26.1.2　反比例函数的图象和性质 课件 2025-2026学年人教版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦反比例函数的图象和性质，系统覆盖图象画法、k值与象限分布及增减性的关系、k的几何意义，以及与一次函数的综合应用，通过从基础画法到性质应用再到综合问题的递进设计，搭建学习支架帮助学生逐步深化理解。 其亮点在于结合几何直观与运算能力，通过表格对比k>0/k<0的性质，用“过交点画竖线分区域”分析函数值大小，辅以变式训练提升推理能力。例如用矩形面积模型讲解k的几何意义，学生能直观理解数形关系，教师可借助系统例题和小结高效开展教学。

第二十六章　反比例函数 反比例函数的图象和性质(1) · 数 学 01 学习目标 04 精典范例 03 对点训练 02 知识要点 05 变式练习 · 数 学 1.(2022新课标)能画反比例函数的图象，根据图象和表达式y=(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况. 2.能运用反比例函数的图象和性质解决有关问题. 运算能力　几何直观 模型观念　应用意识 · 数 学 反比例函数的图象及性质 (1)反比例函数的图象的画法 ①列表；②描点；③连线. (2)反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象是　　　　.  双曲线 · 数 学 (3)反比例函数的图象与性质 解析式 y=(k≠0) 图 象 k　　　　0  k　　　　0  性 质 ①图象在　　　　　象限；  ②在每一个象限内，y随x的增大而 . ③图象在　　　　　象限；  ④在每一个象限内，y随x的增大而 . > < 第一、三 减小 第二、四　 增大 · 数 学 (4)反比例函数的图象既是　　　　　图形，又是　　　　　图形.  中心对称　 轴对称 · 数 学 1.(人教9下P4改编、北师9上P152)先填表，再画出反比例函数y=的函数图象. x … -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 … y …                 … 略 · 数 学 2.(人教9下P5改编、北师9上P153)先填表，再画出反比例函数y=-的函数图象. x … -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 … y …                 … 略 · 数 学 反比例函数的图象与性质的简单应用 (1)根据反比例函数的图象与性质，求常数k的取值范围； (2)判断点是否在双曲线上. · 数 学 3.(1)(2025东莞模拟)若反比例函数y=的图象在第二、四象限，则k的值可以是(　　) A.-1 B.1 C.2 D.3 (2)直接判断点A(2，-4)，B(-3，3)是否在双曲线y=-上： 　. A 点A(2，-4)在双曲线y=-上，点B(-3，3)不在双曲线y=-上 · 数 学 4.【例1】(2025湛江一模)反比例函数y=的图象可能是(　　) 小结：常数k的符号确定图象所在象限. C · 数 学 8.(人教9下P9改编、北师9上P161改编)在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=2x与反比例函数y=-的图象大致是(　　) C · 数 学 5.【例2】(1)反比例函数y=的图象是　　　　线，图象在第 　　　　象限，在每一支上，y随x的增大而　　　　；  (2)反比例函数y=-的图象是　　　　线，图象在第　　　　象限，在每一支上，y随x的增大而　　　　. 小结：常数k的符号决定函数的性质. 双曲 一、三 减小 双曲 二、四 增大 · 数 学 9.(人教9下P6改编)(2025福州一模)已知反比例函数y=-，下列说法正确的是(　　) A.它的图象经过点(1，-1) B.图象位于第一、三象限 C.它的图象不是中心对称图形 D.y随x的增大而增大 A · 数 学 6.【例3】(人教9下P7、北师9上P161)如图，它是反比例函数y=的图象的一支. (1)函数图象的另一支在第　　　　象限；  (2)m的取值范围是　　　　.  小结：图象所在象限决定k的符号（或取值范围）. 四 m<5 · 数 学 10.(人教9下P9改编)(2025潮州模拟)双曲线y=在每一象限内y随x的增大而减小，则m的取值范围是　 　　　.  m>- · 数 学 7.