精品解析：辽宁省大连市滨城高中联盟2025-2026学年高一上学期10月考试数学试题

滨城高中联盟2025－2026学年度上学期高一10月份考试 数学试卷 命题人：大连市第一中学 贾天雷 校对人：大连市第一中学 高志岩 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解. 【详解】命题，， 则是，. 故选：C 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分式不等式求解确定集合，再由交集运算即可求解. 【详解】由， 由，得，即，则， 所以. 故选：A 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. ，大小关系不确定 【答案】B 【解析】 分析】由作差法即可比较大小. 【详解】， 所以， 故选：B 4. 设x，，则“”是“x，y中至少有一个大于1”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 分析】利用反证法可以得到时x，y中至少有一个大于1，充分性成立，再举出反例，证明必要性不成立 【详解】假设x，y均不大于1，即且，则，这与已知条件矛盾，故当时x，y中至少有一个大于1，故充分性成立；取，，满足x，y中至少有一个大于1，但不成立，故必要性不成立，故“”是“x，y中至少有一个大于1”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 若“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意写出命题的否定，即解集非空，结合二次函数的性质求解． 【详解】“”是假命题， 则成立， 即在实数集上能成立， 当时，上述不等式在实数集上存在解， 当，解得， 综上：实数的取值范围是. 故选：D 6. 若m，n满足，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意m，n可看作方程的两个不同根，利用韦达定理即可求出结果. 【详解】∵m，n满足，，且， ∴m，n可看作方程的两个不同根， ∴，， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题. 7. 若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】将转化为，然后根据基本不等式得到，最后列不等式求的范围即可. 【详解】∵，则， 原题意等价于对任意恒成立， 由，，则， 可得， 当且仅当，即时取得等号， ∴，解得． 故正实数的取值集合为. 故选：A． 8. 已知集合满足： （a）； （b），若且，则； （c），若且，则． 给出下列四个结论： ①若集合中有最大数，则集合中没有最小数； ②若集合中没有最大数，则集合中可能没有最小数； ③，使得； ④，存在无理数，使得． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可判断集合中的元素都小于集合中的元素，据此可判断各结论正误，从而得出选项. 【详解】由所给条件，可知集合中的元素都小于集合中的元素， 若集合的元素有最大数，则必然存在一个有理数，使得，； ，，则没有最小数，故①正确； 若集合的元素没有最大数，则必然存在一个数，使得，； 如果是有理数，则，且，，则有最小数为； 如果是无理数，则，且，，则没有最小数，故②正确； 假设存在且，由，若且，则， 取，，则，但，与矛盾. 故对任意，都有， 故③错误； 由③知，，可得，而两个不等的有理数之间必存在无理数， 所以存在无理数，使得，故④正确. 故选：C 二、多项选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分的分数，有选错的得0分）. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A，可举出反例；选项BCD，根据不等式的性质，利用作差法，结合已知条件即可判断. 【详解】选项A，令，则，即，所以A错误； 选项B，由，由，则，所以B正确； 选项C，由，则，所以，所以C正确； 选项D，由，则，所以，所以D错误. 故选：BC. 10. 下列四个命题中不正确的是（ ） A. 满足的所有集合的个数是4 B. 由（，且）所确定的实数构成的集合为 C. 已知集合，且，则实数的取值范围是 D. 中含有五个元素 【答案】ACD 【解析】 【分析】列举即可求解ABD,根据得即可求解C. 【详解】对于A,满足的可以为，共有8个，故A错误， 对于B,当均为正数，则， 当均为负数，则， 当一正一负时，，故构成的集合为，B正确， 对于C，由于，故，所以，故C错误， 对于D,由于，故36是的倍数，故可取3，4，6，9，12，18，36， 因此的值为0，1，3，6，9，15，33，故，故D错误， 故选：ACD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若、为正实数，则 B. 已知且，则的取值范围为 C. 的最小值为2 D. 若关于的方程有4个不同的实数解，则实数的范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由做差法可证明不等式；对于B，由待定系数法可得，然后由题意及不等式性质可得答案；对于C，注意到，然后令，，由函数单调性可得最值；对于D，等价于有两个不同正根，且有两个不同负根，然后由韦达定理结合判别式可得实数的范围. 【详解】对于A，，当且仅当 取等号，当且仅当 取等号，又，则，从而，故A正确； 对于B，设， 因，则，结合不等式性质， 可得，故B正确； 对于C，，令， ，由双钩函数单调性，可得，即. 故C错误； 对于D，等价于有两个不同正根，由韦达定理及判别式得； 且有两个不同负根，得. 综上可得实数的范围是，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】分情况去掉绝对值，即可分类求解. 【详解】当时，不等式化简为，解得， 当时，不等式化简为，解得， 当时，不等式化简为，解得， 综上可得：不等式的解集为， 故答案为： 13. 已知关于的方程的两个不相等的实数根分别为，，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理即可求解. 【详解】由题意可知：且，， ，则， 解得或 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，符合要求，故 故答案为： 14. 若正实数、满足，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用条件将原式变形为，再利用乘“1”法求解最值. 【详解】因为， 所以，又， 所以， 由可得，故， 由于，当且仅当，即时取到等号， 故， 因此最小值为， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 已知集合． （1）若，求实数的值； （2）若，且，求m的值； （3）求实数的值使得． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）是方程的根，代入即可求a； （2）分和两种情况进行讨论即可； （3）由可得，即，分，，，四种情况讨论即可． 【小问1详解】 ∵，∴，解得． 【小问2详解】 ． 由， 若，即，满足题设， 若，即，则或， 将代入可得（不成立，舍去），或， 综上，或． 【小问3详解】 由，且，则，即， 当时，无实数根，即，解得； 当时，有两相等实数根，，则，符合题意； 当时，有两相等实数根，，则， 此时为，则，不合题意； 当时，有两实数根0和4， 此时且，解得且，则； 故综合上述，的取值范围为或． 16. 设集合，． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，再根据集合关系讨论求参数即可； （2）由，分和两种情况讨论求参数即可； 【小问1详解】 因为，所以． 当时，，解得； 当时，解得． 综上所述，的取值范围为． 【小问2详解】 由题意，需分和两种情形进行讨论： 当时，由（1）得； 当时，因为，所以解得，或无解． 综上所述，的取值范围为． 17. 已知正数，满足. （1）求的最小值，并求此时，的值； （2）求的最小值，并求此时，的值. 【答案】（1），，最小值为. （2），18 【解析】 【分析】（1）利用常值代换法和基本不等式即可求出最小值； （2）将已知式分解因式为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值. 【小问1详解】 因为，，且，则， 所以， 当且仅当，即，即，时等号成立， 故的最小值为. 【小问2详解】 因为，，且，所以， 可得且,则, 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为18. 18. 已知，关于的一元二次不等式的解集为. （1）求不等式的解集； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）或 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集求出和，再直接解不等式； （2）根据开口方向不同分为，，三类情况，当时，再根据和的大小关系分为 ，，三类情况. 【小问1详解】 因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以关于的一元二次方程的两解为和， 所以，解得. 所以一元二次方程的解为，， 所以不等式的解集为或. 【小问2详解】 由（1）得关于的不等式，即， 因式分解得. ①当时，原不等式为， 解得，即不等式的解为； ②当时，原不等式为， 解得或， 所以不等式的解为； ③当时，原不等式为， 解得，即不等式无解； ④当时，原不等式为， 解得，即不等式的解为； ⑤当时，原不等式为， 解得，即不等式的解为. 综上可得：当时，不等式解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式无解； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为. 19. 已知有限集，若中的元素满足，则称为“完美集”.例如，集合的元素满足，故为“完美集”. （1）已知是“完美集”，求的值; （2）若是“完美集”，且，求证：中至少有一个大于2； （3）试求出所有的每一个元素都为正整数的“完美集”. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用“完美集”的定义，到方程求解即可； （2）利用反证法，结合不等式的性质来进行证明即可； （3）利用分类讨论思想，把方程问题放缩转化为不等式问题进行变形讨论研究即可得解. 【小问1详解】 由是“完美集”可得：，解得：； 【小问2详解】 由是“完美集”可得：， 等式可变形为：， 又因，假设都不大于2，则， 根据假设有，即， 而当且仅当或 又由中元素的互异性，可知， 故，这与已知的相矛盾， 所以假设不成立，即中至少有一个大于2； 【小问3详解】 不妨设中的元素满足的正整数， 结合得，， 即，再由于， 所以当时，有，由于是正整数，则， 再由“完美集”定义得：，显然无解，即当时，不存在“完美集”； 当时，结合上面结论可得：，又由于是不相等正整数，则只有， 再由“完美集”定义得：，解得，即当时，仅存在一个“完美集”为； 当时，由且这些元素都是正整数又可得： ，即有， 因为，由于， 所以，即， 这与相矛盾，所以当时，不存在“完美集”； 综合上述可得：每一个元素都为正整数的“完美集”仅有一个. 【点睛】思路点睛：第二问结合反证法来进行推理证明；第三问利用分类讨论思想和正整数的特征来求解，其中会用到等式到不等式的放缩分析推理验证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨城高中联盟2025－2026学年度上学期高一10月份考试 数学试卷 命题人：大连市第一中学 贾天雷 校对人：大连市第一中学 高志岩 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. ，大小关系不确定 4. 设x，，则“”是“x，y中至少有一个大于1”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若m，n满足，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知集合满足： （a）； （b），若且，则； （c），若且，则． 给出下列四个结论： ①若集合中有最大数，则集合中没有最小数； ②若集合中没有最大数，则集合中可能没有最小数； ③，使得； ④，存在无理数，使得． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分的分数，有选错的得0分）. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列四个命题中不正确的是（ ） A. 满足的所有集合的个数是4 B. 由（，且）所确定的实数构成的集合为 C. 已知集合，且，则实数的取值范围是 D 中含有五个元素 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若、正实数，则 B. 已知且，则的取值范围为 C. 的最小值为2 D. 若关于的方程有4个不同的实数解，则实数的范围是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 不等式解集为________. 13. 已知关于的方程的两个不相等的实数根分别为，，且，则________. 14. 若正实数、满足，则的最小值为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 已知集合． （1）若，求实数的值； （2）若，且，求m的值； （3）求实数的值使得． 16. 设集合，． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 17. 已知正数，满足. （1）求最小值，并求此时，的值； （2）求的最小值，并求此时，的值. 18. 已知，关于的一元二次不等式的解集为. （1）求不等式的解集； （2）解关于的不等式. 19. 已知有限集，若中的元素满足，则称为“完美集”.例如，集合的元素满足，故为“完美集”. （1）已知是“完美集”，求的值; （2）若是“完美集”，且，求证：中至少有一个大于2； （3）试求出所有的每一个元素都为正整数的“完美集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $