3.6 圆的内接四边形 课件 - 2025--2026学年浙教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“圆内接四边形”核心内容，涵盖概念及性质（对角互补、外角等于内对角）。课堂导入通过回顾三角形外接圆，引导探究四边形外接圆存在性，类比形成概念，搭建前后知识学习支架。 其亮点在于以探究驱动教学，通过猜想、证明培养推理能力（数学思维），结合原木锯正方形等实例渗透模型意识（数学语言），类比三角形发展几何直观（数学眼光）。学生能提升逻辑与应用能力，教师可借结构化流程和实例优化教学。

3.6圆内接四边形 2025. 浙教版数学 九年级上 【回顾】经过三角形各顶点的圆叫做三角形的_________. 这个三角形叫做__________________. 外接圆 圆的内接三角形 【类比】经过四边形各顶点的圆叫做四边形的_________. 这个四边形叫做__________________. 外接圆 圆的内接四边形 【探究】过四边形的4个顶点能画一个圆吗？ 过四边形的4个顶点不一定能画一个圆。 C A B O D1 D3 如图，四边形ABCD1、四边形ABCD2的4个顶点不能画一个圆， 但是，四边形ABCD3的4个顶点可以。 D2 【例1】判断下列四边形是否是圆的内接四边形？ A O B C D A O B C A O B C D A B C D 是 否 否 是 ① ② ③ ④ 【思考1】一个圆有多少个内接四边形？ 所有四边形都有外接圆吗？ 无数个 不是 圆内接四边形有什么性质？ O C A B D 【探究】如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A与∠C有什么关系？∠B与∠D有什么关系？ 思考：如何证明你的猜想呢？ ∵∠A BCD，∠C BAD BCD + BAD=360° ∴∠A＋∠ C BCD+ BAD=×360°=180° 同理可证∠B＋∠D＝180° 证明：把∠A所对的弧记作BCD，∠C所对的弧记作BAD 圆的内接四边形的对角互补。 【探究】如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上的一点. 求证：∠DCE=∠A ∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠DCB＋∠A=180°（圆内接四边形的对角互补） ∵∠DCB＋∠DCE=180° ∴∠DCE=∠A Ｏ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ E 因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB的对角，我们把∠A叫做∠DCE的内对角。 圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角。 　　　几何语言： 　　　∵　ABCD是⊙O的内接四边形， 　　　∴ ∠A+∠C=180° ∠B+∠D=180° ∠B=∠EDC 1.圆内接四边形的对角_______. 互补 圆内接四边形的性质定理 2.圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。 注意： 性质1是定理，可直接使用；性质2选择、填空可用 1.已知圆内接四边形有一个内角是50°，求它的对角的度数. 2.若圆O的内接四边形ABCD满足∠A=∠C，∠B=∠D，则四边形ABCD是怎样的特殊平行四边形？ 解:它的对角的度数=180°－50°=130°. 解:∵∠A=∠C , ∠B=∠D , ∠A+∠C=180°, ∠B+∠D=180°, ∴∠A=∠C=∠B=∠D=90°. ∴四边形ABCD是矩形. 3.已知圆内接四边形ABCD，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7. 求∠D的大小. 解：设∠A，∠B，∠C分别为2x，3x，7x，由题得 2x+7x=180°，解得 x=20°， ∴∠B=3x=60°，∴∠D=180°－∠B=120°. 例1 已知：如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D. 求证：DB=DC. 【分析】要证明DB=DC ，只需证明∠DBC=∠DCB.根据“在同圆中，同弧所对的圆周角相等”，得∠DBC=∠DAC，根据“圆内接四边形的对角互补”、“同角的补角相等”，可得∠DCB=∠DAE，即可得到∠DBC=∠DCB. 例1 已知：如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D. 求证：DB=DC. 证明：∵ AD 是∠EAC 的平分线，∴ ∠DAC=∠DAE. ∵ 四边形ABCD 内接于圆， ∴ ∠BAD +∠DCB=180°(圆内接四边形的对角互补). ∴ ∠DCB=∠DAE. 而∠DAC=∠DBC (在同圆中,同弧所对的圆周角相等) ∴ ∠DCB=∠DBC， ∴ DB=DC. 【练习】如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，点C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E。求证：BC＝EC. 证明：连接AC. ∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD＝∠ACE＝90°. ∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°， 又∠ABC＋∠EBC＝180°， ∴∠EBC＝∠D. ∵C 是弧BD 的中点，∴∠EAC＝∠DAC ， ∴∠EAC ＋∠E＝∠DAC ＋∠D＝90°，∴∠E＝∠D， ∴∠EBC＝∠E，∴BC＝EC. 如果要把横截面直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长15m，问：锯出的木材的体积为多少立方米(树皮等损耗略去不计)？ 例2 【分析】设原木的横截面为⊙O (如图).要使正方形ABCD尽可能地大，正方形ABCD应内接于⊙O.由正方形ABCD的内角是直角，得它的两条对角线是⊙O的直径，且这两条直径互相垂直.所以只要在⊙O内作两条互相垂直的直径AC和BD，就可以作出⊙O的内接正方形ABCD. 如果要把横截面直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长15m，问：锯出的木材的体积为多少立方米(树皮等损耗略去不计)？ 例2 解 当原木的直径为30cm时，AO =BO =15cm， 正方形ABCD 的面积为 4× AO×BO=4× ×15×15=450(cm2)=4.50×10-2(m2). 所以木材的体积为4.50×10-2×15=0.675(m3). 答：沿正方形ABCD 的四条边，就可以锯出符合要求的截面为正方形的木材.如果这根原木长15m，那么锯出木材的体积为0.675 m3. 6 连结AC. ∵BA平分∠DBE，∴∠ABE＝∠ABD . ∵四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠ABC＋∠ADC＝180°. 又∵∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠ABE＝∠ADC. ∵∠ABD＝∠ACD， ∴∠ACD＝∠ADC，∴AD＝AC. 类比 概念 数学基本思想： 圆的内接三角形 圆的内接四边形 性质 应用 圆木切割 类比思想 从特殊到一般 数学建模思想 概念：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 性质1：圆内接四边形的对角互补。 性质2：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 【性质1是定理，可直接使用；性质2选择、填空可用】 ∵AE⊥CB，AE＝，CE＝， ∴AC＝＝＝6，∴AD＝6. 【练习】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AE＝，CE＝，则AD等于________． $