【例4】(人教9下P8改编、北师9上P159改编)已知反比例函数的图象经过点P(-2，3). (1)这个反比例函数的解析式为　　　　；  (2)点A(2，-3)，B(3，2)是否在函数图象上？ y=- 解：(2)∵2×(-3)=-6，3×2=6， ∴点A在这个函数图象上，点B不在这个函数图象上. · 数 学 (3)这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的减小如何变化？ 解：(3)函数y=-的图象位于第二、四象限；在每个象限内，函数值y随自变量x的减小而减小. 小结：在反比例函数中，常数k等于横、纵坐标的乘积. · 数 学 ★11.(运算能力、思维能力)(2024通辽)如图，在平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y=(k为常数，k>0)上，将正六边形ABCDEF向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，求k的值. · 数 学 解：如图，作DG⊥FE交FE的延长线于点G，DG交反比例函数的图象于点H， ∵原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴， ∴∠EDO=∠EDC=×=60°， ∴∠EDG=30°，∴EG=ED，GD=ED， 设正六边形ABCDEF的边长为a，则E， 由向上平移个单位长度得H(a，)， ∵点E，H都在反比例函数图象上，∴a·a=a， 解得a=4，∴H(4，)，∴k=4. · 数 学 第二十六章　反比例函数 反比例函数的图象和性质(2) · 数 学 01 学习目标 04 精典范例 03 对点训练 02 知识要点 05 变式练习 · 数 学 1.进一步掌握反比例函数的图象和性质. 2.根据反比例函数的图象与性质比较函数值的大小. 3.根据反比例函数的图象解决变量的取值范围问题. 运算能力　几何直观 推理能力　应用意识 · 数 学 根据反比例函数的图象与性质比较函数值的大小 (1)代入求值法 将已知的自变量的值直接代入反比例函数的解析式计算函数值，即可比较它们的大小. (2)图象直观法 在反比例函数的图象上标记两点的位置，根据图象的高低特点比较函数值的大小. (3)性质推导法 根据反比例函数在每个象限的增减性，比较函数值的大小. · 数 学 1.(人教9下P8改编、北师9上P155改编)已知反比例函数y=. (1)若点(2，y1)，(4，y2)在该图象上，则y1　　　　y2；  (2)若点(-2，y3)，(-4，y4)在该图象上，则y3　　　　y4；  (3)若点(-2，y5)，(4，y6)在该图象上，则y5　　　　y6.  2.(2024广西)已知点M(x1，y1)，N(x2，y2)在反比例函数y=的图象上，若x1<0<x2，则有(　　) A.y1<0<y2 B.y2<0<y1 C.y1<y2<0 D.0<y1<y2 > < < A · 数 学 根据图象解决变量的取值范围 (1)根据图象及自变量的取值范围确定函数值的取值范围； (2)根据图象及函数值的取值范围确定自变量的取值范围. · 数 学 3.已知反比例函数y=. (1)在每个象限内，y随x的增大而　　　　；  (2)当2≤x≤4时，y的取值范围是 . 4.已知反比例函数y=(k为常数，k≠0)中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： (1)当<y<2时，x的取值范围是 ； (2)当-2<y<-时，x的取值范围是　　 　　　. 减小 ≤y≤1 2<x<8 -8<x<-2 · 数 学 5.【例1】(2024天津)若点A(x1，-1)，B(x2，1)，C(x3，5)都在反比例函数y=的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是(　　) A.x1<x2<x3 B.x1<x3<x2 C.x3<x2<x1 D.x2<x1<x3 小结：可用前面讲的三种方法判断.代入求值法简单直接，图象直观法形象、直观.   B · 数 学 8.(2025珠海模拟)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在反比例函数y=-的图象上，其中x1<x2<0<x3，则下列结论正确的是(　　) A.y3<y1<y2 B.y1<y2<y3 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3 A · 数 学 6.【例2】(人教9下P9改编)已知反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象经过点A(2，3). (1)求这个函数的解析式； 解：(1)把点A(2，3)代入解析式，得k=6， ∴这个函数的解析式为y=. · 数 学 (2)当-3<x<-1时，求y的取值范围. 小结：求y的取值范围时，要考虑函数的增减性，用取特殊值法. 解：(2)∵当x=-3时，y=-2，当x=-1时，y=-6， 又由k>0知，在x<0时，y随x的增大而减小， ∴当-3<x<-1时，-6<y<-2. · 数 学 9.已知y是x的反比例函数，且当x=2时，y=-3. (1)写出该反比例函数的解析式； 解：(1)设y=，把x=2，y=-3代入， 得-3=，解得k=-6， ∴该反比例函数的解析式为y=-. · 数 学 (2)当4≤y≤6时，求自变量x的取值范围. 解：(2)当y=4时，4=-，解得x=-； 当y=6时，6=-，解得x=-1. 又由k<0知，在x<0时，y随x的增大而增大， ∴当4≤y≤6时，-≤x≤-1. · 数 学 7.【例3】如图是反比例函数y=的图象的一支. (1)m=　　　　；  (2)当x≤-2时，y的取值范围是_____________； (3)若点(a，y)在该函数图象上，且a>-2，求y的取值范围. -6 0<y≤3 解：(3)由(1)得函数的解析式为y=. ∵点(a，y)在该函数的图象上，∴y=，即a=. 当x<0时，由a>-2且a≠0，得>-2且≠0，∴y>3； 当x>0时，由图象易得y<0. 综上，y的取值范围是y>3或y<0. 小结：注意对点的位置进行分类讨论. · 数 学 ★10.(代数推理)(2024浙江改编)已知反比例函数y=的图象上有P(t，y1)，Q(t+4，y2)两点，请比较y1，y2，0的大小关系. 解：∵反比例函数y=中，k=4>0， ∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小， ①当t<-4时，t+4<0，P(t，y1)，Q(t+4，y2)在第三象限， ∵t<t+4，∴y2<y1<0； ②当-4<t<0时，P(t，y1)在第三象限，Q(t+4，y2)在第一象限， ∴y1<0，y2>0，∴y1<0<y2； ③当t>0时，t+4>0，P(t，y1)，Q(t+4，y2)在第一象限， ∵0<t<t+4，∴y1>y2>0. · 数 学 第二十六章　反比例函数 反比例函数的图象和性质(3) · 数 学 01 学习目标 04 精典范例 03 对点训练 02 知识要点 05 变式练习 · 数 学 1.进一步掌握反比例函数的图象和性质. 2.掌握反比例函数y=中比例系数k的几何意义，体会数形结合思想的运用. 运算能力　几何直观 模型观念　应用意识 · 数 学 双曲线y=中k的几何意义(矩形)S矩形=|k|. 过双曲线上任意一点P(x，y)引x轴、y轴的垂线，则两垂线与坐标轴所围成的矩形面积S矩=|x|·|y|=|xy|=|k|. · 数 学 1.(北师9上P157改编)如图，点B(3，2)在反比例函数y=(k≠0)的图象上，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，则矩形AOCB的面积为　　　.  6 · 数 学 双曲线y=中k的几何意义(三角形) S三角形=|k|. 过双曲线上任意一点M(x，y)引x轴的垂线，垂足为A，连接OM，则△AMO的面积S=|k|. · 数 学 2.(2024绥化模拟)如图，点A为反比例函数y=-图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为(　　) A.16　 B.8　 C.4　 D.2 D · 数 学 两支双曲线中面积问题(拓展) 在两支不同的双曲线图象形成的有关几何图形的面积问题中，通常用以下方法： (1)直接法 适合规则的图形，可以直接计算. (2)割补法 将所求图形分割成若干个小图形或作辅助线补成一个常规图形，利用以上知识点1、知识点2中的模型进行面积间的加减，进而求解. · 数 学 (3)转化法 将某些不易于计算面积的图形，利用同底等高、全等、对称等性质转化为易于计算的图形. (4)坐标法 设出某点坐标，根据解析式或已知关系表示出关联的点的坐标，进而求解. · 数 学 3.(2025西安一模)如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在函数y=-(x<0)和y=(x>0)的图象上，点B，C在x轴上. (1)正方形ABCD的面积为　　　　；  (2)求点D的坐标. 9 解：(2)由(1)得正方形ABCD的边长为3， 在y=(x>0)中，当y=3时，x=2，∴D(2，3). · 数 学 4.【例1】(2025惠州模拟)如图，已知点A为反比例函数y=(x<0)的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为点B，若△OAB的面积为3，则k的值为(　　) A.3 B.-3 C.6 D.-6 小结：考查k的几何意义，除了运用S△AOB=|k|外，还应看图象所在的位置来确定k的正负. D · 数 学 7.(1)如图1是两个反比例函数：①y=，②y=，它们在x轴上方的图象如图所示，由此推出k1，k2的大小关系是　　　　.  (2)(2025新疆模拟改编)如图2，A，C是反比例函数y=的图象上的任意两点，过A作y轴的垂线，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂足为D，记Rt△AOB的面积为S1，Rt△COD的面积为S2，则S1+S2=　　　　.  k1>k2 1 · 数 学 5.【例2】(2025珠海一模)如图，已知双曲线y=(k<0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C.若点A的坐标为(-6，4)，求△AOC的面积. 解：∵点D为OA的中点，点A的坐标为(-6，4)， ∴点D的坐标为(-3，2)， 把(-3，2)代入y=，得k=-6，即双曲线的解析式为y=-， ∵AB⊥OB，点A的坐标为(-6，4)， ∴S△AOC=S△AOB-S△BOC =AB·OB-|k|=×4×6-×6=9. · 数 学 8.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点D(1，4)是BC的中点，反比例函数y=的图象经过点D，并交AB于点E. (1)求k的值； 解：(1)把D(1，4)代入y=，得k=1×4=4. · 数 学 (2)求五边形OAEDC的面积S. 解：(2)∵四边形OABC是矩形，D(1，4)是BC的中点， ∴BC=2CD=2，∴B点坐标为(2，4)， ∵k=4，∴y=， 把x=2代入y=，得y==2， ∴E(2，2)，∴BE=2， ∴S△EBD=×2×1=1， ∴S=2×4-1=7，即五边形OAEDC的面积为7. · 数 学 6.【例3】如图，点P在y轴正半轴上运动，点C在x轴上运动，过点P且平行于x轴的直线分别交函数y=-和y=于A，B两点，则△ABC的面积等于　　　　.  小结：本题可以连接OA，OB，利用同底等高转化求面积；也可以设点P的纵坐标，进而表示出点A，B的坐标，然后求AB的长. 3 · 数 学 ★9.(数形结合、思维能力)(2024安徽二模)如图，平行于y轴的直线与函数y1=(x>0)和y2=(x>0)的图象分别交于A，B两点，与x轴交于点D，OA交双曲线y2=于点C，连接CD，若△OCD的面积为2，则k=　　　.  8 · 数 学 第二十六章　反比例函数 　反比例函数的图象和性质(4) · 数 学 01 学习目标 04 精典范例 03 对点训练 02 知识要点 05 变式练习 · 数 学 掌握反比例函数和一次函数的简单综合. 运算能力　几何直观 模型观念　应用意识 · 数 学 根据图象及函数解析式求反比例函数和一次函数的交点坐标 (1)根据图象的对称性直接写出交点的坐标； (2)转化成方程求值. · 数 学 1.(人教9下P9改编、北师9上P159改编)如图，直线y=x+1与双曲线y=的交点为A(1，m)和B. (1)m的值为　　　　；  (2)k的值为　　　　；  (3)点B的坐标为　　　　.  2　 2　 (-2，-1) · 数 学 根据图象比较两函数值的大小 (1)找出交点坐标； (2)过两个交点分别作x轴的垂线； (3)两垂线与y轴把坐标平面分成四个部分(如图)； (4)观察每部分的图象，图象越高函数值越大. · 数 学 2.如图，已知直线y1=ax与双曲线y2=交于A(-1，3)，B(1，-3). (1)当 时，y1=y2； (2)当 时，y1>y2； (3)当 时，y1≤y2.　 x=-1或x=1 x<-1或0<x<1 -1≤x<0或x≥1 · 数 学 3.【例1】(北师9上P160改编)如图，直线y1=x+m与x轴，y轴分别交于点A，B，与双曲线y2=分别交于点C，D，且点C(-1，2). (1)求直线AB的解析式与双曲线的解析式； 解：(1)把点C(-1，2)代入y1=x+m，得2=-1+m，解得m=3， ∴直线AB的解析式为y1=x+3， ∵点C(-1，2)在双曲线y2=上， ∴k=-1×2=-2， ∴双曲线的解析式为y2=-. · 数 学 (2)点D的坐标为　　　　.  小结：先由已知点的坐标求函数解析式，然后解由两个解析式组成的方程组求出交点的坐标. (-2，1) · 数 学 6.(2025上海一模)如图，已知直线y=2x-4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y=在第一象限的分支交于点C，过点C作x轴的平行线，交y轴于点D，OB=2OD. (1)求点A，B的坐标； 解：(1)将y=0代入y=2x-4，得2x-4=0， 解得x=2，∴A(2，0)， 将x=0代入y=2x-4，得y=-4，∴B(0，-4). · 数 学 (2)求k的值. 解：(2)∵B(0，-4)，∴OB=4， ∵OB=2OD， ∴OD=2，∴D的纵坐标为2， 将y=2代入y=2x-4，得x=3，∴C(3，2)， ∵双曲线y=过点C，∴k=3×2=6. · 数 学 4.【例2】(北师9上P162改编)如图，直线y1=ax+b与双曲线y2=的图象交于A(2，2)，B(-1，-4)两点. (1)当　　　　　　　　　　时，y1=y2；  (2)当　　　　　　　　　　时，y1>y2；  (3)当　　　　　　　　　　时，ax+b<.  小结：根据反比例函数与一次函数值的大小确定自变量取值范围的方法：过交点，画竖线，分区域，比大小（高大低小）. x=-1或x=2 -1<x<0或x>2 x<-1或0<x<2 · 数 学 7.(1)(2025中山一模)在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=(x>0)的图象如图所示，则当y1>y2时，自变量x的取值范围为　　　　；  (2)若(1)中去掉“x>0”，其他条件不变，则当y1>y2时，自变量x的取值范围为　　　　　　　 　.  1<x<3　 x<0或1<x<3 · 数 学 5.【例3】(2024泰安)如图，直线y1=kx+b(k≠0)与反比例函数y2=-的图象相交于点A(-2，m)，B(n，-1)，与y轴交于点C. (1)求直线y1的解析式； 解：(1)将A(-2，m)，B(n，-1)分别代入y2=-， 得-2m=-8，-n=-8，解得m=4，n=8， ∴A(-2，4)，B(8，-1)， 把A(-2，4)，B(8，-1)分别代入 y1=kx+b， 得，解得 ， ∴直线y1的解析式为y1=-x+3. · 数 学 (2)若y1>y2，请直接写出满足条件的x的取值范围； 解：(2)由图象可知， 当y1>y2时，x<-2或0<x<8. · 数 学 (3)过点C作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积. 解：(3)把y=3代入y2=-中，得x=-， ∴D，∴CD=， ∴S△ACD=××(4-3)=. 小结：本题考查用数形结合思想解决一次函数和反比例函数的交点问题，再通过关键点求出取值范围和面积. · 数 学 ★8.(运算能力、思维能力)如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，反比例函数y=(x>0)分别交BC，AB于点E和点F，一次函数y=ax+b过E，F两点. (1)当F为AB的中点时，求反比例函数和一次函数的解析式； · 数 学 解：(1)∵在矩形OABC中，OA=3，OC=2，∴A(3，0)，B(3，2)， ∵F为AB的中点，∴F(3，1)， ∵点F在反比例函数y=(k>0)的图象上，∴k=3， ∴该反比例函数的解析式为y=(x>0). ∵点E的纵坐标为2，∴横坐标为，故E， 将E，F的坐标分别代入y=ax+b，得，解得， 故一次函数的解析式为y=-x+3. · 数 学 (2)当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？ 解：(2)由题意知E，F两点的坐标分别为E，F， ∴S△EFA=AF·BE=·· =-=-(k2-6k+9-9)=-(k-3)2+， 当k=3时，△EFA的面积最大，最大面积是. · 数 学 $