精品解析：江苏省常州高级中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷

江苏省常州高级中学 2025~2026学年第一学期高一年级10月阶段检测 数学试卷 2025.10 命题人：吴莉娜 审卷人：刘雨晨 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系式错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则集合A的元素个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 3. 已知，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为；乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 若，且，则称A为“影子关系”集合.在集合的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有（ ）个. A. 3 B. 4 C. 7 D. 31 7. 已知均为正实数，，则的最小值是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 8. 已知且，若在上恒成立，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，使得不等式成立”的否定是“对，都有不等式成立” B. 设，为实数，甲：，乙：，则甲是乙的必要不充分条件 C. “成立”是“成立”的充要条件 D. “”是“”的充要条件 10. 下列命题一定正确的有（ ） A. 若，，则与的大小关系随的变化而变化 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则一定有 11. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为________. 13. 全集，，如图中阴影部分的集合为，若使得：，则的取值范围是______. 14. 若关于的不等式组恰有50个不等的实数解，则的取值范围为____________.（结果用区间表示） 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知非空集合，集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用．已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元（盈利总额=总收入—总支出）． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）； （3）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）； ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 17. 已知都是正数. （1）若，求的最大值； （2）若，且，求的最小值； （3）若，且存在使不等式有解，求的取值范围. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 19. 我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.如果一个数列的项是有限个，那么称这样的数列为有穷数列. 已知有穷数列.若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列.对于数列，定义如下操作过程：从中任取两项，将的值添在的最后，然后删除，这样得到一个项的新数列（约定：一个数也视作数列）.若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，如此经过次操作后得到的新数列记作. （1）设数列，请写出的所有可能的结果； （2）求证：对于一个项的数列实施操作过程，总共可以实施次； （3）设数列，求的可能结果，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省常州高级中学 2025~2026学年第一学期高一年级10月阶段检测 数学试卷 2025.10 命题人：吴莉娜 审卷人：刘雨晨 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系进行判断. 【详解】对于A选项，，任何集合是其本身的子集，所以A正确； 对于B选项，，两者都是集合，符号使用错误，所以B错误； 对于C选项， ，是集合的元素，故C正确； 对于D选项，，是的子集，故D正确. 故选：B. 2. 已知集合，则集合A的元素个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法表示集合A即可得出元素个数. 【详解】，共6个元素. 故选：C. 3. 已知，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用不等式的性质求各项代数式的范围. 【详解】A：由不等式的同向可加性得，即，对； B：同乘，不等式变号，得，又， 由不等式的同向可加性得，即，对； C：由B项结论及，利用不等式的同向同正可乘性得，即，对； D：因为，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则，错. 故选：D 4. 甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为；乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理即可求解. 【详解】解：根据韦达定理得，，原不等式的两根满足，解得：， 故解集为：， 故选：D. 5. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的性质，结合一元二次不等式的解法、充分不必要条件的定义进行求解即可. 【详解】或， 四个选项中，只有选项B中集合是集合或的真子集， 所以只有选项B是使“”成立的充分不必要条件， 故选：B 6. 若，且，则称A为“影子关系”集合.在集合的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有（ ）个. A. 3 B. 4 C. 7 D. 31 【答案】C 【解析】 【分析】结合“影子关系”集合定义直接列举即可. 【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合中，为影子关系的集合有 . 故选：C. 7. 已知均为正实数，，则的最小值是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，将看作一个整体，变形后结合基本不等式的计算，即可得到结果. 【详解】因为，即， 设，则，且， 则 ， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：B 8. 已知且，若在上恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对的符号分正负两种情况讨论，结合穿根法及三次函数的性质分析即可得到答案． 【详解】由得， ①若，则，且，， 根据穿根法可知或时不符合题意，舍去； ②若，要满足题意则，符合题意，如图所示； ③当时，同理要满足题意需，与前提矛盾； ④当，此时，则的三个零点都是负数，由穿根法可知符合题意； 综上可知满足在恒成立时，只有满足题意. 故选：C ． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，使得不等式成立”的否定是“对，都有不等式成立” B. 设，为实数，甲：，乙：，则甲是乙的必要不充分条件 C. “成立”是“成立”的充要条件 D. “”是“”的充要条件 【答案】BC 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定判断A；利用充分条件、必要条件的定义判断BCD. 【详解】对于A，命题“，使得不等式成立”的否定是 “对，都有不等式成立”，A错误； 对于B，由，得，而当时，也有，因此甲是乙的必要不充分条件，B正确； 对于C，由，得，则， 由，得，整理得 ，则， 因此“成立”是“成立”的充要条件，C正确； 对于D，由，得不全为0，不能推出，因此“”不是“”的充要条件，D错误. 故选：BC 10. 下列命题一定正确的有（ ） A. 若，，则与的大小关系随的变化而变化 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则一定有 【答案】CD 【解析】 【分析】由作差法可判断ABC，由不等式的性质可判断D. 【详解】对于A，，， ，，故A错误； 对于B，，， ， ，，，而不确定正负， 则的大小不确定，故B错误； 对于C，，， ，， ， ，故C正确； 对于D，，， ，， ，故D正确. 故选：CD 11. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得，即， 解得，则，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，即， 解得，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由，得，则， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，由，得，且， 因此 ， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ABD 三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为________. 【答案】4 【解析】 【分析】集合只有1个元素，即方程只有1个解，分一元一次、一元二次方程进行讨论即可. 【详解】当时，只有1个解，符合题意； 当时，对于一元二次方程只有1解，则，解得. 综上实数的所有可能值的和为， 故答案为：4. 13. 全集，，如图中阴影部分的集合为，若使得：，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据交集和补集运算求解，然后利用有解求解的范围即可. 【详解】因为，，所以， 图中阴影部分表示的集合为，即， 由题意，或，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为： 14. 若关于的不等式组恰有50个不等的实数解，则的取值范围为____________.（结果用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式的解，再分，，三种情况讨论，再根据区间内有个整数，得到区间的长度应满足的条件，进而可得出答案. 【详解】由，解得或， 当，即时，， 此时原不等式组不可能有个不等的实数解， 当，即时，， 此时原不等式组无解， 当，即时， 原不等式组的解集为， 因为原不等式组恰有50个不等的实数解，且区间内有个整数， 所以在区间内有个整数， 则区间的长度应满足，解得， 所以， 则在区间内只有两个整数， 所以区间内有个整数， 所以，解得， 综上，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据区间内有个整数，得到区间的长度应满足的条件，是解决本题的关键. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知非空集合，集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）代入求出集合P，解一元二次不等式求出集合Q，再根据集合的运算求解； （2）由“”是“”的充分不必要条件，可得⫋，从而可得结论； 【小问1详解】 当时，，或， 解不等式得：， 即， 所以或. 【小问2详解】 若“”是“”的充分不必要条件，即⫋， 因为，要使⫋，则，且等号不同时取得， 解得：， ∴实数a的取值范围是． 16. 为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用．已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元（盈利总额=总收入—总支出）． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）； （3）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）； ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 【答案】（1） （2）从第3年该设备开始盈利 （3）方案①比较合理，理由： 按照方案①计算， 当且仅当时，即时等号成立． 到2030年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元 按照方案②计算，当时，． 故到2033年，盈利额达到最大值，该设备可获利万元． 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理． 【解析】 【分析】（1）利用总盈利减去总的维修费与购买生产设备的费用即可得答案； （2）结合（1），解一元二次不等式即可求得该设备从第几年开始盈利； （3）利用基本不等式以及二次函数分别求出两种方案盈利的最大值，并求出盈利最大时需要的年数，比较后可得结论． 【小问1详解】 【小问2详解】 令，得， ，故， 故从第3年该设备开始盈利； 【小问3详解】 略 17. 已知都是正数. （1）若，求的最大值； （2）若，且，求的最小值； （3）若，且存在使不等式有解，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）2； （3）或. 【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式即可求得最值. （2）利用，展开后直接利用基本不等式求出结果. （3）利用基本不等式“1”妙用求出最小值，再由不等式有解建立不等式并求解即得. 【小问1详解】 由都是正数，得，解得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 【小问2详解】 由都是正数，且，，得 ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【小问3详解】 由都是正数，，得， 当且仅当，即时取等号，由不等式有解， 得，当时，，解得，则； 当时，，解得，无解； 当时，，解得，则， 所以的取值范围是或. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （3）. 【解析】 【分析】（1）对参数进行分类讨论，并结合一元二次函数性质即可求解； （2）当时，，即，因式分解，对进行讨论，可得解集； （3）转化为恒成立，分离参数，利用基本不等式求最值求解的取值范围． 【小问1详解】 当时，由，得到，所以，不合题意， 当时，由解集为，得到，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 当时，，即， 可得，因为， ①当时，即，不等式的解集为； ②当时，，因为， 所以不等式的解集为； ③当时，．又， 所以不等式的解集为， 综上：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 由题对任意，不等式恒成立， 即，因为时，恒成立， 可得，设，则，所以， 可得， 因为，当且仅当时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 故得m的取值范围. 19. 我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.如果一个数列的项是有限个，那么称这样的数列为有穷数列. 已知有穷数列.若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列.对于数列，定义如下操作过程：从中任取两项，将的值添在的最后，然后删除，这样得到一个项的新数列（约定：一个数也视作数列）.若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，如此经过次操作后得到的新数列记作. （1）设数列，请写出的所有可能的结果； （2）求证：对于一个项的数列实施操作过程，总共可以实施次； （3）设数列，求的可能结果，并说明理由. 【答案】（1） （2）证明：因为，有 且， 所以，即每次操作后新数列仍是数列. 又因为每次操作中都是增加一项，删除两项， 所以对数列每操作一次，项数就减少一项， 所以对项的数列总共可进行次操作（最后只剩下一项）. （3），理由：由（2）可知中仅有一项. 对于满足的实数定义运算：， 下面证明这种运算满足交换律和结合律：因为，且， 所以，即该运算满足交换律； 又因为， 且， 所以，即该运算满足结合律. 所以中的项与实施的具体操作过程无关. 选择如下操作过程求： 由（1）可知； 易知 所以的其中一种结果为； 易知经过4次操作后剩下一项为. 综上可知：. 【解析】 【分析】（1）由题意可直接得到； （2）证明新增项一定是满足数列的项，就能得到每一次操作增加一项减少二项合计一次操作减少一项，所以得出总共的操作次数； （3）通过定义验证的结果与操作过程无关，所以最后结果就是任意两个元素进行计算，最后得出的一个数即为的结果. 【小问1详解】 （1）有如下的三种可能结果： ，所以. ，， ， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $