专题4.5 数学归纳法重难点题型专训（1个知识点+4大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理数学归纳法知识体系，涵盖定义、三个关键点（验证基础、递推关键、利用假设核心）及“归纳—猜想—证明”环节，按“知识点—4大题型—拓展训练”递进呈现，清晰展现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于“题型分层+方法拆解”设计，如证明整除问题时引导学生掌握从n=k到n=k+1的变形技巧，培养推理能力与逻辑思维。即时训练、经典例题、拓展训练满足不同层次学生，自我检测助力自主复习，为教师精准教学提供有力支持。

专题4.5 数学归纳法重难点题型专训 （1个知识点+4大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 数学归纳法 题型二 数学归纳法证明恒等式 题型三 数学归纳法证明整除问题 题型四 数学归纳法证明数列问题 拓展训练一 数学归纳法的相关证明 知识点一：数学归纳法 一、数学归纳法的定义和关键点 1、定义 一般地，当要证明一个命题对于不小于某个正整数的所有正整数都成立时，可以用以下两个步骤： （1）（归纳奠基）证明当时命题成立； （2）（归纳递推）假设当(，≥)时命题成立，证明当命题也成立. 在完成这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法。 2、三个关键点 （1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． （2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． （3）利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 二、归纳——猜想——证明”的一般环节： 1、计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前题； 2、归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论； 3、证明：对一般结论利用数学归纳法进行证明. 三、用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项 1、明确初始值并验证真假（必不可少）； 2、“假设时命题正确”并写出命题形式； 3、分析“时”命题是什么，并找出与“”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项； 4、明确等式左端变形目标，掌握恒等变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设。 【即时训练】 1．（2024高二下·河南南阳·专题练习）用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将、分别代入等式左边的代数式，相除即可得解. 【详解】从到，等式的左边需要增乘的代数式是 . 故选：D. 2．（24-25高二下·江西宜春·阶段测试）利用证明“”时，从假设推证成立时，可以在时左边的表达式上再乘一个因式，多乘的这个因式为 ． 【答案】. 【分析】比较和时左边的表达式即得. 【详解】当时，左边=， 当时，左边=， 故从假设推证成立时，左边需增添的代数式为. 故答案为：. 【经典例题一 数学归纳法】 【例1】（24-25高二下·全国·课后作业）设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题总成立的是（    ） A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 【答案】D 【分析】根据“当成立时，总可推出成立”判断. 【详解】若成立，由题意知：当时，均有成立，但不能保证的情况，故A错误； 若成立，则当时，均有成立，但不能保证的情况，故B错误； 由题意知：若成立，则当时，均有成立”．故C错误； ，则当时，均有成立，故D正确； 故选：D 【例2】（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明不等式：． 【答案】证明见解析 【分析】（i）当时，不等式成立；（ii）假设当时不等式成立，验证当时不等式也成立，此处采用“取差法”证明不等关系成立． 【详解】（i）当时，左边，右边，显然，左边右边，原不等式成立； （ii）假设当时不等式成立， 即， 那么当时， ． 又， 所以， 即时，不等式也成立． 由（i）（ii）可知，对任意，不等式都成立． 1．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）下列命题错误的个数是（   ） ①用数学归纳法证明时，正整数的第一个取值是1. ②用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是. ③设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，若成立，则当时，均有成立. ④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时， ， 所以当时，不等式成立. 综上. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据数学归纳法证明的要求和步骤判断各选项即可. 【详解】对于①，时，成立,而时,,不满足题意， 根据数学归纳法证明的要求可知，正整数的第一个取值不是1，故①错误； 对于②，当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： ，故②错误； 对于③，由题意，无法推出时，均有成立，故③错误； 对于④，在时，没有用到的假设结论，故④错误. 故选：D. 2．（多选题）（24-25高二·上海·随堂练习）已知一个命题，这里，当时，成立，并且当时它也成立，下列命题中错误的是（    ） A．对于成立 B．对于每一个自然数k成立 C．对于每一个偶数k成立 D．对于某些偶数可能不成立 【答案】ABC 【分析】由已知中命题，，当时，成立，并且当时它也成立，可得对于内的偶数均成立，而对于其它数不一定成立，据此判断四个答案的真假即可 【详解】由于命题，这里， 当时，成立，并且当时它也成立， 可得对于内的偶数均成立，而对于其它数不一定成立， 故对于不一定成立， 对于每一个自然数k不一定成立， 对于每一个偶数k不一定成立， 对于某些偶数可能不成立． 故选：ABC． 3．（2025高二上·江苏·专题练习）利用数学归纳法证明“”时，由到时，左边应添加因式 . 【答案】 【分析】 根据条件写出时左边的表达式，进一步分析即可. 【详解】解：当时，左边， 当时， 左边 所以左边应添加因式为. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）求证：对，． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法证明. 【详解】（i）当时，左边，右边，即等式成立. （ii）假设当（且）时，等式成立，即有 ， 那么，当时， ， 即当时，等式成立. 根据（i）（ii）可知，等式对一切都成立. 【经典例题二 数学归纳法证明恒等式】 【例1】（24-25高二下·云南保山·期末）用数学归纳法证明“≥( N*）”时，由到 时，不等试左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数学归纳法的证明过程求解. 【详解】数学归纳法的证明过程如下： 当 时 ，左边 ，原不等式成立； 设当 时，原不等式成立，即  …①成立， 则当 时，左边 ， 即要证明左边 也成立，即证  ， 由①知即证 ； 故选：D. 【例2】（24-25高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法进行证明，先证成立，再假设当时不等式成立，证得也成立，从而得证. 【详解】当时，左式，右式，显然等式成立， 假设当时，等式成立，即， 则当时， ， 故当时，等式也成立， 所以成立. 1．（24-25高二下·广东东莞·期中）现有命题“，，用数学归纳法去探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个很大的常数，当时，此命题为假命题 【答案】B 【分析】直接用数学归纳法证明即可． 【详解】①当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立； ②假设时，等式成立， 即，则当时， ， 即当时，等式成立．综上，对任意， 等式恒成立， 故选：B． 2．（24-25高二上·上海·课后作业）在用数学归纳法求证：，（为正整数）的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别得到和时，左边对应的式子，两式作商，即可得出结果. 【详解】当时，左边， 当时，左边， 则. 故选：D. 3．（24-25高二下·江西抚州·期末）用数学归纳法证明对任意都成立，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】化简可得，再从正整数开始逐个代入判断即可 【详解】由题得，即，当时，，不符合；当时，，不符合；当时，，不等式成立；当时，25，不等式成立，当时根据指数函数与一次函数的性质可得.所以满足题意的的最小值为3. 故答案为：3 4．（2025高三·全国·专题练习）是否存在常数，，使得对一切自然数都成立？证明你的结论． 【答案】存在，证明见解析 【分析】令，，构造方程组，求出，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】取，，联立得，即，解得； 下用数学归纳法证明． （i）当时，命题成立； （ii）假设时命题成立，即 ， 则当时， 左边 ，即时命题成立． 综上，命题得证，存在常数，使命题成立． 【经典例题三 数学归纳法证明整除问题】 【例1】（2024高二下·全国·专题练习）用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 【答案】D 【分析】根据题意可得为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案. 【详解】因为为正偶数，所以第二步的假设应写为： 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立， 即当（为正整数）时，能被整除， 再证时，能被整除. 故选：D 【例2】（24-25高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：能被整除（） 【答案】答案见解析 【分析】按照数学归纳法的证明方法进行证明 【详解】当时，， 故能被整除， 假设当时，结论成立，即能被整除， 则当时， ， 由于和均能被整除， 故能被整除， 综上：能被整除（）. 1．（24-25高三·全国·课后作业）下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是(　　) A．6+6·7k B．2+7k-1 C．2(2+7k+1) D．3(2+7k) 【答案】D 【详解】(1)当k=1时,A答案值为48,B答案值为3,C答案值为102,D答案值为27. 显然只有3(2+7k)能被9整除. (2)假设当k=n(n∈N*)时,命题成立, 即3(2+7n)能被9整除, 那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36. 这就是说,当k=n+1时,命题也成立. 由(1)(2)可知,命题对任何k∈N*都成立. 2．（24-25高二上·河北衡水·周测）用数学归纳法证明能被8整除时，当时，可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据归纳假设化简需归纳证明的代数式，从而可得正确的选项. 【详解】当时， ，两个表达式都能被整除， 故选：A． 3．（24-25高二·全国·课后作业）已知，存在自然数，使得对任意，都能使整除，则最大的的值为 ． 【答案】36 【分析】求出，归纳出，然后用数学归纳法证明． 【详解】，，，都能被带除，猜想能被36带除， （1）时，是36的整数倍， （2）假设时，是36的整数倍，即（）， 时， ， 由假设是36的整数倍，又是偶数，是36的整数倍， 所以是36的整数倍， 综上，对一切正整数，是36的整数倍，即能被36整除，而， 所以是最大的数，即． 故答案为：36． 4．（24-25高二上·全国·单元测试）（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法证明整除问题，首先证明时结论成立，再假设时结论成立，利用假设证明时结论也成立即可得出结论成立． 【详解】①当时，能被133整除，所以当时结论成立； ②假设当时，能被133整除， 那么当时， ， 由假设可知能被133整除，即能被133整除， 所以当时结论也成立； 综上，能被133整除． 【经典例题四 数学归纳法证明数列问题】 【例1】（24-25高二下·全国·课后作业）利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（    ） A．1项 B．k项 C．项 D．项 【答案】D 【分析】利用数学归纳法，分别写出和的式子，作差能够得到增加的项. 【详解】当时，左边， 当时，左边， 左边增加的项为，共项. 故选：D 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的首项，且，试猜想出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】猜想：，证明见解析 【分析】先猜想，然后根据数学归纳法的证明方法来证得猜想成立. 【详解】，，，，…， 猜想：． 证明如下： （1）当时，，猜想成立； （2）假设当时，猜想成立， 即， 则当时，， 所以当时，猜想也成立． 综合（1）（2），可知猜想对于任意都成立． 1．（24-25高二上·上海松江·期中）已知n为正偶数，用数学归纳法证：时，若已假设（且k为偶数）时等式成立，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 【答案】B 【分析】首先因为n为正偶数，用数学归纳法证明的时候，若已假设（，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，则代入无意义，故需证明成立． 【详解】解：若已假设（，k为偶数）时命题为真， 因为n只能取偶数， 所以还需要证明成立． 故选：B． 2．（多选题）（24-25高二·上海·随堂练习）已知数列满足，且（n为正整数），利用数列的递推公式猜想数列的通项公式为．下面是用数学归纳法的证明过程： （1）当时，满足，命题成立； （2）假设（k为正整数）时命题成立，即成立，则当时，由得，即是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以，命题也成立． 由（1）（2）知． 判断以下评述：（    ） A．猜想正确，推理（1）正确 B．猜想不正确 C．猜想正确，推理（1）（2）都正确 D．猜想正确，推理（2）不正确 【答案】AD 【分析】根据数学归纳法的步骤判断即可. 【详解】由化递推公式为通项公式知命题正确，推理(1)正确，故A正确；推理(2)不正确， 错在证明时，没用假设时的结论即， 所以D正确． 故选：AD 3．（24-25高二·全国·课后作业）数列中，，，，成等差数列，分别计算，，的值，猜想的表达式为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，再利用，可依次求出，，的值，从而可猜想，然后利用数学归纳法证明即可 【详解】因为数列中，，，，成等差数列， 所以，得， 当时，， 当时，， 当时，， 由此可猜想， 证明如下：当时，成立， 假设当时，成立，即，则 当时，， 所以当时成立， 所以 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）求实数的值，使下面等式对一切都成立：． 【答案】3 【分析】由时，等式成立求得，再用数学归纳法证明当时原式对一切都成立． 【详解】当时，左边，右边．由，解得. 下面用数学归纳法证明当时原式对一切都成立． （i）当时，等式成立； （ii）假设当时，等式成立， 即， 则当时， 左边 ， 故当时等式成立． 由（i）（ii）可知当时，对，等式均成立． 【拓展训练一 数学归纳法的相关证明】 【例1】（24-25高一·全国·课后作业）用数学归纳法证明等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边（　　） A．增加了项 B．增加了项 C．增加了项 D．以上均不对 【答案】C 【分析】依题意，由递推到时，不等式左边为，与时不等式的左边比较即可得到答案． 【详解】用数学归纳法证明等式的过程中， 假设时不等式成立，左边， 则当时，左边， 所以由递推到时不等式左边增加了： ． 故选：C． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法证明. 【详解】（i）当时，等式成立； （ii）假设当时等式成立，则， 当时， 左边， 即时等式成立， 综上，可知待证等式成立． 1．（24-25高三·全国·中职高考）已知，证明不等式时，比多的项数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的表达式可知，右端分母是连续的正整数，然后写出和进行比较可得答案. 【详解】因为，， 所以， 所以比多的项数是. 故选：B. 2．（多选题）（24-25高二·全国·单元测试）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（    ） A． B． C．凸n边形的内角和为 D．凸n边形的对角线条数 【答案】BC 【分析】A将初始值代入判断是否满足要求；B、C应用数学归纳法判断是否满足要求；D在成立的条件下判断是否成立即可判断. 【详解】A：，显然时有，故当n为给定的初始值时命题成立，故不满足要求； B：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时，等号左边为2，右边为，，所以当时命题不成立，故满足要求； C：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时内角和为命题不成立，故满足要求； D：假设当时命题成立，即，当时有，故不满足要求. 故选：BC. 3．（24-25高一下·浙江·期中）证明不等式，假设时成立，当 时，不等式左边增加的项数是 ． 【答案】 【分析】根据数学归纳法，结合不等式左边的特征判断增加的项数即可. 【详解】当时，左边， 当时，左边， 而， 所以时不等式左边增加了项. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·课后作业）已知数列：，，，…，，…，设为该数列的前项和.计算，，，的值；根据计算的结果，猜想（为正整数）的表达式，并用数学归纳法加以证明. 【答案】，，，，证明见解析 【分析】代入数值计算，，，的值；根据前4项的规律可猜出的表达式，再用数学归纳法证明. 【详解】，，， ， 猜想（为正整数），下面用数学归纳法证明： ①当时，，猜想成立； ②假设当时，猜想成立，即， 所以当时，， 所以当时猜想成立. 由①②得，得证. 1．（24-25高二下·全国·课后作业）某个与正整数有关的命题：如果当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立．现已知时命题不成立，那么可以推得（    ） A．当时命题不成立 B．当时命题不成立 C．当时命题成立 D．当时命题成立 【答案】A 【分析】运用数学归纳法证明即可. 【详解】因为当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立，所以假设当时命题成立，那么时命题也成立，这与已知矛盾，所以当时命题不成立． 故选：A. 2．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用归纳法可得个圆最多把平面分成个区域，可得结论. 【详解】1个圆分把平面分成个区域，个圆把平面最多分成个区域，个圆把平面最多分成个区域， 依此类推，可得个圆最多把平面分成个区域， 归纳得， 假设当时，即， 则当时，. 故选：D. 3．（24-25高二下·海南·期末）在正项数列中，，，则（    ） A．为递减数列 B．为递增数列 C．先递减后递增 D．先递增后递减 【答案】A 【分析】先判断大小关系，进而假设数列单调性，利用数学归纳法证明即可得结论. 【详解】由，且， 显然成立， 假设，成立， 当时，则， 所以，故为递减数列. 故选：A 4．（24-25高三上·湖北·阶段练习）记为实数的十进制表示下小数点后任意连续六位数字组成的集合.例如：当x取遍区间（0，1）中的所有无理数时，集合的元素个数的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】分别证得存在无理数，使得集合中元素的个数不超过7；以及对于实数，若中的元素个数不大于6，则必为有理数，即可得出结论. 【详解】集合中至少有7个元素， 需证明：（1）存在无理数，使得集合中元素的个数不超过7； （2）对于实数，若中的元素个数不大于6，则必为有理数. 令在十进制下的小数的第一位数字为1，后面接5个0，后面又是1，接下来6个0，后面接一个1，接下来7个0，依次类推……，则，即集合中恰有7个元素， 若为无理数，反证法：假设为有理数，则存在正整数，使得的小数点后位之后出现循环节，设循环节长度为，由于必包含无数组长度超过个连续的0，于是，必有一组位于小数点后位之后，这表明，循环节为个0，这与小数点后含有无数个1矛盾，从而若为无理数， 设为的小数点后任意连续的位数字组成的集合，用数学归纳法证明：若的元素个数不大于，则为有理数，当时，结论显然成立，假设结论对成立，则当时，每个的小数点后位数字均对应一个位的数字，显然对于的小数点后任意位数字，至少存在一个位数字与之对应，于是的元素个数必不多与的个数，对给定的，由归纳假设，知若的元素的个数不大于，则为有理数，又的元素的个数必不超过，否则的元素的个数多与，于是，的元素的个数均为，从而的小数点后任意位数字均能由它的前位数字唯一确定，因为存在类不同的连续位数字，所以必存在使得当时，第位后的位数字与第位后的位数字相同，即之间的数字为循环节，故为有理数，令即可得证. 故选：C. 5．（24-25高二下·辽宁大连·期中）用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据和时，对比左边的表达式，进行计算即可. 【详解】时，可得： 时，可得：， 故增加了项. 故选：A 6．（多选题）（2025高二上·江苏·专题练习）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ） A． B． C．凸n边形的内角和为 D．凸n边形的对角线条数 【答案】AB 【分析】首先根据数学归纳法逐一验证，并注意检验初始值是否成立即可求解. 【详解】A：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题也成立， 当时有，故当n为给定的初始值时命题不成立； B：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题也成立， 当时，等号左边为2，右边为，，所以当时命题不成立； C：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题也成立， 当时内角和为命题成立； D：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题不成立. 综上可知，满足条件的选项为AB. 故选：AB. 7．（多选题）（24-25高二下·广东珠海·期中）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（    ） A． B． C．凸n边形的内角和为 D．凸n边形的对角线条数 【答案】AB 【分析】A、 B、C应用数学归纳法判断是否满足要求；D在成立的条件下判断是否成立即可判断. 【详解】A：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时有，故当n为给定的初始值时命题不成立； B：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时，等号左边为2，右边为，，所以当时命题不成立； C：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时内角和为命题成立； D：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题不成立. 综上可知，满足条件的选项为AB 故选：AB. 8．（多选题）（24-25高二·全国·课后作业）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（    ） A．若成立，则成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则成立 D．若成立，则当时，均有成立 【答案】AD 【分析】由逆否命题与原命题为等价命题可判断AC，再根据题意可得若成立，则当时，均有成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误. 【详解】对于A：当成立时，总有成立. 则逆否命题：当成立时，总有成立. 若成立，则成立，故A正确； 对于B：若成立，则当时，均有成立，故B错误； 对于C：当成立时，总有成立. 则逆否命题：当成立时，总有成立. 故若成立，则成立，所以C错误； 对于D：根据题意，若成立，则成立， 即成立，结合， 所以当时，均有成立，故D正确. 故选：AD 9．（多选题）（24-25高二上·广东佛山·期末）已知为数列的前项和，且，则（    ） A．存在，使得 B．可能是常数列 C．可能是递增数列 D．可能是递减数列 【答案】ABD 【分析】取，可判断AB选项；利用反证法可判断C选项；取，求出数列的通项公式，结合数列的单调性可判断D选项. 【详解】因为为数列的前项和，且， 对于A选项，取，则，则，A对； 对于B选项，取，则，，， 以此类推可知，对任意的，，所以，可能是常数列，B对； 对于C选项，假设数列为递增数列，则对任意的，， 即，所以，对任意的恒成立， 但当时，，矛盾，故数列不可能是递增数列，C错； 对于D选项，取，则，，， 猜想，， 当时，猜想成立， 假设当时，猜想成立，即， 则当时，， 这说明当时，猜想也成立，故对任意的，， 此时，数列为单调递减数列，D对. 故选：ABD. 10．（多选题）（24-25高二下·江苏无锡·期中）对于不等式，某学生用数学归纳法的证明过程如下： ①当时，，不等式成立 ②假设，时，不等式成立，即，则时，，∴当时；不等式成立． 关于上述证明过程的说法正确的是（　　） A．证明过程全都正确 B．当时的验证正确 C．归纳假设正确 D．从到的推理不正确 【答案】BD 【分析】写出正确的数学归纳法的证明过程，对比即可判断证明过程的正确性 【详解】对于不等式 ①当时，代入上式可得：，不等式成立，故题干中当时的验证正确，所以选项B正确 ②假设，时，不等式成立，即，所以题干中时步骤错误，即归纳假设错误，所以选项A，C错误；当时，，由假设得：，所以 即，∴当时；不等式成立． 对比可得：题干中从到的推理不正确，选项D正确 故选：BD 11．（24-25高二上·上海嘉定·期中）利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 . 【答案】 【分析】利用数学归纳法的性质分析式子前后的变动情况，再求解答案即可. 【详解】由题意，时，左边为； 时，左边为； 从而增加两项为，且减少一项为， 故左边应增乘的因式为. 故答案为： 12．（24-25高二上·上海宝山·期末）用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为 ． 【答案】 【分析】根据数学归纳法的步骤，结合函数图像可得时，恒成立. 【详解】 根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立； 结合本题现将看成函数上的点，将看成上的点， 两函数图像有两个交点，即，解得或，根据两函数图像分析， 时，恒成立，所以正整数n的第一个取值应为. 故答案为: 13．（24-25高二·全国·课后作业）利用数学归纳法证明“”时，由到时，左边应添加因式 ． 【答案】 【分析】分别求出和时左边的式子，比较两个表达式前后的区别即可. 【详解】当时，左边，当时，左边，所以左边应添加因式为. 故答案为：. 14．（2024·四川成都·三模）已知函数的定义域为，对于任意实数均满足，若，，则 . 【答案】 【分析】通过赋值得到的值，之后猜想的表达式，利用数学归纳法证明，之后代入表达式即可求得答案. 【详解】令即可求出， 令即可求出， ，， 结合，，，，可猜想. 下面用数学归纳法证明： 当时，由上述知成立. 假设当时有， 则当时，不妨设， . 所以成立，所以. 故答案为：. 15．（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明（且），第一步要证明的不等式是 ，从到时，左端增加了 项. 【答案】 【分析】观察不等式的结构，式子左边为项之和，则当时，左边为项之和，当时，左边为项之和，时，左边共项之和. 【详解】由已知且， 故第一步要证明的不等式是当n＝2时成立的不等式， 即 ； 又当时，不等式左端为，共项之和， 当时，不等式左端为， 共项之和， 所以增加了， 共增加了项. 故答案为：；. 16．（2025高三·全国·专题练习）已知一个圆内有条弦，这条弦中每两条都相交于圆内的一点，且任何三条不共点，求证：这条弦将圆面分割成个区域． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法证明. 【详解】当时，，成立； 假设当时命题成立，即， 则当时，第条弦被前条弦分成段，所以增加了个区域， 故共有个区域． 此时，，即时命题成立． 综上，待证命题成立． 17．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，试问是否存在常数，，，使等式对一切都成立？ 【答案】存在 【分析】先令，，，列方程组求得的值，再用数学归纳法证明. 【详解】分别令，，，得方程组，即， 解得，，. 所以. 下面用数学归纳法证明： （i）当时，，左边，右边，等式成立； （ii）假设当时等式成立， 即， 当时， ， 即当时等式成立. 由（i），（ii）可知对一切，等式都成立. 18．（2025高三·全国·专题练习）当且时，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】验证当时，不等式成立，假设当时，不等式成立，证明当时，不等式成 立，从而得出结论. 【详解】①当时，左边，不等式成立； ②假设当时，不等式成立， 即， 则当时， 左边 ． 由①②知对任意且不等式成立． 19．（2025高三·全国·专题练习）设是二元多项式，且满足下列条件： ①； ②． 试确定所有这样的． 【答案】 【分析】根据条件，利用数学归纳法，可得答案. 【详解】由（1），．再反复利用（2），得 ， ， …… 用数学归纳法证明，对任意自然数，有 由，假设， 则． 于是，关于的多项式等于零时有无限多个根， ∴． 由于和中对各项的次数不变，∴， 其中是关于的一元多项式． 另外，由，反复利用（2），得 ， …… 同样用数学归纳法易证，对任意自然数，有． 类似地，得． ∴． 20．（24-25高三·全国·阶段测试）是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 【答案】存在，且的最大值为 【分析】 求出、的最大公约数，可得出的值，然后利用数学归纳法证明出都能被整除，即可得出结论. 【详解】解：，， 所以，、的最大公约数为， 猜想：对任意的，能被整除， 当时，猜想显然成立； 假设当，猜想成立，即能别整除， 即存在，使得， 则当时， ， 因为为奇数，则为偶数，则能被整除， 所以，能被整除， 这说明当时，猜想也成立， 故对任意的，对任意正整数都能被整除，且. 故的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5 数学归纳法重难点题型专训 （1个知识点+4大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 数学归纳法 题型二 数学归纳法证明恒等式 题型三 数学归纳法证明整除问题 题型四 数学归纳法证明数列问题 拓展训练一 数学归纳法的相关证明 知识点一：数学归纳法 一、数学归纳法的定义和关键点 1、定义 一般地，当要证明一个命题对于不小于某个正整数的所有正整数都成立时，可以用以下两个步骤： （1）（归纳奠基）证明当时命题成立； （2）（归纳递推）假设当(，≥)时命题成立，证明当命题也成立. 在完成这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法。 2、三个关键点 （1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． （2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． （3）利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 二、归纳——猜想——证明”的一般环节： 1、计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前题； 2、归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论； 3、证明：对一般结论利用数学归纳法进行证明. 三、用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项 1、明确初始值并验证真假（必不可少）； 2、“假设时命题正确”并写出命题形式； 3、分析“时”命题是什么，并找出与“”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项； 4、明确等式左端变形目标，掌握恒等变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设。 【即时训练】 1．（2024高二下·河南南阳·专题练习）用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是（       ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江西宜春·阶段测试）利用证明“”时，从假设推证成立时，可以在时左边的表达式上再乘一个因式，多乘的这个因式为 ． 【经典例题一 数学归纳法】 【例1】（24-25高二下·全国·课后作业）设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题总成立的是（    ） A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 【例2】（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明不等式：． 1．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）下列命题错误的个数是（   ） ①用数学归纳法证明时，正整数的第一个取值是1. ②用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是. ③设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，若成立，则当时，均有成立. ④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时， ， 所以当时，不等式成立. 综上. A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选题）（24-25高二·上海·随堂练习）已知一个命题，这里，当时，成立，并且当时它也成立，下列命题中错误的是（    ） A．对于成立 B．对于每一个自然数k成立 C．对于每一个偶数k成立 D．对于某些偶数可能不成立 3．（2025高二上·江苏·专题练习）利用数学归纳法证明“”时，由到时，左边应添加因式 . 4．（2025高三·全国·专题练习）求证：对，． 【经典例题二 数学归纳法证明恒等式】 【例1】（24-25高二下·云南保山·期末）用数学归纳法证明“≥( N*）”时，由到 时，不等试左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：． 1．（24-25高二下·广东东莞·期中）现有命题“，，用数学归纳法去探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个很大的常数，当时，此命题为假命题 2．（24-25高二上·上海·课后作业）在用数学归纳法求证：，（为正整数）的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江西抚州·期末）用数学归纳法证明对任意都成立，则的最小值为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）是否存在常数，，使得对一切自然数都成立？证明你的结论． 【经典例题三 数学归纳法证明整除问题】 【例1】（2024高二下·全国·专题练习）用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 【例2】（24-25高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：能被整除（） 1．（24-25高三·全国·课后作业）下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是(　　) A．6+6·7k B．2+7k-1 C．2(2+7k+1) D．3(2+7k) 2．（24-25高二上·河北衡水·周测）用数学归纳法证明能被8整除时，当时，可变形为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二·全国·课后作业）已知，存在自然数，使得对任意，都能使整除，则最大的的值为 ． 4．（24-25高二上·全国·单元测试）（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 【经典例题四 数学归纳法证明数列问题】 【例1】（24-25高二下·全国·课后作业）利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（    ） A．1项 B．k项 C．项 D．项 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的首项，且，试猜想出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 1．（24-25高二上·上海松江·期中）已知n为正偶数，用数学归纳法证：时，若已假设（且k为偶数）时等式成立，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 2．（多选题）（24-25高二·上海·随堂练习）已知数列满足，且（n为正整数），利用数列的递推公式猜想数列的通项公式为．下面是用数学归纳法的证明过程： （1）当时，满足，命题成立； （2）假设（k为正整数）时命题成立，即成立，则当时，由得，即是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以，命题也成立． 由（1）（2）知． 判断以下评述：（    ） A．猜想正确，推理（1）正确 B．猜想不正确 C．猜想正确，推理（1）（2）都正确 D．猜想正确，推理（2）不正确 3．（24-25高二·全国·课后作业）数列中，，，，成等差数列，分别计算，，的值，猜想的表达式为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）求实数的值，使下面等式对一切都成立：． 【拓展训练一 数学归纳法的相关证明】 【例1】（24-25高一·全国·课后作业）用数学归纳法证明等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边（　　） A．增加了项 B．增加了项 C．增加了项 D．以上均不对 【例2】（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明：． 1．（24-25高三·全国·中职高考）已知，证明不等式时，比多的项数为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二·全国·单元测试）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（    ） A． B． C．凸n边形的内角和为 D．凸n边形的对角线条数 3．（24-25高一下·浙江·期中）证明不等式，假设时成立，当 时，不等式左边增加的项数是 ． 4．（24-25高二上·上海·课后作业）已知数列：，，，…，，…，设为该数列的前项和.计算，，，的值；根据计算的结果，猜想（为正整数）的表达式，并用数学归纳法加以证明. 1．（24-25高二下·全国·课后作业）某个与正整数有关的命题：如果当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立．现已知时命题不成立，那么可以推得（    ） A．当时命题不成立 B．当时命题不成立 C．当时命题成立 D．当时命题成立 2．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（    ）. A． B． C． D． 3．（24-25高二下·海南·期末）在正项数列中，，，则（    ） A．为递减数列 B．为递增数列 C．先递减后递增 D．先递增后递减 4．（24-25高三上·湖北·阶段练习）记为实数的十进制表示下小数点后任意连续六位数字组成的集合.例如：当x取遍区间（0，1）中的所有无理数时，集合的元素个数的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（24-25高二下·辽宁大连·期中）用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ） A． B． C． D． 6．（多选题）（2025高二上·江苏·专题练习）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ） A． B． C．凸n边形的内角和为 D．凸n边形的对角线条数 7．（多选题）（24-25高二下·广东珠海·期中）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（    ） A． B． C．凸n边形的内角和为 D．凸n边形的对角线条数 8．（多选题）（24-25高二·全国·课后作业）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（    ） A．若成立，则成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则成立 D．若成立，则当时，均有成立 9．（多选题）（24-25高二上·广东佛山·期末）已知为数列的前项和，且，则（    ） A．存在，使得 B．可能是常数列 C．可能是递增数列 D．可能是递减数列 10．（多选题）（24-25高二下·江苏无锡·期中）对于不等式，某学生用数学归纳法的证明过程如下： ①当时，，不等式成立 ②假设，时，不等式成立，即，则时，，∴当时；不等式成立． 关于上述证明过程的说法正确的是（　　） A．证明过程全都正确 B．当时的验证正确 C．归纳假设正确 D．从到的推理不正确 11．（24-25高二上·上海嘉定·期中）利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 . 12．（24-25高二上·上海宝山·期末）用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为 ． 13．（24-25高二·全国·课后作业）利用数学归纳法证明“”时，由到时，左边应添加因式 ． 14．（2024·四川成都·三模）已知函数的定义域为，对于任意实数均满足，若，，则 . 15．（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明（且），第一步要证明的不等式是 ，从到时，左端增加了 项. 16．（2025高三·全国·专题练习）已知一个圆内有条弦，这条弦中每两条都相交于圆内的一点，且任何三条不共点，求证：这条弦将圆面分割成个区域． 17．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，试问是否存在常数，，，使等式对一切都成立？ 18．（2025高三·全国·专题练习）当且时，求证：． 19．（2025高三·全国·专题练习）设是二元多项式，且满足下列条件： ①； ②． 试确定所有这样的． 20．（24-25高三·全国·阶段测试）是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $