第十三章 事件与可能性（复习讲义）（知识必备+7大核心题型+分层验收）数学新教材北京版八年级上册

第十三章 事件与可能性（复习讲义） 1.了解必然事件、不可能事件与随机事件的含义. 2.能描述简单随机事件的特征（可能结果的个数有限，每一个结果出现的可能性大小相等). 3.能求简单随机事件发生的可能性大小. 4.理解和表达现实世界中大量存在的随机现象. 知识点一 事件类型：      知识点二 随机事件可能性的大小 若每位同学的口袋里只装有4个红球，1个黑球.每位同学把口袋里的球搅匀后，从中随机摸出一个球.在我们随机摸一个球时，摸到每个球的机会是相等的.但是，摸到哪种色的球是不确定的，因此“摸到红球”与“摸到黑球”都是随机事件. 根据全班同学所摸到的球的颜色统计结果，我们发现摸到红球的同学多。摸到黑球的同学少，由于口袋里红球的数量(4个)比黑球的数量(1个)多，因此，到红球的机会比摸到黑球的机会多，也就是说，摸到红球的可能性比到黑球的可能性大 由此可见，随机事件发生的可能性是有大小的. 知识点三 求随机事件可能性的大小 一般地，随机事件发生的可能性大小的计算方法和步骤是： (1)列出所有可能发生的结果，并判定每个结果发生的可能性相等. (2)确定所有可能发生的结果个数n和其中出现所求事件的结果个数m. (3)计算所求事件发生的可能性大小： P(事件)= 题型一 事件的分类 【例1】 （24-25八年级上·北京石景山·期末）下列事件是随机事件的是（　） A．从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除 B．用长度分别是，，的细木条首尾相连组成一个三角形 C．投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D．在一个装有2个白球和3个黑球的袋子中摸出红球 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件，一定会发生的事件叫做必然事件，据此可得答案． 【详解】解：A、从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除是必然事件，不符合题意； B、∵， ∴用长度分别是，，的细木条首尾相连组成一个三角形是不可能事件，不符合题意； C、投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上是随机事件，符合题意； D、在一个装有2个白球和3个黑球的袋子中摸出红球是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】 （24-25八年级上·北京延庆·期末）下列事件中，随机事件是（   ） A．在数轴上取一个点，它表示的数是实数 B．画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合 C．画一个三角形，它的内角和是 D．把长度分别是6，8，9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查的是事件的分类，三角形内角和，勾股定理，实数的定义．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、在数轴上取一个点，它表示的数是实数，是必然事件，不符合题意； B、画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合，是随机事件，符合题意； C、画一个三角形，它的内角和是，是必然事件，不符合题意； D、，则把长度分别是6，8，9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形，是不可能事件，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】 （24-25八年级上·北京平谷·期末）“若，则”这一事件是 （选填以下内容：不可能事件、必然事件、随机事件）． 【答案】必然事件 【分析】此题主要考查了必然事件概念以及二次根式的性质，根据二次根式的性质，结合必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于哪一种类别，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 则为必然事件， 故答案为：必然事件． 【变式1-3】 （24-25九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明的盒子中装有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外没有其他差别，随机从盒子中摸出2个球，下列事件属于必然事件的是（   ） A．摸出的2个球中有黑球 B．摸出的2个球中有白球 C．摸出的2个球都是黑球 D．摸出的2个球都是白球 【答案】B 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念逐项分析即可得解，熟练掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解此题的关键． 【详解】解：A、摸出的2个球中有黑球是随机事件，故不符合题意； B、摸出的2个球中有白球是必然事件，故符合题意； C、摸出的2个球都是黑球是不可能事件，故不符合题意； D、摸出的2个球都是白球是随机事件，故不符合题意； 故选：B． 题型二 判断事件发生可能性的大小 【例2】 （24-25八年级上·北京顺义·期末）春节期间，某商场举行有奖促销活动，各个奖项所占比例如图所示，某消费者在购物后要进行一次抽奖，则该消费者中奖的可能性是 ． 【答案】 【分析】本题考查概率的求法与运用．根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：该消费者中奖的可能性是， 故答案为：． 【变式2-1】 （24-25八年级上·北京昌平·期末）如图，货架上水平摆放着九个外包装完全一样的盲盒，每个盲盒内装有一件商品，装甲商品的盲盒有5个，装乙商品的盲盒有4个，随机抽取一个盲盒，则抽到 种商品的可能性大．（用“甲”，“乙”填空）    【答案】甲 【分析】此题主要考查了概率公式，解题的关键是掌握可能性=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：∵装甲商品的盲盒有5个，装乙商品的盲盒有4个， ∴随机抽取一个盲盒，抽到甲种商品的可能性为，抽到乙种商品的可能性为， ∵ ∴抽到甲种商品的可能性大． 故答案为：甲． 【变式2-2】 （24-25八年级下·江苏泰州·期末）袋中装有8个小球，颜色为红、白、黑，每个球除颜色外其它都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球，若要求摸出的球是黑球和不是黑球的可能性一样，则红球和白球共有 个． 【答案】4 【分析】根据红球和白球所占总体的一半求解即可． 【详解】解：若要求摸出的球是黑球和不是黑球的可能性一样，则黑球占； 红球和白球共占． 故红球和白球共有个． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了可能性的大小．解决本题的关键是得到红球和红球占球的数目占球的总数的一半． 【变式2-3】 （24-25八年级上·北京顺义·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次． (1)“朝上的点数是1”与“朝上的点数是6”这两个事件发生的可能性大小相等吗？为什么？ (2)比较“朝上的点数小于3”与“朝上的点数不小于3”这两个事件发生的可能性的大小． 【答案】(1)相等；理由见解析 (2)朝上的点数不小于3发生的可能性大 【分析】此题考查可能性大小的比较； （1）根据题意得出落地后朝上的点数可能是1、2、3、4、5、6，再根据概率公式即可得出答案； （2）先求出朝上的点数小于3的概率和朝上的点数不小于3的概率，再进行比较即可． 熟练掌握概率公式的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：相等； 因为抛掷一枚均匀的骰子（各面上的点数分别为点）1次，落地后朝上的点数可能是1、2、3、4、5、6， 所以“朝上的点数是1”与“朝上的点数是6”这两个事件发生的可能性都是； 故这两个事件发生的可能性大小相等； （2）因为朝上的点数小于3的数有1，2，发生可能性是， 朝上的点数不小于3的数有3，4，5，6，发生可能性是， 所以“朝上的点数小于3”与“朝上的点数不小于3”这两个事件发生可能性大小不相等，朝上的点数不小于3发生的可能性大． 题型三 列举随机事件所有等可能结果 【例3】 （24-25八年级下·北京昌平·期末）在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可． 【详解】解：由题意可知，一共八张卡片八个数，四个人每人两张卡片， ∴每人手里的数字不重复． 由甲：12，可知甲手中的数字可能是4和8，5和7； 由乙：11，可知乙手中的数字可能3和8；4和7，5和6； 由丙：9，可知丙手中的数字可能是1和8，2和7，3和6，4和5； 由丁：4，可知丁手中的数字可能是1和3， ∴丁只能是1和3， 因为甲手中的数字可能是4和8，5和7； 所以乙不能是4和7，则只能是5和6， 故选B． 【点睛】本题考查了列举所有可能性，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理． 【变式3-1】 （23-24八年级下·江苏南京·期末）已知一个三位数中至少有一位数为1，且相邻两个数字差的绝对值不超过1，则这样的三位数个数为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了列举法，分百位数字、十位数字、个位数字为1，分别列举出所有可能即可． 【详解】解∶①当百位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，个位数字可能为0，1； 当十位数字为1时，个位数字可能为0，1，2； 当十位数字为2时，个位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123； ②当十位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1，百位数字不能为0， ∴百位数字可能为1，2，个位数字为0，1，2， ∴三位数可能为110，111，112，210，211，212； ③当个位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，百位数字可能为1； 当十位数字为1时，百位数字可能为1，2； 当十位数字为2时，百位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为101，111，211，121，221，321， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123，210，211，212，221，321，共13个， 故答案为：13． 【变式3-2】 （24-25八年级上·北京海淀·期中）无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（   ）种灯光组合． A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】A 【分析】本题主要考查了列举法求随机事件所有出现的结果等知识点，利用已知条件，通过分类求解即可，熟练掌握用列举法求随机事件所有出现的结果是解决此题的关键． 【详解】解：设无人机三种颜色为A，B，C， 由题意知，编号1至5号的无人机颜色和编号7、8号的无人机颜色之间可以相同，但编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同， ∴可画树状图如下， ∴共有12种． 故选：A． 【变式3-3】 （24-25八年级上·北京房山·期末）将个0或排列在一起组成一个数组，记为，其中取0或，称是一个元完美数组（且为整数）.例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组.定义以下两个新运算： 新运算1：对于， 新运算2：对于任意两个元完美数组和，．例如：对于3元完美数组和，有． (1)①在，，中是2元完美数组的有_____； ②设，，则______； (2)已知完美数组，求出所有4元完美数组，使得； (3)现有个不同的2022元完美数组，是正整数，且对于其中任意的两个完美数组，满足，则的最大可能值是______． 【答案】(1)①；② (2)或或或或或． (3) 【分析】（1）①根据定义直接判定即可； ②根据定义直接计算即可； （2）由定义可知当时，，当时，，当或0，再由此求解即可； （3）根据题意可知C、D中对应的元都不相等，的最大值为，当C确定后，D中的对应元与C中的不同即可． 【详解】（1）解：①∵中有， ∴不是2元完美数组； ∵中只有和0，且有2个数， ∴是2元完美数组； ∵中有3个数， ∴不是2元完美数组； 故答案为：． ② ． 故答案为：． （2）解：∵， ∴当时，，当时，， 当时，或0， ∵， ∴， ∵， ∴或或或或或． （3）解：∵， ∴、中对应的元都不相等或、中对应的元都相等且为， ∵、是不同的两个完美数组， ∴、中对应的元都不相等， ∴的最大值为，当确定后，中的对应元与中的不同． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，弄清定义，熟练掌握绝对值的运算，能够通过所给的运算关系，得到一般规律是解题的关键． 题型四 判断等可能性 【例4】 （24-25八年级下·山西太原·期末）下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 【答案】A 【详解】解：A，掷一枚质地均匀的骰子，任一点数的概率都是六分之一，故该选项正确； B，篮球运动员定点投篮，投中与否的概率并不相等，故该选项错误； C，掷一个矿泉水瓶盖，因瓶盖质地不均匀，正反面出现的概率并不相等，故该选项错误； D，从装有若干小球的透明袋子摸球，摸到某一颜色小球的概率不一定相等，故该选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查等可能事件的判断，掌握等可能事件的定义是解题的关键． 【变式4-1】 如果手头没有硬币，下列方法可以模拟掷硬币实验的是（  ) A．掷一个瓶盖，盖面朝上代表正面，盖面朝下代表反面 B．掷一枚图钉，钉尖着地代表正面，钉帽着地代表反面 C．用计算器产生1和2两个随机整数，1代表正面，2代表反面 D．转动如图所示的装盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面 【答案】C 【分析】本题考查了概率，看所给物品得到的可能性与硬币只有正反两面的可能性是否相等即可． 【详解】A选项中，一个瓶盖可用盖面朝上表示硬币的正面，盖面朝下表示硬币的反面，两者出现的概率不一样，不可作实验替代物，所以本选项不正确； B选项中，图钉尖着地的概率与针帽着地的概率不同，不可做实验替代物，所以本选项错误； C选项中，用计算器产生1和2两个随机整数，1代表正面，2代表反面，两数产生的概率相同，能代替抛掷硬币的实验，所以本选项正确； D选项中，转动如图所示的装盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面，由于还有一个“黄色区域”，本实验中有三种等可能结果，与抛掷硬币实验情况不一样，所以本选项错误； 故选：C． 【变式4-2】 彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 【答案】D 【分析】根据等可能事件的意义解答即可． 【详解】解：抛硬币正面朝上和反面朝上的概率相同， 每一次抛都是有可能正面朝上也有可能反面朝上， 故选：D． 【点睛】本题考查了等可能事件的定义，能够正确判断事件发生的概率是解本题的关键． 【变式4-3】 （24-25八年级下·河北衡水·期中）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【分析】正确的推理判断即可求解． 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 【点睛】本题考查数学演绎推理，结合数学知识，进行正确的演绎推理是解决本题的关键， 题型五 判断等可能大小 【例5】 如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能性最大的是（） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】D 【分析】比较圆心角度数大小即可． 【详解】解：由图形知，数字4对应扇形圆心角度数最大，所以指针落在数字所示区域内可能性最大的是4号， 故选：D． 【点睛】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法． 【变式5-1】 掷一枚均匀的骰子，前5次朝上的点数恰好是，则第6次朝上的点数（   ） A．一定是6 B．是6的可能性大于是1～5中的任意一个数的可能性 C．一定不是6 D．是6的可能性等于是1～5中的任意一个数的可能性 【答案】D 【分析】 根据正方体骰子，不管出现是哪个数字，下一次任何一个数字朝上的可能性都是，即可求解． 【详解】 解：对于正方体骰子，不管出现是哪个数字，下一次任何一个数字朝上的可能性都是， 所以第6次朝上的点数是6的可能性等于是1～5中的任意一个数的可能性 故选：D 【点睛】本题考查了概率的意义，一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为，明确概率的意义是解答的关键． 【变式5-2】 （24-25八年级下·山东青岛·期末）如果事件A是“上学时，在路上遇到班主任老师”，事件B是“上学时，在路上遇到同班同学”，那么 ．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】< 【分析】根据事件发生的可能性大小作出判断即可． 【详解】解：事件A是“上学时，在路上遇到班主任老师”，事件B是“上学时，在路上遇到同班同学”， 则事件A发生的可能性小于事件B发生的可能性，即, 故答案为：< 【点睛】此题考查了概率，概率是表示事件发生可能性大小的量，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 【变式5-3】 请将下列事件发生的概率标在图1中（用字母表示）： （1）记为点A：随意掷两枚质地均匀的骰子，朝上面的点数之和为1； （2）记为点B：抛出的篮球会下落； （3）记为点C：从装有3个红球、7个白球的口袋中任取一个球，恰好是白球（这些球除颜色外完全相同）； （4）记为点D：如图2所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头恰好扎在阴影区域内． 【答案】（1）0；（2）1；（3）；（4）．图中表示见解析． 【分析】（1）先判断此事件为不可能事件，再根据不可能事件的概率为0求解； （2）先判断此事件为必然事件，再根据必然事件的概率为1求解； （3）先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值； （4）先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值．然后依次标在图中即可． 【详解】（1）随意掷两枚质地均匀的骰子，朝上面的点数之和为1为不可能事件，其概率为0； （2）为必然事件，其概率为1； （3）从装有3个红球、7个白球的口袋中任取一个球，恰好是白球，是随机事件，其概率为； （4）如图2所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头恰好扎在阴影区域内的概率为； 如图所示： 【点睛】本题考查了随机事件概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 题型六 根据公式计算等可能性大小 【例6】 （24-25八年级上·北京平谷·期末）不透明的袋子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则摸出红球的可能性大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是概率公式，理解并掌握简单概率计算公式是解题关键．先求出球的总数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵袋子中装有3个红球，2个白球， ∴摸出红球的可能性大小为． 故选：D． 【变式6-1】 （24-25八年级上·北京通州·期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立冬”，4张“小寒”，1张“大寒”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了随机事件可能性的大小，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题关键．根据在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有4张“小寒”，进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有4张“小寒”， ∴从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为． 故答案为：． 【变式6-2】 （24-25八年级上·北京密云·期末）一个袋子中有形状大小完全相同的5个红球和3个白球． (1)求从袋子中任意摸出一球恰好是白球的可能性大小． (2)在袋子中再放入个白球，这些白球与袋子中的小球形状大小完全相同.从中任意摸出一球，恰好是白球的可能性是．求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据白球的个数除以总球数即可求解． （2）根据白球的可能性为列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵共有8个球，3个白球， ∴从袋子中任意摸出一球恰好是白球的可能性大小为； （2）解：∵共有8个球，3个白球，在袋子中再放入个白球，从中任意摸出一球，恰好是白球的可能性是． ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，已知概率求数量，掌握概率公式是解题的关键． 【变式6-3】 （24-25八年级上·北京顺义·期末）在某个闯关游戏中，选手需从3个游戏规则中任选一个，再从标有数字1，2，3，…，9的9张卡片中任意抽取一张，根据所选规则和抽到卡片上的数字决定选手是否闯关成功，三个游戏规则如下： 规则一：如果抽到卡片上的数字不大于5，那么选手闯关成功，否则闯关失败； 规则二：如果抽到卡片上的数字是偶数，那么选手闯关成功，否则闯关失败； 规则三：如果抽到卡片上的数字是3的倍数，那么选手闯关成功，否则闯关失败． 请你通过计算判断，如果你闯这一关，你会选择哪个规则进行闯关呢？并说明理由． 【答案】选择规则一，理由见解析 【分析】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．根据概率公式进行求解即可． 【详解】解：选择规则一． 卡片上的数字中不大于5数字有1，2，3，4，5，共5个，所以选择规则一闯关成功的可能性为． 卡片上的数字中偶数数字有2，4，6，8，共4个，所以选择规则二闯关成功的可能性为． 卡片上的数字中是3的倍数的数字有3，6，9，共3个，所以选择规则三闯关成功的可能性为． 因为， 所以选择规则一闯关成功的可能性最大． 题型七 根据公式求相应数据 【例7】 （24-25八年级上·北京顺义·期末）一个不透明的口袋里有5个除颜色外都相同的球，其中有2个红球，3个黄球． （1）若从中随意摸出一个球，求摸出红球的可能性； （2）若要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为，求袋子中需再加入几个红球？ 【答案】（1）；（2）4 【分析】（1）求出摸到红球的概率即可； （2）设需再加入个红球，根据摸出红球的概率为列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵从中随意摸出一个球的所有可能的结果个数是5，随意摸出一个球是红球的结果个数是2， ∴从中随意摸出一个球，摸出红球的可能性是． （2）设需再加入个红球， 依题意可列：， 解得， ∴要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为，袋子中需再加入4个红球． 【点睛】考查了可能性的大小，对于这类题目，可算出求的总个数，要求某种球被摸到的可能性，就看这种球占总数的几分之几就可以了． 【变式7-1】 （23-24八年级上·北京平谷·期末）在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的m个球，其中有黄球3个，如果从中随机摸出一个，那么摸到黄球的可能性为大小是，则m是 ． 【答案】6 【分析】本题考查概率计算公式的使用，根据概率黄球个数总数，变形得到总数黄球个数概率，即可解题． 【详解】解：（个）， 故答案为：6． 【变式7-2】 （24-25八年级上·北京海淀·期末）文具店购进了20盒“2B铅笔”，但在销售过程中发现其中混入了若干“HB铅笔”，店员进行统计后发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB铅笔”，具体数据如下表： 混入“HB”铅笔数 0 1 2 盒数 6 m n （1）用等式写出m、n满足的关系式__________； （2）从20盒中任意选取1盒； ①“盒子中没有混入HB铅笔”是________事件； ②若“盒中混入1支HB铅笔”的概率为0.25，求m、n的值． 【答案】（1）m+n=14；（2）①随机；②m=5，n=9 【分析】（1）根据表格确定m，n满足的数量关系即可； （2）①根据事件的性质进行解答即可； ②利用概率公式列式计算即可． 【详解】解：（1）观察表格发现：6+m+n=20， ∴用等式写出m，n所满足的数量关系为m+n=14， 故答案为：m+n=14； （2）①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是随机事件， 故答案为：随机； ②∵“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为0.25， ∴， ∴m=5，n=9． 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 【变式7-3】 （24-25八年级上·北京房山·期末）口袋里有除颜色外其它都相同的个红球和个黑球． (1)先从袋子里取出个黑球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件． 如果事件是必然事件，请直接写出的值； 如果事件是随机事件，请直接写出的值． (2) 先从袋子中取出个黑球，再放入个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求的值． 【答案】(1)；  的值为或或； (2) 【分析】本题主要考查了必然事件和随机事件定义，求概率，熟练掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，概率公式是解题的关键． 根据必然事件的定义可知：从袋子里随机摸出一个球一定是红球，袋子里一定全部是红球，没有黑球，所以黑球要全部被拿走，所以的值是； 根据随机事件的定义可知：从袋子里随机摸出一个球可能是红球也可能是黑球，所以袋子里一定既有红球又有黑球，所以的值为或或； 取出个黑球，再放入个一样的红球，袋子里的小球的总数仍是个，其中红球的个数是，根据摸出一个球是红球的可能性大小是，可得：，解方程求出即可． 【详解】（1）解：事件是必然事件， 从袋子里随机摸出一个球一定是红球， 袋子里一定全部是红球，没有黑球， 黑球要全部被拿走， ；   解：事件是随机事件， 从袋子里随机摸出一个球可能是红球也可能是黑球， 袋子里一定既有红球又有黑球， 袋子里的黑球不能全部被拿走，最少有一个黑球， 的值为或或； （2）解：袋子里一共有个球， 取出个黑球，再放入个一样的红球，袋子里的小球的总数仍是个， 其中红球的个数是， 摸出红球的可能性大小是， 根据题意得：， ． 基础巩固通关测 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）一只不透明的袋子里装有个黑球，个白球，每个球除颜色外都相同，则事件“从中任意摸出个球，至少有个球是黑球”的事件类型是（    ） A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．无法确定 【答案】C 【分析】直接利用必然事件的定义得出答案． 【详解】解：∵一只不透明的袋子里装有4个黑球，2个白球，每个球除颜色外都相同， ∴事件“从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球”的事件类型是必然事件． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了随机事件，正确掌握相关定义是解题关键． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）一个不透明的盒子中装有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外没有其他差别，随机从盒子中摸出2个球，下列事件属于必然事件的是（   ） A．摸出的2个球中有黑球 B．摸出的2个球中有白球 C．摸出的2个球都是黑球 D．摸出的2个球都是白球 【答案】B 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念逐项分析即可得解，熟练掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解此题的关键． 【详解】解：A、摸出的2个球中有黑球是随机事件，故不符合题意； B、摸出的2个球中有白球是必然事件，故符合题意； C、摸出的2个球都是黑球是不可能事件，故不符合题意； D、摸出的2个球都是白球是随机事件，故不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·北京昌平·期末）下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．13个人中至少有两个人出生月份相同 B．掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．2025年有366天 【答案】A 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各个选项进行判断即可，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件． 【详解】解：A、13个人中至少有两个人出生月份相同是必然事件，因为一年有12个月，13个人即使平均分配12个月，还会多一个人，故是必然事件，符合题意； B、掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3是随机事件，故该选项不符合题意；； C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故该选项不符合题意； D、2025年有365天，故为不可能事件，不符合题意， 故选：A． 4．（24-25八年级上·北京昌平·期末）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．李叔叔以家庭主申请人的身份申请北京市小客车指标，在提交申请后的第一次“摇号”就中签 B．直角三角形两锐角互余 C．第一小组的10名同学中，包含了3名女生，若从这组选出4名同学完成任务，则至少有1名男生 D．掷一枚标准的骰子，面朝上的点数等于8 【答案】A 【分析】本题考查了事件的分类，熟记“必然事件是指一定会发生的事件；不可能事件是指不可能发生的事件；随机事件是指可能发生也可能不发生的事件”．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解：A、属于随机事件，符合题意； B、属于必然事件，不符合题意； C、属于必然事件，不符合题意； D、属于不可能事件，不符合题意； 故选：A． 5．（24-25八年级上·北京顺义·期末）不透明的袋子中装有5个红球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则下列说法正确的是（    ） A．摸到红球、绿球的可能性大小一样 B．这个球可能是绿球 C．摸到绿球的可能性大于摸到红球的可能性 D．这个球一定是红球 【答案】B 【分析】本题主要考查了事件的可能性，简单的概率计算，先计算出摸到红球的概率为，摸到绿球的概率为，则摸到绿球的可能性小于摸到红球的可能性，摸出的球可能是红球也有可能是蓝球，据此可得答案． 【详解】解：A、摸到红球的概率为，摸到绿球的概率为，则摸到红球、绿球的可能性大小不一样，原说法错误，不符合题意； B、随机从袋子中摸出一个球，这个球可能是绿球，原说法正确，符合题意； C、摸到绿球的可能性小于摸到红球的可能性，原说法错误，不符合题意； D、随机从袋子中摸出一个球，这个球不一定是红球，原说法错误，不符合题意； 故选B． 6．（24-25八年级上·北京平谷·期末）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．用长度分别是1cm，2cm，3cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形 B．用长度分别是3cm，4cm，5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等 D．有两组对应边和一组对应角分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系判断A选项；根据勾股定理判断B选项；根据等腰三角形的性质：等边对等角判断C选项；根据全等三角形的判定即可判断D选项． 【详解】A.因为，所以用长度分别是1cm，2cm，3cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形为不可能事件，故此选项错误； B.因为满足勾股定理，所以用长度分别是3cm，4cm，5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形为必然事件，故此选项错误； C.因为三角形有两个角相等则这个三角形是等腰三角形，故等腰三角形等角对等边，所以如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等为必然事件，故此选项错误； D.根据SAS可以判断两三角形全等，但ASS不能判断两三角形全等，所以有两组对应边和一组对应角分别相等的两个三角形全等为随机事件，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查随机事件，随机事件可能发生也可能不发生，必然事件一定发生，不可能事件一定不发生，掌握随机事件的定义是解题的关键． 7．（24-25八年级上·北京昌平·期末）口袋里有3个红球、2个白球、5个黄球，除颜色外都相同，从中随意摸出一个球，摸到白球的可能性的大小是 ． 【答案】 【分析】用白球的个数除以球的总数即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 8．（24-25八年级上·北京房山·期末）北京中考体育改革、从2024年开始，中考学生在运动能力I项目中，必须从足球、篮球、排球、乒乓球和羽毛球共五项中选一项参加考试，若小文同学随机选一项，则他选中篮球的可能性大小为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了随机事件的概率公式：随机事件A的概率=事件A可能出现的结果除以所有可能出现的结果数，掌握随机事件的概率公式是解题的关键．直接利用概率的公式求解即可． 【详解】解：足球、篮球、排球、乒乓球和羽毛球五项中，小文选择篮球的可能性为， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·北京通州·期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立冬”，4张“小寒”，1张“大寒”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了随机事件可能性的大小，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题关键．根据在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有4张“小寒”，进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有4张“小寒”， ∴从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·北京昌平·期末）某超市举办迎新春抽奖活动：不透明箱子中放有8张红卡、6张黄卡、4张绿卡，每张卡片除颜色外其余均相同．抽到红卡得一副春联，抽到黄卡得一对福字，抽到绿卡得一个灯笼，第一位购物者抽得春联的可能性大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是概率公式，正确理解题意是解题的关键． 直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：由题意得，第一位购物者抽得春联的可能性大小是， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·北京顺义·期末）学校举行“爱我中华"知识竞赛，某班从5名男生和4名女生（含小云）中选6名学生参加这次竞赛．若选择男生n名，则当 时，小云参加这次竞赛是必然事件． 【答案】2 【分析】本题主要考查了必然事件的定义，根据必然事件的定义，可知若女生都参加比赛时，女生小云参加比赛是必然事件，可知男生有几名．熟知必然事件的定义是关键． 【详解】解：女生小云参加这次竞赛是必然事件， 名女生都被抽取， 抽调6名学生参加比赛， 男生有2名． 故答案为：2． 12．（24-25八年级上·北京通州·期末）六张卡片的正面分别写有，，，0，，这六个数，将卡片的正面朝下（反面完全相同）放在桌子上，从中任意抽取一张，卡片上的数字为无理数的可能性大小是 . 【答案】 【分析】本题主要考查概率公式求概率，以及无理数，熟练掌握概率公式求概率是解题的关键．找出卡片中的无理数，根据概率公式求值即可． 【详解】解：，是无理数， 故从中任意抽取一张，卡片上的数字为无理数的可能性大小是， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·北京顺义·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次． (1)“朝上的点数是1”与“朝上的点数是6”这两个事件发生的可能性大小相等吗？为什么？ (2)比较“朝上的点数小于3”与“朝上的点数不小于3”这两个事件发生的可能性的大小． 【答案】(1)相等；理由见解析 (2)朝上的点数不小于3发生的可能性大 【分析】此题考查可能性大小的比较； （1）根据题意得出落地后朝上的点数可能是1、2、3、4、5、6，再根据概率公式即可得出答案； （2）先求出朝上的点数小于3的概率和朝上的点数不小于3的概率，再进行比较即可． 熟练掌握概率公式的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：相等； 因为抛掷一枚均匀的骰子（各面上的点数分别为点）1次，落地后朝上的点数可能是1、2、3、4、5、6， 所以“朝上的点数是1”与“朝上的点数是6”这两个事件发生的可能性都是； 故这两个事件发生的可能性大小相等； （2）因为朝上的点数小于3的数有1，2，发生可能性是， 朝上的点数不小于3的数有3，4，5，6，发生可能性是， 所以“朝上的点数小于3”与“朝上的点数不小于3”这两个事件发生可能性大小不相等，朝上的点数不小于3发生的可能性大． 14．（20-21八年级上·北京顺义·期末）一个不透明的口袋里有5个除颜色外都相同的球，其中有2个红球，3个黄球． （1）若从中随意摸出一个球，求摸出红球的可能性； （2）若要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为，求袋子中需再加入几个红球？ 【答案】（1）；（2）4 【分析】（1）求出摸到红球的概率即可； （2）设需再加入个红球，根据摸出红球的概率为列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵从中随意摸出一个球的所有可能的结果个数是5，随意摸出一个球是红球的结果个数是2， ∴从中随意摸出一个球，摸出红球的可能性是． （2）设需再加入个红球， 依题意可列：， 解得， ∴要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为，袋子中需再加入4个红球． 【点睛】考查了可能性的大小，对于这类题目，可算出求的总个数，要求某种球被摸到的可能性，就看这种球占总数的几分之几就可以了． 15．（24-25八年级上·北京房山·期末）初二（1）班数学课实施积分奖励制度，满足以下某一条件的同学便可在课下转一次转盘获得相应积分：①作业优秀或课上积极回答问题；②通过小组合作交流有效解决问题，并展示成果；③发现并提出有价值的问题．每周评选出个人总分和小组总分优胜者，进行奖励． 同学们自己动手制作了一个可以自由转动的转盘．如图所示，把一个圆分成形状相同，面积相等的16个扇形区域．其中有部分区域写有积分，奖励10分的区域有2个，5分的区域有3个，2分的区域有5个，规定转盘停止后，如果指针对准某个有积分的区域，那么就可以获得这个区域上所标的积分 (1)求某同学转一次转盘获得各个积分的可能性大小． (2)同学们觉得获得5分的可能性太小了，想调整获得5分的可能性为，使得其他积分的可能性不变．则需要将多少个无积分的扇形区域写上5分？ 【答案】(1)见解析 (2)需要将1个无积分的扇形区域写上5分． 【分析】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式． （1）根据概率公式计算某同学转一次转盘获得积分的可能性大小即可； （2）需要将x个无积分的扇形区域写上5分，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：奖励10分的概率是； 奖励5分的概率是； 奖励2分的概率是； （2）解：需要将x个无积分的扇形区域写上5分， 则由题意得，， 解得：， 所以需要将1个无积分的扇形区域写上5分． 16．（24-25八年级上·北京顺义·期末）在某个闯关游戏中，选手需从3个游戏规则中任选一个，再从标有数字1，2，3，…，9的9张卡片中任意抽取一张，根据所选规则和抽到卡片上的数字决定选手是否闯关成功，三个游戏规则如下： 规则一：如果抽到卡片上的数字不大于5，那么选手闯关成功，否则闯关失败； 规则二：如果抽到卡片上的数字是偶数，那么选手闯关成功，否则闯关失败； 规则三：如果抽到卡片上的数字是3的倍数，那么选手闯关成功，否则闯关失败． 请你通过计算判断，如果你闯这一关，你会选择哪个规则进行闯关呢？并说明理由． 【答案】选择规则一，理由见解析 【分析】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．根据概率公式进行求解即可． 【详解】解：选择规则一． 卡片上的数字中不大于5数字有1，2，3，4，5，共5个，所以选择规则一闯关成功的可能性为． 卡片上的数字中偶数数字有2，4，6，8，共4个，所以选择规则二闯关成功的可能性为． 卡片上的数字中是3的倍数的数字有3，6，9，共3个，所以选择规则三闯关成功的可能性为． 因为， 所以选择规则一闯关成功的可能性最大． 能力提升进阶练 1．（2024·上海·三模）下列4个对事件的判断中，所有正确结论的序号是（　　） ①“哥哥的年龄比弟弟的年龄大”是必然事件；②“书柜里有6本大小相同，厚度差不多的书，从中随机摸出一本是小说”是随机事件；③在1万次试验中，每次都不发生的事件是不可能事件；④在1万次试验中，每次都发生的事件是必然事件. A．① B．①② C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型． 【详解】“哥哥的年龄比弟弟的年龄大”是必然事件，①正确； “书柜里有6本大小相同，厚度差不多的书，从中随机摸出一本是小说”，无法确定事件类型，②错误； 在1万次试验中，每次都不发生的事件不一定是不可能事件，③错误； 在1万次试验中，每次都发生的事件不一定是必然事件，④错误； 故选A． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2．某初中八（5）班学生军训排列成7 7=49 人的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点 4 个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令，同一名学生可以多次被点，则 15 次点名后蹲下的学生人数可能是（     ） A．3 B．27 C．49 D．以上都不可能 【答案】D 【分析】从每次点的4个同学与已经蹲下的同学的重合人数入手，进而分析得到结果. 【详解】假设点的4个同学全部为站立的学生，则蹲下人数+4； 假设点的4个同学中只有1个为已蹲下的学生，则蹲下人数－1+3=+2； 假设点的4个同学中有2个为已蹲下的学生，则蹲下人数－2+2=0； 假设点的4个同学中有3个为已蹲下的学生，则蹲下人数－3+1=－2； 假设点的4个同学全部为已蹲下的学生，则蹲下人数－4； 第一次点完之后，蹲下人数为4，为偶数，之后每次蹲下的人数一定符合上述五种情况之一，所以增加或减少的人数仍为偶数，故蹲下的人数只可能为偶数. 故选D. 【点睛】本题为推理论证题，需要有严谨的逻辑思维及较强的推理分析能力. 3．（24-25八年级上·北京通州·期末）下列事件中，属于随机事件的是（　　） A．用长度分别是4cm，4cm，9cm的细木条首尾顺次相连可组成一个等腰三角形 B．以长度分别是5cm，4cm，3cm的线段为三角形三边，能构成直角三角形 C．分式的分子、分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变 D．任意画一个三角形，恰好是同一条边上的高线与中线重合 【答案】D 【分析】根据随机事件的定义、三角形的三边关系、勾股定理、分式的性质、等腰三角形的性质对各选项逐一进行判断即可． 【详解】解：A、用长度分别是4cm，4cm，9cm的细木条首尾顺次相连不可能组成一个等腰三角形，是不可能事件，故此选项不符合题意； B、∵32+42=52， ∴以长度分别是5cm，4cm，3cm的线段为三角形三边，能构成直角三角形是必然事件，故此选项不符合题意； C、分式的分子、分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变是必然事件，故此选项不符合题意； D、任意画一个三角形，恰好是同一条边上的高线与中线重合是随机事件，故此选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查随机事件、必然事件、不可能事件的定义，还涉及三角形的三边关系、勾股定理的逆定理、分式的性质、等腰三角形的性质等知识，理解随机事件的定义是解答的关键． 4．（24-25八年级上·北京通州·期末）下列事件中，满足是随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等的是 A．在50件产品中，检验员从中取出一件进行检验，取出每件产品的可能性相同 B．一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1~6点数朝上的可能性相同 C．小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性相同 D．口袋里有5个颜色不同的球，从口袋里随意摸出一个球，摸出每个球的可能性相同 【答案】B 【分析】根据事随机事件发生的可能性进行判断即可． 【详解】A．∵同种产品，只是种类相同，没有说其他性质是否相同，∴检验员从中取出一件进行检验，取出每件产品的可能性不一定相同，故本选项不符合题意； B．一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1-6点数朝上的可能性相同，故本选项符合题意； C．小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性不一定相同，因为每种灯的时间可能不相同，故本选项不符合题意； D．口袋里有5个颜色不同的球，从口袋里随意摸出一个球，摸出每个球的可能性不一定相同，因为只说了球的颜色，没有说其他性质．故本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了随机事件和可能性的大小，弄清随机事件发生的可能性是解答本题的关键． 5．（24-25八年级上·北京丰台·期末）下列说法错误的是（     ） A．任意抛掷一个啤酒瓶盖，落地后印有商标一面向上的可能性大小是 B．一个转盘被分成8块全等的扇形区域，其中2块是红色，6块是蓝色. 用力转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域的可能性大小是 C．一个不透明的盒子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. 从这个盒子中随意摸出一个球，摸到白球的可能性大小是 D．100件同种产品中，有3件次品. 质检员从中随机取出一件进行检测，他取出次品的可能性大小是 【答案】A 【分析】根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可． 【详解】A．啤酒盖的正反两面不均匀，任意抛掷一个啤酒瓶盖，落地后印有商标一面向上的可能性大小不是，故本选项错误； B．一个转盘被分成8块全等的扇形区域，其中2块是红色，6块是蓝色．用力转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域的可能性大小是，故本选项正确； C．一个不透明的盒子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．从这个盒子中随意摸出一个球，摸到白球的可能性大小是，故本选项正确； D.100件同种产品中，有3件次品．质检员从中随机取出一件进行检测，他取出次品的可能性大小是，故本选项正确； 故选A． 【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 6．一副扑克牌，拿出大小王，任意摸牌，至少要摸出 张扑克牌，才能保证摸到两张同花色扑克牌． 【答案】5 【分析】本题考查了抽屉原则，解题的关键在于理解扑克牌的花色种类，将花色看作“抽屉”，要确保摸出两张同花色的牌，考虑最不利的情况，即先摸出不同花色的牌，然后再摸一张就一定能保证有两张同花色的牌，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：明确扑克牌花色种类：一副扑克牌去掉大小王后，有4种花色，分别是红桃、黑桃、方块、梅花， ∴至少摸出的牌数为张，才能确保摸出两张同花色的扑克牌， 故答案为：5． 7．在一个不透明的袋子里放有个黄色乒乓球和个白色乒乓球，让你每次任意摸出个乒乓球，这样摸次，摸出黄色乒乓球的次数大约占总次数的 ，摸出白色乒乓球大约会有 次． 【答案】 【分析】本题考查了事件的可能性，用黄乒乓球的数量除以总数，得到摸到黄球可能性；摸球的次数乘可能性，可求摸出黄乒乓球的次数，理解题意是解题的关键． 【详解】解：因为袋子里放有个黄色乒乓球和个白色乒乓球， 所以摸出黄色乒乓球的次数大约占总次数的， 摸出白色乒乓球大约会有次， 故答案为：，． 8．口袋里放入同样大小的6个红球和一些黑球，每次从口袋里任意摸出一个球，摸后放回．已知摸到黑球的可能性为，要使摸到黑球的可能性变成，可以从口袋里拿走 个红球，也可以往口袋里再放入 个黑球． 【答案】 3 9 【分析】先根据摸到黑球的可能性为，求出黑球的个数，再根据要使摸到黑球的可能性变成，分黑球的个数不变和红球的个数不变，分别求出现在的球的总个数，再进行求解即可． 【详解】解：因为摸到黑球的可能性为， 所以摸到红球的可能性为， 所以原来口袋中球的总个数为个，黑球的个数为个； 要使摸到黑球的可能性变成， 黑球个数不变时，球的总个数变为个， 所以需要拿走红球的个数为个； 当增加黑球的个数时，球的总个数变为个， 所以需要增加的红球的个数为个； 故答案为：3，9． 【点睛】本题考查概率．熟练掌握概率公式是解题的关键． 9．（24-25八年级上·北京丰台·期末）在数学课上，同学们经历了摸球的实例分析和计算过程后，对求简单随机事件发生的可能性大小的计算方法和步骤进行了归纳. 请你将下列求简单随机事件发生的可能性大小的计算方法和步骤的正确顺序写出来 .（填写序号即可） ①确定所有可能发生的结果个数和其中出现所求事件的结果个数 ②计算所求事件发生的可能性大小，即 (所求事件) ③列出所有可能发生的结果，并判断每个结果发生的可能性都相等 【答案】③①② 【分析】根据求简单随机事件发生的可能性大小的计算方法和步骤求解即可. 【详解】求简单随机事件发生的可能性大小的计算方法和步骤是： ③列出所有可能发生的结果，并判断每个结果发生的可能性都相等； ①确定所有可能发生的结果个数和其中出现所求事件的结果个数； ②计算所求事件发生的可能性大小，即 (所求事件) ； 故答案为③①②. 【点睛】本题主要考查了可能性的大小，利用实验的方法进行概率估算，要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 10．（24-25八年级上·全国·单元测试）某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯小明的爸爸随机地由南往北开车到达该路口，问： (1)他遇到红灯的概率大还是遇到绿灯的概率大？ (2)他遇到红灯的概率是多少？ 【答案】(1)绿灯的概率大 (2) 【分析】（1）直接利用概率的意义得出遇到绿灯的概率大； （2）利用绿色灯亮的时间除以三种颜色灯的设置时间，进而得出遇到红灯的概率． 【详解】（1）解：每一时刻经过的可能性都相同，南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯 ∵绿灯时间比红灯时间长， ∴他遇到绿灯的概率大； （2）解： ∵在内，红灯的时间是 ∴他遇到红灯的概率是． 【点睛】本题主要考查了概率的意义以及概率求法，正确理解概率的意义是解题关键． 11．（24-25八年级上·全国·单元测试）从标有数字，，，的张卡片中，任意抽取张设“取到的倍数”，“取到的倍数”． (1)事件A和哪个发生的可能性大？ (2)事件A和的概率各是多大？ 【答案】(1)事件A发生的可能性大 (2)， 【分析】（1）数字，，，中，的倍数有4个，3的倍数由2两个，即可判断出事件A的发生的可能性大； （2）根据简单事件可能性大小的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：数字，，，中， 的倍数有，4，6，8， 的倍数有，6， ∴事件A发生的可能性大； （2）解：事件A发生的概率为：， 事件B发生的概率为：． 【点睛】本题考查简单事件的可能性，解题的关键是熟练掌握相关知识． 12．（江西·中考真题）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个. （1）先从袋子中取出m(m>1)个红球，再从袋子中随机摸出一个球，将“摸出黑球”记为事件A．请完成下列表格： 事件A 必然事件 随机事件 m的值 （2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出一个球是黑球的概率等于，求m的值. 【答案】(1) 4；2或3；（2）m=2. 【分析】（1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件，否则就是随机事件； （2）利用概率公式列出方程，求得m的值即可． 【详解】解：（1）当袋子中全为黑球，即摸出4个红球时，摸到黑球是必然事件； 当摸出2个或3个时，摸到黑球为随机事件， 故答案为4；2或3. （2）根据题意得：， 解得：m=2， 所以m的值为2. 13．大家看过中央电视台“购物街”节目吗？其中有一个游戏环节是大转轮比赛，转轮上平均分布着5、10、15、20一直到100共20个数字．选手依次转动转轮，每个人最多有两次机会．选手转动的数字之和最大不超过100者为胜出；若超过100则成绩无效，称为“爆掉”． (1)某选手第一次转到了数字5，再转第二次，则他两次数字之和为100的可能性有多大？ (2)现在某选手第一次转到了数字65，若再转第二次了则有可能“爆掉”，请你分析“爆掉”的可能性有多大？ 【答案】(1)；（2）. 【详解】试题分析：（1）求出第二次转到95的可能性，即为两次数字之和为100的可能性； （2）求出转到数字在35以上的总个数，利用所求情况数（35以上的总个数）与总情况数（20）作比即可. （1）由题意分析可得：要使他两次数字之和为100，则第二次必须转到95，因为总共有20个数字，所以他两次数字之和为100的可能性为 . （2）由题意分析可得：转到数字35以上就会“爆掉”，共有13种情况，因为总共有20个数字，所以“爆掉”的可能性为. 点睛：本题考查了可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比. 14．在学习了“求简单随机事件发生的可能性大小”知识后，小敏，小聪，小丽三人分别编写了一道有关随机事件的试题并进行了解答．小敏，小聪，小丽编写的试题分别是下面的（1）（2）（3）． （1）一个不透明的盒子里装有4个红球，2个白球，除颜色外其它都相同，搅均后，从中随意摸出一个球，摸出红球的可能性是多少？解：P（摸出一个红球）=． （2）口袋里装有如图所示的1角硬币2枚、5角硬币2枚、1 元硬币1枚．搅均后，从中随意摸出一枚硬币，摸出1角硬币的可能性是多少？解：P（摸出1角的硬币）=． （3）如图，是一个转盘，盘面上有5个全等的扇形区域，每个区域显示有不同的颜色，轻轻转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域的可能性是多少？解：P（指针对准红色区域）=． 问题:根据以上材料回答问题：小敏，小聪，小丽三人中，谁编写的试题及解答是正确的，并简要说明其他两人所编试题或解答的不足之处． 【答案】见解析 【分析】用概率表示随机事件可能性的大小，前提是每个结果发生的可能性都相等,要体现随机性. 【详解】答：第一个小敏的试题及答案是正确的．小聪的试题中，因为1角、5角、1元的硬币大小不同，不符合每个结果发生的可能性都相同的条件，因此不能用上述求随机事件可能性的方法解答． 小丽的试题中，因为轻轻转动转盘时，指针指向每个区域机会不等，不具有随机性，也不符合每个结果发生的可能性都相同的条件，因此也不能用上述解答方法解答． 【点睛】本题考核知识点：随机事件与概率. 解题关键点：理解随机事件与概率定义. 15．（24-25八年级上·北京密云·期末）小明选择一家酒店订春节团圆饭.他借助网络评价，选择了A、B、C三家酒店，对每家酒店随机选择1000条网络评价统计如下： 评价条数   等级 酒店 五星 四星 三星及三星以下 合计 A 412 388 1000 B 420 390 190 1000 C 405 375 220 1000 （1）求x值. （2）当客户给出评价不低于四星时，称客户获得良好用餐体验. ①请你为小明从A、B、C中推荐一家酒店，使得能获得良好用餐体验可能性最大.写出你推荐的结果，并说明理由. ②如果小明选择了你推荐的酒店，是否一定能够享受到良好用餐体验？ 【答案】（1）200；（2）①选择B酒店获得良好用餐体验的可能性最大，理由见解析；②不一定. 【分析】（1）根据总条数及四星、五星评价条数进行计算即可； （2）①计算四星与五星的人数和，从而求得可能性大小进行比较即可； ②根据①中计算的可能性判断即可. 【详解】解：（1）； （2）①选择A酒店获得良好用餐体验的可能性为， 选择B酒店获得良好用餐体验的可能性为， 选择C酒店获得良好用餐体验的可能性为， ∵， ∴选择B酒店获得良好用餐体验的可能性最大； ②由①知，选择B酒店获得良好用餐体验的可能性为0.81，没有达到百分之一百，所以选择B不一定能够享受到良好用餐体验. 【点睛】本题考查可能性大小和统计表，理解如何求可能性大小是解决问题的关键. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 事件与可能性（复习讲义） 1.了解必然事件、不可能事件与随机事件的含义. 2.能描述简单随机事件的特征（可能结果的个数有限，每一个结果出现的可能性大小相等). 3.能求简单随机事件发生的可能性大小. 4.理解和表达现实世界中大量存在的随机现象. 知识点一 事件类型：      知识点二 随机事件可能性的大小 若每位同学的口袋里只装有4个红球，1个黑球.每位同学把口袋里的球搅匀后，从中随机摸出一个球.在我们随机摸一个球时，摸到每个球的机会是相等的.但是，摸到哪种色的球是不确定的，因此“摸到红球”与“摸到黑球”都是随机事件. 根据全班同学所摸到的球的颜色统计结果，我们发现摸到红球的同学多。摸到黑球的同学少，由于口袋里红球的数量(4个)比黑球的数量(1个)多，因此，到红球的机会比摸到黑球的机会多，也就是说，摸到红球的可能性比到黑球的可能性大 由此可见，随机事件发生的可能性是有大小的. 知识点三 求随机事件可能性的大小 一般地，随机事件发生的可能性大小的计算方法和步骤是： (1)列出所有可能发生的结果，并判定每个结果发生的可能性相等. (2)确定所有可能发生的结果个数n和其中出现所求事件的结果个数m. (3)计算所求事件发生的可能性大小： P(事件)= 题型一 事件的分类 【例1】 （24-25八年级上·北京石景山·期末）下列事件是随机事件的是（　） A．从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除 B．用长度分别是，，的细木条首尾相连组成一个三角形 C．投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D．在一个装有2个白球和3个黑球的袋子中摸出红球 【变式1-1】 （24-25八年级上·北京延庆·期末）下列事件中，随机事件是（   ） A．在数轴上取一个点，它表示的数是实数 B．画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合 C．画一个三角形，它的内角和是 D．把长度分别是6，8，9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形 【变式1-2】 （24-25八年级上·北京平谷·期末）“若，则”这一事件是 （选填以下内容：不可能事件、必然事件、随机事件）． 【变式1-3】 （24-25九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明的盒子中装有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外没有其他差别，随机从盒子中摸出2个球，下列事件属于必然事件的是（   ） A．摸出的2个球中有黑球 B．摸出的2个球中有白球 C．摸出的2个球都是黑球 D．摸出的2个球都是白球 题型二 判断事件发生可能性的大小 【例2】 （24-25八年级上·北京顺义·期末）春节期间，某商场举行有奖促销活动，各个奖项所占比例如图所示，某消费者在购物后要进行一次抽奖，则该消费者中奖的可能性是 ． 【变式2-1】 （24-25八年级上·北京昌平·期末）如图，货架上水平摆放着九个外包装完全一样的盲盒，每个盲盒内装有一件商品，装甲商品的盲盒有5个，装乙商品的盲盒有4个，随机抽取一个盲盒，则抽到 种商品的可能性大．（用“甲”，“乙”填空）    【变式2-2】 （24-25八年级下·江苏泰州·期末）袋中装有8个小球，颜色为红、白、黑，每个球除颜色外其它都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球，若要求摸出的球是黑球和不是黑球的可能性一样，则红球和白球共有 个． 【变式2-3】 （24-25八年级上·北京顺义·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次． (1)“朝上的点数是1”与“朝上的点数是6”这两个事件发生的可能性大小相等吗？为什么？ (2)比较“朝上的点数小于3”与“朝上的点数不小于3”这两个事件发生的可能性的大小． 题型三 列举随机事件所有等可能结果 【例3】 （24-25八年级下·北京昌平·期末）在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式3-1】 （23-24八年级下·江苏南京·期末）已知一个三位数中至少有一位数为1，且相邻两个数字差的绝对值不超过1，则这样的三位数个数为 ． 【变式3-2】 （24-25八年级上·北京海淀·期中）无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（   ）种灯光组合． A．12 B．15 C．18 D．21 【变式3-3】 （24-25八年级上·北京房山·期末）将个0或排列在一起组成一个数组，记为，其中取0或，称是一个元完美数组（且为整数）.例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组.定义以下两个新运算： 新运算1：对于， 新运算2：对于任意两个元完美数组和，．例如：对于3元完美数组和，有． (1)①在，，中是2元完美数组的有_____； ②设，，则______； (2)已知完美数组，求出所有4元完美数组，使得； (3)现有个不同的2022元完美数组，是正整数，且对于其中任意的两个完美数组，满足，则的最大可能值是______． 题型四 判断等可能性 【例4】 （24-25八年级下·山西太原·期末）下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 【变式4-1】 如果手头没有硬币，下列方法可以模拟掷硬币实验的是（  ) A．掷一个瓶盖，盖面朝上代表正面，盖面朝下代表反面 B．掷一枚图钉，钉尖着地代表正面，钉帽着地代表反面 C．用计算器产生1和2两个随机整数，1代表正面，2代表反面 D．转动如图所示的装盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面 【变式4-2】 彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 【变式4-3】 （24-25八年级下·河北衡水·期中）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 题型五 判断等可能大小 【例5】 如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能性最大的是（） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【变式5-1】 掷一枚均匀的骰子，前5次朝上的点数恰好是，则第6次朝上的点数（   ） A．一定是6 B．是6的可能性大于是1～5中的任意一个数的可能性 C．一定不是6 D．是6的可能性等于是1～5中的任意一个数的可能性 【变式5-2】 （24-25八年级下·山东青岛·期末）如果事件A是“上学时，在路上遇到班主任老师”，事件B是“上学时，在路上遇到同班同学”，那么 ．（填“>”、“<”或“=”） 【变式5-3】 请将下列事件发生的概率标在图1中（用字母表示）： （1）记为点A：随意掷两枚质地均匀的骰子，朝上面的点数之和为1； （2）记为点B：抛出的篮球会下落； （3）记为点C：从装有3个红球、7个白球的口袋中任取一个球，恰好是白球（这些球除颜色外完全相同）； （4）记为点D：如图2所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头恰好扎在阴影区域内． 题型六 根据公式计算等可能性大小 【例6】 （24-25八年级上·北京平谷·期末）不透明的袋子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则摸出红球的可能性大小为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】 （24-25八年级上·北京通州·期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立冬”，4张“小寒”，1张“大寒”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为 ． 【变式6-2】 （24-25八年级上·北京密云·期末）一个袋子中有形状大小完全相同的5个红球和3个白球． (1)求从袋子中任意摸出一球恰好是白球的可能性大小． (2)在袋子中再放入个白球，这些白球与袋子中的小球形状大小完全相同.从中任意摸出一球，恰好是白球的可能性是．求n的值． 【变式6-3】 （24-25八年级上·北京顺义·期末）在某个闯关游戏中，选手需从3个游戏规则中任选一个，再从标有数字1，2，3，…，9的9张卡片中任意抽取一张，根据所选规则和抽到卡片上的数字决定选手是否闯关成功，三个游戏规则如下： 规则一：如果抽到卡片上的数字不大于5，那么选手闯关成功，否则闯关失败； 规则二：如果抽到卡片上的数字是偶数，那么选手闯关成功，否则闯关失败； 规则三：如果抽到卡片上的数字是3的倍数，那么选手闯关成功，否则闯关失败． 请你通过计算判断，如果你闯这一关，你会选择哪个规则进行闯关呢？并说明理由． 题型七 根据公式求相应数据 【例7】 （24-25八年级上·北京顺义·期末）一个不透明的口袋里有5个除颜色外都相同的球，其中有2个红球，3个黄球． （1）若从中随意摸出一个球，求摸出红球的可能性； （2）若要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为，求袋子中需再加入几个红球？ 【变式7-1】 （23-24八年级上·北京平谷·期末）在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的m个球，其中有黄球3个，如果从中随机摸出一个，那么摸到黄球的可能性为大小是，则m是 ． 【变式7-2】 （24-25八年级上·北京海淀·期末）文具店购进了20盒“2B铅笔”，但在销售过程中发现其中混入了若干“HB铅笔”，店员进行统计后发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB铅笔”，具体数据如下表： 混入“HB”铅笔数 0 1 2 盒数 6 m n （1）用等式写出m、n满足的关系式__________； （2）从20盒中任意选取1盒； ①“盒子中没有混入HB铅笔”是________事件； ②若“盒中混入1支HB铅笔”的概率为0.25，求m、n的值． 【变式7-3】 （24-25八年级上·北京房山·期末）口袋里有除颜色外其它都相同的个红球和个黑球． (1)先从袋子里取出个黑球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件． 如果事件是必然事件，请直接写出的值； 如果事件是随机事件，请直接写出的值． (2)先从袋子中取出个黑球，再放入个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求的值． 基础巩固通关测 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）一只不透明的袋子里装有个黑球，个白球，每个球除颜色外都相同，则事件“从中任意摸出个球，至少有个球是黑球”的事件类型是（    ） A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．无法确定 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）一个不透明的盒子中装有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外没有其他差别，随机从盒子中摸出2个球，下列事件属于必然事件的是（   ） A．摸出的2个球中有黑球 B．摸出的2个球中有白球 C．摸出的2个球都是黑球 D．摸出的2个球都是白球 3．（24-25八年级上·北京昌平·期末）下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．13个人中至少有两个人出生月份相同 B．掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．2025年有366天 4．（24-25八年级上·北京昌平·期末）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．李叔叔以家庭主申请人的身份申请北京市小客车指标，在提交申请后的第一次“摇号”就中签 B．直角三角形两锐角互余 C．第一小组的10名同学中，包含了3名女生，若从这组选出4名同学完成任务，则至少有1名男生 D．掷一枚标准的骰子，面朝上的点数等于8 5．（24-25八年级上·北京顺义·期末）不透明的袋子中装有5个红球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则下列说法正确的是（    ） A．摸到红球、绿球的可能性大小一样 B．这个球可能是绿球 C．摸到绿球的可能性大于摸到红球的可能性 D．这个球一定是红球 6．（24-25八年级上·北京平谷·期末）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．用长度分别是1cm，2cm，3cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形 B．用长度分别是3cm，4cm，5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等 D．有两组对应边和一组对应角分别相等的两个三角形全等 7．（24-25八年级上·北京昌平·期末）口袋里有3个红球、2个白球、5个黄球，除颜色外都相同，从中随意摸出一个球，摸到白球的可能性的大小是 ． 8．（24-25八年级上·北京房山·期末）北京中考体育改革、从2024年开始，中考学生在运动能力I项目中，必须从足球、篮球、排球、乒乓球和羽毛球共五项中选一项参加考试，若小文同学随机选一项，则他选中篮球的可能性大小为 ． 9．（24-25八年级上·北京通州·期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立冬”，4张“小寒”，1张“大寒”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为 ． 10．（24-25八年级上·北京昌平·期末）某超市举办迎新春抽奖活动：不透明箱子中放有8张红卡、6张黄卡、4张绿卡，每张卡片除颜色外其余均相同．抽到红卡得一副春联，抽到黄卡得一对福字，抽到绿卡得一个灯笼，第一位购物者抽得春联的可能性大小是 ． 11．（23-24八年级上·北京顺义·期末）学校举行“爱我中华"知识竞赛，某班从5名男生和4名女生（含小云）中选6名学生参加这次竞赛．若选择男生n名，则当 时，小云参加这次竞赛是必然事件． 12．（24-25八年级上·北京通州·期末）六张卡片的正面分别写有，，，0，，这六个数，将卡片的正面朝下（反面完全相同）放在桌子上，从中任意抽取一张，卡片上的数字为无理数的可能性大小是 . 13．（24-25八年级上·北京顺义·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次． (1)“朝上的点数是1”与“朝上的点数是6”这两个事件发生的可能性大小相等吗？为什么？ (2)比较“朝上的点数小于3”与“朝上的点数不小于3”这两个事件发生的可能性的大小． 14．（20-21八年级上·北京顺义·期末）一个不透明的口袋里有5个除颜色外都相同的球，其中有2个红球，3个黄球． （1）若从中随意摸出一个球，求摸出红球的可能性； （2）若要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为，求袋子中需再加入几个红球？ 15．（24-25八年级上·北京房山·期末）初二（1）班数学课实施积分奖励制度，满足以下某一条件的同学便可在课下转一次转盘获得相应积分：①作业优秀或课上积极回答问题；②通过小组合作交流有效解决问题，并展示成果；③发现并提出有价值的问题．每周评选出个人总分和小组总分优胜者，进行奖励． 同学们自己动手制作了一个可以自由转动的转盘．如图所示，把一个圆分成形状相同，面积相等的16个扇形区域．其中有部分区域写有积分，奖励10分的区域有2个，5分的区域有3个，2分的区域有5个，规定转盘停止后，如果指针对准某个有积分的区域，那么就可以获得这个区域上所标的积分 (1)求某同学转一次转盘获得各个积分的可能性大小． (2)同学们觉得获得5分的可能性太小了，想调整获得5分的可能性为，使得其他积分的可能性不变．则需要将多少个无积分的扇形区域写上5分？ 16．（24-25八年级上·北京顺义·期末）在某个闯关游戏中，选手需从3个游戏规则中任选一个，再从标有数字1，2，3，…，9的9张卡片中任意抽取一张，根据所选规则和抽到卡片上的数字决定选手是否闯关成功，三个游戏规则如下： 规则一：如果抽到卡片上的数字不大于5，那么选手闯关成功，否则闯关失败； 规则二：如果抽到卡片上的数字是偶数，那么选手闯关成功，否则闯关失败； 规则三：如果抽到卡片上的数字是3的倍数，那么选手闯关成功，否则闯关失败． 请你通过计算判断，如果你闯这一关，你会选择哪个规则进行闯关呢？并说明理由． 能力提升进阶练 1．（2024·上海·三模）下列4个对事件的判断中，所有正确结论的序号是（　　） ①“哥哥的年龄比弟弟的年龄大”是必然事件；②“书柜里有6本大小相同，厚度差不多的书，从中随机摸出一本是小说”是随机事件；③在1万次试验中，每次都不发生的事件是不可能事件；④在1万次试验中，每次都发生的事件是必然事件. A．① B．①② C．①③④ D．①②③④ 2．某初中八（5）班学生军训排列成7 7=49 人的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点 4 个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令，同一名学生可以多次被点，则 15 次点名后蹲下的学生人数可能是（     ） A．3 B．27 C．49 D．以上都不可能 3．（24-25八年级上·北京通州·期末）下列事件中，属于随机事件的是（　　） A．用长度分别是4cm，4cm，9cm的细木条首尾顺次相连可组成一个等腰三角形 B．以长度分别是5cm，4cm，3cm的线段为三角形三边，能构成直角三角形 C．分式的分子、分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变 D．任意画一个三角形，恰好是同一条边上的高线与中线重合 4．（24-25八年级上·北京通州·期末）下列事件中，满足是随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等的是 A．在50件产品中，检验员从中取出一件进行检验，取出每件产品的可能性相同 B．一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1~6点数朝上的可能性相同 C．小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性相同 D．口袋里有5个颜色不同的球，从口袋里随意摸出一个球，摸出每个球的可能性相同 5．（24-25八年级上·北京丰台·期末）下列说法错误的是（     ） A．任意抛掷一个啤酒瓶盖，落地后印有商标一面向上的可能性大小是 B．一个转盘被分成8块全等的扇形区域，其中2块是红色，6块是蓝色. 用力转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域的可能性大小是 C．一个不透明的盒子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. 从这个盒子中随意摸出一个球，摸到白球的可能性大小是 D．100件同种产品中，有3件次品. 质检员从中随机取出一件进行检测，他取出次品的可能性大小是 6．一副扑克牌，拿出大小王，任意摸牌，至少要摸出 张扑克牌，才能保证摸到两张同花色扑克牌． 7．在一个不透明的袋子里放有个黄色乒乓球和个白色乒乓球，让你每次任意摸出个乒乓球，这样摸次，摸出黄色乒乓球的次数大约占总次数的 ，摸出白色乒乓球大约会有 次． 8．口袋里放入同样大小的6个红球和一些黑球，每次从口袋里任意摸出一个球，摸后放回．已知摸到黑球的可能性为，要使摸到黑球的可能性变成，可以从口袋里拿走 个红球，也可以往口袋里再放入 个黑球． 9．（24-25八年级上·北京丰台·期末）在数学课上，同学们经历了摸球的实例分析和计算过程后，对求简单随机事件发生的可能性大小的计算方法和步骤进行了归纳. 请你将下列求简单随机事件发生的可能性大小的计算方法和步骤的正确顺序写出来 .（填写序号即可） ①确定所有可能发生的结果个数和其中出现所求事件的结果个数 ②计算所求事件发生的可能性大小，即 (所求事件) ③列出所有可能发生的结果，并判断每个结果发生的可能性都相等 10．（24-25八年级上·全国·单元测试）某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯小明的爸爸随机地由南往北开车到达该路口，问： (1)他遇到红灯的概率大还是遇到绿灯的概率大？ (2)他遇到红灯的概率是多少？ 11．（24-25八年级上·全国·单元测试）从标有数字，，，的张卡片中，任意抽取张设“取到的倍数”，“取到的倍数”． (1)事件A和哪个发生的可能性大？ (2)事件A和的概率各是多大？ 12．（江西·中考真题）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个. （1）先从袋子中取出m(m>1)个红球，再从袋子中随机摸出一个球，将“摸出黑球”记为事件A．请完成下列表格： 事件A 必然事件 随机事件 m的值 （2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出一个球是黑球的概率等于，求m的值. 13．大家看过中央电视台“购物街”节目吗？其中有一个游戏环节是大转轮比赛，转轮上平均分布着5、10、15、20一直到100共20个数字．选手依次转动转轮，每个人最多有两次机会．选手转动的数字之和最大不超过100者为胜出；若超过100则成绩无效，称为“爆掉”． (1)某选手第一次转到了数字5，再转第二次，则他两次数字之和为100的可能性有多大？ (2)现在某选手第一次转到了数字65，若再转第二次了则有可能“爆掉”，请你分析“爆掉”的可能性有多大？ 14．在学习了“求简单随机事件发生的可能性大小”知识后，小敏，小聪，小丽三人分别编写了一道有关随机事件的试题并进行了解答．小敏，小聪，小丽编写的试题分别是下面的（1）（2）（3）． （1）一个不透明的盒子里装有4个红球，2个白球，除颜色外其它都相同，搅均后，从中随意摸出一个球，摸出红球的可能性是多少？解：P（摸出一个红球）=． （2）口袋里装有如图所示的1角硬币2枚、5角硬币2枚、1 元硬币1枚．搅均后，从中随意摸出一枚硬币，摸出1角硬币的可能性是多少？解：P（摸出1角的硬币）=． （3）如图，是一个转盘，盘面上有5个全等的扇形区域，每个区域显示有不同的颜色，轻轻转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域的可能性是多少？解：P（指针对准红色区域）=． 问题:根据以上材料回答问题：小敏，小聪，小丽三人中，谁编写的试题及解答是正确的，并简要说明其他两人所编试题或解答的不足之处． 15．（24-25八年级上·北京密云·期末）小明选择一家酒店订春节团圆饭.他借助网络评价，选择了A、B、C三家酒店，对每家酒店随机选择1000条网络评价统计如下： 评价条数   等级 酒店 五星 四星 三星及三星以下 合计 A 412 388 1000 B 420 390 190 1000 C 405 375 220 1000 （1）求x值. （2）当客户给出评价不低于四星时，称客户获得良好用餐体验. ①请你为小明从A、B、C中推荐一家酒店，使得能获得良好用餐体验可能性最大.写出你推荐的结果，并说明理由. ②如果小明选择了你推荐的酒店，是否一定能够享受到良好用餐体验？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $