精品解析：广东省佛山市顺德区伦教中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

2025-2026学年高二数学上学期第一次月考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量平行的坐标表示计算可得. 【详解】由可得存在实数使得， 即，所以，．故， 故选：B． 2. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出点的坐标可得答案. 【详解】由点与点A关于平面对称，可得，所以. 故选：A. 3. 两台机器分别加工一个零件．加工为级产品的概率分别为和，两个零件是否加工为级产品相互独立，则这两个零件中恰有一个级产品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率及互斥事件的概率加法公式即可求解. 【详解】解：记两个零件中恰有一个级产品为事件 仅第一台机器加工零件为级产品为事件 仅第二台机器加工零件为级产品为事件 则 故选：C. 4. 在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】选一组基底，利用空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意有，所以 ， 所以，所以， 故选：B. 5. 已知事件和相互独立，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相互独立事件概率公式计算即可. 【详解】因为事件和相互独立，事件为和事件，则， 所以，解得； 故选：D 6. 已知空间向量，，，则（ ） A. B. 可以为空间的一组基底 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，利用空间向量模长的坐标计算出A错误；B选项，求出，所以共面，B错误；C选项，计算出，C正确；D选项，利用空间向量数量积运算法则得到D错误. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，设存在实数使得，即，解得，， 即，所以共面，不能作为空间的一组基底，B错误； 对于C，，所以，故C项正确； 对于D，，故D错误. 故选：C 7. 从名男同学和名女同学中随机选名参加诗歌朗诵比赛，则恰有名女同学入选的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设名男同学分别为、、，名女同学分别为、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】设名男同学分别为、、，名女同学分别为、， 从这人中选人的情形有、、、、、 、、、、，共种． 恰有名女同学的情形有、、、、、 ，共种， 则所求概率为． 故选：D. 8. 如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，再利用线面角的空间向量公式即可求解. 【详解】如下图，连接，因为，为中点， 所以，，又平面底面， 平面底面，平面，所以平面， 又因为平面，所以，故，，两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由， 可得，，，， ，，， 设平面的一个法向量为，则有， 令，得，，得， 设所求角为，则， 所以直线与平面夹角的余弦值为. 故选：C 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是平面的一个法向量 B. 四点共面 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量垂直，即可结合法向量定义求解A，根据共面定理即可求解B，根据向量共线即可求解C，由模长公式即可求解D. 【详解】， 所以平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量，故A正确； 设，则，无解，所以四点不共面，故B错误； ，所以与不平行，故C错误； ，故D正确； 故选：AD. 10. 射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为，.记事件A为“两人都击中”，事件B为“至少1人击中”，事件C为“无人击中”，事件D为“至多1人击中”则下列说法正确的是（ ） A. 事件A与C是互斥事件 B. 事件B与D是对立事件 C. 事件C与D相互独立 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据事件之间的关系，以及互斥事件，对立事件的概念，相互独立事件的概率公式逐一判断即得. 【详解】依题意， ， 对于A：因“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，即包括“无人击中”，“1人击中”，故事件A与C是互斥事件，故A正确； 对于B:因为事件B,D中都包含1人击中，故B错误； 对于C：因为事件C,D中都包含0人击中，故C错误； 对于D：因为，所以，故D正确； 故选：AD 11. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，则（ ） A. B. C. 异面直线与夹角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量模长的坐标表示、线线角、点面距离的向量法判断B、C、D；由空间向量加减、数乘的几何意义用相关向量表示出判断A. 【详解】因为面面，所以， 在正方形中，有，所以两两互相垂直， 以A为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 而，从而， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则直线与夹角的余弦值为，故C正确； 对于D，，设平面的法向量为，则， 令，解得，所以，又， 所以点到平面的距离为，故D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】空间向量，，则向量在向量上的投影向量为： . 故答案为： 13. 有2人在一座6层大楼的底层进入电梯，他们每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则他们在不同楼层离开电梯的概率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，2人离开电梯的情况有25种，在同一楼层离开的有5种，从而求得在不同楼层离开的概率. 【详解】由题知，2人离开电梯的情况有种，2人在同一楼层离开的有5种， 则两人在不同楼层离开电梯的概率为. 故答案为：. 14. 在正四面体中，棱长为3，点在棱上，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用转化法结合向量的数量积的运算律可求值. 【详解】 . 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤. 15. 已知，，，，． （1）求； （2）若，求实数，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算，利用数量积的计算公式，可得答案； （2）根据平行向量的坐标表示，建立方程组，可得答案. 【小问1详解】 ，， ，， ； 【小问2详解】 因为，所以设， 即，故，解得. 16. 小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求： （1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率； （2）这三列火车至少有一列正点到达的概率. 【答案】（1）0.398；（2）0.994. 【解析】 【分析】结合独立事件的乘法公式即可. 【详解】解：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件. 则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1. （1）由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为 P1＝P()＋P()＋P()＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P() ＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398. （2）三列火车至少有一列正点到达的概率为 P2＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994. 17. 如图在平行六面体中，，． （1）求证：直线平面； （2）求直线和夹角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 设，，， 则为空间的一个基底，且，，， 因为，， 则，， 可得，， 即，且，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）设，，，则为空间的一个基底，根据空间向量的线性运算得出，，，再根据向量的数量积运算得出，，从而得出，进而根据线面垂直的判定定理，即可证明直线平面； （2）根据空间向量的线性运算得出，再根据向量的数量积运算求得和，，最后根据异面直线的夹角公式，即可求出直线和夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 则， ，即， 则，即， 设与的夹角为，则， 所以直线和夹角的余弦值为. 18. 科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． （1）求事件发生的概率； （2）求事件和事件同时发生的概率； （3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值； （2）若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对，求出的值，分析可知，事件、相互独立，由独立事件的概率公式可求得的值； （3）记小明没有通过面试为事件，小华通过面试的事件记为，求出这两个事件的概率，记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值. 【小问1详解】 若事件发生，则小明前两题都答对或都答错， 所以． 【小问2详解】 若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对， 根据题意则小华3道题都回答且通过面试的概率为， 由题意可知，事件相互独立， 则． 【小问3详解】 记小明没有通过面试为事件， 即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则小明没有通过面试的概率为， 可得小明通过面试的概率为． 记小华通过面试的事件为，由（2）得， 由题意可知，事件相互独立， 记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件为， 则． 19. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：在图1中，由，，得，则， 所以，由，得，即， 在图2中，，取的中点，连接，由为的中点， 得，则，由，得，而， 平面，则平面，又平面，所以. （2） （3）线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且 【解析】 【分析】（1）在平面图形中证得，，取的中点，连接，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）由（2）中信息，利用点到平面的距离的向量公式计算得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知及（1）得平面平面，平面平面，， 于是平面，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 则， 由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 假设线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为， 在中，，所以， 因为三棱锥的体积为，设点到平面的距离为， 所以，所以，所以点到平面的距离为， 令，由（2）得，， 又平面的法向量为， 则点到平面的距离为，解得， 线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 5 D. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 3. 两台机器分别加工一个零件．加工为级产品的概率分别为和，两个零件是否加工为级产品相互独立，则这两个零件中恰有一个级产品的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知事件和相互独立，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量，，，则（ ） A. B. 可以为空间的一组基底 C. D. 7. 从名男同学和名女同学中随机选名参加诗歌朗诵比赛，则恰有名女同学入选的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是平面的一个法向量 B. 四点共面 C. D. 10. 射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为，.记事件A为“两人都击中”，事件B为“至少1人击中”，事件C为“无人击中”，事件D为“至多1人击中”则下列说法正确的是（ ） A. 事件A与C是互斥事件 B. 事件B与D是对立事件 C. 事件C与D相互独立 D. 11. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，则（ ） A. B. C. 异面直线与夹角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______. 13. 有2人在一座6层大楼的底层进入电梯，他们每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则他们在不同楼层离开电梯的概率是________． 14. 在正四面体中，棱长为3，点在棱上，且，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤. 15. 已知，，，，． （1）求； （2）若，求实数，的值． 16. 小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求： （1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率； （2）这三列火车至少有一列正点到达的概率. 17. 如图在平行六面体中，，． （1）求证：直线平面； （2）求直线和夹角的余弦值． 18. 科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． （1）求事件发生的概率； （2）求事件和事件同时发生的概率； （3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 19. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $