精品解析：广东省佛山市顺德区李兆基中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

高二年级10月月考数学试题 命题人：林晓芹 审题人：赵家良 一、单选题 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（ ）. A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 3. 如图，在四面体中，是的中点，，设，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，点在直线上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，以为邻边的平行四边形的面积 A. B. C. 2 D. 1 6. 直线，则 “”的充要条件是（ ） A. B. C. 或 D. 以上均不对 7. 如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（    ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为2，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（ ） A. 两两共面，但不可能共面 B. 有且仅有一对实数，使得 C. 对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 D. ，，一定能构成空间的另一个基底 10. 下列命题正确的有（    ） A. 两平行线间的距离为2 B. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线有且仅有1条 C. 直线的方向向量可以是 D. 如果，，则直线不经过第二象限 11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（不含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 不存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 当点运动到中点时，平面的法向量可以为 D. 三棱锥体积的取值范围为 三、填空题 12. 已知直三棱柱中，，，则点B到直线的距离为________． 13. 已知两点到直线的距离相等，则实数a的值为________． 14. 在正方体中，，动点满足．当时，______；当时，的取值范围是______． 四、解答题 15. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式． （1）直线l的一个方向向量为，且经过点； （2）过点且在两坐标轴上截距相等． 16. 已知空间中三点，，． （1）设，且，求的坐标； （2）若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； （3）求的面积． 17. 如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值． 18. 如图，在四棱锥中，，，，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）若，且点到四点距离都相等. （i）求四棱锥的体积； （ii）求的长. 19. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级10月月考数学试题 命题人：林晓芹 审题人：赵家良 一、单选题 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出直线斜截式，根据倾斜角与斜率的关系确定倾斜角大小. 【详解】由题设，设倾斜角为且，则， 所以. 故选：B 2. 已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（ ）. A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量． 【详解】因为向量共面，所以存在实数使得， 即 所以，解得，. 故选：C． 3. 如图，在四面体中，是的中点，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算求解. 【详解】 故选：B 4. 已知点，点在直线上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】的最小即点到直线的距离，代入公式即可. 【详解】由题意，的最小值是点到直线的距离， 即. 故选：A. 5. 已知向量，，以为邻边的平行四边形的面积 A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先由向量夹角公式，求出的夹角余弦值，从而得到正弦值，再由三角形面积公式，即可求出结果. 【详解】因为，， 所以， 所以， 因此以为邻边的平行四边形的面积为 故选A 【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，熟记向量夹角的坐标表示，以及向量模的坐标运算即可，属于常考题型. 6. 直线，则 “”的充要条件是（ ） A. B. C. 或 D. 以上均不对 【答案】B 【解析】 【分析】先根据两直线平行的条件列出方程，求出可能的值，再分别代入检验两直线是否重合，从而确定两直线平行的充要条件. 【详解】因为直线， 当时，，解得或， 当时，，此时两直线重合，舍去， 又时，，此时， 所以 “”的充要条件是“”. 故选：B. 7. 如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，利用空间向量运算得，，利用数量积的运算律求解数量积，即可解答. 【详解】设，，，则 ，， ， ， 所以 ， 故直线与所成的角余弦值为0. 故选： D. 8. 已知正方体的棱长为2，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合正方体的性质可得点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离，从而可求出，进而可求出的最小值. 【详解】在正方体中，∥，∥，平面，平面， 所以∥平面，∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面， 因为平面，所以平面， 所以点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为， 如图，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 所以点到平面的距离为， 因为正方体内切球的半径， 所以圆的半径， 因为，所以，即， 所以, 所以的最小值为. 故选：A 二、多选题 9. 设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（ ） A. 两两共面，但不可能共面 B. 有且仅有一对实数，使得 C. 对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 D. ，，一定能构成空间的另一个基底 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基底向量的定义结合空间向量的基本定理逐项分析判断. 【详解】对于A，由基底的定义知不可能共面，故A正确； 对于B，因为是空间一个基底，所以不共面，所以不存在实数，使得，故B不正确； 对于C，因为是空间一个基底，由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得，故C正确； 对于D，因为不共面，且与平行，与平行，与平行，所以，，也不共面，因此一定能构成空间的一个基底，故D正确． 故选：ACD. 10. 下列命题正确的有（    ） A. 两平行线间的距离为2 B. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线有且仅有1条 C. 直线的方向向量可以是 D. 如果，，则直线不经过第二象限 【答案】AD 【解析】 【分析】求出平行线间距离判断A；求出符合要求的直线方程判断B；求出直线的方向向量判断C；求出直线的横纵截距判断D即可. 【详解】对于A，对于两平行线， 由平行线间距离公式得，故A正确； 对于B，过点且在两坐标轴上截距相等的直线：截距为0时，， 截距不为0时，设，可得， 解得，直线方程为，故B错误； 对于C，直线的一个方向向量是， 而与不平行，故C错误； 对于D，由，，得到直线的纵截距， 在轴上的截距，则该直线不经过第二象限，故D正确. 故选：AD 11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（不含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 不存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 当点运动到中点时，平面的法向量可以为 D. 三棱锥体积的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，假设存在点使得，利用向量数量积为0求出可判断A；假设存在点，使得异面直线与所成的角为，由向量夹角公式计算可判断B；求出平面的法向量可判断C；对于D，方法一 利用向量法求出点到平面距离，再求三棱锥的体积可判断D；方法二 利用等体积可判断D． 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 对于A，假设存在点，使得， 因为，，所以， 解得，不合题意，故A错误； 对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为， 因为，， 所以， 解得，不符合， 则不存在点，使得异面直线与所成的角为，故B正确； 对于C，当点运动到中点时，，又，， 所以，， 设是平面的法向量， 则，令，则，故C正确； 对于D，方法一 因为，， 所以， ，则 ， 设是平面的法向量，则， 令，则，设， 则， 则点到平面的距离， 则三棱锥的体积为， 因为，所以，故D正确． 方法二 设，则， 因为， ， 点到平面的距离， 所以，因为， 所以，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题 12. 已知直三棱柱中，，，则点B到直线的距离为________． 【答案】##2.6 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间点到直线距离公式进行计算. 【详解】以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以直线的方向向量为，而， 所以点B到直线的距离. 故答案为： 13. 已知两点到直线的距离相等，则实数a的值为________． 【答案】0或##或0 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式列方程即可得出． 【详解】由题意可得，即，解得或 故答案为：0或 14. 在正方体中，，动点满足．当时，______；当时，的取值范围是______． 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】如图建立空间直角坐标系，根据正方体的性质和已知条件得出各点坐标，从而得出相应向量坐标，再利用向量乘法、加减法的运算法则及向量模长公式计算求解． 【详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， ， ， ， ， 当时，， ． ， ， ， ， ， 当时，取得最小值，最小值为2， 当或，时，取得最大值，最大值为， ． 故答案为：0；． 四、解答题 15. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式． （1）直线l的一个方向向量为，且经过点； （2）过点且在两坐标轴上截距相等． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线的方向向量求出斜率，再由点斜式即可得到结果； （2）根据题意，分直线的截距为与直线截距不为讨论，即可得到结果. 【小问1详解】 由直线的方向向量为可得直线斜率为， 由点斜式得直线方程为，即. 【小问2详解】 当直线截距不为0时，设求直线方程为 代入得，所以直线方程为， 当直线截距为0，即直线过原点时，直线方程为，化为一般式为， 综上直线的方程为或. 16. 已知空间中三点，，． （1）设，且，求的坐标； （2）若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，可设，根据模长求得即可求解； （2）设，由ABCD是平行四边形可得，利用向量相等即可解出点坐标； （3）根据空间向量模长及夹角公式，再利用公式求解. 【小问1详解】 由已知得． 因为，所以可设， 所以，解得， 所以或． 【小问2详解】 设，因为ABCD是平行四边形，所以， 由，，， 得，， 所以，故． 【小问3详解】 由题可得，， 所以，， 所以， 又，所以， 所以的面积． 17. 如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）如图，取的中点，连接，， 平面，平面， 平面平面， 为等边三角形，， 又平面平面，平面， 平面. ，点为中点， ，且， 又，，， 四边形是平行四边形，， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理和性质定理，结合平行线的性质、平行四边形的判定定理和性质进行证明即可； （2）结合（1）的结论建立空间直角坐标系，利用线面角的定义、空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面，平面， ，，两两垂直， 故以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，. ，，. 设平面的法向量， 则即 令，则，，. 设直线与平面的夹角为， 则， 直线与平面夹角的正弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，，，，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）若，且点到四点距离都相等. （i）求四棱锥的体积； （ii）求的长. 【答案】（1） 因为为的中点， 所以，又，所以四边形是平行四边形， 所以，设的中点，连接， 因为为的中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 因为分别为的中点， 所以，又因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面，而平面， 所以平面； （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性质定理进行证明即可； （2）（i）根据线面垂直的判定定理，结合棱锥的体积公式进行求解即可； （ii）建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为，为的中点， 所以，于是有， 由（1）可知四边形是平行四边形，所以， 因为， 所以，而平面， 所以平面， 因此四棱锥的体积为； （ii）因为，， 所以，于是两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系， ， 因为点到四点距离都相等， 所以， 所以. 19. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：因为平面，平面，则， 在正方形中，，因，平面， 则平面，因平面，则， 又，点是的中点，则， 又因为，平面，故平面. （2） （3）在线段上存在一点H，使得点H到平面的距离为，或 【解析】 【分析】（1）先由条件证明平面，进而得，由等腰三角形三线合一证得，最后利用线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）结合图形利用线面垂直的判定定理和性质定理证明平面，得到，再证，求得，从而可得，依题建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得； （3）假设线段上是存在一点，满足条件，则，表示出的坐标，结合平面的法向量，利用点到平面的距离坐标公式列方程，求解即得的值，从而得到点H的坐标. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）平面，因平面，则， 因平面，平面，则， 又，，平面，所以平面， 因平面，则， 又因为是的中点，，则， 因，平面，则平面， 因平面，则， 因，平面，则平面， 因为平面，则，即， 即由（1）平面，因平面，则，即， 又，则，则， 因为，，， 则，即，即. 以点为原点，分别以所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以 ， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 而平面的法向量可取为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）可得，则， 假设线段上是存在一点，使得点到平面的距离为， 则，则， 所以，则，即，则， 由（2）已得平面的一个法向量为， 则点H到平面的距离，解得或， 则或， 即在线段上存在一点H，使得点H到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $