第2章 对称图形-圆（高效培优讲义）数学苏科版九年级上册

第2章 对称图形——圆单元复习 教学目标 1．理解圆的定义、相关概念（弦、弧等）及点与圆的位置关系 2．掌握圆的对称性、垂径定理及推论，能用于计算与证明 3．理解圆周角定理、圆内接四边形性质，会求角度 4．掌握直线与圆的位置关系，能运用切线性质与判定解题 5．会计算扇形弧长、面积，了解正多边形与圆的关系 教学重难点 重点：垂径定理；圆周角定理；切线的性质与判定；扇形弧长及面积计算 难点：垂径定理的实际应用；切线判定的辅助线添加；扇形与正多边形综合计算 知识点01 圆的有关概念 1.圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆.这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径. 2.圆的表示方法：以点为圆心的圆记作，读作圆. 3.圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形. 确定圆的条件：①圆心；②半径.其中，圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小. 4.圆的其他概念： 弦 连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的). 直径 经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的）. 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以为端点的弧记作，读作圆弧或弧. 圆心角 定点在圆心的角叫圆心角 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧 在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧. 劣弧 在一个圆中小于半圆的弧叫做劣弧. 【即学即练】 生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（    ） A．同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大 B．同一个圆所有的直径都相等 C．圆的周长是直径的倍 D．圆是轴对称图形 【答案】B 【详解】解：根据同一个圆所有的直径都相等，则井盖就不会掉进井里去， 故选：． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，理解并掌握圆的基础知识，圆的基本特征是解题的关键． 知识点02 点与圆的位置关系 设的半径是，点到圆心的距离为，则有： 点在内，如图1； 点在上，如图2； 点在外，如图3。 注：1.“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 2.点在圆上，指的是点在圆周上，而不是点在圆面上. 【即学即练】 若内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则的半径r可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：∵点P在内，点P到圆心O的距离为5， ∴． 故选：D． 知识点03 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1： ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法： 1 过圆心，作垂线，连半径，造直角三角形，用勾股，求长度；②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 【即学即练】 如图，在中，，以为圆心作圆与边相交于点于点．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴． 知识点04 三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，如图所示： 是的外接圆，为的一个内接三角形，点O为△ABC的外心. 1.锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部，如图所示： 2.一个三角形只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形； 【即学即练】 直角三角形的两直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于 ． 【答案】5 【详解】∵直角三角形的两直角边长分别为6，8， ∴斜边长为：   ∴这个三角形的外接圆半径是， 故答案为5． 知识点05 圆周角 1．圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理及推论 具体内容 图示 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 （即：圆周角=圆心角，如图示中的） 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 如图示中的 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径 2．圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 证明：在⊙中，∵四边是内接四边形 ∴， 【即学即练】 如图，，分别为的半径，点A在圆上，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， 根据圆周角定理，可得． 故选：C ． 知识点06 直线与圆的位置关系 1．位置关系 位置关系 与的比较 交点情况 图示 相离 无交点 相切 有一个交点 相交 有两个交点 2．切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端，∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 3．切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的 连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线，∴，平分 4．三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）中，则内切圆的半径 。 （3），其中是边长，是内切圆的半径。 【即学即练】 1．已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于 ． 【答案】5 【详解】解：∵的半径为5，直线与相切， ∴圆心到直线距离等于5； 故答案为：5． 2．如图，是的直径，过点的切线与的延长线相交于点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 故选：A． 知识点07 正多边形与外接圆 1．正多边形与外接圆：一般地，用量角器把一个圆等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆 2．正多边形的中心:正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 3．正多边形的半径:正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 4．正多边形的边心距:正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 5．中心角:正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 5．正多边形的轴对称性：正多边形都是轴对称图形。一个正边形共有条对称轴，每条对称轴都通过正边形的中心。 6．正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 7．正多边形的画法:先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形 8．圆内正多边形的计算 正多边形 正三角形 正四边形 正六边形 图示 长度比例 有关计算在中进行， 有关计算在中进行， 有关计算在中进行， 【即学即练】 若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（   ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形 【答案】B 【详解】解：， 故这个多边形为正九边形； 故选：B． 知识点08 扇形的弧长和面积计算 （1）扇形弧长公式：； （2）扇形面积公式： 其中：圆心角，：扇形多对应的圆的半径， 注意： （1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； （2）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. （3）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即； （4）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 【即学即练】 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”才能下料，如图所示的管道展直长度是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：管道展直长度是， 故选：D． 题型01 圆的基本认识 例1．如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【详解】解：图中有弦共3条， 故选C． 【点睛】本题考查了弦的定义，理解弦的定义是解题的关键． 变式1-1．一个米一周的标准跑道，如果跑道的宽度为1米，进行米比赛时，起跑时第二道比第一道向前移 米． 【答案】/ 【详解】解：圆的周长公式为，那么半圆的周长就是， ∵跑道一周400米，进行200米比赛， ∴比赛跑半圈， 第一道弯道（半圆）的长度：， 第二道弯道（半圆）的长度，， 两者的长度差为：， 取，所以长度差约为米， 故答案为：． 变式1-2．下列说法正确的是（   ） A．以点为圆心，线段的长为半径作弧 B．有两边相等的两个直角三角形全等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．五边形的内角和是720° 【答案】A 【详解】解：A.说明了弧的作法，结论正确，符合题意； B.若两边非对应相等（如一直角边与斜边和另一直角边），则无法保证全等（如边长为3、4、5与4、5、的三角形），故错误，不符合题意； C.根据垂线公理，平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，结论错误，不符合题意； D.五边形内角和公式为（），结果为，故错误，不符合题意； 故选：A． 变式1-3．外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为 ． 【答案】6 【详解】解：如图，设圆的圆心为点O， ∵直径是圆中最大的弦， ∴过P，O作圆的直径，则，， ∴， ∴圆的直径为， 故答案为：6． 题型02 点与圆的位置关系问题 例2．如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， 在中，， 若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D三点，只有一点在圆内， 则只有B点在圆内才满足条件， ∴， 故选：B． 变式2-1．平面上一点Ｍ到上的最长距离为，最短距离为，那么的半径长为 ． 【答案】或 【详解】解：当点M在圆内时，的直径长为，半径为； 当点M在圆外时，的直径长为，半径为； 即的半径长为或， 故答案为：或． 变式2-2．如图，在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，当点A在内，点B在外时，r的取值范围是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以点C为圆心，r为半径作圆，当点A在内，点B在外时， ∴， 即， 故答案为：． 变式2-3．已知的半径是，当时，点在 ． 【答案】内部 【详解】解：∵的半径，点到圆心的距离， 又∵，即， ∴点在内部． 故答案为：内部． 题型03 弧、弦、角的关系 例3．如图，是的直径，四边形内接于，若，则的长为（    ） A．8 B．9 C．6 D．4 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：A． 变式3-1．如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 在中，， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：． 变式3-2．如图，四边形内接于，．若，，则的半径是 ． 【答案】/ 【详解】如图，过点作，垂足为F，交于点E，连接， 则， ∵， ， ， 在中，， 设半径为R，在中，， 由勾股定理得，即，解得， 故答案为：． 变式3-3．如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于 度 【答案】100 【详解】解：连接、、． 是半圆的直径， ， ， ， ， 、均是等边三角形， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型04 垂径定理 例4．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若大正方形的边长为，则小正方形的边长为 ． 【答案】4 【详解】解：如图，设圆心为，连接，，作于点， ， 正方形有两个顶点在半圆上，另外两个顶点在圆心两侧， ，， ∴， 设 ∴， ∵ ∴ 解得或（舍去） ∴ ∴小正方形的边长为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了垂径定理、正方形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 变式4-1．的半径为，弦，，，则、间的距离是：（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【详解】如图，过点O作OF⊥CD于F，交AB于点E， ∵， ∴OE⊥AB， 在Rt△AOE中，OA=10，AE=AB=8，∴OE=6， 在Rt△COF中，OC=10，CF=CD=6，∴OF=8， 当AB、CD在点O的同侧时，、间的距离EF=OF-OE=8-6=2； 当AB、CD在点O的两侧时，AB、CD间的距离EF=OE+OF=6+8=14， 故选：C.    【点睛】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，在圆中通常利用垂径定理和勾股定理求半径、弦的一半、弦心距三者中的一个量. 变式4-2．如图，某高速公路的一个圆弧形隧道的截面，若路面宽为10米，净高为7米，此隧道圆弧的半径等于 ． 【答案】 【详解】解：∵为高，且过圆心O， ∴根据垂径定理可知垂直平分， ∵路面宽为， ∴， 设，则， 在 中，有， 则， 解得：， ∴半径． 故答案为：． 变式4-3．已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵，于点E， ∴， 同理可证：． ∵ ∴． ∵于E点，于点F ∴ 在与中 ， ∴， ∴． 题型05 三角形的外接圆问题 例5．如图，正三角形是圆的内接三角形，弦，且与垂直，则圆的半径等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 则， 则， 解得：． 故选：B ． 变式5-1．如图，点是的外心，连接、，若，则的度数为 ． 【答案】/140度 【详解】点是的外心 是等腰三角形 故答案为： 【点睛】本题主要考查三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形外心的性质解题的关键． 变式5-2．如下图，在平面直角坐标系中，是上的三个点． (1)直接写出圆心M的坐标：________． (2)求的半径． (3)判断点与的位置关系． 【答案】(1) (2)． (3)在内． 【详解】（1）解：如图，圆心的坐标为， 故答案为：． （2）解：， 即的半径为． （3）解：， ， ∴点与的位置关系是点D在内． 【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，坐标与图形性质，垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键． 变式5-3．如图，在直角坐标系中，点的坐标分别是，． (1)外接圆的圆心坐标是______． (2)画出绕点顺时针旋转后所得的图形． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：根据三角形外接圆的圆心为三角形三条边的垂直平分线交点，画出图如图所示：点即为所求， 外接圆的圆心坐标是， 故答案为：； （2）解：根据题意画出图如图所示， 【点睛】本题主要考查了作图—旋转变换，三角形的外接圆的圆心，熟练掌握三角形外接圆的圆心为三角形三条边的垂直平分线交点，找出的点，绕点顺时针旋转后得到对应点，是解题的关键． 题型06 圆周角定理的有关计算 例6．如图，的半径垂直于弦于点，连接并延长交于点，若，则 ， ． 【答案】 5 【详解】解：连接， ， ， 在中，， ， ． 为直径， ． 在中，， 在中，． 故答案为：5，． 变式6-1．如图，已知的半径为3，内接于，，则的长为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：设点D为优弧上一点，连接，，，， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ． 故选：B． 变式6-2．如图，在中，为直径，C，D为圆上的点，若，则的大小为 ． 【答案】 【详解】解：∵， 根据圆周角定理可得， ∵为直径， ∴， 在中，， 则的大小为． 故答案为： ． 变式6-3．如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ． 【答案】 【详解】解：连接、，则， ， ， ，即， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 题型07 圆内接四边形 例7．如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：． 变式7-1．如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么（    ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 变式7-2．已知：的内接四边形中，，则的度数是 ． 【答案】/20度 【详解】解：根据圆内接四边形对角互补得：， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 变式7-3．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是 ． 【答案】/116度 【详解】解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 故答案为：． 题型08 直线与圆的位置关系 例8．已知中，，，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段只有一个交点，则r的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】解：过C作于D， 在中， ∵，，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴当圆与时相切时，； 当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是， 综上所述：若此圆与线段只有一个交点，r的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理的应用，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想． 变式8-1．设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【详解】解：∵设点O到直线l的距离为， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴直线与的位置关系是相交或相切． 故选：D 变式8-2．在中，，若以点C为圆心，r为半径的与直线相切，则r的值为（     ） A．2.4 B．3 C．4.8 D．5 【答案】C 【详解】解：如图，过点C作， ∵在中，，，， ∴， ， ， 解得：， ∵以点C为圆心，r为半径的与直线相切， ∴， 故选：C． 变式8-3．在直角坐标系中，已知是以原点O为圆心，1为半径，若直线与有公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：设直线和圆在第二象限相切时的切点为点C，连接，则， ∵， ∴, ∵1为半径， ∴， ∴， 同理可求， ∴a的取值范围是， 故答案为：． 题型09 切线长定理 例9．如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，，，，如图所示， 在矩形中， ∵，， ∵，，分别与相切于，，三点， ∴， ∴四边形，是正方形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴. 故选：D． 变式9-1．如图，、切于、，是直径，连结、．若，则下列结论中，一定正确的是 ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【详解】解：∵、切于、， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴ ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴，故②正确； 由得， ∴， 又∵， ∴，故③正确； ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，故④错误． ∴一定正确的有①②③． 故答案为：①②③． 变式9-2．一根钢管放在形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，如果，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知，直线与相切， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 变式9-3．如图，中，为直径，，分别切于点，．过点作于点，交于点，若，则 ． 【答案】 【详解】解：连接、、， ∵是的直径，弦于点， ∴垂直平分，， ∴， ∵与相切于点，与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查直径定理、圆周角定理、切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型10 切线的判定与性质 例10．如图，为的切线，为切点，过作，垂足为，交于点，延长与的延长线交于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接，如图 ，， ， 是的切线， ， 在与中， ， ， ， ， 是的切线； （2），， 在中，， 、为的切线， ， 在中，，即， ， 在中，， ， ， ， ． 变式10-1．如图，是的直径，为弦，过点的切线与的延长线相交于点．若，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 是的直径， ∴ ，即，故A项正确，不符合题意． ∵ 是过点的切线，是直径， ∴ ，即，故B项正确，不符合题意． ∵ ，，， ∴ ，但，，所以，故C项错误，符合题意． ∵， ∴ ，故D项正确，不符合题意． 故选：C． 变式10-2．如图，在中，，以AB为直径的交BC于点D，过点D作，交AC于点E，AC的反向延长线交于点F． (1)求证：DE为的切线； (2)若，的半径为5，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)18 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，是半径， ∴， ∴是的切线； （2）解：如图，过点作于点，则， ∴四边形是矩形， ∴． 设， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得，即， 解得（不合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，切线的判定，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，矩形的性质与判定等等，解一元二次方程，熟知相关知识是解题的关键． 变式10-3．如图，内接于，是直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)相切，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 连接， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线，即直线与相切； （2）解：∵， ∴， 设的半径为，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 题型11 正多边形与圆 例11．俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是 ． 【答案】/度 【详解】解：正六边形的中心角等于； 故答案为：． 变式11-1．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，连接、，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接、， ∵， ∴． 故选：B． 变式11-2．如图，为圆的直径，，为圆内接正方形，，分别为的中点，则阴影部分面积为 ．    【答案】 【详解】解：连接，如图所示：    ∵为圆的直径，，为圆内接正方形， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴阴影部分面积为：， 故答案为：． 变式11-3．如图，经过正六边形的顶点，，为优弧上一点，则劣弧所对的圆周角的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，． 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ． 故答案为：． 题型12 扇形的弧长和面积公式 例12．如图，在中，，，，点A，B在直线l上．将沿直线l向右作无滑动翻滚，则翻滚一周时点A经过的路线长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示：    ∵，，， ∴， ∴翻滚一周时点A经过的路线长是：． 故选：C． 变式12-1．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∵将绕点A逆时针旋转后得到， ∴，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积2． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则或（其中l为扇形的弧长）．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了旋转的性质． 变式12-2．甲乙两幅图中，正方形边长都相等，则甲乙阴影部分的面积（    ）． A．甲图阴影大 B．乙图阴影大 C．一样大 【答案】C 【详解】解：图甲的阴影部分的面积为：正方形面积减去一个圆的面积； 图乙的阴影部分面积为：正方形的面积减去一个的圆和两个的圆的面积和，即减去一个圆的面积， 所以甲乙阴影部分的面积一样大， 故选：C． 变式12-3．如图，是的直径，点C，D是上的两点，且在的两侧，是的切线，，交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 题型13 圆锥问题的相关计算 例13．一个圆锥形零件的母线长为，底面半径为，则这个圆锥形零件的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ． 故选D． 变式13-1．2025年春节贺岁档的《哪吒之魔童闹海》中敖丙和哪吒联手对抗黑暗势力时，敖丙用冰之力创造出一个圆锥冰盾．已知该冰盾的高比底面半径r大，同时，哪吒用混天绫围绕这个圆锥体冰盾的底面刚好缠绕一圈进行加固，已知圆锥体冰盾的母线长为．则此时混天绫的长度为 ．（保留） 【答案】 【详解】解：设圆锥的底面半径为r米，则高米，母线长米． ∵， ∴， 解得：， ∴米． 故答案为： 变式13-2．如图，正六边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，所做圆锥的底面半径为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵正六边形的边长为4， ∴， ∴， ∴所做圆锥的底面半径为． 故答案为： 变式13-3．如图，正方形的边长为，以点为圆心，为半径，画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵正方形中，， ∴扇形的圆心角， 已知扇形半径，圆心角， 据扇形弧长公式，可得弧长， 设圆锥底面半径为，圆锥底面圆周长， 又因为圆锥底面圆周长等于侧面展开图扇形弧长， 所以， 解方程可得， 故选：B． 一、单选题 1．下列命题中，正确的是（    ） ①顶点在圆上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③的圆周角所对的弦是直径；④同弧所对的圆周角相等；⑤各角相等的圆内接多边形是正多边形 A．①②③ B．③④⑤ C．②③④ D．③④ 【答案】D 【详解】解：①顶点在圆周上且角的两边与圆相交的角是圆周角，故此选项错误； ②同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，故此选项错误； ③的圆周角所对的弦是直径，此选项正确； ④同弧所对的圆周角相等，此选项正确； ⑤各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，故此选项错误． 故选：D． 2．如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是的直径， ∴． ∵与所对的弧都是， ∴． ∴． 故选：A． 3．如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：∵圆心O到弦的距离， ， ， 在中，，， ∴， ． 故选：C． 4．如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接、、、． 若， 四边形的面积为．则（           ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由作图过程可知， 四边形是菱形， ， 四边形的面积为， ， ． 故选：C． 5．如图，、、为钝角的三条高，为钝角．则B为的（   ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】C 【详解】解：设H为的垂心，显然、、交于点H，如图所示： 根据题意可得：， ∴A、D、B、E和B、E、C、F分别四点共圆， ∴，， ∵， ∴A、D、F、C四点共圆， ∴， ∴， ∴平分， 同理得：平分， ∴点B为的内心． 故选：C． 6．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 7．如图，C是以为直径的半圆上一点，过B，C两点作与弦相切．已知，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设与交于点D，的圆心为O，连接，如图， 为半圆的直径， ， ， 过B，C两点作与弦相切， 经过圆心O， 即为直径， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积 故选：D 8．如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点， ∵，，， ∴， ， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， 连接，，，，，，则， ∵，且，，， ∴， 解得：， 同理可得，， 解得， ∴， 故选：D． 二、填空题 9．如图，点O既是的内心，也是的外心，若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵，在中，． 又∵点是内心，、分别平分、， ∴． 在中，． 故答案为：． 10．若一个圆锥的母线长是3，底面半径是1，则它的侧面展开图的面积是 ． 【答案】 【详解】若一个圆锥的母线长是3，底面半径是1，则它的侧面展开图的面积是 故答案为：． 11．在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆与y轴的位置关系为 ． 【答案】相交 【详解】解：∵圆的圆心为点， ∴可知圆心到y轴的距离为， ∵圆的半径为4，且， ∴该圆与y轴的位置关系为相交． 故答案为：相交 ． 12．如图，为的直径，为弦．且平分，若，．则弦的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 13．如图，在扇形中，，的平分线交弧于点C，过点C作于点D，于点E，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】/ 【详解】解：连接，如图： ∵的平分线交弧于点C，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图：、切于、，过点的切线交、于、，，则的周长为 ． 【答案】 【详解】解：、切于、，切于， ，，； 的周长． 故答案为：． 15．如图，点在的边上，，，以为圆心为半径的圆交于点，且，则的度数是 °． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 16．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设， 则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2）解：，，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 17．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：是上一点． 求作：与的平分线相切于点的． 【答案】图见解析 【详解】解：如下图，即为所求作． 18．如图，是的直径，点C在上，，与相交于点E，与相交于点F，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接．    是的直径， ．     ， ． ．     ， ． 平分， ． ． ．     是的半径，               是的切线． （2）解：， ． ，即OD⊥BC， ∴CF＝BF．     ， ． ，． 是等边三角形．     ，，． ， ． ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形性质，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键∶ 19．中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，． (1)不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； (2)求这个月亮门的最大宽度（的直径）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：经过圆心O，且弦， ； （2）解：连接， ∵， ∴， 设的半径为m，则， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴这个月亮门的最大宽度为． 20．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动． (1)几秒钟后的面积等于； (2)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心，为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2秒或4秒 (2)存在，秒 【详解】（1）解：设运动秒钟后的面积为， 则，，，， ， ， ， ，解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． （2）假设运动开始后第秒时，满足条件，则：， ∵， ， ∴， 整理，得：，解得：， ∵， ∴运动开始后第秒时，点D恰好落在以点Q为圆心，为半径的圆上． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 对称图形——圆单元复习 教学目标 1．理解圆的定义、相关概念（弦、弧等）及点与圆的位置关系 2．掌握圆的对称性、垂径定理及推论，能用于计算与证明 3．理解圆周角定理、圆内接四边形性质，会求角度 4．掌握直线与圆的位置关系，能运用切线性质与判定解题 5．会计算扇形弧长、面积，了解正多边形与圆的关系 教学重难点 重点：垂径定理；圆周角定理；切线的性质与判定；扇形弧长及面积计算 难点：垂径定理的实际应用；切线判定的辅助线添加；扇形与正多边形综合计算 知识点01 圆的有关概念 1.圆的定义：在一个平面内，_______绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆.这个固定的端点叫做_______，线段叫做_______. 2.圆的表示方法：以点为圆心的圆记作_______，读作圆. 3.圆的特点：在一个平面内，所有到一个_______的距离等于_______的点组成的图形. 确定圆的条件：①圆心；②半径.其中，圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小. 4.圆的其他概念： 弦 连结_______任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的). 直径 经过_______的弦叫做直径（例如：右图中的）. 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以为端点的弧记作，读作圆弧或弧. 圆心角 定点在圆心的角叫圆心角 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧 在一个圆中_______半圆的弧叫做优弧. 劣弧 在一个圆中_______半圆的弧叫做劣弧. 【即学即练】 生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（    ） A．同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大 B．同一个圆所有的直径都相等 C．圆的周长是直径的倍 D．圆是轴对称图形 知识点02 点与圆的位置关系 设的半径是，点到圆心的距离为，则有： _______点在内，如图1； 点在上，如图2； _______点在外，如图3。 注：1.“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 2.点在圆上，指的是点在圆周上，而不是点在圆面上. 【即学即练】 若内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则的半径r可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 知识点03 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径_______这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1： ①平分弦（不是直径）的直径_______于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过_______，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条_______所夹的弧相等。 常见辅助线做法： 1 过圆心，作垂线，连半径，造直角三角形，用勾股，求长度；②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 【即学即练】 如图，在中，，以为圆心作圆与边相交于点于点．求证：． 知识点04 三角形的外接圆 经过三角形_______的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的_______，如图所示： 是的外接圆，为的一个内接三角形，点O为△ABC的外心. 1._______三角形的外心在三角形的内部，_______三角形的外心在斜边的中点处，_______三角形的外心在三角形的外部，如图所示： 2.一个三角形只有一个外接圆，而一个圆有_______个内接三角形； 【即学即练】 直角三角形的两直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于 ． 知识点05 圆周角 1．圆周角概念：顶点在_______上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理及推论 具体内容 图示 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的_______的一半 （即：圆周角=圆心角，如图示中的） 推论1 同弧或等弧所对的圆周角_______。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的_______一定相等。 如图示中的 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是，的圆周角所对的弦是_______ 2．圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角_______，外角等于它的_______。 证明：在⊙中，∵四边是内接四边形 ∴， 【即学即练】 如图，，分别为的半径，点A在圆上，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 知识点06 直线与圆的位置关系 1．位置关系 位置关系 与的比较 交点情况 图示 相离 _______交点 相切 有_______交点 相交 有_______交点 2．切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径_______且_______于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端，∴是⊙的切线 2、性质定理：切线_______于过切点的_______（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 3．切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的 连线_______两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线，∴，平分 4．三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都_______的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内_______的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离_______。 （2）中，则内切圆的半径 。 （3）_______，其中是边长，是内切圆的半径。 【即学即练】 1．已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于 ． 2．如图，是的直径，过点的切线与的延长线相交于点，且，则（   ） A． B． C． D． 知识点07 正多边形与外接圆 1．正多边形与外接圆：一般地，用_______把一个圆等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的_______正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆 2．正多边形的中心:正多边形的外接圆的_______叫做这个正多边形的中心。 3．正多边形的半径:正多边形的外接圆的_______叫做这个正多边形的半径。 4．正多边形的边心距:正多边形的中心到正多边形_______的距离叫做这个正多边形的边心距。 5．中心角:正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 5．正多边形的轴对称性：正多边形都是轴对称图形。一个正边形共有_______条对称轴，每条对称轴都通过正边形的_______。 6．正多边形的中心对称性：边数为_______的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 7．正多边形的画法:先用量角器或尺规_______圆，再做正多边形 8．圆内正多边形的计算 正多边形 正三角形 正四边形 正六边形 图示 长度比例 有关计算在中进行， _______ 有关计算在中进行， _______ 有关计算在中进行， _______ 【即学即练】 若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（   ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形 知识点08 扇形的弧长和面积计算 （1）扇形弧长公式：_______； （2）扇形面积公式：_______ 其中：圆心角，：扇形多对应的圆的半径， 注意： （1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的_______，即； （2）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的_______，知道其中的_______个量就可以求出第三个量. （3）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是_______的，即； （4）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、_______、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 【即学即练】 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”才能下料，如图所示的管道展直长度是（   ）． A． B． C． D． 题型01 圆的基本认识 例1．如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 变式1-1．一个米一周的标准跑道，如果跑道的宽度为1米，进行米比赛时，起跑时第二道比第一道向前移 米． 变式1-2．下列说法正确的是（   ） A．以点为圆心，线段的长为半径作弧 B．有两边相等的两个直角三角形全等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．五边形的内角和是720° 变式1-3．外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为 ． 题型02 点与圆的位置关系问题 例2．如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．平面上一点Ｍ到上的最长距离为，最短距离为，那么的半径长为 ． 变式2-2．如图，在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，当点A在内，点B在外时，r的取值范围是 ． 变式2-3．已知的半径是，当时，点在 ． 题型03 弧、弦、角的关系 例3．如图，是的直径，四边形内接于，若，则的长为（    ） A．8 B．9 C．6 D．4 变式3-1．如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ． 变式3-2．如图，四边形内接于，．若，，则的半径是 ． 变式3-3．如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于 度 题型04 垂径定理 例4．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若大正方形的边长为，则小正方形的边长为 ． 变式4-1．的半径为，弦，，，则、间的距离是：（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 变式4-2．如图，某高速公路的一个圆弧形隧道的截面，若路面宽为10米，净高为7米，此隧道圆弧的半径等于 ． 变式4-3．已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：． 题型05 三角形的外接圆问题 例5．如图，正三角形是圆的内接三角形，弦，且与垂直，则圆的半径等于（   ） A．2 B． C． D． 变式5-1．如图，点是的外心，连接、，若，则的度数为 ． 变式5-2．如下图，在平面直角坐标系中，是上的三个点． (1)直接写出圆心M的坐标：________． (2)求的半径． (3)判断点与的位置关系． 变式5-3．如图，在直角坐标系中，点的坐标分别是，． (1)外接圆的圆心坐标是______． (2)画出绕点顺时针旋转后所得的图形． 题型06 圆周角定理的有关计算 例6．如图，的半径垂直于弦于点，连接并延长交于点，若，则 ， ． 变式6-1．如图，已知的半径为3，内接于，，则的长为（    ） A．3 B． C． D．4 变式6-2．如图，在中，为直径，C，D为圆上的点，若，则的大小为 ． 变式6-3．如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ． 题型07 圆内接四边形 例7．如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则 ． 变式7-1．如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么（    ） A．40 B．50 C．60 D．70 变式7-2．已知：的内接四边形中，，则的度数是 ． 变式7-3．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是 ． 题型08 直线与圆的位置关系 例8．已知中，，，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段只有一个交点，则r的取值范围为 ． 变式8-1．设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 变式8-2．在中，，若以点C为圆心，r为半径的与直线相切，则r的值为（     ） A．2.4 B．3 C．4.8 D．5 变式8-3．在直角坐标系中，已知是以原点O为圆心，1为半径，若直线与有公共点，则a的取值范围是 ． 题型09 切线长定理 例9．如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式9-1．如图，、切于、，是直径，连结、．若，则下列结论中，一定正确的是 ①；②；③；④． 变式9-2．一根钢管放在形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，如果，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式9-3．如图，中，为直径，，分别切于点，．过点作于点，交于点，若，则 ． 题型10 切线的判定与性质 例10．如图，为的切线，为切点，过作，垂足为，交于点，延长与的延长线交于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 变式10-1．如图，是的直径，为弦，过点的切线与的延长线相交于点．若，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 变式10-2．如图，在中，，以AB为直径的交BC于点D，过点D作，交AC于点E，AC的反向延长线交于点F． (1)求证：DE为的切线； (2)若，的半径为5，求的长度． 变式10-3．如图，内接于，是直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 题型11 正多边形与圆 例11．俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是 ． 变式11-1．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，连接、，则（　　） A． B． C． D． 变式11-2．如图，为圆的直径，，为圆内接正方形，，分别为的中点，则阴影部分面积为 ．    变式11-3．如图，经过正六边形的顶点，，为优弧上一点，则劣弧所对的圆周角的度数为 ． 题型12 扇形的弧长和面积公式 例12．如图，在中，，，，点A，B在直线l上．将沿直线l向右作无滑动翻滚，则翻滚一周时点A经过的路线长是（   ）    A． B． C． D． 变式12-1．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是 ． 变式12-2．甲乙两幅图中，正方形边长都相等，则甲乙阴影部分的面积（    ）． A．甲图阴影大 B．乙图阴影大 C．一样大 变式12-3．如图，是的直径，点C，D是上的两点，且在的两侧，是的切线，，交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 题型13 圆锥问题的相关计算 例13．一个圆锥形零件的母线长为，底面半径为，则这个圆锥形零件的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式13-1．2025年春节贺岁档的《哪吒之魔童闹海》中敖丙和哪吒联手对抗黑暗势力时，敖丙用冰之力创造出一个圆锥冰盾．已知该冰盾的高比底面半径r大，同时，哪吒用混天绫围绕这个圆锥体冰盾的底面刚好缠绕一圈进行加固，已知圆锥体冰盾的母线长为．则此时混天绫的长度为 ．（保留） 变式13-2．如图，正六边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，所做圆锥的底面半径为 ． 变式13-3．如图，正方形的边长为，以点为圆心，为半径，画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列命题中，正确的是（    ） ①顶点在圆上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③的圆周角所对的弦是直径；④同弧所对的圆周角相等；⑤各角相等的圆内接多边形是正多边形 A．①②③ B．③④⑤ C．②③④ D．③④ 2．如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接、、、． 若， 四边形的面积为．则（           ） A． B． C． D． 5．如图，、、为钝角的三条高，为钝角．则B为的（   ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 6．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A． B． C． D． 7．如图，C是以为直径的半圆上一点，过B，C两点作与弦相切．已知，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，点O既是的内心，也是的外心，若，则的度数为 ． 10．若一个圆锥的母线长是3，底面半径是1，则它的侧面展开图的面积是 ． 11．在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆与y轴的位置关系为 ． 12．如图，为的直径，为弦．且平分，若，．则弦的长为 ． 13．如图，在扇形中，，的平分线交弧于点C，过点C作于点D，于点E，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 14．如图：、切于、，过点的切线交、于、，，则的周长为 ． 15．如图，点在的边上，，，以为圆心为半径的圆交于点，且，则的度数是 °． 三、解答题 16．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 17．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：是上一点． 求作：与的平分线相切于点的． 18．如图，是的直径，点C在上，，与相交于点E，与相交于点F，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 19．中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，． (1)不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； (2)求这个月亮门的最大宽度（的直径）． 20．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动． (1)几秒钟后的面积等于； (2)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心，为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 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