12.1.1命题讲义2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

12.1.1命题 学习目标 1. 理解命题的概念，能区分命题与非命题。 2. 掌握命题的构成，能准确找出命题的题设和结论。 3. 能将一个命题改写成“如果……那么……”的形式。 4. 理解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假，并能举出反例说明假命题。 知识点讲解 1. 命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题。 · 命题必须是一个完整的语句。 · 命题必须对某件事情作出“判断”（肯定或否定的判断）。 · 例如：“对顶角相等”、“如果两个角是直角，那么它们相等”都是命题；而“今天天气好吗？”、“画一条直线”等都不是命题，因为它们没有对事情作出判断。 2. 命题的组成：一个命题由题设（条件）和结论两部分组成。 · 题设（条件）：是已知事项，通常用“如果”引出。 · 结论：是由已知事项推出的事项，通常用“那么”引出。 3. 命题的形式：通常可以写成“如果……那么……”的形式。 · “如果”后面接的部分是题设。 · “那么”后面接的部分是结论。 · 对于不具有“如果……那么……”形式的命题，可以通过分析，将其改写成这种形式，以便清晰地找出题设和结论。例如：“对顶角相等”可以改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。 4. 命题的真假： · 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。 · 假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。 · 判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了。 例题解析 例题1：判断下列语句是不是命题？如果是命题，指出是真命题还是假命题。 (1) 画线段AB=CD。 (2) 三角形的内角和是180°。 (3) 正数都大于负数。 (4) 明天会下雨吗？ 解析： (1) “画线段AB=CD”，这是一个操作指令，没有对事情作出判断，所以不是命题。 (2) “三角形的内角和是180°”，这是一个判断语句，且这个判断是正确的，所以是命题，且是真命题。 (3) “正数都大于负数”，这是一个判断语句，且这个判断是正确的，所以是命题，且是真命题。 (4) “明天会下雨吗？”，这是一个疑问句，没有对事情作出判断，所以不是命题。 例题2：指出下列命题的题设和结论，并改写成“如果……那么……”的形式。 (1) 两直线平行，同位角相等。 (2) 垂直于同一条直线的两条直线平行。 (3) 同角的余角相等。 解析： (1) 题设：两直线平行。 结论：同位角相等。 改写：如果两条直线平行，那么它们被第三条直线所截得的同位角相等。 (2) 题设：两条直线垂直于同一条直线。 结论：这两条直线平行。 改写：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 (3) 题设：两个角是同一个角的余角。 结论：这两个角相等。 改写：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等。 例题3：判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例。 (1) 如果a² = b²，那么a = b。 (2) 如果两个角互补，那么它们是邻补角。 (3) 所有的偶数都是合数。 解析： (1) 假命题。 反例：当a=2，b=-2时，a² = 2² = 4，b² = (-2)² = 4，满足a² = b²，但a ≠ b。 (2) 假命题。 反例：如图，∠AOB = 120°，∠COD = 60°，∠AOB + ∠COD = 180°，即两角互补，但它们不是邻补角（邻补角要求有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线）。（注：此处虽提及“如图”，但仅为文字描述反例，未出现图形） (3) 假命题。 反例：2是偶数，但2是质数，不是合数。 例题4：将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假。 (1) 等角的补角相等。 (2) 绝对值相等的两个数相等。 (3) 负数之和仍为负数。 解析： (1) 改写：如果两个角是相等角的补角，那么这两个角相等。 这是真命题。因为等角的补角，即若∠1 = ∠2，则180° - ∠1 = 180° - ∠2。 (2) 改写：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等。 这是假命题。 反例：|3| = |-3|，但3 ≠ -3。 (3) 改写：如果几个数都是负数，那么它们的和仍为负数。 这是真命题。因为负数相加，结果的绝对值是各负数绝对值之和，符号仍为负。 巩固练习 一、选择题 1. 下列语句中，属于命题的是 A. 画一个角等于已知角 B. 你还好吗？ C. 过一点作已知直线的垂线 D. 两直线平行，内错角相等 2. 命题“直角都相等”的题设是 A. 直角 B. 相等 C. 所有的直角 D. 两个角是直角 3. 下列命题中，属于假命题的是 A. 对顶角相等 B. 若a = b，则a + c = b + c C. 同位角相等 D. 两点之间，线段最短 4. 命题“如果a是正数，那么a²是正数”的结论是 A. a是正数 B. a²是正数 C. 如果a是正数 D. 那么a²是正数 5. 能说明命题“任何数的平方都大于0”是假命题的反例是 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 二、填空题 1. 命题“同旁内角互补，两直线平行”的题设是_________，结论是_________。 2. 将命题“等腰三角形的两底角相等”改写成“如果……那么……”的形式：_________。 3. “相等的角是对顶角”是_________命题（填“真”或“假”），反例是：_________。 4. 若命题“如果x > y，那么x² > y²”是假命题，请举出一个反例：_________。 5. 请写出一个关于数的真命题：_________。 三、解答题 1. 判断下列语句是否为命题，如果是，请指出它的题设和结论，并判断其真假。 (1) 互为倒数的两个数的乘积为1。 (2) 延长线段AB到点C，使BC = AB。 (3) 若a² > b²，则a > b。 2. 将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假。 (1) 平行于同一条直线的两条直线平行。 (2) 乘积为1的两个数互为倒数。 (3) 同角的补角相等。 3. 指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例。 (1) 如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除。 (2) 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等。 4. 已知命题：“若a > b，则ac > bc”。 (1) 这个命题是真命题还是假命题？ (2) 如果是假命题，请你添加一个适当的条件使它成为一个真命题。 巩固练习答案 一、选择题 1. D 解析：A、C是操作指令，B是疑问句，均不是命题；D是对事情作出判断的语句，是命题。 2. D 解析：“直角都相等”可改写为“如果两个角是直角，那么这两个角相等”，故题设是“两个角是直角”。 3. C 解析：A、B、D都是真命题；C选项“同位角相等”的前提是“两直线平行”，没有这个前提，同位角不一定相等，故是假命题。 4. B 解析：命题“如果a是正数，那么a²是正数”中，“如果”后面是题设“a是正数”，“那么”后面是结论“a²是正数”。 5. B 解析：0的平方是0，不大于0，能说明原命题是假命题。A选项-1的平方是1大于0，C选项1的平方是1大于0，D选项2的平方是4大于0，均不能作为反例。 二、填空题 1. 同旁内角互补；两直线平行 解析：命题“同旁内角互补，两直线平行”中，“同旁内角互补”是已知条件（题设），“两直线平行”是由条件推出的结果（结论）。 2. 如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等 解析：“等腰三角形的两底角相等”的题设是“一个三角形是等腰三角形”，结论是“它的两个底角相等”。 3. 假；例如，等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角（答案不唯一，合理即可） 解析：相等的角不一定是对顶角，如等边三角形的三个内角都相等，它们互为等角但不是对顶角。 4. 当x = 1，y = -2时，x > y，但x² = 1 < y² = 4（答案不唯一，合理即可） 解析：只要满足x > y，但x² ≤ y²的例子都可以，如x=0，y=-1等。 5. 例如：正数加正数的和是正数（答案不唯一，合理即可） 解析：这是一个关于数的运算结果的真命题，类似的还有“负数的相反数是正数”等。 三、解答题 1. 解： (1) 是命题。 题设：两个数互为倒数。 结论：这两个数的乘积为1。 是真命题。因为互为倒数的定义就是乘积为1的两个数。 (2) 不是命题。因为它是一个操作指令，没有对事情作出判断。 (3) 是命题。 题设：a² > b²。 结论：a > b。 是假命题。 反例：当a = -3，b = 2时，a² = (-3)² = 9，b² = 2² = 4，满足a² > b²，但a = -3 < b = 2。 2. 解： (1) 如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行。 是真命题（平行公理的推论）。 (2) 如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数。 是真命题（倒数的定义）。 (3) 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等。 是真命题。因为同角的补角，即若∠1 + ∠3 = 180°，∠2 + ∠3 = 180°，则∠1 = ∠2。 3. 解： (1) 题设：一个数能被2整除。 结论：它也能被4整除。 是假命题。 反例：6能被2整除，但6不能被4整除。 (2) 题设：两个角是同一个角的补角。 结论：这两个角相等。 是真命题。理由同2(3)。 4. 解： (1) 这个命题是假命题。 反例：当c = 0时，若a = 3，b = 2，满足a > b，但ac = 3×0 = 0，bc = 2×0 = 0，此时ac = bc，不满足ac > bc。或者当c为负数时，例如a = 3，b = 2，c = -1，ac = -3，bc = -2，此时ac < bc。 (2) 添加条件：c > 0。 则命题变为“若a > b，且c > 0，则ac > bc”，这是真命题（不等式的基本性质：不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变）。（添加“c为正数”等类似条件均可） 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.1.1命题 学习目标 1. 理解命题的概念，能区分命题与非命题。 2. 掌握命题的构成，能准确找出命题的题设和结论。 3. 能将一个命题改写成“如果……那么……”的形式。 4. 理解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假，并能举出反例说明假命题。 知识点讲解 1. 命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题。 · 命题必须是一个完整的语句。 · 命题必须对某件事情作出“判断”（肯定或否定的判断）。 · 例如：“对顶角相等”、“如果两个角是直角，那么它们相等”都是命题；而“今天天气好吗？”、“画一条直线”等都不是命题，因为它们没有对事情作出判断。 2. 命题的组成：一个命题由题设（条件）和结论两部分组成。 · 题设（条件）：是已知事项，通常用“如果”引出。 · 结论：是由已知事项推出的事项，通常用“那么”引出。 3. 命题的形式：通常可以写成“如果……那么……”的形式。 · “如果”后面接的部分是题设。 · “那么”后面接的部分是结论。 · 对于不具有“如果……那么……”形式的命题，可以通过分析，将其改写成这种形式，以便清晰地找出题设和结论。例如：“对顶角相等”可以改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。 4. 命题的真假： · 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。 · 假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。 · 判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了。 例题解析 例题1：判断下列语句是不是命题？如果是命题，指出是真命题还是假命题。 (1) 画线段AB=CD。 (2) 三角形的内角和是180°。 (3) 正数都大于负数。 (4) 明天会下雨吗？ 例题2：指出下列命题的题设和结论，并改写成“如果……那么……”的形式。 (1) 两直线平行，同位角相等。 (2) 垂直于同一条直线的两条直线平行。 (3) 同角的余角相等。 例题3：判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例。 (1) 如果a² = b²，那么a = b。 (2) 如果两个角互补，那么它们是邻补角。 (3) 所有的偶数都是合数。 例题4：将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假。 (1) 等角的补角相等。 (2) 绝对值相等的两个数相等。 (3) 负数之和仍为负数。 巩固练习 一、选择题 1. 下列语句中，属于命题的是 A. 画一个角等于已知角 B. 你还好吗？ C. 过一点作已知直线的垂线 D. 两直线平行，内错角相等 2. 命题“直角都相等”的题设是 A. 直角 B. 相等 C. 所有的直角 D. 两个角是直角 3. 下列命题中，属于假命题的是 A. 对顶角相等 B. 若a = b，则a + c = b + c C. 同位角相等 D. 两点之间，线段最短 4. 命题“如果a是正数，那么a²是正数”的结论是 A. a是正数 B. a²是正数 C. 如果a是正数 D. 那么a²是正数 5. 能说明命题“任何数的平方都大于0”是假命题的反例是 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 二、填空题 1. 命题“同旁内角互补，两直线平行”的题设是_________，结论是_________。 2. 将命题“等腰三角形的两底角相等”改写成“如果……那么……”的形式：_________。 3. “相等的角是对顶角”是_________命题（填“真”或“假”），反例是：_________。 4. 若命题“如果x > y，那么x² > y²”是假命题，请举出一个反例：_________。 5. 请写出一个关于数的真命题：_________。 三、解答题 1. 判断下列语句是否为命题，如果是，请指出它的题设和结论，并判断其真假。 (1) 互为倒数的两个数的乘积为1。 (2) 延长线段AB到点C，使BC = AB。 (3) 若a² > b²，则a > b。 2. 将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假。 (1) 平行于同一条直线的两条直线平行。 (2) 乘积为1的两个数互为倒数。 (3) 同角的补角相等。 3. 指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例。 (1) 如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除。 (2) 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等。 4. 已知命题：“若a > b，则ac > bc”。 (1) 这个命题是真命题还是假命题？ (2) 如果是假命题，请你添加一个适当的条件使它成为一个真命题。 学科网（北京）股份有限公司 $