精品解析：广东省广州市培英中学2025-2026学年高二上学期第一次质量检测数学试卷

广州市培英中学2025年高二上学期第一次质量检测试卷 高二数学 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、班级、准考证号填写清楚； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁; 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本学科试卷共四道大题，考试时量120分钟，满分150分. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若，且为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，则m的值为（ ）． A. B. C. D. 8 2. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 3. 直线与直线在同一平面直角坐标系内的图形可能是（ ）． A. B. C. D. 4. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（  ） A. B. C. D. 6. 已知实数满足，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正三棱柱中，为的中点，为线段上的动点，当时，（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，全对得6分，少选得部分分，错选或多选不得分，共18分） 9. 若三条直线不能围成一个三角形，则实数的值可以为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 10. 下列说法正确的是 （ ） A. 若直线l的方向向量为平面α的法向量为 则l∥α B. 对空间任意一点O和不共线三点 A，B，C，若 则P，A，B，C四点共面 C. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 D. 已知 若与的夹角为钝角，则 11. 已知三棱锥，，是边长为2的正三角形，E为中点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 异面直线与所成的角的余弦值为 C. 与平面所成的角的正弦值为 D. 三棱锥外接球的表面积为 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分.） 12. 在空间直角坐标系中，若点关于平面对称的点为，则点P的坐标为________. 13. 已知空间直角坐标系中，点，，若，，则__________. 14. 在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为__________. 四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分.需要必要的文字说明，只有结果不得分.） 15. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的一般式方程； （2）过点B做直线的垂线，求垂足D的坐标． 16. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求的值； （2）若，是的中点，，求的值． 17. 如图，平行六面体中，底面是边长为的正方形，，设，， （1）试用，，表示向量、； （2）若，求向量与所成的角的余弦值. 18. 如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，E是的中点. （1）求证：平面平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P、Q分别是棱的中点. （1）在底面内是否存在点，满足平面?若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由； （2）设平面交棱于点T，平面将四棱台分成上，下两部分，求与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市培英中学2025年高二上学期第一次质量检测试卷 高二数学 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、班级、准考证号填写清楚； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁; 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本学科试卷共四道大题，考试时量120分钟，满分150分. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若，且为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，则m的值为（ ）． A. B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方向向量与平面法向量垂直数量积为0可得. 【详解】由题知，，故，解得. 故选：C 2. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】已知，点N为BC中点， 则. 故选：C 3. 直线与直线在同一平面直角坐标系内的图形可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据直线方程斜截式与图像的关系进行判断即可． 【分析】对于A选项：由得，，由得，，矛盾，故A错误； 对于B选项：由得，，由得，，矛盾，故B错误； 对于C选项：由得，，由得，，矛盾，故C错误； 对于D选项：由得，，由得，．故D正确． 故选：D． 4. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可求得向量在向量上的投影向量. 【详解】由题意有：向量在向量上的投影向量是： ， 故选：A. 6. 已知实数满足，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到点在线段上移动，且，，设，利用斜率公式，求得的值，进而求得的取值范围，得到答案. 【详解】由题意知，点满足关系式，且， 可得点在线段上移动，且，，如图所示， 设，则， 因为点在线段上，所以的取值范围是. 故选：D. 7. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】因为平面的方程为，故其法向量为， 因为直线的方程为，故其方向向量为， 故直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B. 8. 如图，在正三棱柱中，为的中点，为线段上的动点，当时，（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理，利用一组基底表示所求向量，结合垂直向量建立方程，可得答案. 【详解】因为为线段上的动点，所以可设， 所以 . 因为，且， 所以. 因为， 所以. 因为， 所以， 所以，即点与点重合，所以. 故选：A. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，全对得6分，少选得部分分，错选或多选不得分，共18分） 9. 若三条直线不能围成一个三角形，则实数的值可以为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】ACD 【解析】 【分析】由于所给三条直线中两条直线相交，分三条直线交于一点，两条直线平行，两种情况讨论即可求得实数的取值. 【详解】当三条直线交于一点时不能围成三角形：由， 解得和的交点的坐标为， 由在上可得，解得， 因为与的相交，所以当三条直线有两条直线平行时不能围成三角形， 当时，，解得， 当时，，解得， 显然与不可能重合. 综上，或或，这三条直线不能围成三角形， ∴实数的取值可以是或或. 故答案为：ACD. 10. 下列说法正确的是 （ ） A. 若直线l的方向向量为平面α的法向量为 则l∥α B. 对空间任意一点O和不共线三点 A，B，C，若 则P，A，B，C四点共面 C. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 D. 已知 若与的夹角为钝角，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的有关定义及其结论，可判断BCD项；根据已知得出，即可判断A项. 【详解】对于A：由已知可得，所以或，故A错误； 对于B：因为，所以四点共面，B正确； 对于C：根据空间向量基底的概念，空间中的三个向量， 若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，可知C正确； 对于D： 因为，因为与的夹角为钝角，则 ， 所以，当时，，不合题意，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知三棱锥，，是边长为2的正三角形，E为中点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 异面直线与所成的角的余弦值为 C. 与平面所成的角的正弦值为 D. 三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：取AC的中点F，连接PF,BF，证明出面，即可得到.对于B、C：先证明出，，.可以以P为原点，为xyz轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解；对于D：把三棱锥还以为正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球.即可求解. 【详解】对于A： 在三棱锥，，是边长为2的正三角形，取AC的中点F，连接PF,BF，则. 又，所以面，所以.故A正确. 对于B：因为，，,所以面，所以，. 在三棱锥，，是边长为2的正三角形，所以三棱锥为正三棱锥，所以. 所以. 可以以P为原点，为xyz轴正方向建立空间直角坐标系. 则，，，，. 所以,. 设异面直线与所成的角为，则. 即异面直线与所成的角的余弦值为.故B错误； 对于C：，. 设平面ABC的一个法向量为，则,不妨设x=1，则. 设与平面所成的角为，则. 即与平面所成的角的正弦值为.故C正确. 对于D：把三棱锥还以为正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球. 设其半径为R，由正方体的外接球满足,所以. 所以球的表面积为.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分.） 12. 在空间直角坐标系中，若点关于平面对称的点为，则点P的坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据关于平面对称点的两个点的纵坐标互为相反数，由此列式求解即可. 【详解】由题意知，在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为， 又，所以，解得，所以点P的坐标为. 故答案为：. 13. 已知空间直角坐标系中，点，，若，，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用向量的坐标表示可得，再利用向量的共线和向量的模的应用求解即可. 【详解】因为点，，所以， 又因为，所以， 因为，所以，解得， 所以或. 14. 在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线夹角的向量公式即可求解. 【详解】如图，在三棱锥中，，，， 平面，以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系， 可知，，， ，， ，则，设，且，则， 可知，， ，，异面直线与所成的角的余弦值为，，解得或（舍去），. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分.需要必要的文字说明，只有结果不得分.） 15. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的一般式方程； （2）过点B做直线的垂线，求垂足D的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得AB的中点，再利用两点式求解； （2）根据直线AC与直线BD垂直，求得直线BD的方程，然后联立方程组求解. 【小问1详解】 中点为，由直线两点式方程， 故边上的中线所在直线的一般式方程为． 【小问2详解】 由题意知，，则垂线的斜率， 故直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 联立和方程，，解得垂足． 16. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求的值； （2）若，是的中点，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理结合题意得，进而求解； （2）由得，由得，相减即可求解. 【小问1详解】 由有， 又由余弦定理有：，所以， 所以， 又， 所以； 【小问2详解】 由题意有：， 所以①， 又因为是的中点，所以, 所以②， 由②①有：， 所以. 17. 如图，平行六面体中，底面是边长为的正方形，，设，， （1）试用，，表示向量、； （2）若，求向量与所成的角的余弦值. 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）由空间向量的加法、减法运算即可求解； （2）由（1），结合向量的夹角公式与数量积的运算律即可求解. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 因为， ， ， ， 所以， 即向量与所成的角的余弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，E是的中点. （1）求证：平面平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 平面，平面，， ，，， ，， 又，平面，平面， 平面，平面平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理得，然后结合勾股定理利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量和平面的法向量，利用平面与平面夹角的向量公式列式求得，再利用线面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为原点，取中点， 、、分别为轴、轴、轴正向，建立空间直角坐标系， 则，，.设， 则，，，， 取，则，为平面的法向量. 设为平面的法向量，则， 即，取，，，则. 依题意，，则. 于是，. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P、Q分别是棱的中点. （1）在底面内是否存在点，满足平面?若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由； （2）设平面交棱于点T，平面将四棱台分成上，下两部分，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）存在点 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意建系，求出相关点和相关向量的坐标，通过线线垂直建立方程组，即可求得点的坐标，得出结论； （2）按（1）建系，利用四点共面求得点坐标，再利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因底面，且是正方形，故可以点为坐标原点， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则 因点P、Q分别是棱的中点，则, , 假设在底面内存在点，使得平面，则 则由，解得， 故存在点，满足平面； 【小问2详解】 按照（1）建系，设点， 依题意，四点共面，故必有, 即，则得，，解得， 即，又, 设平面的法向量为，则， 故可取.因， 设与平面所成角为，则. 即与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $