4.4 课时2数学归纳法的综合应用课件-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦数学归纳法的综合应用，通过知识回顾梳理归纳奠基、递推、结论的基本步骤，以证明不等式、数列通项猜想与证明、直线分平面问题为学习支架，构建从基础回顾到综合应用的递进脉络，帮助学生逐步掌握方法。 其亮点在于融合数学眼光、数学思维与数学语言核心素养，如例3通过观察直线分平面的图形，引导学生用数学眼光发现规律，例2完整呈现“计算—猜想—证明”流程培养推理能力，规范证明步骤强化数学语言表达。采用实例驱动与步骤总结法，课堂小结明确解题步骤，学生能提升逻辑推理与创新意识，教师可利用结构化案例与检测题提高教学效率。

4.4 课时2 数学归纳法的综合应用 作者编号：32200 1.能用数学归纳法证明数学中的一些简单问题. 2.能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的问题. 学习目标 作者编号：32200 命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立 验证当 n = n0 时命题成立 若 n = k (k ≥ n0) 时命题成立，证明 n = k + 1 时命题也成立 归纳奠基 归纳递推 数学归纳法 知识回顾 作者编号：32200 例1 已知，且n是正整数，用数学归纳法证明：. 证明： (1)当时，左式=，右式=， 所以不等式取等号的时候成立. (2)假设时不等式成立，即，则 . 因为， ，所以 ，即， 所以时不等式也成立. 综上，不等式对于任意正整数都成立. 新知学习 作者编号：32200 归纳总结 用数学归纳法证明不等式的四个关键： 作者编号：32200 例2 在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝. (1)求a1，a2，a3. (2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想． 解：(1)S1＝a1＝得＝1. 因为an>0，所以a1＝1， 由S2＝a1＋a2＝得＋2a2－1＝0，所以a2＝－1. 又由S3＝a1＋a2＋a3＝得. 新知学习 作者编号：32200 (2)猜想an＝(n∈N*) 证明：①当n＝1时，a1＝1＝猜想成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立即ak＝， 则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝， 即ak＋1＝＝， 所以 (n∈N*)． 新知学习 作者编号：32200 归纳总结 “归纳—猜想—证明”的解题步骤 作者编号：32200 例3 在平面上画n条直线，且任何2条直线度相交，其中任何3条直线不共点.问：这n条直线将平面分成多少个部分？ 解：记n条直线把平面分成rn个部分，我们通过n＝1，2，3，4，5，画出图形观察rn的情况. 新知学习 作者编号：32200 从中可以看出r1＝2＝1＋1， r2＝4＝r1＋2＝1＋1＋2， r3＝7＝r2＋3＝1＋1＋2＋3， r4＝11＝r3＋4＝1＋1＋2＋3＋4， r5＝16＝r4＋5＝1＋1＋2＋3＋4＋5， 由此猜想：rn＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋n. 作者编号：32200 (1)当n＝1，2时，结论均成立. (2)假设当n＝k时，结论成立，即rk＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋k， 那么当n＝k＋1时，第k＋1条直线与前面的k条直线都相交，有k个交点， 这k个交点将这条直线分成k＋1段，且每一段都将原有的平面部分分成两个部分， ∴rk＋1＝rk＋(k＋1)＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋k＋(k＋1)，结论也成立. 根据(1)和(2)可知，对任何n∈N*，都有rn＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋n， 即rn＝1＋. 作者编号：32200 ( 　 ) B　 当堂检测 作者编号：32200 2.用数学归纳法证明“5n－2n(n∈N*)能被3整除”的过程中，n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为( ) A.5(5k－2k)＋3×2k B. (5k－2k)＋4×5k－2k C.(5－2) (5k－2k) D.2(5k－2k)－3×5k 3.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于( ) A　 B　 当堂检测 作者编号：32200 课堂小结 作者编号：32200 1.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式 A.1＋<2 B.1＋＋<2 C.1＋＋<3 D.1＋＋＋<3 A. B. C. D. 数学归纳法 $