精品解析：江苏省泰州中学2025-2026学年高三上学期第一次质量检测（10月）数学试题

2025-2026学年秋学期高三年级第一次质量检测试卷 数学学科 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的定义与单调性求解集合,然后求解交集. 【详解】由,则, 所以. 故选：C. 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则实数（ ） A. －2 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可求实数的值. 【详解】因为， 故，故， 故选：D. 3. 已知某圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则其侧面展开图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可得展开图为圆环的一部分，求出小圆和大圆半径即可求出. 【详解】易知母线长为，且上底面圆周为，下底面圆周为，易知展开图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为3，则大圆半径为6， 所以面积. 故选：C. 4. 已知且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意有， 当且仅当时，等号成立， 则的最小值为. 故选：A. 5. 将4本不同的书分给3名学生，每人至少一本，则不同的分配方法数为（ ） A. 24 B. 36 C. 64 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先分组后分配，利用排列组合数计算即可. 【详解】由题意，4本不同的书可以分成2,1,1三组，有种分组方法，再分给3名学生，有种分配方法， 所以，不同的分配方法数为. 故选：B. 6. 已知函数（，且）在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的复合函数的单调性求参即可. 【详解】若，则在上恒成立，不符合条件． 若，则在上单调递增，得解得. 故选：D. 7. 如果实数、满足，那么的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先将题干方程转化为圆的标准方程，则是圆上一点与所在直线的斜率，当直线越陡，斜率越大，即当与圆相切于第一象限时，斜率取得最大值，由此可算出的最大值. 【详解】将满足的方程转化为，发现其是一个圆心在，半径为的圆， 而可看作是圆上一点与所在直线的斜率， 易知当与圆相切于第一象限时，斜率取得最大值，设切线所在直线的倾斜角为， 则，由同角的三角函数关系可得，即斜率最大为， 所以的最大值为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 为了探讨学生的物理成绩与数学成绩之间的关系，从某批学生中随机抽取10名学生的成绩，并计算出，物理成绩关于数学成绩的线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当某学生数学成绩为100时，物理成绩一定为92.5 C. 相关系数 D. 现发现10位同学中有两位同学数据（70，65）和（90，100）误差较大，剔除这两对数据后，得到的线性回归方程为，则实数的值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AD：根据线性回归方程必过样本中心点运算求解；对于B：代入，结合回归方程的意义分析判断；对于C：根据正相关的定义分析判断. 【详解】对于选项A：因为线性回归方程必过样本中心点， 由题意可得：，故A正确； 对于选项B：令，可得， 但回归方程只能用于预测结果，并不一定与实际结果完全相等， 所以预测物理成绩为92.5，故B错误； 对于选项C：因为，即线性回归方程为的图象是上升的， 可知与满足正相关，所以相关系数，故C正确； 剔除这两对数据后，， ， 因为线性回归方程必过样本中心点， 所以，则，D正确. 故选：ACD 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】应用作差法比较代数式的大小判断A、B；由放缩及基本不等式判断C；应用特殊值举反例判断D. 【详解】A：由，则，则，对； B：由，则， 所以，则，对； C：由，则，对； D：若，则，错. 故选：ABC 10. 已知正方体的棱长为2，为正方体的内切球的直径，为正方体表面上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若在线段上运动，则 B. 若在线段上运动，则的最小值为 C. 与所成角的范围为 D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据线面垂直的判定及性质可判定；对于B，最短距离问题可把两个线段展开到一个平面考虑；对于C，利用线线角的概念及球的性质可得线线角的最大值进而可判断；对于D，可采用极化恒等式来转化数量积结合球的性质即得. 【详解】对于A，连接，由正方体的性质可知平面，平面，故， 又，平面，所以平面， 又平面，，同理可得， 又平面，所以⊥平面，又平面， 所以⊥，故A正确； 对于B，把平面绕着展开到平面，使得位于两侧，如图所示， 则，，故B正确； 对于C，易知的中点即为球心O，如下图所示： 当AM与球相切时，AM与所成的角最大，此时， 显然，结合两直线所成角的范围可知AM与所成角的范围为是错误的，故C错误； 对于D，依题意可知O为正方体的中心，如下图所示： ， 又因为MN为球O的直径，所以，，即可得. 易知当点P为正方体与球O的切点时，最小；当点P为正方体的顶点时，最大，故，因此可得的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知的二项展开式中各项系数的和为______． 【答案】256 【解析】 【分析】利用赋值法计算即可. 【详解】对于，令， 则的二项展开式中各项系数的和为． 故答案为：256 12. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于两点，且与轴相交于点，若，，，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】如图，易得，则.后由抛物线定义及题目条件可得答案. 【详解】过点A，分别作抛物线准线的垂线，， 垂足分别为，，且，与轴分别相交于，， 则，得． 由抛物线的定义知，， 则，解得. 故答案为：4. 13. 已知定义在上的函数满足：为奇函数，，，且对任意，都有，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】由题设可得、，根据有，结合、即可求解． 【详解】由题设，则， 所以，即关于对称，又，则， 由于，又任意都有， 所以， 由，故， 而，故，故． 综上，． 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值； 【小问1详解】 如图，连接交于点O，连接， 则点O为的中点，且D是的中点， 则为的中位线，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 取的中点F， 因为在正中，D是的中点，故， 因为三棱柱为正三棱柱， 所以平面ABC， 又因为D是的中点，F是的中点， 所以， 所以平面，所以，， 以D为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，． 故，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，即． 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 15. 已知椭圆． （1）求椭圆C的离心率e； （2）若，斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，且，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）直接根据椭圆的离心率公式得答案； （2）由可得椭圆方程为：，再设直线l的方程，联立直线方程与椭圆方程，结合椭圆弦长的解法，利用韦达定理化简可求直线方程. 【详解】（1）椭圆．化为标准方程：， 椭圆长半轴长为，短半轴长为b， ． （2），斜率为1的直线与椭圆交于A、B两点， 设斜率为1的直线l的方程为，且、， ， 椭圆C的方程为：， 由，消去y得， ，解得， 有，， ， 解得，即， 直线l的方程为． 16. 已知为奇函数，． （1）求实数的值； （2）求函数的值域； （3）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质求得，然后检验满足即可得解； （2）根据，结合不等式性质求解函数的值域； （3）先判断为增函数，令，然后将函数有两个零点转化为在上有两不等根，最后利用二次函数根的分布列不等式组求解即可. 【小问1详解】 函数定义域为， 因为为奇函数，所以 当时，，所以，故， 则，经检验，满足条件，故． 【小问2详解】 因为，所以， 所以，即，所以， 所以函数的值域． 【小问3详解】 因为为增函数，所以为增函数，为减函数， 所以为增函数．令，则． 由（2）可知，当时，仅一根， 所以在上有两不等根， 所以，解得，所以． 17. 已知双曲线的离心率为，且经过点. （1）求的方程； （2）已知，若垂直于轴的直线与相交于两点，直线和的另外一个交点为C. （i）求证：直线过定点； （ii）过点作直线l交的右支于两点，求的面积的最小值. 【答案】（1）； （2）（i）证明：方法一：设，则， 因为三点共线，所以. 当轴时，三点不共线，所以斜率不为0， 设的方程为. 联立双曲线，得， 所以， 又，所以， 即， ，化简得. 显然，，所以，直线恒经过定点. 方法二：设，则，直线， 联立双曲线， 得， ， 且， 由，则直线， 整理得， 又， ，显然直线过定点，得证； （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式以及点的坐标，联立方程即可求解， （2）（i）联立直线与双曲线的方程，可得韦达定理，根据斜率公式以及三点共线，即可求解，（ii）根据弦长公式以及三角形的面积公式，利用导数求解函数的单调性即可得最值求解. 【小问1详解】 因为双曲线的离心率为， 所以，所以， 所以的方程为，代入点，解得， 所以的方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）由直线过点，与双曲线右支交于，故斜率必不为0， 可设，联立双曲线， 整理得， 则. 与的右支交于两点，其中一条渐近线的斜率为，所以， . 令，则， 令，则， 在上单调递减， 则，此时，即， 的面积的最小值为. 18. 某科技公司招聘技术岗位人员一名.经初选，现有来自国内三所高校的10名应届毕业生进入后面试环节.其中校和校各4名，校2名，10名面试者随机抽取1，2，3，...10号的面试序号. （1）若来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的2名毕业生的面试序号分别为，，且. （i）求概率； （ii）记随机变量，求的均值. （2）经面试，第位面试者的面试得分为，且他们的面试得分各不相等，公司最终录用得分最高者.为提高今后面试效率，现人事部门设计了以下面试录用新规则：，且，集合中的最小元素为，最终录用第位面试者.如果以新规则面试这10名毕业生，证明：面试得分第一､二（按得分从高到低排）的两名毕业生之一被录用的概率不小于0.59. 【答案】（1）（i）；（ii） （2） ①第一种情况，录用了面试得分第一的人. 若面试得分第一的人在第位，要使得其被录用，则在他前面的个人中的最高分必然在前3位， 其他个人可以任意排列，在得分第一后面的个人任意排列，这种情况的概率为： . ②第二种情况，录用了面试得分第二的人. 若面试得分第一的人在前三位，则第二的人在第10位，其他人任意排列， 这种情况的概率为. 若面试得分第一的人不在前二位，那么他一定在第二的人后面，第二的人在第位， 同样在他前面的个人中的最高分必然在前3位，其他个人可以任意排列， 在得分第二后面的（含第一）个人任意排列，这种情况的概率为： 综上，面试得分第一､二的两名毕业生之一被录用的概率为： 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接求解即可；先求得的取值，再根据期望计算公式，直接计算即可； （2）分别计算录用面试第一名，和第二名的概率，即可证明. 【小问1详解】 （i）， （ii）的可能取值为，则， 所以 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年秋学期高三年级第一次质量检测试卷 数学学科 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则实数（ ） A. －2 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知某圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则其侧面展开图的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 5. 将4本不同的书分给3名学生，每人至少一本，则不同的分配方法数为（ ） A. 24 B. 36 C. 64 D. 72 6. 已知函数（，且）在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如果实数、满足，那么的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 为了探讨学生的物理成绩与数学成绩之间的关系，从某批学生中随机抽取10名学生的成绩，并计算出，物理成绩关于数学成绩的线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当某学生数学成绩为100时，物理成绩一定为92.5 C. 相关系数 D. 现发现10位同学中有两位同学数据（70，65）和（90，100）误差较大，剔除这两对数据后，得到的线性回归方程为，则实数的值为 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知正方体的棱长为2，为正方体的内切球的直径，为正方体表面上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若在线段上运动，则 B. 若在线段上运动，则的最小值为 C. 与所成角的范围为 D. 的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知的二项展开式中各项系数的和为______． 12. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于两点，且与轴相交于点，若，，，则______. 13. 已知定义在上的函数满足：为奇函数，，，且对任意，都有，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 15. 已知椭圆． （1）求椭圆C的离心率e； （2）若，斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，且，求直线l的方程． 16. 已知为奇函数，． （1）求实数的值； （2）求函数的值域； （3）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 17. 已知双曲线的离心率为，且经过点. （1）求的方程； （2）已知，若垂直于轴的直线与相交于两点，直线和的另外一个交点为C. （i）求证：直线过定点； （ii）过点作直线l交的右支于两点，求的面积的最小值. 18. 某科技公司招聘技术岗位人员一名.经初选，现有来自国内三所高校的10名应届毕业生进入后面试环节.其中校和校各4名，校2名，10名面试者随机抽取1，2，3，...10号的面试序号. （1）若来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的2名毕业生的面试序号分别为，，且. （i）求概率； （ii）记随机变量，求的均值. （2）经面试，第位面试者的面试得分为，且他们的面试得分各不相等，公司最终录用得分最高者.为提高今后面试效率，现人事部门设计了以下面试录用新规则：，且，集合中的最小元素为，最终录用第位面试者.如果以新规则面试这10名毕业生，证明：面试得分第一､二（按得分从高到低排）的两名毕业生之一被录用的概率不小于0.59. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $