专题08 函数值域的求法（压轴题专项训练）数学北师大版2019必修第一册

专题08 函数值域的求法 目录 1 类型一、观察法 1 类型二、配方法 2 类型三、分离常数法 3 类型四、换元法 3 类型五、单调性法 4 类型六、基本不等式法 4 类型七、判别式法 5 5 类型一、观察法 观察法： 对于简单函数的值域问题，可利用熟知的基本函数的值域直接求解；常见函数的值域有： (1)一次函数的值域为R. (2)二次函数. 当时的值域为，当时的值域为. (3)反比例函数的值域为. 例1．下列函数中值域为的是（　　） A． B． C． D． 变式1-1．下列四个函数中，定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 类型二、配方法 配方法： 对“二次函数型”的解析式可先进行配方，再利用求二次函数的值域方法求函数的值域. 例2．函数的值域为 . 变式2-1．已知，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 类型三、分离常数法 分离常数法： 形如的分式函数可由分离常数法求值域，先将函数变形成形式，再求出函数在定义域范围内的值域. 例3．函数的值域为 . 例4．若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 例5．函数的值域为（   ）. A． B． C． D． 变式3-1．函数在上的值域是 ． 变式3-2．函数的值域是 ． 类型四、换元法 换元法： 利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有： （1）或的结构，可用“”换元； （2）（均为常数，），可用“”换元； 例6．（1）已知函数，求出的解析式 （2）．求函数的定义域和函数的值域 变式4-1．时，的值域为 . 变式4-2．已知函数的值域为，则实数的值为 ． 变式4-3．函数的定义域为，则函数的值域为 ． 类型五、单调性法 单调性法： 求函数值域或最值时，如果能够先判断函数的单调性，可以利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域或最值.， 例7．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．函数的最小值为 ． 变式5-2．函数的定义域是，则其值域为 类型六、基本不等式法 基本不等式法： 形如的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①；②（或）为定值；③取等号的条件为，三个条件缺一不可； 例8．函数在上的值域为________． 例9．函数的值域是 ． 变式6-1．函数的值域是____________． 变式6-2．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 变式6-3．已知函数则函数的值域为（       ） A．R B． C． D． 类型七、判别式法 判别式法： 形如或的函数求值域，可将函数转化为关于的方程，利用二次项系数不为0，判别式或二次项系数为0，一次方程有解得出函数的值域。 例10．函数的值域为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 变式7-1．已知函数的值域为，则常数 ． 变式7-2．函数，的值域为 ． 变式7-3．已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 一、单选题 1．函数的最大值为（    ） A．4 B．2 C． D． 2．函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 3．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．给出下列4个函数：① ；② ；③ ﹔④ ．其中值域为的函数有 （写出所有正确的序号） 5．函数的值域为________. 6．函数的值域为 ． 三、解答题 7．求下列函数的值域： (1)； (2) (3)； (4)． 8．（1）求当时，的值域. （2）已知，求函数 的最小值. 9．（1）求函数在区间上的值域. （2）已知二次函数.函数在区间上的最小值记为，求的值域； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 函数值域的求法 目录 1 类型一、观察法 1 类型二、配方法 3 类型三、分离常数法 4 类型四、换元法 6 类型五、单调性法 8 类型六、基本不等式法 9 类型七、判别式法 11 13 类型一、观察法 观察法： 对于简单函数的值域问题，可利用熟知的基本函数的值域直接求解；常见函数的值域有： (1)一次函数的值域为R. (2)二次函数. 当时的值域为，当时的值域为. (3)反比例函数的值域为. 例1．下列函数中值域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】求出各选项中的函数值域，即可判断得解． 【详解】对于A，函数的定义域为，值域也为，A正确； 对于B，函数，值域为，B正确； 对于C，函数的定义域为，值域为，C错误； 对于D，函数的定义域为R，值域为，D错误． 故选：AB． 变式1-1．下列四个函数中，定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用一次函数、二次函数、以及分段函数的性质逐项求出定义域和值域即可. 【详解】对于A，的定义域为，值域为，故A正确； 对于B，值域为，与所给定义域不相同，故B错误； 对于C，的定义域为，当时，该函数取得最小值，所以值域为，所以定义域与值域不相同，故C错误； 对于D，，定义域为，当时，， 当时，，所以函数的值域为，故D正确. 故选：AD. 变式1-2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先求出集合A和B，再根据集合的交集、并集和补集的定义即可直接计算判断各选项. 【详解】要使函数有意义，则， 所以，即， 因为，所以，即， 所以，，， 故ABD正确，C错误. 故选：ABD 类型二、配方法 配方法： 对“二次函数型”的解析式可先进行配方，再利用求二次函数的值域方法求函数的值域. 例2．函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求出分母的范围，然后根据倒数关系即可得的值域. 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的定义域是，值域为. 故答案为：. 变式2-1．已知，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得图象的对称轴为， 而，故当时，，当时，， 函数的值域是， 故选：C 变式2-2．已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 故，故函数值域为. 故选：B 类型三、分离常数法 分离常数法： 形如的分式函数可由分离常数法求值域，先将函数变形成形式，再求出函数在定义域范围内的值域. 例3．函数的值域为 . 【答案】,, 【分析】将原函数变成，因为，所以，这样就求得了函数的值域； 【详解】函数的定义域为,, ∵； 又 ，； 函数的值域为,,. 故答案为：,,. 例4．若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离常数后求其值域即可. 【详解】， 因为，所以，所以， 所以，所以函数的值域为. 故选：A. 例5．函数的值域为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 当时，. 则.故选：B. 变式3-1．函数在上的值域是 ． 【答案】 【分析】将函数变形为，再由的取值范围及不等式的性质计算可得. 【详解】因为， 又，所以，所以， 所以， 所以. 故答案为： 变式3-2．函数的值域是 ． 【答案】 【详解】函数有意义，则，解得且， 显然，则，由，得， 所以函数的值域是． 类型四、换元法 换元法： 利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有： （1）或的结构，可用“”换元； （2）（均为常数，），可用“”换元； 例6．（1）已知函数，求出的解析式 （2）．求函数的定义域和函数的值域 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）令，由换元法可求解出答案. （2）由可得出函数的定义域；令，则将函数转化为二次函数在区间上的值域问题. 【详解】（1）令，得，则， 得，故， （2），由，得， 所以函数的定义域为 令，则，所以， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数取得最小值，最小值为， 故函数的值域为． 变式4-1．时，的值域为 . 【答案】 【分析】利用换元法，令，结合二次函数的性质分析求解. 【详解】因为，令，则， 则，， 可知开口向上，对称轴为，且， 所以在内的值域为， 即在内的值域为. 故答案为：. 变式4-2．已知函数的值域为，则实数的值为 ． 【答案】13 【分析】令，则，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得可得， 令，则，， ∴当时取得最大值， 但由于，故当即时，，解得． 故答案为：13． 变式4-3．函数的定义域为，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由定义域可求出定义域，化简后再由二次函数求出值域即可. 【详解】由题意可知，要有意义，则需，即， 即函数定义域为， 又，对称轴方程为， 所以当时，，当时，， 所以函数值域为， 故答案为： 类型五、单调性法 单调性法： 求函数值域或最值时，如果能够先判断函数的单调性，可以利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域或最值.， 例7．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的单调性，再利用函数的单调性可求出函数的值域. 【详解】因为和在上递增， 所以在上递增， 所以，， 所以函数的值域为. 故选：C 变式5-1．函数的最小值为 ． 【答案】 【详解】的定义域满足，即.则函数定义域为. 在内单调递减，在也是单调递减， 则在定义域内单调递减，则. 变式5-2．函数的定义域是，则其值域为 【答案】 【分析】判断函数的单调性，根据单调性可求得函数最小值以及最大值，即得答案. 【详解】由题意知函数均在上单调递增， 故在定义域上为增函数， 所以，， 即的值域为， 故答案为： 类型六、基本不等式法 基本不等式法： 形如的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①；②（或）为定值；③取等号的条件为，三个条件缺一不可； 例8．函数在上的值域为________． 【解析】，因为， 所以，当且仅当时取等号， 则函数在上的值域为 例9．函数的值域是 ． 【答案】 【分析】将函数进行化简，得到，分别对和，利用基本不等式，得到答案. 【详解】函数 ， 当，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为， 故答案为. 变式6-1．函数的值域是____________． 【解析】函数定义域为， ，当且仅当， 即时取“=”，因此，当时，， 所以函数的值域是. 变式6-2．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别在和的情况下，结合基本不等式可求得结果. 【详解】当时，（当且仅当时取等号）； 当时，（当且仅当时取等号）； 综上所述：的值域为. 故选：C. 变式6-3．已知函数则函数的值域为（       ） A．R B． C． D． 【解析】当时，， 由基本不等式可得：（当且仅当，即时等号成立） 所以，即函数的取值范围为； 当时，，因为当时，取得最大值1， 所以函数的取值范围为. 综上，函数的值域为。故选：B. 类型七、判别式法 判别式法： 形如或的函数求值域，可将函数转化为关于的方程，利用二次项系数不为0，判别式或二次项系数为0，一次方程有解得出函数的值域。 例10．函数的值域为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】利用判别式可求函数的值域. 【详解】设题中函数为，则， 当时，； 当时，视其为关于x的二次方程， 判别式， 综上，故值域为． 故选：C. 变式7-1．已知函数的值域为，则常数 ． 【答案】7或 【详解】因为，所以， ，即， 因为函数的值域为， 所以是方程的两个根， 所以，， 解得或，所以7或. 故答案为：7或. 变式7-2．函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】由题意分析可得关于x的方程有正根，分和两种情况，结合二次函数分析求解. 【详解】因为，整理得， 可知关于x的方程有正根， 若，则，解得，符合题意； 若，则， 可得或， 解得或且，则或或； 综上所述：或， 即函数，的值域为. 故答案为：. 变式7-3．已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【分析】将已知转化为关于的二次方程，根据，可求得最值. 【详解】根据题意， 若方程有解，则， 即， 所以， 当时，，此时，即， 也就是说当且仅当时，. 故选：D 一、单选题 1．函数的最大值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】令（），通过求出的范围，则配方后即可求得最大值. 【详解】由解析式易知的定义域为， 令（）， 所以，则 ， 由，可知， ，所以，则， 所以（）， 则， 所以的最大值为. 故选：C. 2．函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先求函数单调性，即可得最值. 【详解】根据题意，函数的定义域为， 且由于在区间上单调递增， 在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以． 故选：D． 3．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，当时，将函数化简变形得，令，然后分和两种情况结合基本不等式可求出的取值范围，从而可求出的值域，再由高斯函数的定义求出的值域. 【详解】显然，． 当时，． 令，当时，，当且仅当时等号成立， 则； 当时，，当且仅当时等号成立， 则． 综上所述，的值域为， 所以根据高斯函数的定义，函数的值域是， 故选：C． 二、填空题 4．给出下列4个函数：① ；② ；③ ﹔④ ．其中值域为的函数有 （写出所有正确的序号） 【答案】②④ 【分析】直接求各函数的值域即可判定. 【详解】由一次函数的性质可知①的值域为R； 由二次函数的性质可知，即其值域为； 由反比例函数的性质可知③的值域为； 由分段函数的性质及绝对值的意义可知，即其值域为； 综上可知：②④正确. 故答案为：②④ 5．函数的值域为________. 【解析】由题意得：.因， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则在上的最大值为，最小值为. 即.则. 6．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论和，结合判别式法即可求值域. 【详解】由解析式知：函数的定义域为R，且， 整理可得，即该方程在上有解， 当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， 综上，原函数值域为. 故答案为：. 三、解答题 7．求下列函数的值域： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将代入求解即可； （2）形如的函数常用分离常数法求值域，，其值域是. （3）根据二次函数的顶点式求解值域，再结合根式的定义域求解即可. （4）形如的函数常用换元法求值域，先令，用t表示出x，并注明t的取值范围，再代入原函数将y表示成关于t的二次函数，最后用配方法求值域． 【详解】（1）因为，，，，，所以函数的值域为． （2）因为 ，且，所以，所以函数的值域为． （3）因为，所以 ，所以函数的值域为. （4）设（换元），则且，令. 因为，所以，即函数的值域为. 8．（1）求当时，的值域. （2）已知，求函数 的最小值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据题意化简得，结合基本不等式，即可得到结果； （2）根据题意，将函数化简变形为，再结合基本不等式，即可得到结果. 【详解】（1）， 当且仅当时等号成立，则函数值域为. （2）因为， ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最小值为，此时. 9．（1）求函数在区间上的值域. （2）已知二次函数.函数在区间上的最小值记为，求的值域； 【答案】（1）；（2） 【分析】(1)换元法，令，可得函数，讨论其值域即可求解； (2)分类讨论二次函数的对称轴与给定区间的关系，分别表示出函数的最小值，表示为分段函数形式，作出图象即可求解. 【详解】(1) 函数， 设，则 ∵，∴ 那么函数转化为 其对称轴， ∴在时单调递增， ∴， 即， 故得的值域为. （2），二次函数对称轴为，开口向上 ①若，即，此时函数在区间上单调递增，所以最小值. ②若，即，此时当时，函数最小，最小值. ③若，即，此时函数在区间上单调递减，所以最小值. 综上，作出分段函数的图像如下， 所以当时， 当时， 当时，， 综上知的值域为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$