专题02 期中真题百练通关33题11大压轴题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材冀教版

专题02 期中真题百练通关（33题11大压轴题型） 题型1 数轴上的动点问题 题型7 线段中点有关压轴计算 题型2 绝对值的几何意义 题型8 线段上的动点问题 题型3 带字母的绝对值化简问题 题型9 几何图形中角度计算压轴问题 题型4 数轴、绝对值的综合问题 题型10 角平分线角度计算压轴问题 题型5 有理数的简便运算 题型11 几何图形中角的数量关系问题 题型6 有理数的新定义运算 题型一 数轴上的动点问题（共3小题） 1．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度．可以看出，终点表示的数是．已知A，B都是数轴上的点．参照图中所给的信息，完成下列问题． (1)若点A表示的数是，将点A向右移动5个单位长度至点，则点表示的数是 ； (2)已知点B表示的数是，点P从点B出发先向左移动7个单位长度至点D，则点D表示的数是 ，再向右移动个单位长度至点C，则点C表示的数是 ； (3)在（2）的条件下，点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点M运动到所在的点处时，求M，N两点间的距离． 2．如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点、表示的数分别是______和______； (2)当时，求、两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间使、两点间的距离与、两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 3．（1）、、、四点的位置在如图1所示的数轴上，且点所表示的数，满足，则 ， ； （2）在（1）的条件下，在该数轴上，线段以个单位的速度向正方向运动·，同时线段以个单位的速度向负方向．那么这两条线段从开始运动到完全离开需要经过多少？ （3）如图，三点在以O为原点的数轴上，点在以O为圆心，半径等于的圆周上，且，点绕点O以的速度顺时针旋转了时停止运动：同时点沿数轴负方向以个单位的速度运动，当到达点时马上以的速度绕点O逆时针旋转(当停止运动，也停止)，问：点P、Q开始运动后，在什么时刻，线段、在同一直线上？ 题型二 绝对值的几何意义（共3小题） 4．阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示与之差的绝对值，同时也可以理解为与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，可以表示与之差的绝对值，也可以理解为与两点之间的距离． (1)表示数轴上___________与___________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，数轴上表示数的点位于和之间，则的值___________． (4)利用绝对值的几何意义，当取何范围时，有最小值，最小值是多少？ 5．观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： (1)探究：你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是________． ②数轴上表示和的两点之间的距离是________． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是________． 归纳：一般地，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． (2)应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当________时，的值最小，最小值是________． 6．【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x． (1)求点A，B之间的距离； (2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示） ②求的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 题型三 带字母的绝对值化简问题（共3小题） 7．阅读下面材料，并解决有关问题，在实数范围内我们知道：，当时，；当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面的问题： (1)已知是不为0的有理数，当，时，则的值是___________； (2)已知是不为0的有理数，当时，则的值是___________； (3)已知是有理数，当时，求的值； (4)已知是有理数，，求的值是___________． 8．已知：，，…，，都是不等于0的有理数，请你探究以下问题： (1)若，则______； (2)若，则______； (3)若，求的值； (4)由以上探究可知，若，则共有______个不同的值；在这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于______；的这些所有的不同的值的和的绝对值等于______． 9．已知，，若，则x的最大值与最小值的和为 ． 题型四 数轴、绝对值的综合问题（共3小题） 10．已知A，B两点在数轴上对应的有理数分别为a，b，且a，b满足：． (1)则______，______； (2)定义：若点M为数轴上A，B两点之间一点，且到A，B两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称M为A，B两点的“友好点”． ①求A，B两点的“友好点”M在数轴上对应的有理数； ②点P在点A右侧，同时点Q在点B的右侧，P在Q的左侧，且，则当B，P，Q三点中有一点是另两点的“友好点”，求的值． 11．如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点表示的数为，且满足．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数是____________，点表示的数是___________，点表示的数是___________（用含的式子表示）； (2)设点是的中点，点是的中点．点在直线上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段的长度． (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发；若点间的距离记为，点间的距离记为，是否存在一个数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 12．已知数轴上两点对应的数分别是6，，为数轴上三个动点，点从A点出发，速度为每秒2个单位，点从点出发，速度为点的3倍，点从原点出发，速度为每秒1个单位． (1)若点向右运动，同时点向左运动，求多长时间点与点相距46个单位？ (2)若点同时都向右运动，求多长时间点到点的距离相等？ (3)若点同时运动，当时间满足时，两点之间（包括两点），两点之间（包括两点），两点之间（包括两点）分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出的值． 题型五 有理数的简便运算（共3小题） 13．阅读下面的材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值， 原式． (1)上述解法中．你认为解法__________是错误的． (2)请用你认为简便的方法计算：． 14．观察下列各式：，，，…. (1)猜想：_______； (2)根据上面的规律计算：． 15．观察下面的等式，… (1)以此规律，第5个式子是________________；第n个式子是________________； (2)把这四个等式两边分别相加，得，类比此方法，计算： ①； ②直接写出结果：________； (3)根据以上探索经验，计算：． 题型六 有理数的新定义运算（共3小题） 16．对于有理数，我们给出如下定义：若满足，则称为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，其中是“和谐有理数对”的是_________； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则________(填“是”或“不是”)“和谐有理数对”，说明你的理由． 17．定义：对于任意的有理数，． (1)探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 18．【初步感知】已知有理数（不为和），我们把称为的倒数差，如：的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）分别求出的值； （2）的值为______（直接写出计算结果）． 【拓展提升】 （3）设有理数（都不为和），将一个数组（）中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得到数组，…，第次变换后得到数组．若数组确定为，求的值． 题型七 线段中点有关压轴计算（共3小题） 19．如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度向射线AB方向运动，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①；②当时，；③，两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 20．中考新趋势·一题多问  已知C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点，则 ．若，则 ． 21．综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 题型八 线段上的动点问题（共3小题） 22．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 23． A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求的值； (3) M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段的长． 24．如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，且．动点P从点B出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)直接写出数轴上点C表示的数； (2)当点C在数轴的负半轴上时，用含t的代数式表示线段的长度； (3)当点C在数轴的负半轴上时，设M是的中点，N是的中点，点P在运动过程中，线段是否发生变化?若有变化，请说明理由；若不变，请求出的长度． 题型九 几何图形中角度计算压轴问题（共3小题） 25．综合探究 如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且，，． (1)如图， ； (2)如图，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由； (3)如图，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则 ； 当时，则 ； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 26．如图，两块三角板摆放在一起，射线平分平分． (1)求的度数； (2)如果(1)中，一个三角板绕点O旋转一定角度，使得，其它条件不变，求的度数； (3)如果(1)中，一个三角板绕点O旋转一定角度，使得，(α为锐角)，其它条件不变，求的度数； (4)如果(1)中，一个三角板绕点O旋转一定角度，使得(β为锐角)，其它条件不变，求的度数． 27．若，则称是的“倍角”，若，则称是的“倍补角”．已知，，的边与的边重合时，开始转动，在转动过程中射线始终平分．（图中所有的角均指小于平角的角） (1)如图1，当绕点顺时针旋转一个角，且在的内部，若，则_________；若，则_________（用含的式子表示）；写出图1中的一组存在“倍角”关系的角_________； (2)如图2，当绕点顺时针旋转（），且在的外部，请判断是否为的“倍角”，并说明理由； (3)①如图3，当绕点逆时针旋转一个小于的角，且射线已经过射线的反向延长线，请判断是否为的“倍补角”、并说明理由； ②如图3，若绕点逆时针旋转（），当是的“倍补角”时，请直接写出的取值范围_________． 题型十 角平分线角度计算压轴问题（共3小题） 28．活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线上，45°角的顶点与60°的顶点重合于点，斜边与直角边在直线上，然后将直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，_________，_________； (2)“希望”小组同学发现：当时，是的角平分线，请利用图②说明理由； (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板旋转至如图③的位置时，为定值．请你判断是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由． 29．如图①，，平分，平分． (1)已知，求的度数； (2)若（1）中，其他条件不变，请直接写出的度数； (3)和的位置如图②所示时，若，其他条件不变，请直接写出的度数． 30．（1）特例感知：如图①，已知线段，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点，点和点分别是的中点． ①若，则______；若，则______； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度：如果变化，请说明理由； （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线分别平分和． ①若，则______； ②猜想与之间的数量关系：______； （3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，求的度数（用表示） 题型十一 几何图形中角的数量关系问题（共3小题） 31．如图，射线在内部，射线在射线左侧，． (1)当时，试比较与的大小，并说明理由； (2)在（）的条件下，若，射线，分别平分与，求的度数； (3)若，，都在内部，过点作射线，使，试探究与的数量关系． 32．已知，，射线是由顺时针旋转得到的，平分，平分，探究与的关系．（本题出现的角均指大于且小于平角的角） 【初步感知】 （1）如图1，射线是由射线逆时针旋转得到的，，则______，______． 【深入探究】 （2）若射线在的内部，请探究与的关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）若射线从的位置开始绕着点旋转一周，射线平分，射线平分，射线平分，当时，请直接写出的大小． 33．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处（），一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分．求的度数． (2)将图1中三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，同时射线从开始绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当三角板停止运动时，射线也停止运动．设旋转时间为t秒． ①在运动过程中，当时，求t的值； ②当时，在旋转的过程中与始终满足关系（m，n为常数），求的值． 1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知，，若，则的值为(   ) A． B． C．或 D．或 2．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）对于任意有理数a，b，规定一种新的运算，例如，，则的值为（    ） A． B．7 C．23 D．15 3．如果四个互不相同的正整数，，，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·河北保定·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，第次翻转后，点所对应的数为；则翻转次后，数轴上数所对应的点是 ． 5．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）对于有理数a，b，规定一种新的运算“★”：，例：．请用上述规定计算下面各式． （1） ； （2） ． 6．阅读下列材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以，原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法______是错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． 7．随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也实行了网上销售，小明原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？ (3)若冬季每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？ 8．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）课本再现 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1，称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 观察发现 （1）从左起第四个符号表示的二进制数为___________． 拓展延伸 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，依此类推），后相加，例如：． （2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； 类比迁移 （3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数：转换成十进制数，请求出结果． 9．如图，是直线上一点，平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中结论正确的序号是（   ） A．①④ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 10．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 11．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，点在线段上，图中共有三条线段，和BC，若线段的长度是其中一条线段长度的倍，则称是线段 的“好点”． （1）线段的中点 这条线段的“好点”；（填“是”或“不是”） （2）若，是线段的“好点”，则的长为 ． 12．（24-25七年级上·河北张家口·期中）如图，有公共端点C的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点D把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“折中点”． 若为线段中点，，，则的长为 ．    13．（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，经过t秒后直线恰好平分，则 （直接写结果）． 14．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，平分，求的度数． 15．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）如图所示，已知点C在线段上，D、E分别是和的中点．    (1)若，，求线段的长． (2)若点C为线段上任意一点（不与点A、点B重合），且，其他条件不变，求线段的长． (3)若点C在的延长线上，D、E依然为、的中点，，求此时的长． 16．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知，过顶点O作射线，且平分，平分．    (1)如图，若在内． ①当平分时，的度数为 ②当时，求的度数． (2)嘉嘉说∶“若在内旋转，因为和的度数不能确定，所以的度数不能计算．”琪琪说∶“你说的不对，的度数能算到，且的度数不变．”请你判断嘉嘉和琪琪谁的说法正确，并说明理由 (3)若射线从出发绕点O顺时针旋转（旋转角小于），请直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期中真题百练通关（33题11大压轴题型） 题型1 数轴上的动点问题 题型7 线段中点有关压轴计算 题型2 绝对值的几何意义 题型8 线段上的动点问题 题型3 带字母的绝对值化简问题 题型9 几何图形中角度计算压轴问题 题型4 数轴、绝对值的综合问题 题型10 角平分线角度计算压轴问题 题型5 有理数的简便运算 题型11 几何图形中角的数量关系问题 题型6 有理数的新定义运算 题型一 数轴上的动点问题（共3小题） 1．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度．可以看出，终点表示的数是．已知A，B都是数轴上的点．参照图中所给的信息，完成下列问题． (1)若点A表示的数是，将点A向右移动5个单位长度至点，则点表示的数是 ； (2)已知点B表示的数是，点P从点B出发先向左移动7个单位长度至点D，则点D表示的数是 ，再向右移动个单位长度至点C，则点C表示的数是 ； (3)在（2）的条件下，点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点M运动到所在的点处时，求M，N两点间的距离． 【答案】(1)2， (2)，0， (3)， 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上点的平移（动点问题），正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据点A表示的数是，将点A向右移动5个单位长度至点，进行列式计算，即可作答． （2）点B表示的数是，点P从点B出发先向左移动7个单位长度至点D，得出点D表示的数，再从点D向右移动个单位长度，进行列式计算，得出点C表示的数，即可作答． （3）先根据题意，列式计算，得出点M运动的时间，结合点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点C表示的数为，列式计算得出点N表示的数，最后列式计算得出点M和点N之间的距离，即可作答． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是，将点A向右移动5个单位长度至点， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． （2）解：∵点B表示的数是， ∴将点B向左移动7个单位长度得到点D表示的数为：， ∴向右移动个单位长度得到点C表示的数为：． 故答案为：，0． （3）解：∵点B表示的数是，点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点M运动到所在的点处， ∴点M运动的时间为， ∵点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点C表示的数为 则点N表示的数为：， ∴点M和点N之间的距离是：． 2．如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点、表示的数分别是______和______； (2)当时，求、两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间使、两点间的距离与、两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了数轴上的点的移动，距离，熟悉掌握数轴上点的特征是解题的关键． （1）列出点的表达式，代入运算即可； （2）根据表达式代入运算即可； （3）分类讨论点的位置，列出方程运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴当时，， 故答案为：；； （2）解：把代入，可得： ，， ∴； （3）解：∵点到点的时间为：；点到点的时间为：； ∴当时，大致如图所示： ∵，，，， ∴， ∴ 解得：； 当时，大致如图所示： ∴， ∴ 解得：； 当时，大致如图所示： ∴， ∴ 解得：（舍去）； 综上所述：或． 3．（1）、、、四点的位置在如图1所示的数轴上，且点所表示的数，满足，则 ， ； （2）在（1）的条件下，在该数轴上，线段以个单位的速度向正方向运动·，同时线段以个单位的速度向负方向．那么这两条线段从开始运动到完全离开需要经过多少？ （3）如图，三点在以O为原点的数轴上，点在以O为圆心，半径等于的圆周上，且，点绕点O以的速度顺时针旋转了时停止运动：同时点沿数轴负方向以个单位的速度运动，当到达点时马上以的速度绕点O逆时针旋转(当停止运动，也停止)，问：点P、Q开始运动后，在什么时刻，线段、在同一直线上？ 【答案】（1）；（2）；（3）、运动或或 时，在同一条直线上 【分析】本题考查了绝对值与平方数的性质、数轴上的运动以及角度相关知识，解题关键在于利用相关性质建立等式或方程，并清晰分析运动过程与角度关系； （1）利用绝对值与平方数的非负性求解和的值； （2）对于线段的运动，通过分析它们的相对运动速度和初始距离来计算完全离开所需时间； （3）对于点的旋转和运动问题，需要分不同阶段，根据角度关系建立方程求解． 【详解】（1），由非负性可知且， 解得； （2）由（1）知点A表示数为，点B表示数为6，点Q表示数为8， 线段长为， 运动到完全离开时间为； （3）点绕点O旋转用时， 点到点的距离为，用时为． ①点与点P第一次重合时，即共线,如图， 则， 解得：； ②当射线与射线每一次成一条直线时．如图， 则， 解得：； 当点与点P第二次重合时，即共线,如图， ， 解得：； 当射线与射线每二次成一条直线时．如图， 则， 解得：（舍去）； 综上所述，当运动时间为或或时，线段、在同一直线上． 题型二 绝对值的几何意义（共3小题） 4．阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示与之差的绝对值，同时也可以理解为与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，可以表示与之差的绝对值，也可以理解为与两点之间的距离． (1)表示数轴上___________与___________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，数轴上表示数的点位于和之间，则的值___________． (4)利用绝对值的几何意义，当取何范围时，有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)， (2)， (3)9 (4)， 【分析】（）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义进行解答即可； （）由绝对值的几何意义得的值即为所对应的点到所对应的点的距离，再根据数轴上两点间距离公式计算即可； （）由绝对值的几何意义得式子表示有理数所对应的点到所对应的点的距离与有理数所对应的点到所对应的点的距离之和，可知当位于和之间时，有最小值，据此解答即可求解； 本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离，掌握绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】（1）解：表示数轴上与所对应的两点之间的距离， 故答案为：，； （2）解：表示数轴上有理数所对应的点到所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数所对应的点到所对应的点之间的距离， 故答案为：，； （3）解：∵数轴上表示数的点位于和之间，， ∴的值即为所对应的点到所对应的点的距离， ∴， 故答案为：9； （4）解：∵， ∴式子表示有理数所对应的点到所对应的点的距离与有理数所对应的点到所对应的点的距离之和， ∴当位于和之间，即时，有最小值，最小值为． 5．观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： (1)探究：你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是________． ②数轴上表示和的两点之间的距离是________． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是________． 归纳：一般地，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． (2)应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当________时，的值最小，最小值是________． 【答案】(1)①；②；③ (2)；②；③当时，的值最小，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式即可求解； ②根据两点间的距离公式即可求解； ③根据两点间的距离公式即可求解； （2）①根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ②根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ③根据线段上的点到线段两端点的距离和最小即可求解． 【详解】（1）解：①数轴上表示6和3的两点之间的距离是， 故答案为：； ②数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）解：①， 解得：； ②∵数轴上表示数m的点位于与4之间， ∴， ∴ ； ③，表示点到三点的距离和， ∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 6．【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x． (1)求点A，B之间的距离； (2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示） ②求的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 【答案】(1)6 (2)①；；②14 (3)的最小值为14，最大值为22 【分析】本题是三角形综合题，考查了实数与数轴上点的对应关系、数轴上两点间的距离公式，掌握其公式是解决此题的关键； （1）根据两点距离公式可得答案； （2）①由两点距离公式可得答案；②由①可知表示的意义是点到点，的距离之和，即可求解； （3）的几何意义是表示有理数的点到，，6所对应的三点距离之和，即可求解． 【详解】（1）解：点，之间的距离； （2）解：①点，之间的距离为，点，之间的距离为； 故答案为：；； ②由①可知表示的意义是点到点，的距离之和， 当在数轴上表示的点在表示和（包括和的点之间时，取得最小值，最小值为14； （3）解：的几何意义是表示有理数的点到，，6所对应的三点距离之和， 当时，的值最小，最小值为14； 当时，的值最大，最大值为22； 的最小值为14，最大值为22． 题型三 带字母的绝对值化简问题（共3小题） 7．阅读下面材料，并解决有关问题，在实数范围内我们知道：，当时，；当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面的问题： (1)已知是不为0的有理数，当，时，则的值是___________； (2)已知是不为0的有理数，当时，则的值是___________； (3)已知是有理数，当时，求的值； (4)已知是有理数，，求的值是___________． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘、除法法则； （1）根据，，时，根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据，得出，同号或，异号，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）根据，得出，，或，，两正一负，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （4）根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当，时， ， 故答案为：． （2）解：已知，是有理数，当时， ，， ，， ，异号，． 故的值为或． （3）已知，，是有理数，当时， ，，， ，，两正一负，． 故的值为或 （4）已知，，是有理数，，， 所以，，，，，两正一负， 所以 ． 8．已知：，，…，，都是不等于0的有理数，请你探究以下问题： (1)若，则______； (2)若，则______； (3)若，求的值； (4)由以上探究可知，若，则共有______个不同的值；在这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于______；的这些所有的不同的值的和的绝对值等于______． 【答案】(1) (2)0或 (3)或 (4)2025，4048，0 【分析】本题主要考查了有理数运算，绝对值运算以及分类讨论思想，正确进行分类讨论是解题的关键． （1）分和两种情况分别求解即可； （2）将分为都是正数，都是负数和一正一负的情况讨论即可； （3）将分为都是正数，都是负数，两正一负和两负一正的情况讨论即可； （4）由的不同值的个数推断出的不同值的个数为个，则当时，共有个不同的值，当所有的都为1时，取得最大值，最大值为，当所有的都为时，取得最小值，最小值为，由此可得最大值与最小值的差，另的取值是关于0对称的，由此求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； 故答案为：； （2）当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，； 则答案为：0或； （3）当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 则的值为或； （4）由以上探究可知，的不同值的个数为个， 的不同值的个数为个， 的不同值的个数为个， 对于， 每一个，2，，的值为1或， 由此可知的不同值的个数为个， 当时，共有个不同的值， 当所有的都为1时，取得最大值， 最大值为， 当所有的都为时，取得最小值， 最小值为， 则最大值与最小值的差为：， 的取值为，，，2022，2024，这些数是关于0对称的， 则的这些所有的不同的值的和为： ， 所以的这些所有的不同的值的和的绝对值为0． 故答案为：2025，4048，0． 9．已知，，若，则x的最大值与最小值的和为 ． 【答案】2 【分析】本题考查绝对值的性质、有理数的加法法则，先将进行转化，再将x的表达式进行化简，分析a，b，c的正负性，再分情况讨论x的值，最终求出x的最大值与最小值之和即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴， ∵， ∴a，b，c中为一负二正或三负， 又∵， ∴a，b，c不可能为三负，只能为一负二正， ∴当，，时， ， 当，，时， ， 当，，时， ， ∴x的最大值为6，最小值为， ∴两数之和为：． 故答案为：2． 题型四 数轴、绝对值的综合问题（共3小题） 10．已知A，B两点在数轴上对应的有理数分别为a，b，且a，b满足：． (1)则______，______； (2)定义：若点M为数轴上A，B两点之间一点，且到A，B两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称M为A，B两点的“友好点”． ①求A，B两点的“友好点”M在数轴上对应的有理数； ②点P在点A右侧，同时点Q在点B的右侧，P在Q的左侧，且，则当B，P，Q三点中有一点是另两点的“友好点”，求的值． 【答案】(1)，12 (2)①6，0；②45，60， 【分析】（1）利用平方数和绝对值的非负性来确定a、b的值； （2）①通过设点M对应的数，根据“友好点”的定义列出方程求解； ②先根据求出的值，再设点P、Q对应的数，分情况讨论当B、P、Q分别为“友好点”时列出方程求解的值． 【详解】（1），，且， ，， 解得，， 故答案为，12； （2）①设数轴上点M表示的数为x， ，， 根据“友好点”的定义，M到A、B两点的距离满足其中一个距离是另一个距离的2倍，即或， 当时， ， 解得， 当时， ， 解得 所以数轴上点M对应的有理数是6或0； ②，且， ， 设点P表示的数为p， 点P在点A右侧，A表示的数为， ， 解得， 设点Q表示的数为q，则， 当点B是P、Q的“友好点”时：有或，， 当时，， 解得， 此时点表示的数是，点表示的数是，点在点的右侧，不合题意，舍去； 当时，， 当点P是B、Q的“友好点”时：有或，，， 当时，， 解得，则， 当时，， 解得，则， 当点Q是B、P的“友好点”时：有或，，， 当时，， 解得，则， 当时，， 解得（因为点Q在B右侧，所以舍去）， 综上分析可得，的值为45或60或90． 【点睛】本题是一道综合性较强的数轴与绝对值应用问题，非负数的性质等知识，分类讨论是解题的关键． 11．如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点表示的数为，且满足．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数是____________，点表示的数是___________，点表示的数是___________（用含的式子表示）； (2)设点是的中点，点是的中点．点在直线上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段的长度． (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发；若点间的距离记为，点间的距离记为，是否存在一个数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)线段的长度没有变化，长度为 (3)存在，或 【分析】本题考查了数轴和绝对值，熟练掌握数轴上两点间的距离和绝对值及其应用是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性求出和的值，根据动点则可求出表示的数； （2）利用数轴上的中点公式和两点间的距离即可求解； （3）利用数轴上两点间的距离和整式化简不含则有系数为即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴，， 即，， ∴数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． 故答案为：； （2）解：不发生变化，线段的长度为． 理由如下： ∵点是中点，点是中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：点表示的数是：，点表示的数是：， ∴，， ①当时，，， ∴， ∵上式与无关， ∴，解得； ②当时，，， ∴， ∵与无关， ∴，解得； ③当时，，， ∴， ∵与无关， ∴，解得； 综上所述，当或时，的值与无关． 12．已知数轴上两点对应的数分别是6，，为数轴上三个动点，点从A点出发，速度为每秒2个单位，点从点出发，速度为点的3倍，点从原点出发，速度为每秒1个单位． (1)若点向右运动，同时点向左运动，求多长时间点与点相距46个单位？ (2)若点同时都向右运动，求多长时间点到点的距离相等？ (3)若点同时运动，当时间满足时，两点之间（包括两点），两点之间（包括两点），两点之间（包括两点）分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出的值． 【答案】(1)4秒 (2)13秒或72秒 (3)秒，秒 【分析】本题主要考查了点在数轴上的移动，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，动点表示的数的表示，列方程，是解题的关键． （1）利用M、N之间的距离为最初的距离加上各自行驶的路程即可得到一个关于t的方程，解方程即可得出答案； （2）先将M，N，P三点在数轴上的位置用含t的代数式表示出来，然后分点N在点P左侧和点N在点P右侧两种情况分别讨论即可； （3）根据M，N，P之间整数点的个数，可以确定出M，N，P三点的位置，从而找到的值． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒， 由题意可得：， ∴， ∴运动4秒点M与点N相距46个单位； （2）解：设运动时间为t秒， 由题意可知：M点运动到，N点运动到，P点运动到t， 由，得， 解得或13， ∴运动13秒或72秒时点P到点M，N的距离相等； （3）解：由题意可得：M、N、P三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小，M、N两点距离最大，M、P两点距离最小，可得出M、P两点向右运动，N点向左运动． 当秒时， P在4，M在14，N在， 再往前一点，之间的距离即包含10个整数点，之间有37个整数点； ②当N继续以6个单位每秒的速度向左移动，P点向右运动， 若N点移动到时， 此时N、P之间仍为37个整数点， 若N点过了−33时， 此时N、P之间为38个整数点， 故（秒）， ∴秒，秒． 题型五 有理数的简便运算（共3小题） 13．阅读下面的材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值， 原式． (1)上述解法中．你认为解法__________是错误的． (2)请用你认为简便的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查倒数与分数的混合运算，能够根据题目中几种方式进行计算是解题的关键． （1）除法没有分配律，乘法有分配律； （2）选取解法中正确的一种解法进行解题即可． 【详解】（1）解法一是错误的，除法没有分配律； 故答案为：一． （2）原式的倒数为， 其值 ， ∴原式． 14．观察下列各式：，，，…. (1)猜想：_______； (2)根据上面的规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据有理数的乘法法则可得原式等于，再计算乘法即可得； （2）先计算括号内的减法，再根据有理数的乘法法则计算即可得． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解： ． 15．观察下面的等式，… (1)以此规律，第5个式子是________________；第n个式子是________________； (2)把这四个等式两边分别相加，得，类比此方法，计算： ①； ②直接写出结果：________； (3)根据以上探索经验，计算：． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】本题考查的是裂项相消的计算技巧的应用，有理数的四则混合运算，理解题意是解本题的关键； （1）观察已知等式再归纳即可解答； （2）①结合（1）中规律把已知等式变形即可计算结果；②结合①的过程进行计算即可得结果； （3）把运算先化为具有（2）中运算式的特点，再根据以上规律将原式变形即可计算． 【详解】（1）解：∵， 归纳可得：第5个式子是；第n个式子是； 故答案为：； （2）解：① ； ② ， 故答案为：； （3）解： ） ． 题型六 有理数的新定义运算（共3小题） 16．对于有理数，我们给出如下定义：若满足，则称为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，其中是“和谐有理数对”的是_________； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则________(填“是”或“不是”)“和谐有理数对”，说明你的理由． 【答案】(1) (2)7 (3)是，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算和新定义，代数式求值； （1）先分别求出各组数据中的和的值，然后根据已知条件中的新定义解析判断即可； （2）先根据新定义，列出关于的等式，求出的值，再利用整体代入求出答案即可； （3）先根据已知条件和新定义，求出关于，的等式，然后再求出当，时，和，进行判断即可． 【详解】（1）解：当，时， ，， ， 是“和谐有理数对”； 当，时， ， 不是“和谐有理数对”； 当，时， ， 是“和谐有理数对”； 故答案为：． （2）是“和谐有理数对”， ， ， ， ， ； （3）是“和谐有理数对”，理由如下： ，是和谐有理数对， ， 当，时， ，， 是“和谐有理数对”， 故答案为：是． 17．定义：对于任意的有理数，． (1)探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 【答案】(1)①；；②； (2)①；② 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解． （1）①根据定义即可求解； ②举例，，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值； （2）①直接利用规律进行求解； ②由已知可知：要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的，从而得到：这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、，从而得出结论． 【详解】（1）解：①， ， ， 故答案为：；． ②例如：， ， 通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值， 用a，b的式子表示出一般规律为． 故答案为：；． （2）解：①； ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的， 这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、， 这个值的和的最小值是， 故答案为：． 18．【初步感知】已知有理数（不为和），我们把称为的倒数差，如：的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）分别求出的值； （2）的值为______（直接写出计算结果）． 【拓展提升】 （3）设有理数（都不为和），将一个数组（）中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得到数组，…，第次变换后得到数组．若数组确定为，求的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字规律等知识点，正确运用有理数的混合运算法则计算并发现规律成为解题的关键． （1）根据“倒数差”的定义列式计算即可求出的值． （2）先根据题意可得和，的数均相同，代入数值到中，然后求和即可． （3）先根据“倒数差”的定义列式计算发现规律，然后运规律解答即可． 【详解】解：（1）∵，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差 ∴结合题意可得，，． （2）由的值，可得三个值为一组循环数，后面每三个数一组进行重复， ∴和，得数均相同，即，，． ∴， 故答案为：． （3）解：∵确定为， ∴第次变换后，， ∴第次变换后，，， ∴第次变换后，，， ∴同理可得，，， ，，， ，，， ∴， ， ， ∴ 题型七 线段中点有关压轴计算（共3小题） 19．如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度向射线AB方向运动，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①；②当时，；③，两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查数轴，动点的表示方法，线段长度的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，可以用含的代数式表示出所对应的数，然后逐项判断即可． 【详解】解析：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ①，， ∴，正确，①符合题意； ②，， 当时， 或20； 故②不符合题意； ③， 故正确，③符合题意． 故答案为：B． 20．中考新趋势·一题多问  已知C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点，则 ．若，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．理清线段之间的关系是解决本题的关键． （1）由为的中点，为的中点得到, 则可计算出, 再利用为的中点得到, 求解出结果； （2）根据线段的中点定义和线段的和差计算分两种情况即可求解； 【详解】 解：（1）为的中点，为的中点， ， 为的中点， ， （2）①当，点F在点C左侧时，如图所示： 为的中点，为的中点， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ∴． ②当，点F在点C左侧时，如图所示： 为的中点，为的中点， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的值为：或， 故答案为：；或． 21．综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 【答案】（1），；（2）；（3）不变， 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义； （1）根据表格信息分别求解当，，当，时的长度即可； （2）求解，，，结合点M为中点，点N为中点，可得，，再进一步求解即可； （3）分五种情况讨论：当点C，D在线段上，当在的左边，在的右边，如图，当在的右边，在的右边，如图，当在的左边，在的右边时，如图，当都在的左边时，再结合（2）的方法进一步求解即可. 【详解】解：（1）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴， 当，． ∴，，， ∴， 当，． ∴，，， ∴， ∴，； （2）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴； （3）点C，D在线段上，由（2）可知； 如图，当在的左边，在的右边， ，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴， 如图，当在的右边，在的右边， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当在的左边，在的右边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当都在的左边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 综上：. 题型八 线段上的动点问题（共3小题） 22．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】本题主经考查了动点产生的线段的计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据中点，得，，根据，得； （2）①存在，当P、Q相遇时，，得，解得；当P、Q相遇后，，得，解得；②根据中点，得，得，根据，即得． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    23． A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求的值； (3) M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段的长． 【答案】(1)； (2)4或6 (3)不变，见解析，长度始终是5 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以， 所以； 点P在点B的右侧时，， 所以； 综上分析可知：的值为4或6； （3）解：长度不变且长为5．理由如下： 当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图， 同理可得：； 综上：． 24．如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，且．动点P从点B出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)直接写出数轴上点C表示的数； (2)当点C在数轴的负半轴上时，用含t的代数式表示线段的长度； (3)当点C在数轴的负半轴上时，设M是的中点，N是的中点，点P在运动过程中，线段是否发生变化?若有变化，请说明理由；若不变，请求出的长度． 【答案】(1)或12 (2) (3)不发生变化， 【分析】题目主要考查线段的中点计算． 解题关键点是运用数形结合思想和分类思想分析问题． （1）根据数轴上两点之间的距离即可得出点的坐标； （2）分两种情况：若点P在线段上，这时；若点P在线段的延长线上，这时；分别求解即可； （3）分两种情况分析：①如图1，当点P在线段上运动时，②如图2，当点P在的延长线上运动时，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为4，C是数轴上一点，且． ∴当点C位于点A左侧时，点C表示的数为：， 当点C位于点A右侧时，点C表示的数为：， ∴点C表示的数为或12； （2）当点C在数轴的负半轴上时，点C表示的数是， ①若点P在线段上，这时， 则； ②若点P在线段的延长线上，这时， 则； 综上可得：； （3）线段的长度不发生变化.理由如下： ①如图1，当点P在线段上运动时， ； ②如图2，当点P在的延长线上运动时， ； 由上可知，线段的长度不发生变化，其值为4． 题型九 几何图形中角度计算压轴问题（共3小题） 25．综合探究 如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且，，． (1)如图， ； (2)如图，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由； (3)如图，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则 ； 当时，则 ； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)是的平分线； (3)，，，见解析． 【分析】本题主要考查了角的和与差、角平分线的定义、三角板中角度的计算，解决本题的关键是根据角的位置关系找到角度之间的关系． 根据可知，根据计算即可； 根据平分可知，根据求出的度数，再根据平角的定义求出的度数，根据两个角的度数之间的关系即可判断平分； 根据的度数求出的度数，再根据求解即可； 根据的度数即可求出的度数，再根据即可求出的度数； 根据，，可知． 【详解】（1）解：, ， ， ， 故答案为：； （2）解：是的平分线， 理由如下： 落在的平分线上，， ， ， ， ， ， 平分； （3）解：当时， ， ， ； 当时， ， ； 猜想：， ， 又， 故答案为：，． 26．如图，两块三角板摆放在一起，射线平分平分． (1)求的度数； (2)如果(1)中，一个三角板绕点O旋转一定角度，使得，其它条件不变，求的度数； (3)如果(1)中，一个三角板绕点O旋转一定角度，使得，(α为锐角)，其它条件不变，求的度数； (4)如果(1)中，一个三角板绕点O旋转一定角度，使得(β为锐角)，其它条件不变，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了角的和差，角平分线，旋转的性质，掌握知识点是解题的关键． （1）根据三角板的度数求出的度数，再根据角平分线的定义求出与的度数，然后根据，代入数据进行计算即可得解； （2）分类讨论：①如图，当在射线的下方时，②如图，当在射线的上方时，逐一分析求解，即可解答． （3）分类讨论：①如图，当在射线的下方时，②如图，当在射线的上方时，逐一分析求解，即可解答． （4）①如图，当在射线的下方时，②如图，当在射线的下方，上方时；③如图，当在下方时，逐一分析求解，即可解答． 【详解】（1）解：∵，射线平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）①如图，当在射线的下方时， ∵，射线平分， ∴ ∵平分， ∴， ∴； ②如图，当在射线的上方时 ∵，射线平分， ∴ ∵平分， ∴， ∴； 综上所述，． （3）①如图，当在射线的下方时， ∵，射线平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ②如图，当在射线的上方时， ∵，射线平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 综上所述，． （4）①如图，当在射线的上方时 ∵，射线平分， ∴， ∵平分， ∴ ∴． ②如图，当在射线的下方，上方时 ∵，射线平分， ∴， ∵平分， ∴ ∴； ③如图，当在下方时， ∵，射线平分， ∴， ∵平分， ∴ ∴． 综上所述，． 27．若，则称是的“倍角”，若，则称是的“倍补角”．已知，，的边与的边重合时，开始转动，在转动过程中射线始终平分．（图中所有的角均指小于平角的角） (1)如图1，当绕点顺时针旋转一个角，且在的内部，若，则_________；若，则_________（用含的式子表示）；写出图1中的一组存在“倍角”关系的角_________； (2)如图2，当绕点顺时针旋转（），且在的外部，请判断是否为的“倍角”，并说明理由； (3)①如图3，当绕点逆时针旋转一个小于的角，且射线已经过射线的反向延长线，请判断是否为的“倍补角”、并说明理由； ②如图3，若绕点逆时针旋转（），当是的“倍补角”时，请直接写出的取值范围_________． 【答案】(1)，；或 (2)是的“倍角”， 理由见解析； (3)①是的“倍补角”， 理由见解析；② 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的和差关系，掌握“倍角”， “倍补角”的定义是解题的关键； （1）根据题意得出，进而求得，当时，同理根据角度的和差关系可得；然后根据“倍角”定义写出一组“倍角”即可求解； （2）设，分别表示出和，即可求解； （3）①设，分别表示出和，即可求解； ②分四种情况讨论，分别画出图形，同理求得和，结合新定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵射线平分， ∴ ∴； 若，则 ∵射线平分， ∴， ∴ 又∵，， ∴ ∴ 故答案为：，． 图1中的一组存在“倍角”关系的角可以是：或 （2）是的“倍角”，理由如下， 设 ∵射线平分， ∴， ∵，， ∴， ∴ 即是的“倍角” （3）①是的“倍补角”，理由如下； 设， ∴， ∵射线平分， ∴ ∴ ∴ ∴，即是的“倍补角”； ②如图所示，当绕点逆时针旋转一个小于的角，且射线未过射线的反向延长线， 设， ∴， ∵射线平分， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴不是的“倍补角” 如图所示，当绕点逆时针旋转一个大于的角且小于等于，且射线已经过射线的反向延长线，由①可得，是的“倍补角” 当绕点逆时针旋转一个大于的角且小于，如图所示， 设， ∴， ∵射线平分， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴不是的“倍补角” 当时，如图所示， 设， ∴， ∵射线平分， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴不是的“倍补角” 综上所述，时，是的“倍补角” 故答案为：． 题型十 角平分线角度计算压轴问题（共3小题） 28．活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线上，45°角的顶点与60°的顶点重合于点，斜边与直角边在直线上，然后将直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，_________，_________； (2)“希望”小组同学发现：当时，是的角平分线，请利用图②说明理由； (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板旋转至如图③的位置时，为定值．请你判断是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)正确，； 【分析】本题考查了角的和差和角平分线，解题关键是正确识图，准确进行计算； （1）利用平角减去相邻的角即可； （2）求出的度数，再通过计算说明即可； （3）分别表示出，再求它们的和即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转，当时， ，则, ∵, ∴是的角平分线． （3）解：正确，； 直角三角板旋转至如图③的位置时， ，， ． 29．如图①，，平分，平分． (1)已知，求的度数； (2)若（1）中，其他条件不变，请直接写出的度数； (3)和的位置如图②所示时，若，其他条件不变，请直接写出的度数． 【答案】(1)90° (2)90° (3)90° 【分析】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是利用角的和差关系进行计算． （1）依据，即可得到．再根据平分平分，即可得出； （2）依据，即可得到．再根据平分平分，可得，进而得到； （3）依据，可得．再根据平分，$ON$平分，即可得到，即可得出． 【详解】（1）因为， 所以． 因为平分平分， 所以，所以； （2）因为， 所以． 因为平分平分， 所以， 所以； （3）因为，所以． 因为平分平分， 所以， 所以． 30．（1）特例感知：如图①，已知线段，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点，点和点分别是的中点． ①若，则______；若，则______； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度：如果变化，请说明理由； （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线分别平分和． ①若，则______； ②猜想与之间的数量关系：______； （3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，求的度数（用表示） 【答案】（1）①；②不变，；（2）①；②（3） 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． （1）①欲求，需求．点C和点D分别是，的中点，得，，那么，进而解决此题，对于已知求同理可求；②与①同理． （2）①欲求，需求．由和分别平分和，得，，进而解决此题；②与①同理． （3）由可得，，所以，根据可得结论． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， ∵点C和点D分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴； ∵线段，， ∴， ∵点C和点D分别是，的中点， ∴，， ∴， 故答案为：； ②不变，理由如下： ∵点C和点D分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①∵和分别平分和， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； ②．理由如下： ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴ ； （3）∵，， ∴， ∵ ， ∴，， ∴， ， ∴， ∴． 题型十一 几何图形中角的数量关系问题（共3小题） 31．如图，射线在内部，射线在射线左侧，． (1)当时，试比较与的大小，并说明理由； (2)在（）的条件下，若，射线，分别平分与，求的度数； (3)若，，都在内部，过点作射线，使，试探究与的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3)或 【分析】（）由已知可得，进而由余角性质得，即可判断求解； （）由得，，进而由角平分线的定义得，，再根据角的和差关系即可求解； （）由题意得， ，再分两种情况：①在左侧；②在右侧，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，余角性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵射线，分别平分与， ∴，， ∴； （3）解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ①如图，当在左侧时， 设，则， ∴， ∴， ， ∴； ②如图，当在右侧时， 设，则， 同理可得，， ∴； 综上，或 ． 32．已知，，射线是由顺时针旋转得到的，平分，平分，探究与的关系．（本题出现的角均指大于且小于平角的角） 【初步感知】 （1）如图1，射线是由射线逆时针旋转得到的，，则______，______． 【深入探究】 （2）若射线在的内部，请探究与的关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）若射线从的位置开始绕着点旋转一周，射线平分，射线平分，射线平分，当时，请直接写出的大小． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查的是角的和差计算及角平分线的有关计算， （1）先求出，，进而求出结论； （2）设，则，求出即可求出结论； （3）分情况讨论：当在内部时，当在外部时，分别表示出，并列方程即可求解； 【详解】解：（1），， ， ， ， 平分，平分， ； （2），理由如下： 设， ， 平分，平分， ； （3）当在内部时，设，则， 当时，如下图： 射线平分，射线平分，射线平分， ， 解得：（都不合题意，舍去） 当时，如下图： 射线平分，射线平分，射线平分， ， 解得：（都不合题意舍去）； 当在外部且在射线右侧时，设，则， 当时，如下图： 射线平分，射线平分，射线平分， ， 解得：（都不合题意舍去） 当在外部且在射线左侧时，设，则， 当时，如下图： 射线平分，射线平分，射线平分， ， 解得：（都不合题意舍去） 当时，如下图： 射线平分，射线平分，射线平分， ， 解得：（不符合题意，舍去）， 则此时 当时，如下图： 射线平分，射线平分，射线平分， ， 解得：（都不符合题意，舍去）， 综上所述，． 33．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处（），一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分．求的度数． (2)将图1中三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，同时射线从开始绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当三角板停止运动时，射线也停止运动．设旋转时间为t秒． ①在运动过程中，当时，求t的值； ②当时，在旋转的过程中与始终满足关系（m，n为常数），求的值． 【答案】(1)； (2)①t的值为10秒或秒或秒；②． 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的应用，角的计算、角平分线的定义的运用． （1）根据角平分线的定义以及直角的定义，即可求得的度数； （2）①分四种情况，作出相应图形列方程求解即可； ②先求出当时，在内部，得出，，代入式子计算确定，求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①秒， 分四种情况： 如图， 由题意得， 解得（秒）； 如图， 由题意得， 解得（秒）； 如图， 由题意得， 解得（秒）； 如图， 由题意得， 解得（舍去）； 综上所述，t的值为10秒或秒或秒； ②当时，旋转了，此时与重合， 当时，旋转了，此时与重合， 当时，在内部， ∵， ∴， ∵， ∵ ∴， 整理得：， ∵等式与的大小无关， ∴， ∴， ∴． 1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知，，若，则的值为(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的性质以及有理数的加减法，根据，，且，即可确定a，b的值，从而求解． 【详解】解：∵|，， ∴ 又∵，则 ∴或， 当时，； 当时，． 综上，的值为或 故选：D． 2．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）对于任意有理数a，b，规定一种新的运算，例如，，则的值为（    ） A． B．7 C．23 D．15 【答案】A 【分析】利用新定义运算法则计算即可． 【详解】解：由题意知，． 故选A． 【点睛】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键． 3．如果四个互不相同的正整数，，，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，，，是互不相等的正整数，可知，，，互不相等，再根据可判断出，，，的值，代入求解即可． 【详解】解：四个互不相同的正整数，，，， ，，，是互不相等的整数， ， 要使取最大值，则，，，， 解得，，，， ． 故选A． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、代数式求值，解题的关键是根据已知条件求出，，，的值． 4．（24-25七年级上·河北保定·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，第次翻转后，点所对应的数为；则翻转次后，数轴上数所对应的点是 ． 【答案】点B 【分析】本题考查了数轴，数字字母规律问题，根据翻转的变化规律确定出每次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键． 根据题意可知每次翻转为一个循环组依次循环，用除以，根据是否整除可知点在数轴上．然后进行计算即可得解． 【详解】解：每次翻转为一个循环组依次循环， ， 翻转次后点在数轴上， 点对应的数是， 数轴上数所对应的点是点 故答案为：点． 5．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）对于有理数a，b，规定一种新的运算“★”：，例：．请用上述规定计算下面各式． （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】（1）根据新定义可得，进行计算即可； （2）先求，再求，即可求解． 【详解】解：（1） ； 故答案：； （2） ， ； 所以； 故答案：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的含有乘方的有理数混合运算，理解新定义，根据有理数运算法则进计算是解题的关键． 6．阅读下列材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以，原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法______是错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）对比答案解答即可； （2）根据运算法则运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：解法一错误； 故答案为：一； （2）解： 原式 7．随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也实行了网上销售，小明原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？ (3)若冬季每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？ 【答案】(1)29 (2)本周实际销售总量达到了计划数量 (3)元 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，有理数加减法的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）与计划量的差值为正，且数字部分最大的一天为销售量最多的一天，与计划量的差值为负，且数字部分最大的一天为销售量最少的一天，据此求解即可； （2）把这7天与计划量的差值相加，若结果为非负，则达到了计划量，为结果为负，则没有达到计划量； （3）根据题意可知一斤冬枣可收入元，再求出一共卖的冬枣数即可得到答案． 【详解】（1）解：斤， ∴销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售29斤； （2）解： ， 答：本周实际销售总量达到了计划数量； （3）解： 元， 答：小明本周一共收入元． 8．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）课本再现 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1，称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 观察发现 （1）从左起第四个符号表示的二进制数为___________． 拓展延伸 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，依此类推），后相加，例如：． （2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； 类比迁移 （3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数：转换成十进制数，请求出结果． 【答案】（1）；（2）3745；（3）1045 【分析】本题主要考查了二进制数与十进制数的转换，八进制与十进制数的转换： （1）根据题意即可得到答案； （2）根据二进制数与十进制数的转换方法分别求出图2中四个二进制数转换成十进制数的结果即可得到答案； （3）仿照二进制数与十进制数的转换方法将八进制数各位上的数字乘以8的相应次方再求和即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，从左起第四个符号表示的二进制数为； 故答案为：； （2）图2对应的二进制数从左往右依次为，，，， ∵， ， ， ， ∴这个四位数是3745； （3）． 9．如图，是直线上一点，平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中结论正确的序号是（   ） A．①④ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，理解题意，弄清各角之间的关系是解题关键．根据余角的定义，角平分线的定义，角度之间的和差关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴与互为余角；故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故③正确； 当时，；故④正确； 无法得到，故②错误． 故选：B． 10．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题考查了两点之间的距离问题，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解． 分两种情况画出图形求解即可． 【详解】解：（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时， （厘米）； （2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时， （厘米）． 所以两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 11．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，点在线段上，图中共有三条线段，和BC，若线段的长度是其中一条线段长度的倍，则称是线段 的“好点”． （1）线段的中点 这条线段的“好点”；（填“是”或“不是”） （2）若，是线段的“好点”，则的长为 ． 【答案】 不是； 或． 【分析】（）根据“好点”的定义即可求解； （）分，两种情况讨论，分别求解即可； 本题考查线段的和差倍分，能理清题意，并根据题意进行判断及能分情况讨论是解题的关键． 【详解】（）若是中点， 则， 不符合“好点”的定义， 故答案为：不是； （）当， ∴ ； 当， ∴ ； ∴， 故答案为：或． 12．（24-25七年级上·河北张家口·期中）如图，有公共端点C的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点D把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“折中点”． 若为线段中点，，，则的长为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差运算，线段中点，新定义折中点等知识，分两种情况：点D在线段上与点D在线段上，利用中点的意义及折中点的含义即可求解，分类讨论，结合图形利用线段的和差倍分关系是解题的关键． 【详解】解：当点D在线段上时， 则， ∴； ∵E为线段中点，， ∴， ∴； 当点D在线段上时，如图，      则， ∴； ∵E为线段中点，， ∴， ∴； 综上，的长为或； 故答案为：或． 13．（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，经过t秒后直线恰好平分，则 （直接写结果）． 【答案】5秒或65秒 【分析】分两种情况，一是平分，先计算出，则；二是的反向延长线平分，则，解方程求出相应的t值即可． 【详解】解：当平分时，如图1，作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 当的反向延长线平分时，如图2，过点O作，则， ∵， ∴， 解得， 综上所述，或， 故答案为：5秒或65秒． 【点睛】此题重点考查角的计算、一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示直线平分时射线转过的角度是解题的关键． 14．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线，与三角板有关的角度计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由题意知，根据，计算求解即可； （2）由角平分线可得，．由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知． ∴， ∴． （2）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）如图所示，已知点C在线段上，D、E分别是和的中点．    (1)若，，求线段的长． (2)若点C为线段上任意一点（不与点A、点B重合），且，其他条件不变，求线段的长． (3)若点C在的延长线上，D、E依然为、的中点，，求此时的长． 【答案】(1)7 (2) (3) 【分析】本题考查了与中点有关的线段时间的和差关系，根据中点的定义“将线段平均分成2部分的点是线段的中点”进行解答即可． （1）根据中点的定义得出，再根据，即可求解； （2）根据中点的定义得出，再根据，即可求解； （3）根据中点的定义得出，再根据，，即可解答． 【详解】（1）解：∵D、E分别是和的中点，，， ∴， ∴； （2）解：∵D、E分别是和的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵D、E分别是和的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．    16．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知，过顶点O作射线，且平分，平分．    (1)如图，若在内． ①当平分时，的度数为 ②当时，求的度数． (2)嘉嘉说∶“若在内旋转，因为和的度数不能确定，所以的度数不能计算．”琪琪说∶“你说的不对，的度数能算到，且的度数不变．”请你判断嘉嘉和琪琪谁的说法正确，并说明理由 (3)若射线从出发绕点O顺时针旋转（旋转角小于），请直接写出的度数． 【答案】(1)①；② (2)琪琪的说法正确，的度数不变为，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差运算，以及数形结合的数学思想，分类讨论是解（3）的关键． （1）①根据角平分线的定义先求的度数，再求的度数即可； ②先求，再求，然后根据角平分线的定义即可； （2）由角平分线的定义得，，然后根据求解即可； （3）设旋转角为，分两种情况解答：①当时；②当时，在的下方，分别根据角平分线的概念求解即可． 【详解】（1）①∵，平分， ∴， ∵平分， ∴； 故答案为：； ②∵，， ∴． ∴． ∵平分， ∴； （2）琪琪的说法正确，嘉嘉的说法不正确，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； （3）设旋转角为， ①当时，如图，    ∵平分，平分， ∴． ∵，， ∴； ②当时，在的下方，如图，    ∵平分，平分， ∴． ∵，， ∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $