蓝点为，⋯，这样依次得到点，，，，…，， 若点的坐标是， 则点P2025的坐标是 （   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏·单元测试）对点的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：，且规定（为大于1的整数）．如，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，有一点M的坐标为，若点N的坐标为，其中a为常数，则称点N是点M的“a级倍减点”． (1)已知点的“2级倍减点”是点，则点的坐标为______； (2)已知点的“-3级倍减点”位于轴上，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若第二象限存在点，使轴，且，求点的坐标． 【变式4】（24-25七年级下·广东韶关·阶段练习）综合与实践． 【材料一】如图，象棋棋子“马”每步走“日”字形，“马”所在位置可以直接走到点A，B处． 【材料二】若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位长度），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位长度），则把有序数对叫作这一平移的平移量．平移量与平移量的加法运算法则为． 【解决问题】如图，设“帅”位于点，“相”位于点． (1)图中“马”所在的点的坐标为_________； (2)在整个平面直角坐标系中，不是棋子“马”的一步平移量的是___________（填选项）； A．    B．　C．　    D． (3)“马”的初始位置如图，现在命令“马”每一步只能向右和向上前进，在整个坐标系中， ①“马”___________走到点C（填“能”或“不能”）； ②“马”能否走到点？若能，则需要走几步；若不能，请说明理由． 题型14 坐标、图形变换与几何综合压轴题 【典例1】（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在y轴上．          (1)如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标．(2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标；(3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作轴于F，在滑动的过程中，试猜想的值． 【变式1】（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，的顶点、、，E是线段上一点，且． (1)求点E的坐标；(2)延长交于 D．①如图2，判断和的位置关系并说明理由； ②连接，如图3 ， 求证：． 【变式2】（25-26七年级上·江苏·专项）在平面直角坐标系中，如图①，将线段平移至线段，连结．(1)直接写出图中相等的线段、平行的线段；(2)已知，点在轴的正半轴上．点在第一象限内，且，求点的坐标；(3)如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点，两个动点，请你探索是否存在以两个动点为端点的线段平行于线段且等于线段．若存在，求由点为顶点的四边形的面积，若不存在，请说明理由． 【变式3】（24-25八年级下·广东惠州·开学考试）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线于于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线于于，求的长； (3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，在平面直角坐标系中是否存在一点B，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出B点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）我们规定：在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点与点互为“等和点”． 例如：点与点互为“等和点”． (1)已知点，下列各点，，，其中与点互为“等和点”的是______． (2)点与点互为“等和点”，连接，直线交轴于点． 若，求点的坐标；判断点与点是否互为“等和点”，并说明理由． (3)在（2）的条件下，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向下运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向左运动，连接，，直线，相交于点若三角形的面积为，直接写出点的坐标． 1．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，“★”的位置用数对表示，则数对表示的是（   ） A．▲ B．◆ C．● D．■ 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A．B．C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）已知平面直角坐标系中点A的坐标为，则下列结论正确的是（   ） A．点A到x轴的距离为5 B．点A到y轴的距离为6 C．点A在第一象限 D．点A在第二象限 4．（2025·贵州遵义·模拟预测）在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，a的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 5．（25-26八年级上·江苏·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点A与点B关于y轴对称，将点A向右平移4个单位长度后，点A的坐标为，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）过和两点的直线一定（　　） A．垂直于x轴 B．平行于x轴 C．经过原点 D．以上都不对 7．（24-25九年级下·湖北随州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，若，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，从处弹出一个光点，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边界时反弹，反弹时反射角等于入射角（遵循光的反射原理）．当光点第2025次碰到长方形的边界时，光点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为和，是轴上的一个动点，且三点不在同一条直线上．当的周长最小时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）已知点关于原点对称的点是，则的值是 ． 11.（24-25七年级下·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，，Q两点分别在y轴两侧，且轴，若，则点Q的坐标为 12．（24-25七年级下·江苏·期末）以水平数轴的原点为圆心，过正半轴上的每一个刻度点画同心圆，将逆时针依次旋转得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点的坐标分别表示为，则点的坐标表示为 ． 13．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，过点向第一象限作且，则点的坐标是 ． 14．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，继续以点为圆心，按上述作法得到曲线该曲线称为正方形的“渐开线”，那么点的坐标是 ． 15．（2025九年级·湖南·学业考试）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点P的如意点．已知点 的如意点为点 点 的如意点为点 这样依次得到点 若点 的坐标为，则根据如意点的定义，点的坐标为 ． 16．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知平面直角坐标系中一点； (1)当点在轴上时，写出点的坐标________；(2)当平行于轴，且，写出点的坐标________；(3)当点到两坐标轴的距离相等时，求出的值．（写全过程） 17．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线经过点且与轴平行． (1)请在坐标系中画出关于轴对称的图形，并写出，，点的坐标． (2)请在坐标系中画出关于直线对称的图形，并写出点，，的坐标． (3)若点是上一点，则点关于直线对称的坐标是__________． 18．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，将平移后得到，其中点，，的对应点分别为点，，，它们的坐标如下表所示： (1)__________；__________；点的坐标是__________； (2)在图中画出，并直接写出线段在平移过程中扫过的图形面积； (3)若点为线段上一点，则，满足的关系式是__________． 19．（24-25七年级下·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．已知：如图，，． (1)若点的坐标为，则三点的“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”___________； (2)若点在轴上，且三点的“矩面积”为10，直接写出点的坐标___________； (3)点，①若三点的“矩面积”为8，求出满足题意的的取值范围； ②若，直接写出三点的“矩面积”的取值范围． 20．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为． 【实践操作】（1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ． ②若点轴，，则点的坐标为 ． 【初步运用】（2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ． 【问题解决】（3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点（不与端点重合），点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值． 21．（23-24八年级上·四川泸州·期中）【建立模型】如图①，等腰直角三角形的直角顶点B在线段上，过点A作于点E，过点C作于点F，可以得到结论：． 【运用模型】请利用这一结论解决下列问题： (1)如图①，请证明；(2)如图②，在平面直角坐标系中，，过点A作，使，请直接写出点B的坐标．(3)如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $