精品解析：河北省承德市五校2026届高三上学期10月月考数学试题

2026届高三上学期10月考试 数 学 本试卷共19题，满分150分.考试用时120 分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合定义可求得集合，由交集定义可求得结果. 【详解】当时，；当时，； 当时，；当时，； ，. 故选：B. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算可得答案. 【详解】由，得， 得. 故选：D． 3. 随着汽车智能化与电动化的不断升级，无人驾驶汽车成为汽车行业发展的新趋势．据统计，截至2024年7月底中国无人驾驶汽车行业存续企业数量为1782家，这些企业的注册资本分布情况如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 注册资本不高于200万元的企业数量占比不足 B. 注册资本在1000万元以上的企业超过750家 C. 注册资本分布数据的分位数是 D. 从注册资本在100万元—500万元的企业中随机抽取1家，该企业注册资本在200万元—500万元的概率不小于0.55 【答案】C 【解析】 【分析】根据饼状图可知注册资本不高于200万元的企业数量占比为，在1000万元以上的企业数量为，可判断AB正确，利用百分位数定义计算可得C错误，根据不同资本的企业占比计算可得D正确. 【详解】选项A：注册资本不高于200万元的企业数量占比为，，A正确． 选项B：注册资本在1000万元以上的企业数量为，，B正确． 选项C：，故分位数为与的平均数，C错误． 选项D：从注册资本在100万元—500万元的企业中随机抽取1家， 则该企业注册资本在200万元—500万元的概率为，，D正确． 故选：C 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系化简，再根据二倍角公式求解即可. 【详解】方法一： ， ，解得. 故选：C. 方法二：， . 故选：C. 5. 已知点是球表面上一点，圆锥的底面圆的圆周都在球的表面上，若圆锥的母线长与高之比为，则球的表面积与圆锥的侧面积的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设球的半径为，圆锥的底面半径为，高为，由已知可得，，可求结论. 【详解】设球的半径为，圆锥的底面半径为，高为， 由圆锥的母线长与高之比为，得，所以， 由，得． 所以球的表面积与圆锥的侧面积的比值为， 故选：D． 6. 已知函数满足，，函数，若，则的值可以是（ ） A. 149 B. 151 C. 199 D. 300 【答案】A 【解析】 【分析】根据抽象函数的特点观察的取值规律，再由函数的特点可知，当为正偶数时，，当为正奇数时，，所以只需判断中正奇数的个数为时的取值即可． 【详解】由，， 得的前项的值依次为， 观察规律可得：当时，为正偶数，， 当或时，为正奇数，， 故，易知为正偶数，故， 所以，同理可得，，， 结合选项可知n的值可为149， 故选：A． 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于点，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量关系得到，根据椭圆的定义及线段间的关系求出、、，解法一，再利用三角知识求出的值，进而求得的值；解法二，再利用二级结论求出的值，进而求的值. 【详解】如图，由，得． 设，则，，由， 得，． 解法一， ，由，得， 整理得，得，（，舍去） 所以； 解法二， 如下图，直线过椭圆的右焦点， 交椭圆于点，， 椭圆的右准线方程为，根据椭圆的第二定义， 即有，， 设与轴的夹角为，则有， 于是有， 可得 ， ，可得， 同理可得，所以. 根据椭圆的焦半径倒数和公式得， 即， 整理得，得，（ ，舍去） 所以. 故选：A． 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线焦点三角形有关的问题，常利用圆锥曲线的定义及余弦定理求解，有时需要在两个三角形中分别使用余弦定理建立关系式，求解此类问题要重视整体思想的应用，尽量减少不必要的计算． 8. 从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数，，，，则存在，，使得的取法种数为（ ） A. 195 B. 154 C. 175 D. 185 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：利用正难则反的思想，先假设，若不存在，使得，可得，进而结合组合学知识求解即可； 解法二：利用转化的思想，将问题转化为所取的4个数中至少有2个是连续正整数，进而分类讨论求解即可. 【详解】排列与组合 解法一（正难则反）：存在，，使得表示所取的4个数中总有相邻的数， 直接求解较复杂，考虑正难则反的方法． 假设，若不存在，使得， 则，所以符合条件的取法种数为． 解法二（转化法）：若存在，，使得， 则所取的4个数中至少有2个是连续正整数， 若只有2个是连续正整数，问题转化为把6个相同的白球与4个相同的红球排成一行， 要求只有2个红球相邻，先把6个白球排成一行，再用插空法排红球， 排法种数为． 同理可得若只有3个是连续正整数，排法种数为． 若4个都是连续正整数，排法种数为7． 若4个数中有2个是连续正整数，另外2个也是连续正整数， 但这4个数不是4个连续正整数，则排法种数为． 所以符合条件的取法种数为. 故选：C． 【点睛】方法点睛：求解排列与组合问题的常用方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算． 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置． 捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列． 插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素的排列空位中． 先整体，后局部 “小集团”排列问题中，先整体后局部． 除法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列． 间接法 正难则反，等价转化的方法． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若存在，使得与同时成立，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为8 D. 的最大值为－16 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知可得，可求得或，可判断A；计算可判断B；利用基本不等式计算可判断CD. 【详解】选项A：存在，使得与同时成立，则， （提示：只有当时，才有） 解得或，所以，故A正确． 选项B：若，则或，又，故B错误． 选项C：，当且仅当时等号成立，又，所以，故C错误． 选项D：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，故D正确． 故选：AD. 10. 已知为的外心，，则（ ） A. 与不共线 B. 与垂直 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用向量的线性运算可得，可判断A；由为的外心，可得与垂直；进而可得与垂直，可判断B；利用已知可求得，进而可求得可判断C；由已知可得，两边平方可求得. 【详解】选项A：由得，则与共线，故A错误． 选项B：因为为的外心，所以，所以与垂直， (在中，取的中点，连接，则，所以， 所以)，因为与共线，所以与垂直，故B正确． 选项C：设，则，由得， 所以，故C正确． 选项D：设的外接圆半径为1，由得， 所以，两边同时平方得， 即，所以，故D错误． 故选：BC. 11. 已知函数，点，则下列说法正确的是（ ） A. 过点与的图象相切的切线的斜率恒不为1 B. 若，则过点可作3条直线与的图象相切 C. 若过点且斜率为4的直线与的图象有2个交点，则 D. 若图象上任意两点连线所在直线的斜率恒大于点与点连线所在直线的斜率，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】把各选项问题转化为三次方程或三次函数，再利用三次函数的性质来解决问题即可. 【详解】设过点的直线与的图象切于点，易知． 当，重合时，，得（舍去），此时切线的斜率为4，显然不为1． 当，不重合时，切线的斜率为，则， 整理得,则该关于的方程实根个数就是切线条数. 对于A，假设切线的斜率为1，则，得， 代入得，与矛盾， 故过点与图象相切的切线的斜率恒不为1，故A正确． 对于B，设，则， 令，得或，因为，所以， 根据三次函数性质，当两个极值点的函数值异号时，该三次函数有三个零点， 所以可得有3个零点，即方程有3个不同的实根， 所以满足的切线有3条，故B正确． 对于C，过点且斜率为4的直线方程为，即， 与联立并消去可得， 设，则问题转化为有2个零点， 由得，所以，解得，故C错误． 对于D，设图象上任意两点的坐标分别为，， 则，所以， 令，则是增函数， 所以恒成立， 所以的取值范围是，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的渐近线方程为，且的焦点在轴上，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由渐近线方程可得，根据可求得离心率. 【详解】由题意可设双曲线的方程为：， 则双曲线的渐近线方程为：，， 的离心率. 故答案为：. 13. 已知正四棱锥中异面的两条棱所在直线所成角的余弦值为，过的平面与线段交于点，，，则点到的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：根据异面直线所成角定义可知，由此可求得点到底面的距离，根据知点到底面的距离为；根据解三角形知识可求得，利用等体积法可求得结果； 方法二：根据异面直线所成角定义可知，由此可求得点到底面的距离，以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据点面距离的向量求法可求得结果. 【详解】方法一：如图所示，正四棱锥中异面的两条棱一定是一条侧棱和底面中与其不相交的一条棱，则与所成角的余弦值为， 又，， ，，又，； 点到底面的距离为， 又，点到底面的距离为； 连接，则平面即平面，连接， 在中，，， ， 在中，，，， ，， ，， 设点到平面的距离为， 由得：，解得：， 点到平面的距离为． 方法二：正四棱锥中异面的两条棱一定是一条侧棱和底面中与其不相交的一条棱，则与所成角的余弦值为， 又，， ，，又，； 点到底面的距离为， 连接，，连接，则平面即平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，解得：，，， 则点到平面的距离. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离的三种方法： （1）向量法：设是平面的一个法向量，是平面的一条斜线，其中，则点到平面的距离为； （2）等体积法：在三棱锥中求点到平面的距离的常用方法； （3）几何法：找到点到平面的距离，有时可转化为过已知点且与相关平面平行的直线上的其他点到平面的距离． 14. 已知函数，，若对满足的任意都有，且存在，，使得，则的取值集合为______．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】先对满足的任意都有图象的对称轴都是图象的对称轴,再结合函数值域得出参数范围即可解. 【详解】因为对满足的任意都有， 所以图象的对称轴都是图象的对称轴，又， 所以其图象关于直线对称，所以， 所以，易知的值域为，的值域为． 若存在，，使得，则， 所以，所以， 因为，，所以的值可能为4，5，6，7，8，即的取值集合为． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：先求出图象的对称轴再结合函数有相同的对称轴得出，再由函数的值域计算求参． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）若，求角； （2）若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合正弦定理可得，利用余弦定理结合已知可得，可求； （2）利用三角形的面积公式可求，计算可求. 【小问1详解】 由及正弦定理得，故， 由余弦定理得， 又，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 因为的面积为， 所以， 又，所以， 又，所以，得． 16. 如图，已知三棱锥的体积为，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】（1） 因为，，所以为等腰直角三角形， 又为的中点，所以， 的面积为． 设三棱锥的高为，则， 所以，因为，所以是三棱锥的高， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面平面，平面，， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据三棱锥的体积证明平面，由面面垂直的判定定理得证平面平面，再由面面垂直的性质定理证明平面； （2）以点为坐标原点，直线，分别为，轴，过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，借助直线与平面所成角的正弦值解决问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为坐标原点，直线，分别为，轴， 过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，． 设， 则． 设平面的法向量为， 则，即， 则，取，得． 设直线与平面所成角为， 则， 所以，即． 17. 已知斜率为1的直线与抛物线交于点A，B，以点为圆心的圆过点A，B，且圆M关于直线AB 对称. （1）求抛物线C与圆M的方程； （2）过y轴上的点P作斜率为1的直线l，交圆M于点Q，R，且与C交于不同的两点，求取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）求直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系得的值，即得抛物线方程，利用弦长公式求直径，即可得到圆的方程. （2）设，根据直线与圆、抛物线的位置关系求的范围，利用切割线定理求的范围. 【小问1详解】 由以点为圆心的圆过点，且圆关于直线对称， 得线段为圆的直径，点为线段的中点，而直线过点且斜率为1， 则直线的方程为，即，设， 由得，则，， 由，得，因此抛物线的方程为； 此时，， 则圆的半径为，所以圆的方程为. 【小问2详解】 设，直线的方程为，即， 由直线与圆有两个交点，得点到直线的距离，解得， 由，得，而直线与抛物线有两个公共点， 则，解得，于是， 由，得点在圆外，过点作圆的切线，设切点为，连接， 则，由切割线定理得，， 而，则， 所以的取值范围是. 18. 已知函数． （1）若，求证：在上单调递增； （2）若，判断极大值点的个数． 【答案】（1） 因为，所以． 若，因为函数、在上均为增函数， 则在上单调递增，且，， 故当时，，在上单调递增； 若，设，则， 因为函数、在上均为增函数， 则在上单调递增， 故当时，，在上单调递增， 由得， 所以当时，，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增． （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分、两种情况，令，分析函数的单调性，再利用函数单调性与导数的关系可证得结论成立； （2）当时，利用导数分析函数的单调性，利用函数极值点与导数的关系可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 当时，因为函数、在上均为增函数， 则在上单调递增， 又， 因为函数在上单调递增，则， 则，， 所以存在，使得， 则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增． ， 又，所以存在使得， 且当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以是的极大值点． 由当时，，单调递增， 可知在上没有极大值点． 所以有唯一极大值点，故极大值点的个数为． 【点睛】思路点睛：若函数的零点存在，但无法求出，我们常先设其为，再利用函数的单调性及零点存在定理确定所在的区间，进而解决问题，我们把这类问题称为“隐零点”问题．利用函数零点存在定理时，不仅要求函数图象在区间上是连续不断的曲线，且，还需要结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点． 19. 已知数列，，若对任意的，且，则，为“关联数列”，定义，. （1）若，为“关联数列”，求； （2）若，为“关联数列”，且，从，，，中随机取出3项，记这3项的和为，求的分布列与数学期望； （3）若，为“关联数列”，数列满足，且，求的最大值. 【答案】（1） （2）的分布列为： －3 －1 1 3 （3）4 【解析】 【分析】（1）方法一：由题意可知，解出，针对部分利用错位相减法求得结果；方法二：根据，为“关联数列”得到，然后利用裂项相消法求得结果； （2）先分析，，…，中1与－1的个数，然后求出的所有可能取值及对应的概率，列出分布列，最后求数学期望； （3）先求出，分析，的情况，然后结合分析，的情况，最后根据，的情况求出结果. 【小问1详解】 方法一： 由题可知因为，为“关联数列”，又因为， 所以且，所以， 所以， 设，则， 两式相减得：， 所以； 方法二： 因为，为“关联数列”，所以且，所以， 所以； 【小问2详解】 因为，为“关联数列”，所以且，则， 若，则，若，则， 因为，所以， 所以，，…，中有4项为1，6项为， 由题意得的所有可能取值为，，，， ，， ，， 所以的分布列为： －3 －1 1 3 ； 【小问3详解】 因为，为“关联数列”，所以且，所以， 所以，从而，即， 又，所以， 所以，中有3组符号相同，5组符号相反， 因为，符号相反，所以，有3组符号相反，5组符号相同， 当，符号相反时，，当，符号相同时，， 所以， 所以的最大值为4. 【点睛】思路点睛：新定义问题的求解过程可如以下过程： 第一步：提取信息，对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； 第二步：加工信息，细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决 方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点； 第三步：迁移转化，如果是新定义的运算、法则，直接按照运算、法则计算即可，如果是新定义的性质， 一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等）； 第四步：计算，得结论，结合题意进行严密的逻辑推理，计算得结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三上学期10月考试 数 学 本试卷共19题，满分150分.考试用时120 分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 随着汽车智能化与电动化的不断升级，无人驾驶汽车成为汽车行业发展的新趋势．据统计，截至2024年7月底中国无人驾驶汽车行业存续企业数量为1782家，这些企业的注册资本分布情况如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 注册资本不高于200万元的企业数量占比不足 B. 注册资本在1000万元以上的企业超过750家 C. 注册资本分布数据的分位数是 D. 从注册资本在100万元—500万元的企业中随机抽取1家，该企业注册资本在200万元—500万元的概率不小于0.55 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点是球表面上一点，圆锥的底面圆的圆周都在球的表面上，若圆锥的母线长与高之比为，则球的表面积与圆锥的侧面积的比值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足，，函数，若，则的值可以是（ ） A. 149 B. 151 C. 199 D. 300 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于点，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数，，，，则存在，，使得的取法种数为（ ） A. 195 B. 154 C. 175 D. 185 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若存在，使得与同时成立，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为8 D. 的最大值为－16 10. 已知为的外心，，则（ ） A. 与不共线 B. 与垂直 C. D. 11. 已知函数，点，则下列说法正确的是（ ） A. 过点与的图象相切的切线的斜率恒不为1 B. 若，则过点可作3条直线与的图象相切 C. 若过点且斜率为4的直线与的图象有2个交点，则 D. 若图象上任意两点连线所在直线的斜率恒大于点与点连线所在直线的斜率，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的渐近线方程为，且的焦点在轴上，则的离心率为______． 13. 已知正四棱锥中异面的两条棱所在直线所成角的余弦值为，过的平面与线段交于点，，，则点到的距离为______． 14. 已知函数，，若对满足的任意都有，且存在，，使得，则的取值集合为______．（参考数据：） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）若，求角； （2）若的面积为，求． 16. 如图，已知三棱锥的体积为，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 17. 已知斜率为1的直线与抛物线交于点A，B，以点为圆心的圆过点A，B，且圆M关于直线AB 对称. （1）求抛物线C与圆M的方程； （2）过y轴上的点P作斜率为1的直线l，交圆M于点Q，R，且与C交于不同的两点，求取值范围. 18. 已知函数． （1）若，求证：在上单调递增； （2）若，判断极大值点的个数． 19. 已知数列，，若对任意的，且，则，为“关联数列”，定义，. （1）若，为“关联数列”，求； （2）若，为“关联数列”，且，从，，，中随机取出3项，记这3项的和为，求的分布列与数学期望； （3）若，为“关联数列”，数列满足，且，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $