3.6 圆内接四边形 课件2024-2025学年浙教版数学九年级上册

3.6 圆内接四边形 第3章 圆的基本性质 浙教版 九年级上册 学习目标 学习目标 （1）理解圆内接四边形和四边形外接圆的概念. （2）掌握圆内接四边形的性质定理，并会用性质定理进行有关的计算和证明. （3）通过对圆内接四边形的性质定理的探究，培养逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 复习回顾 【复习】圆周角定理的推论 几何语言： ∵在⊙O中， ∴ ∠AEB= ∠CFD. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等. A B C D E F O 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 3 新知学习 【问题】经过三角形各顶点的圆叫做三角形的_________. 这个三角形叫做__________________. 外接圆 圆的内接三角形 【类比】经过四边形各顶点的圆叫做四边形的_________. 这个四边形叫做__________________. 外接圆 圆的内接四边形 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 4 新知学习 如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形 ⊙O是四边形ABCD的外接圆 【新知1】圆内接四边形 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 5 新知学习 【例1】判断下列四边形是否是圆的内接四边形？ A O B C D A O B C A O B C D A B C D 是 否 否 是 ① ② ③ ④ 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 6 新知学习 BD为直径 ∠A=∠C=90º ∠A+∠C=180º ∠ADC+∠ABC=180º 【探究1】已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD是直径时，∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？ 【探究2】已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若BD不为⊙O的直径，探究1的结论是否仍然成立？ 猜想仍然成立 ∠A+∠C=180º ∠ADC+∠ABC=180º 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 7 新知学习 已知: 如图，四边形ABCD内接于⊙O， 求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° ∵∠A BCD，∠C BAD BCD + BAD=360° ∴∠A＋∠ C BCD+ BAD=( BCD+ BAD)=×360°=180° 同理可证∠B＋∠D＝180° 证明：把∠A所对的弧记作BCD，∠C所对的弧记作BAD 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 8 新知学习 几何语言： ∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠A+∠C=180º ∠B+∠D=180º 圆内接四边形对角互补. 【新知2】圆内接四边形的性质定理： 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 9 新知学习 【例2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上的一点. 求证：∠DCE=∠A ∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠DCB＋∠A=180°（圆内接四边形的对角互补） ∵∠DCB＋∠DCE=180° ∴∠DCE=∠A Ｏ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ E 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 10 新知学习 Ｏ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ E 几何语言： ∵∠DCE是圆内接四边形ABCD的外角 ∴∠DCE=∠A 圆内接四边形的外角等于它的内对角。 【新知3】圆内接四边形的性质定理的推论 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 11 新知学习 证明：∵ AD 是∠EAC 的平分线，∴ ∠DAC=∠DAE. ∵ 四边形ABCD 内接于圆， ∴ ∠BAD +∠DCB=180°(圆内接四边形的对角互补). ∴ ∠DCB=∠DAE. 而∠DAC=∠DBC (在同圆中,同弧所对的圆周角相等) ∴ ∠DCB=∠DBC， ∴ DB=DC. 【例3】如图，AD是∆ABC的外角∠EAC的平分线，与∆ABC的外接圆交于点D。求证：DB=DC 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 12 新知学习 【例4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，点C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E。求证：BC＝EC. 证明：连接AC. ∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD＝∠ACE＝90°. ∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°， 又∠ABC＋∠EBC＝180°， ∴∠EBC＝∠D. ∵C 是弧BD 的中点，∴∠EAC＝∠DAC ， ∴∠EAC ＋∠E＝∠DAC ＋∠D＝90°，∴∠E＝∠D， ∴∠EBC＝∠E，∴BC＝EC. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 13 新知学习 【例5】如果要把横截面直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长15m，问锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？ 解 当原木的直径为30cm时，AO =BO =15cm， 正方形ABCD 的面积为 4× AO×BO=4× ×15×15=450(cm2)=4.50×10-2(m2). 所以木材的体积为4.50×10-2×15=0.675(m3). 答：沿正方形ABCD 的四条边，就可以锯出符合要求的截面为正方形的木材.如果这根原木长15m，那么锯出木材的体积为0.675 m3. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 14 新知学习 【思考1】一个圆有多少个内接四边形？ 所有四边形都有外接圆吗？ 无数个 不是 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 15 新知学习 【思考2】不是所有的四边形都有外接圆，那满足什么条件的四边形会有外接圆呢？ 判定方法： （2）四边形的两个对角互补。 （1）四边形中同一边所对的两个边与对角线所成的角相等。（如∠1=∠2） 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 16 新知学习 【例6】如图，四边形ABCD，AD⊥BD，AC⊥BC，且∠DAB=50o，则∠ACD=______。 40o 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 17 学以致用 6 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 18 学以致用 【解析】 连结AC. ∵BA平分∠DBE，∴∠ABE＝∠ABD . ∵四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠ABC＋∠ADC＝180°. 又∵∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠ABE＝∠ADC. ∵∠ABD＝∠ACD， ∴∠ACD＝∠ADC，∴AD＝AC. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 19 学以致用 【2】如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB． (1)求证：DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小； (2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F.若AC＝AD， BF＝2，求此圆半径的长． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 20 学以致用 ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 21 学以致用 (2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F.若AC＝AD， BF＝2，求此圆半径的长． 解：∵∠BAD＝90°，CF∥AD， ∴∠F＋∠BAD＝180°，∴∠F＝90°. ∵AD＝CD，∴AD＝DC. ∵AC＝AD，∴AC＝AD＝CD， ∴△ADC是等边三角形，∴∠ADC＝60°. ︵ ︵ 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 22 学以致用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 23 学以致用 【3】如图，四边形ABCD是半径为R的⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠ABD＝45°，直线l与三条线段CD，CA，DA的延长线分别交于点E，F，G，且满足∠CFE＝45°. (1)求证：直线l⊥直线CE； (2)若AB＝DG. ①求证：△ABC≌△GDE； 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 24 学以致用 （1）证明：∵ AD＝AD，∴∠ACD＝∠ABD＝45°. 在△CFE中，∵∠CFE＝45°， ∴∠FEC＝180°－(∠FCE＋∠CFE)＝90°， ∴直线l⊥直线CE. ︵ ︵ 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 25 学以致用 (2)若AB＝DG. ①求证：△ABC≌△GDE； 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 26 学以致用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 27 学以致用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 28 课堂总结 类比 概念 数学基本思想： 圆的内接三角形 圆的内接四边形 性质 特殊 应用 圆木切割 类比思想 从特殊到一般 数学建模思想 一般 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 29 【1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AE＝，CE＝，则AD等于________． ∵AE⊥CB，AE＝，CE＝， ∴AC＝＝＝6，∴AD＝6. 证明：∵∠BAC＝∠ADB，∴＝， ∴∠ADB＝∠CDB，即DB平分∠ADC. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴＝， ∴＋＝＋，即＝， ∴BD是圆的直径，∴∠BAD＝90°. ∵DB平分∠ADC，∴∠CDB＝∠ADC＝30°. ∵BD是圆的直径，∴∠BCD＝90°，∴BC＝BD. ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°，∴∠ABC＝120°， ∴∠FBC＝60°，∴∠FCB＝90°－60°＝30°，∴FB＝BC. ∵BF＝2，∴BC＝4，∴BD＝2BC＝8. ∵BD是圆的直径，∴此圆半径的长为BD＝4. ②若R＝1，CE＝，求四边形ABCD的周长． 证明：∵四边形ABCD是半径为R的⊙O的内接四边形，∴∠ADC＋∠ABC＝180°.∵∠ADC＋∠GDE＝180°， ∴∠ABC＝∠GDE.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. 由(1)可知∠GED＝90°，∴∠ACB＝∠GED， 在△ABC与△GDE中， ∴△ABC≌△GDE(AAS)． ②若R＝1，CE＝，求四边形ABCD的周长． 解：在⊙O中，R＝1，∴AB＝2R＝2. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∵∠ABD＝45°， ∴∠BAD＝90°－∠ABD＝45°＝∠ABD，∴DA＝DB. 在Rt△ABD中，DA2＋DB2＝AB2， 即2DA2＝22，解得DA＝. 由①知△ABC≌△GDE，∴BC＝DE， ∴BC＋CD＝DE＋CD＝CE＝， ∴四边形ABCD的周长为DA＋AB＋BC＋CD＝DA＋AB＋CE＝2＋＋＝＋. $$