湖南省长沙市开福区长沙市第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

长沙市第一中学2025-2026学年度高二第一学期第一次阶段性检测 时量：120分钟 满分：150分 高二数学 得分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.已知复数=1+i,则21 洲 A.-i B.i C.-1 D.1 8.直线2x一2y一6=0和直线x一y-1=0的距离为 A号 B.√2 C.2√2 D.4√2 :啟 金已知椭圆C的方程为号+，=1，则椭圆C的离心率为 製 A c慢 D 4.直线x十2y-2=0与直线2x十y-3=0的交点坐标是 A.(4,1) B.(1,4) 茶 c(侍》 D(仔，) 常 :期 5.若直线(m2一6)x十3y=m与直线x十y=1平行，则 A.m=3或一3 B.m=-3 C.m=3 D.m=√3或-√3 6.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻， 得到各块稻田的亩产量（单位：kg)并整理如下表： [900, [950, [1000, [1050, [1100, [1150, 亩产量 950) 1000) 1050) 1100) 1150) 1200) 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是 A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C.00块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 数学试题（一中版）第1页（共6页） MQ- A.4 B.2√5 C.2 D.3 8.已知x∈(0，)，a=sin(sinx),b=cos(cosx),c=sin(cosx),则 a,b,c的大小关系不可能为 A.cba B.b>c>a C.b>a>c D.c>a>b 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出 的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分 选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知圆M的一般方程为x2十y2-8x十6y=0,则下列说法正确 的是 A.圆M的圆心为(4，一3) B.圆M被x轴截得的弦长为8 C.圆M的半径为5 D.圆M被y轴截得的弦长为9 10.已知A,B是随机事件，且P(A)=0.6,P(B)=0.5,则下列说法 正确的有 A.A与B可能为互斥事件 B.若P(A∩B)=0.3,则A与B相互独立 C,若B二A,则P(AB)=0.5 D.若A与B相互独立，则P(AUB)=0.6 11.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， D AA1=AB=2,底面ABCD为菱形，且 B ∠ABC=红，P点为棱柱内部（含表面）的 点，满足AP=λAC+uAAi,M为棱A1B1 的中点.则下列说法正确的有 A|BD1=2√2 B.不存在P点的位置，使得CP⊥AB C,若BP=2,则P点的轨迹长度为3π D.直线AP与BC所成角的范围是[答，] 数学试题（一中版）第2页（共6页） 选择题答题卡 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，井15分 12.点P(1,3)关于直线x一y-1=0的对称点为 13.已知圆C:(x十1)2+(y一1)2=4和圆C2(x-2)2+(y十3)2= (>0)只有1条公切线，则r= 14.已知(x一1)2+(y-2)2=16,则|x|+|y的最小值为 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16,17题15分，第 18,19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.（本小题满分13分) 瑞士数学家欧拉(Euler)>1765年在所著的《三角形的几何学》一 书中提出：任意三角形的外心、重心、垂小在同一条直线上，后人 称这条直线为欧拉线，若已知△ABC的三个顶点为A(4,3), B(5,2),C(1,0) (1)求△ABC的面积； (2)求△ABC欧拉线的方程， 16.（本小题满分15分) 如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异 于A,B的动点，CD,BE是圆柱的两条母线 (1)求证：平面ACDL平面BCDE; (2)若AB=6,BC=3,圆柱的母线长为2√3，求平面ADE与平 面ABC所成的锐二面角的余弦值， D 17.（本小题满分15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边是a,b,c,已知(1一cos2A)b= 2,△ABC外接圆面积为经 (1)求b的长； (2)若A成.BC-号，求△ABC的周长. 18.（本小题满分17分) 已知过坐标原点O的一条直线l:y=x与函数y=log4x的图 象交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，其中x1<x2.分别过点A,B 作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C,D两点，点D 关于点B的对称点为H. (1)证明：点C,D,O在同一条直线上 (2)若A为OB中点，求A点坐标， (3)是否存在直线1，满足A,C,D,H四点共圆？若存在，求出所 有满足条件的直线1的方程；若不存在，说明理由. (附：直线l与y=logx的图象要有交点，则b≤en4e≈ 1 2.72,ln2≈0.69，ln3≈1.10) (本小题满分17分) 已知点O(0,0),A(1,0),B(4,0),动点P到B的距离是P到A 点距离的2倍，记动点P的轨迹为曲线D. (1)求曲线Γ的轨迹方程 (2)已知动点Q在直线：y=2x十2上，过Q作曲线T的两条切 线l1,2分别切于C,D两点，直线：y=2与4,2分别交于 E,F,连接CF,DE交于K. (1)直线CD是否过定点，如果是，求出定点坐标；如果不 是，说明理由 (i)求OK的最小值. 数学试题（一中版）第6页（共6页） 长沙市第一中学2025—2026学年意高二第一学期第一次阶段性检侧 数学参考答案 一、二、选择题 魉号 1 2 3 5 6 8 9 10 11 答案 A B B D ABC BC ACD 1.A 【解析】因为2=1+i,所以=宁京=一1 2.B【分析】先将两条直线化为Ax十By十C=0和Ax十By十C,=0的形式，然后利用两条平行直线间的距离公式来 求解即可， 【解标直线2a-2y-6=0可化为x-y3=0,设两条平行直线间的距高为d,剥d=元二是=合=亿. 3B【解折】因为辅圆C的方程为号+寸=1，所以口=2,8=1，则2=2-心=1， 所以C的离心率为e=二=是= a√221 x十2y-2=0, 4.C【解析1联立直线方程 2x+y-3=0, 解得x=寺=子故交点坐标为（侍号】》 5.B【解析】两直线方程可整理为(m2-6)x十3y一m=0与x十y一1=0， m2-6=3, 两直线平行， 解得n=一3. -3≠-m, 6.C【解析】对于A,根据频数分布表可知，6十12十18=36<50， 所以亩产量的中位数不小于1050kg,故A错误； 对于B,亩产量不低于1100kg的频数为24+10=34， 所以低于1100kg的稻田占比为100-34=66%，故B错误； 100 对于C,稻田亩产量的极差最大为1200一900=300，最小为1150一950=200，故C正确； 对于D,由领数分布表可得，单均值为0×(6×925+12×975+18×1025十30×1075+24X125+10X175)= 1067,故D错误. （+y=4, 7.C【解析】联立 (x+V5)2+g-3=4,解得M(一，1)，N0,2),如国所示，由平西 几何知识可得|Màc0s∠QMN=之|M|,由向量数量积的运算规则可得 成·à=IM·IMào8∠QwMN=1M·之1M=1= 2[(0+5)2+(2-1)]=2. &,D【解折】cos(cosz)=sin(号-osx), “x∈(o,受)，∴sinx+cosx=2sin(x+平)<受， 六sinz<z-cosz,sin(sinx）<in(登-cosz=cos(eosz,a<b, 观察四个选项即可知选项D不可能成立. 数学参考答案（中版）一1 的听旦.DA 9.ABC【解析】由圆M的一般方程为x2+y2一8x十6y=0,则圆M的标准方程为(x一4)2十(y十3)2=52，故圆心为 (4,一3)，半径为5，则选项AC正骟，令x=0,得y=0或y=一6，则圆M被y轴戟得的弦长为6，故选项D不正确今 y=0,得x=0或x=8,则圆M被x抽裁得的弦长为8，故选项B正确. 2-1712345678910 3 M 4 -7 -8 10.BC【解析】选项A:因为P(A)十P(B)=1.1>1,所以A∩B≠☑，A与B不可能为互斥事件，A说法错误； 选项B:因为P(AB)=P(A)P(B)=0.6X0.5=0.3,所以若P(A∩B)=0.3,则A与B相互独立，B说法正确； 选项C:若B二A,则P(AB)=P(B)=0.5,C说法正确； 选项D:若A与B相互独立，则A与B也相互独立，证明如下： 因为AB与AB互斥，且A=ABUAB, 所以P(A)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)十P(AB), 所以P(AB)=P(A)一P(A)P(B)=P(A)[1一P(B)]=P(A)P(B),即A与B也相互独立， P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B), 因为P(B)=0.5,所以P(B)=1-P(B)=0.5, 代入得P(AUB)=0.6十0.5-0.6×0.5=0.8，D说法错误. D 1.ACD【解析J:底面ABCD为菱形，且∠ABC-行， C △ABD为等边三角形，BD=AB=2, 公 又DD1=AA1=2,DD⊥BD, ∴|BD|=√TDD+BD平=√2+2=2W2,故选项A正确. 连接AC,A1C,AA1∥CG,AA1=CC, ∴.四边形ACCA是平行四边形， :P点为棱柱内部（含表面）的点，且满足A驴-入AC+μAA, ∴P点为平行四边形ACC:A,内部（含边上）的点. 当P点在CC,上时，由CP⊥平面ABCD,ABC平面ABCD, 可如CP⊥AB,故选项B错误 若BP=2,则以B为球心，2为半径的球的表面与平行四边形ACCA,的交线即为P点 D 的轨迹，如图： 连接BD交AC于O,由OB⊥AC,OB⊥AA,易知OB⊥平面ACCA1, 故圆孤AC为以0为圆心，AC为直径的半圆孤，其长度为受X2X=月x,故C正确， :AD∥BC,∴AP与BC的夹角即为AP与AD的夹角， 当P在AC上时，AP与AD的夹角最小，即为∠DAC-百； 当P点在AA1上时，AP⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,则APLBC,AP与BC的夹角最大，为受， 故直线AP与BC所成角的范国是[若，受]故D正确， 数学参考答案（一中版）一2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(4,0)【解析1设点P(1,3)关于直线x一y一1=0的对称点的坐标为P(x,y), -1, 则 +1一t超-1=0， 解得P(4,0). 22 13.7【解析】由题意可知圆心C(一1,1)，半径为2，圆心C(2,一3)，半径为r, 则(2十1)2+（一3一1）2>4，即点C2在圆C外， 又可知两圆内切，所以|CC2|=√（一1-2）2+(1+3)=5=r-2,则r=7. 14.√15-2【解析】在平面直角坐标系中画出圆(x一1)2+(y一2)2=16，如图所示， 易知，当y=0时，圆与x轴的交点为A(1一2W3,0),B(1十2W3,0), 当x=0时，国与y轴的交点为C(0,2十√1⑤)，D(0,2-√15). 在这四点中，ix+iy的最小值为√5-2， 当点(x,y)在第一象限时，|x|+|y=x十y>1十25； 当点(x,y)在第二象限时，lx十|yl=y一x>2W3-1; 当点(x,y在第三象限时，x+|y=一x一>√/15-2； 当，点(xy)在第四象限时，x十|y=x一y>√5-2， 所以|x+|yl的最小值为√5-2. 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。 15.【解析】(1)因为A(4,3),B(5,2),C(1,0), 所以直线AB的方程为x十y一7=0，且|AB引=√(4-5)2+(3-2)7=√2， 点C(1,0)到直线AB的距离d=后=3E, 所以SA=号·AB1·d=合XEX32=3. …6分 (2)设△ABC外接圆的方程为(x一a)2+(y一b)2=R, 代入A(4,3),B(5,2),C(1,0), (4-a)2+(3-b)2=R2,（a2+-8a-66+25=R2, 则有(5-a)2+(2-b)2=R2,即a+-10a-4b+29=R2, (1-a)2+(0-b)2=R,a2+-2a+1=R2. {a=3, 解得b=1,所以△ABC外接圆的圆心坐标为M(3,1). R2=5, 又△AC的重G(+与+1,3+)，即G(号号)， 3， 由题意可知△ABC的欧拉线过点G(号，号)，M3,1, 5一1 所以△ABC欧拉线的方程为y一1= 3 333）,即2x二y厂5=0。“3分 16.【解析】(1)因为AB是底面的一条直径，C是下底面圆周上异于A,B的动点， 所以ACLBC,又因为CD是圆柱的一条母线，所以CD⊥底面ACB, 而ACC底面ACB,所以CD⊥AC,因为CDC平面BCDE,BCC平面BCDE,且CD∩BC=C, 所以ACL平面BCDE,又因为ACC平面ACD,所以平面ACD⊥L平面BCDE。…6分 数学参考答案（一中版）一3 (2)如图所示，过A作圆柱的母线AM,连接DM,EM 因为底面ABC∥上底面DME, 所以即求平面ADE与平面DME所成锐二面角的大小， 因为M,E在底面的射影为A,B,且AB为下底面的直径，所以EM为上底面的直径， 因为AM是圆柱的母线，所以AM⊥平面DME, 又因为EM为上底面的直径，所以MD⊥DE,而平面ADE∩平面DME=DE, 所以∠MDA为平面ADE与平面DME所成的二面角的平面角。…10分 又因为D在底面的射影为C,所以DE=BC=3,ME=AB=6, 所以DM=√2-3=3V3,又因为母线长为23，所以AM=2√3， 又因为AM⊥.平面DME,DMC平面DME,所以AM⊥MD, *以AD-a+a=,以aODA-器-%-高压， 即平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余孩值为品V瓜。 …15分 2.【得折K1D南1-os2Ab=可得2冰A=d,即得品=2必， 设△ABC外接国半径为R,旅题毫R-经，即=， 由正弦定理，品A2R,则得26-（品）°=R=3,解得b=是， …6分 2· (2)由店.六-·1B交cos(r一B)=-cB=骨(*)，可知角B为纯角， 又由余孩定理，8=号-a+-2 B=d+G+,可得d+t=是 由正孩定星品B=2R=2X停-厅可得血日=-汽又角B为袋角，故B= 3 ……10分 代入(*)，可得a6=是，放a+02=d+t+2ac=号+2×3，则a叶6月， 故△ABC的周长为a+什c一月+号-3计2 2 …15分 18.【解析】(1)如图，设点A(,log西)，B(x2,log4x2),则C(,log2),D(2,log） 由A,O,B三点共线，知o=b, 所以lg丛=1g,即12-lg2丝，所以log色-og丝，即c=m 2a12x2 所以点C,D,0在同一条直线上。…5分 (2)由于0，A,B三点共线，所以g色-1%，即7=项，① 1 又A为线段OB中点，所以2=2x,② 联系@②可得，=2，所以A(2,合) …10分 (3)易知B为DH中点，所以H(x2,0). 要使A,C,D,H四点共圆，则AC中点与DH中，点纵坐标相同， 所以g西102=l0g4,所以t=2,③12分 2 联系①③可得=号西=号，所以直线1的斜率及=青108是，… 3 3 …14分 数学参考答案（一中版）一4