精品解析：河南省南阳市六校2025-2026学年高二上学期第一次联考数学试题

2025年秋期六校第一次联考 高二年级数学试题 命题学校：桐柏一高 审题学校：南阳八中 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角小于，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 过点的圆的一般方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ） A. 2 B. 10 C. 2或9 D. 2或10 4. 已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与直线平行，则两直线间距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知动圆过点，且与圆内切，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，在该椭圆上，四边形是等腰梯形，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知曲线，则（ ） A. 若，则曲线表示圆，且半径为 B. 若，则曲线表示双曲线，且渐近线为 C. 若，，则曲线表示两条直线 D. 若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆 10. 已知，是椭圆的两个焦点，是该椭圆的上顶点，点是椭圆上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 该椭圆的离心率为 B. C. 的最大值为2 D. 内切圆半径的最大值为 11. 过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，已知点是圆上一动点，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 四边形面积的最小值为 D. 当最小时，直线的方程为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线被圆所截得的弦长为，则________. 13. 已知为椭圆上一动点，，为椭圆的左、右焦点，点，则周长的最小值是________. 14. 已知，是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，且与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若点，，证明点在椭圆上，并求的取值范围. 16. 双曲线的左、右焦点分别为，，其离心率，且双曲线过点. （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线上一点满足，求的面积. 17. 已知直线. （1）设直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）中，为直线所过的定点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求直线的方程. 18. 已知圆经过点，点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）设，，若圆上存在点，使，求实数的取值范围. 19. 已知定点，，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线与，直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，求四边形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期六校第一次联考 高二年级数学试题 命题学校：桐柏一高 审题学校：南阳八中 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角小于，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由倾斜角与斜率的关系求解. 【详解】由，倾斜角小于，所以，即， 故选：A. 2. 过点的圆的一般方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆的方程为，根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到圆的一般方程. 【详解】由题意，设所求圆的一般方程为， 因为圆过点，，， 可得，解得， 所以所求圆的一般方程为. 故选：B. 3. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ） A. 2 B. 10 C. 2或9 D. 2或10 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求解. 【详解】，，，， 由，由得或10， 又. 所以. 故选：B. 4. 已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆的标准方程及点与圆的位置关系判断. 【详解】由圆的方程可化为， ，又点在圆外，则，，综上. 故选：D. 5. 若直线与直线平行，则两直线间距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两直线平行的充要条件求出，再根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】因为，所以，解得或， 经检验，当时两直线重合， 所以， 则，即， 所以两直线之间的距离为. 故选：A. 6. 已知动圆过点，且与圆内切，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两圆内切半径关系可得： ，根据椭圆的定义可得点的轨迹方程. 【详解】设动圆的半径为，则，， ， ∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，故长半轴，半焦距 ,则短半轴 点轨迹方程为. 故选：C. 7. 若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由得， 直线经过点， 设，，知，， 当与圆相切时， ，解得或， 由数形结合知直线与半圆形有两个公共点，则或， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，在该椭圆上，四边形是等腰梯形，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据条件求得，由椭圆定义得，从而利用求得离心率. 【详解】设椭圆的半焦距为，依题意，，又， 如图， 设，四边形为等腰梯形， ，即，； 由椭圆定义知，，， 解得. 故选：B. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知曲线，则（ ） A. 若，则曲线表示圆，且半径为 B. 若，则曲线表示双曲线，且渐近线为 C. 若，，则曲线表示两条直线 D. 若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆 【答案】AC 【解析】 【分析】根据方程表示的曲线确定参数的关系，然后由方程研究曲线的性质判断各选项. 【详解】选项A：若，则，表示圆，且半径为，故A正确； 选项B：若，，则，其渐近线为， 若，，则，其渐近线为，故B错误； 选项C：若，时，，即表示两条直线，故C正确； 选项D：当时，，表示焦点在轴上的椭圆，故D错误. 故选：AC. 10. 已知，是椭圆的两个焦点，是该椭圆的上顶点，点是椭圆上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 该椭圆的离心率为 B. C. 的最大值为2 D. 内切圆半径的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由椭圆方程求得后得到离心率判断A，由椭圆性质判断B，根据椭圆方程判断C，利用三角形的面积公式判断D. 【详解】不妨设，分别是左、右焦点. 选项A：由椭圆方程可得，，，所以该椭圆的离心率为，故A正确； 选项B：，即：，故B正确； 选项C：设，，则， ∴当时最大，最大值为，故C错误； 选项D：设内切圆半径为，则，故.当且仅当点为短轴顶点时，取得最大值，所以内切圆半径的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 11. 过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，已知点是圆上一动点，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 四边形面积的最小值为 D. 当最小时，直线的方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：利用圆心到直线的距离减去半径可得到；对于B：当与圆相切且直线时，最大，计算此时的即可；对于C：当直线时，最小，计算此时的四边形面积即可；对于D：当直线时，最小，利用以线段为直径的圆与圆的相交弦直线即为直线的方程，两圆作差即得到此时的直线的方程. 【详解】选项A：，故A正确； 选项B：当与圆相切且直线时，最大， 此时，，，，故B正确； 选项C：由， 当与直线垂直，最小，最小， ， ，故C错误； 选项D：由题意知，则， ，即， ， ， 当最小，取得最小值，此时垂直于直线， 所以直线方程为.，联立，解得，即， 则以为直径的圆的方程为， 即为四边形的外接圆，方程为， 由四边形的外接圆与圆相交于， 两圆方程相减即为的方程，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线被圆所截得的弦长为，则________. 【答案】或 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程求得圆的圆心坐标和半径，结合圆的弦长公式，列出关于的方程，即可求解. 【详解】由圆的方程，可得， 可得圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为，则， 因为直线被圆所截得的弦长为， 由圆的弦长公式，可得，即，即， 整理得，解得或. 故答案为：或. 13. 已知为椭圆上一动点，，为椭圆的左、右焦点，点，则周长的最小值是________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程得到参数，即得到焦点坐标，求得，然后由三角形三边关系求得周长的最小值. 【详解】，，，，， 法一：，由， 的周长的最小值为. 法二：的周长的最小值为. 故答案为：. 14. 已知，是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的性质和双曲线的对称性可知四边形为矩形，则，利用双曲线的定义和勾股定理列式得，代入列不等式化简得，解不等式即可求解离心率范围. 【详解】如图 由题意知四边形为矩形，所以且，所以， 因为，所以， 所以，即：， 所以 ，即： ，所以 ，又，所以. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，且与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若点，，证明点在椭圆上，并求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 由点，得， 所以点在椭圆上； 依题意， ，而，则 ， 所以的取值范围是. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即得. （2）将点的坐标代入椭圆方程计算得证；再利用两点间距离公式，结合余弦函数有界性求出范围. 【小问1详解】 由与轴垂直得，即半焦距， 由点在椭圆上，得，解得， 所以椭圆的方程是. 【小问2详解】 略 16. 双曲线的左、右焦点分别为，，其离心率，且双曲线过点. （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线上一点满足，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代点的坐标入曲线方程，结合离心率和的关系建立方程组，求得的值，即可得到曲线方程； （2）由双曲线上的点到两焦点距离差为，两焦点间的距离，结合余弦定理即可求得，然后得到三角形面积. 【小问1详解】 由题意知： ， 解得， 故双曲线的方程为：. 【小问2详解】 由题意得，， 在中，由余弦定理得： 即：，， ， 所以的面积为. 17. 已知直线. （1）设直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）中，为直线所过的定点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到直线不过原点，且直线的斜率为，得出方程，求得的值，进而求得直线的方程； （2）由直线的方程，求得点坐标，再由边上的高的方程求得，得到的方程，联立方程组，求得的坐标，设，得到，代入求得，联立方程组，求得，进而求得的方程. 【小问1详解】 由直线在两坐标轴上的截距相等， 则且，且直线不过原点， 要使得直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的斜率为， 即，解得，所以直线的方程为. 【小问2详解】 由，可得 由，解得，所以， 因为边上的高所在直线的方程为，可得， 所以直线的方程为，即， 又因为所在直线的方程为， 由，解得，所以， 设，则中点， 将其代入，可得，整理得， 又由，解得，所以， 所以直线的方程为，即. 18. 已知圆经过点，点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）设，，若圆上存在点，使，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心，建立方程组即可求得圆心坐标，然后求出半径长，从而写出圆的方程； （2）由构造圆，由两个圆有交点建立不等式即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 设圆的圆心为，则 解得 圆的半径 所以圆的标准方程是 【小问2详解】 ，点在以为直径的圆上 设线段的中点为，则，圆 又点在圆上，圆与圆有公共点 即： 两边平方解得： 实数的取值范围为. 【点睛】本题考查了圆的相关性质，（1）可以设圆心由圆的性质建立方程即可得到答案；（2）中根据得到三点共圆，由两圆有交点建立不等式即可求得结果. 19. 已知定点，，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线与，直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）设动点坐标为，根据题意列出等量关系并化简即可求得其轨迹方程； （2）讨论直线斜率是否存在，先求出其中一条直线斜率不存在时四边形的面积.再设出两条直线的方程，求出圆心到两直线的距离，由垂径定理求得两条弦长，然后得到四边形面积的表达式.先讨论当时的面积，再当时利用基本不等式求出其最大值.然后得出四边形的最大值. 【小问1详解】 设动点的坐标为， 因为，，且， 所以， 整理得，即：， 所以动点的轨迹的方程为， 【小问2详解】 当直线与轴重合时，，，， 当直线不与轴重合，设直线的方程为， 则直线的方程为， 设圆的圆心到直线和直线的距离分别为，，圆的半径为， 则，，， 所以， ， 所以， 当时，， 当时，， 当且仅当时等号成立， 综上所述，四边形面积的最大值为7. 【点睛】本题考查了圆的方程与直线方程，在讨论动直线的时候需要考虑直线的斜率是否存在. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $