1.1空间向量及其运算同步训练题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

学而思，思而学——学而不思，则罔；思而不学，则殆。 1．（新改编题）下列说法中正确的是（ ） A．两个不同起点且相等的向量，其终点可能相同 B．若非零向量和是共线向量，则AB//CD C．在空间中，任意两个单位向量都相等 D．零向量与任意向量平行 2．（新改编题）(多选题)下列命题中为真命题的是（ ） A．任意两个空间向量的模能比较大小 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模可能相等 3（新改编题）（多选题）下列说法中错误的是（　 　） A．若，则，的长度相等，方向相同或相反 B．若向量是向量的相反向量，则 C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形中，一定有 4．（新改编题）对于空间任意一点和不共线的三点，，，有如下关系：，则（ ） A．四点，，，必共面 B．四点，，，必共面 C．四点，，，必共面 D．以上都不对 5．（新改编题）已知、、三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点与点、、一定共面的是（ ） A． B． C． D． 5．（新改编题）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，，，则与相反的向量是（ ） A． B． C． D． 6．（新改编题）已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝4，AC＝6，则EG2＋HF2的值是（ ） A．13 B．26 C．20 D．不能确定 7．（新改编题）如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于2，点，，分别是，，的中点，则___________. 8．（新改编题）若平面向量为单位向量，， 空间向量满足，，，则对任意的实数，当取得最小值时，t1 = ,t2= ． 9．（新改编题）如图，在平行六面体中，，为的中点，则=___________. 10．（新改编题）已知P是棱长为3的正方体ABCD­-A1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点，则的最大值为______. 11．（新改编题）已知四面体ABCD的每条棱长都等于2，点G是棱CD的中点，则_______. 12．（新改编题）如图，已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： （1）； （2）； （3）； （4）． 题目分析答案 1．（新改编题）下列说法中正确的是（ ） A．两个不同起点且相等的向量，其终点可能相同 B．若非零向量和是共线向量，则AB//CD C．在空间中，任意两个单位向量都相等 D．零向量与任意向量平行 【答案】D 【解析】A项：因为两个向量起点不同且是相等的向量，所以终点必不同，A错误； B项：若非零向量和是共线向量，则和平行或者重合， 故AB与CD不一定平行，B错误； C项：单位向量的模相等，但方向不一定相同，C错误； D项：零向量与任意向量平行，D正确， 故选：D. 2．（新改编题）(多选题)下列命题中为真命题的是（ ） A．任意两个空间向量的模能比较大小 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模可能相等 【答案】AB 【解析】对于选项A，向量的模即向量的长度，是一个数量，长度可以比较大小，所以任意两个向量的模可以比较大小；A正确 对于选项B，其终点构成一个球面；B正确 对于选项C，零向量不能用有向线段表示；C错误 对于选项D，两个向量不相等，它们的模可以相等，D正确．故选：ABD 3（新改编题）（多选题）下列说法中错误的是（　 　） A．若，则，的长度相等，方向相同或相反 B．若向量是向量的相反向量，则 C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形中，一定有 【答案】ACD 【解析】对于A,向量的模相等指的是向量的长度相等,方向具有不确定性,因而不一定方向相同或相反,所以A错误.对于B,相反向量指的是大小相等,方向相反的两个向量.因而相反向量满足模长相等,所以B正确. 对于C,减法结合律指的是,因而由运算可得空间向量减法不满足结合律.所以C错误.对于D满足的一定是平行四边形,一般四边形是不满足的,因而D错误. 综上可知,正确的为B故选:ACD 4．（新改编题）对于空间任意一点和不共线的三点，，，有如下关系：，则（ ） A．四点，，，必共面 B．四点，，，必共面 C．四点，，，必共面 D．以上都不对 【答案】B 【解析】根据共面向量公式，则：的充要条件为：P，A，B，C四点共面．所以ABC都不对，故选：D． 5．（新改编题）已知、、三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点与点、、一定共面的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据共面向量公式，则：的充要条件为：P，A，B，C四点共面,即可得四点共面;2，对空间四点M,A,B,C四点共面（1）向量MA=xMB+yMC，（2）对空间任一点O,，存在唯一实数对，使得等式成立，则四点共面，故选：B. 5．（新改编题）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，，，则与相反的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，，， 则的相反向量为，故选：A. 6．（新改编题）已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝4，AC＝6，则EG2＋HF2的值是（ ） A．13 B．26 C．20 D．不能确定 【答案】B 【解析】如图所示，由三角形中位线的性质可得,. 所以四边形EFGH是平行四边形， 因为， 所以 . 故选：B. 7．（新改编题）如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于2，点，，分别是，，的中点，则___________. 【答案】1 【解析】设，则且两两夹角为 所以 ， 所以1 故答案为：1 8．（新改编题）若平面向量为单位向量，， 空间向量满足，，，则对任意的实数，当取得最小值时，t1 = ,t2= ． 【答案】 【解析】 即，当且仅当取等号 即的最小值为 9．（新改编题）如图，在平行六面体中，，为的中点，则=___________. 【答案】 【解析】设因为 所以===== 解得=故答案为： 10．（新改编题）已知P是棱长为3的正方体ABCD­-A1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点，则的最大值为______. 【答案】18 【解析】由题意画出图形，如图所示， 因为，且是向量在上的投影， 所以当P在棱C1C上时，投影最大，所以的最大值为==18. 故答案为：18 11．（新改编题）已知四面体ABCD的每条棱长都等于2，点G是棱CD的中点，则_______. 【答案】1 【解析】因为四面体ABCD的每条棱长都等于2，点G是棱CD的中点， 所以，且=1，=2，=2， 所以=1 ,故答案为：1. 12．（新改编题）如图，已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】利用向量的三角形加法法则和平行四边形法则进行运算。 设CC’的中点为O (1)= (2)== (3)== (4)== 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $