江苏省南京玄武外国语学校2025-2026学年上学期九年级第一次月考数学模拟试卷

江苏省南京玄武外国语学校九年级（上）第一次月考数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列命题中，是真命题的为(    ) A. 三点确定一个圆 B. 同弦所对的圆周角相等 C. 对角互补的四边形四点共圆 D. 垂直于半径的直线是圆的切线 2.下列方程中是关于的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 3.已知的半径为，点在外，则的长可能是(    ) A. B. C. D. 4.如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.关于的方程为常数根的情况下，下列结论中正确的是(    ) A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根 6.九章算术中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问甲出发几日，甲乙相逢？设甲出发日，甲乙相逢，可列方程(    ) A. B. C. D. 7.如图，在矩形中，，，，，分别与相切于，，三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，四边形是的内接四边形，，，为上一点，，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.若，是方程的两个实数根，则的值为          ． 10.关于的方程的解是均为常数，，则方程的解是          ． 11.如图，的两条弦互相垂直，垂足为点，当的半径为，与两弦长的平方和等于，则等于          ． 12.如图，为半圆的直径，为半圆上一点，且，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，若，则的长是          ． 13.如图，是的半径，点是的中点，点在上从点开始沿逆时针方向动一周回到点，运动停止，设运动过程中的长为，的长为，图是随变化的关系图象，则的值为          ． 14.如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，且AC平分∠BAO，D是⊙O上一点，连接CD，BD．若∠ACB＝20°，则∠D的度数为　　 ． 15.已知实数，满足，则代数式的最小值是          ． 16.如图，在四边形中，，，过、、三点的分别交、于点、下列结论：；；其中所有正确结论的序号是          ． 三、解答题：本题共11小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. 本小题分 解下列方程： ． 18.本小题分 已知关于的方程． 若方程有一个根是，求的值； 求证：不论为何值，方程总有实数根． 19.本小题分 如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点，过点作于点． 求证：是的切线； 若的半径为，求的长． 20.本小题4分 如图，在中，直径弦，若，求的度数． 21.本小题分 已知关于的一元二次方程． 若方程有实数根，求实数的取值范围； 若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 22.本小题分 如图，中，，以为直径的交于，交于． 求证：； 若，求和的度数． 23.本小题分 如图，点、、在上，平分． 求证：． 连接，若，，求的半径． 24.本小题分 如图，是的直径，是的弦，半径，交于点，点在的延长线上，且． 求证：是的切线； 若，，求图中阴影部分的面积． 25.本小题分 若时，代数式的值也为，则称是这个代数式的“优值”例如，当时，代数式的值为；当时，代数式的值为，所以和都是的“优值”． 代数式的“优值”是          ； 判断代数式是否存在“优值”，并说明理由； 代数式存在两个“优值”且差为，求的值． 26.本小题分 证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知：如图，四边形内接于． 求证：． 逆命题证明： 若四边形的一组对角，则这个四边形的个顶点共圆图 可以用反证法证明如下： 在图中，经过点，，画． 假设点落在外，交于点，连接， 四边形内接于， 可得          ， ，           ，与得出矛盾； 同理点也不会落在内， ，，，共圆． 结论运用：如图，线段，点，分别在射线和线段上运动，以为边在内部作等边，则的最小值为          ． 27.本小题分 发现问题爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目 如图，点为坐标原点，的半径为，点动点在上，连结，作等边为顺时针顺序，求的最大值． 解决问题小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路在图中，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接． 请你找出图中与相等的线段，并说明理由； 线段的最大值为           ． 灵活运用如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，以为旋转中心，把逆时针旋转得，连接，求长的最大值及此时点的坐标． 迁移拓展 如图，，点是以为直径的半圆上不同于、的一个动点，以为边作等边，请直接写出的最值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $答案与解析 1.【答案】C 解：A不共线的三点确定一个圆，原命题是假命题，故该选项不符合题意； B在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C对角互补的四边形四点共圆，原命题是真命题，故该选项符合题意； D经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，原命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选：C. 2.【答案】D 解：A、当a=0时，即该方程的二次项系数是0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故本选项错误； B、由x2-2=(x+3)2,得6x+11=0,不符合一元二次方程的定义，故本选项错误； C、x2+是5=0是分式方程，不是整式方程，； D、符合一元二次方程的概念，故本选项正确。 故选：D. 3.【答案】D 解：当点P是⊙0外一点时，0P>5cm,A、B、C均不符. 故选D. 4.【答案】B 解：连接OB、OC,如图， 0A=0B,OC=OD, C ·∠0BA=∠A=65°，∠0CD=∠D=60°， .∠A0B=180°-2×65°=50°，∠C0D=180°-2×60°=60°， .∠B0C=∠A0D-∠A0B-∠C0D=150°-50°-60°=40°， 第1页，共21页 ∴BC的度数为40°. 故选：B. 5.【答案】C 解：(x-1)(x+2)=p2, 整理得：x2+x-2-p2=0, 4=12-4(-2-p2)=4p2+9>0, 方程有两个不等的实数根， 设方程两个根为x1、x2, x1+x2=-1,x1x2=-2-p2 两个异号，而且负根的绝对值大 故选：C 6.【答案】A 解：设甲出发x日，甲乙相逢， 根据题意，得x+2)+x=1,即+等=1， 故选：A. 7.【答案】A 【解析】【详解】解：连接OE,OF,ON,OG, E G 在矩形ABCD中， ∠A=∠B=90°，CD=AB=4, ~AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G三点， 第2页，共21页 ·∠AE0=∠AF0=∠OFB=∠BG0=90°， 四边形AFOE,FBGO是正方形， ·AF=BF=AE=BG=2, ∴.DE=3, DM是⊙O的切线， .DN=DE=3,MN=MG, ∴.CM=5-2-MN=3-MN, 在R:△DMC中，DM2=CD2+CM2, (3+NM)2=(3-NM02+42, NM=等 DM=3+号=号， 故选A. 8.【答案】C 解：如图，以AD边为斜边，在AD的下方构造等腰直角△ALD,以L为圆心，AL为半径作⊙L,在⊙L的优 弧AD上取一点M,连接AM、DM,连接BD,AL,DL,BL, B ∠BAD=90°，AB=AD=4V2, BD=√(4V22+(4V22=8,BD是⊙0的直径， ∠CED=45°， .∠AED=180°-∠CED=135°， 第3页，共21页 ~△ALD是等腰直角三角形， ·AL=AD,∠ALD=90°， ∠AMD=AD=45,∠ADL=∠DAL=45°， ·∠AED+∠ALD=180°， ·点E在定圆⊙L的AD上运动， “根据三角形的两边只差小于第三边得，当B、E、L三点共线时，BE最小， ∠ALD=90°，AL=AD, ·AL2+DL2=2DL2=AD2=(4V②2=32， ∴.AL=DL=4, ∠ADL=∠ADB=45°， ∠ADB=90°， BL=BD2+DL2=V64+16=45, ·BE的最小值为BL-LE=4V5-4, 故选：C 9.【答案】2025 解：~a,B是方程x2+2x-2027=0的两个实数根， c2+2a-2027=0,a+B=-2, a2=2027-2a, :.a2+3a+B =2027-2a+3a+B =2027+a+B =2027-2 =2025, 故答案为：2025. 10.【答案】x1=-4,x2=-1 【详解】解：关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=-2,x2=1(a,m,b均为常数，a≠0)， 第4页，共21页 ∴方程a(x+m+2)2+b=0变形为a[(x+2)+m2+b=0, 即此方程中x+2=-2或x+2=1, 解得x=-4或x=-1. 故方程a(x+m+2)2+b=0的解为x1=-4,x2=-1. 故答案为x1=-4x2=-1. 11.【答案】1 【详解】解：连接OC、OB,过点O分别作OM⊥AB,ON⊥CD,垂足分别为M、N N M D BM=AB,CN=CD,OB =OC=2 根据勾股定理：0M2=0B2-BM2=4-() ow=0c-(=4-9 OM⊥AB,ON⊥CD,AB⊥CD ∴.四边形OMEN为矩形 .ON=EM ,AB与CD两弦长的平方和等于28 “根据勾股定理：OE=VOM2+EM2 =V0M2+0N2 =4-+42 8-AB2 CD2 44 (AB2 CD2 8- 4 28 8- 4 第5页，共21页 故答案为1. 12.【答案】n 【详解】连接AC, B AB为半圆O的直径 ·.∠ACB=909 AC=BC ·∠ABC=∠BAC=45° AB=4 在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2√2 cD的长=部m×22=是 故答案为：导 13.【答案】V7 解：结合题图可知，当点N与点A重合时，MN的长y=OM,由图象知此时y=1, 点M是OA的中点， ·0A=20M=2,即圆0的半径r=2, 当弧AN的长x=时，设LA0N=n, 将1=，r=2代入可得： nm×24 180 =3刀 解得：n=120,即此时∠A0N=120°， 过点N作NG⊥AO,交AO的延长线于点G, 第6页，共21页 G M ∠A0N=120°， ∠N0G=180°-120°=60°， ·∠0NG=30°， 在Rt4NOG中，ON=OA=2, 0G=20N=1, NG=V0N2-0G2=V22-12=3, ~0A=2,0M=0A=1,则GM=G0+0M=2, 在Rt△MNG中，根据勾股定理MN=VNG2+GM2, 已知NG=V3,GM=2,则MN=V(V3)2+22=V7, 由图象可知MN的值为a, a=V7. 故答案为V7. 14.【答案】359 【解答】解：如图，连接OB, 由圆周角定理得：∠AOB=2∠ACB=40°， .OA=OB, 1 ∠0AB=2∠0BA=2×(180°-40°）=70°， ,AC平分∠BAO, 1 ·∠CAB=2∠0AB=35°， 由圆周角定理得：∠D=∠CAB=35°， 故答案为：35°. 第7页，共21页 O 15.【答案】4 解：a+b2=1, b2=1-a≥0，则a≤1， .a2-4b2+12 =a2-4(1-a+12 =a2+4a-4+12 =a2+4a+8 =(a+2)2+4, a≤1， (a+2)2≥0（当a=-2时取等号）， 则(a+2)2+4≥4， “当a=-2时，代数式a2-4b2+12有最小值等于4， 故答案为：4. 16.【答案】①③ 【解析】连接BF、AF、EF,利用圆内接四边形的性质得到∠BFD=∠ABF=90°，得到四边形ABFD是矩 形，所以AB=DF,然后根据CD=2AB,证明①正确，结论②不能够确定，证明 Rt△ADF兰Rt△AEF(HL),得到结论③正确， 【详解】解：如图，连接BF、AF、EF, ∠BAD=∠CDA=90°， .∠BFD=∠ABF=90°， 四边形ABFD是矩形， .AB=DF, CD=2AB, CF=AB,即DF=CF,故①正确， 第8页，共21页 ∠BAD=∠CDA=90°， AB//CD, AB=CF, ·.四边形ABCF是平行四边形， ·AF/IBC, ·∠AEB=∠FAE, ..AB FE, 不能确定AB与AD的大小关系， ∴.不能确定∠AFB=∠EAF=∠AEB=30°， ∴.不能确定∠BAE=∠EAF, ∴AB=BE不能确定，故②错误， AB=FE, .AB=EF=DF, ~∠AEF+∠D=180°， ∴.∠AEF=90°， 在Rt△ADF和Rt△AEF中， (AF=AF FD FE .Rt△ADF≥Rt△AEF(HL), AD=AE,故③正确. 故答案是：①③， 0 17.【答案】【小题1】 解：x2-2=6, 第9页，共21页 x2=8, x=±2V2, x1=-2V2,x2=2V2; 【小题2】 解：x2-7x-8=0, (x+1)(x-8)=0, .x+1=0或x-8=0, ·x1=-1,x2=8; 【小题3】 解：3x2-2x-5=0, 4=(-2)2-4×3×(-5)=4+60=64>0, x=2±64=2±8.1±4 2×3 6 =3 =3x2=-1; 【小题4】 解：(x-1)2=3x-3 (x-1)2-3(x-1)=0, ·(x-1)(x-4)=0, .x-1=0或x-4=0, .x1=1,x2=4. 18.【答案】【小题1】 将x=2代入原方程，得：4m-2(m+2)+2=0, 解得：m=1. 故m的值为1； 【小题2】 当m=0时，原方程为一次方程，此时x=1; 当m≠0时，4=(m+2)2-4×2m=(m-2)2≥0， 当m≠0时，方程有实数根. 综上所述：不论m为何值，方程总有实数根， 第10页，共21页