第四单元 交通中的线——平行与相交（期中知识清单）数学青岛版四年级上册

第四单元 交通中的线——平行与相交 期中复习知识清单 一、核心概念（同一平面内两条直线的位置关系为前提） 1.同一平面 指 “在同一个平面内”（如一张纸的表面、黑板面），是判断直线平行或相交的重要前提（四年级暂不研究 “不在同一平面的直线”，如教室墙角的竖线与天花板的横线）。 2.平行线（平行直线） 同一平面内，永不相交（没有公共点）的两条直线，叫做平行线（也说这两条直线互相平行）。 3.相交线（相交直线） 同一平面内，有且只有一个公共点（交点）的两条直线，叫做相交线。 4.垂线（垂直直线） 相交线的特殊情况：当两条直线相交成直角（90°） 时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 5.垂足 两条互相垂直的直线的交点，叫做垂足。 二、性质特征（每种线的特点 + 判定方法） 线的类型 核心性质（特点） 判定方法（怎么判断是这种线） 平行线 1. 同一平面内永不相交；2. 两条平行线间的 “距离处处相等”（从一条直线上任意一点向另一条直线画垂线段，所有垂线段长度都一样）；3. 过直线外一点，只能画 1 条直线与已知直线平行。 1. 观察：同一平面内没有交点，且延长后也不相交；2. 测量距离：用直尺量两条直线间不同位置的距离，若相等则平行；3. 工具验证：用 “三角板 + 直尺” 平移画直线，能重合则平行。 相交线 1. 同一平面内有且只有 1 个公共点（交点）；2. 延长后不会重合（若延长后重合，是 “重合直线”，不算相交）。 1. 观察：同一平面内有明显交点；2. 延长验证：延长两条直线，若只有 1 个交点，不是重合，则是相交线。 垂线 1. 属于特殊的相交线，必满足 “相交成直角（90°）”；2. 过一点（直线上或直线外），只能画 1 条直线与已知直线垂直；3. 从直线外一点到这条直线的所有线段中，“垂线段最短”（这条垂线段的长度叫 “点到直线的距离”）。 1. 工具验证：用三角板的直角边贴合两条直线，若直角顶点与交点重合，且两条直线分别与直角的两条边对齐，则是垂线；2. 量角器测量：测量两条直线的交角，若为 90° 则是垂线。 三、图形表示（标准画法 + 符号表示） 1. 平行线 标准画法（用三角板 + 直尺）： ① 先画一条已知直线（如直线 AB）； ② 把三角板的一条直角边紧紧贴住已知直线 AB； ③ 用直尺紧紧贴住三角板的另一条直角边； ④ 固定直尺，沿着直尺慢慢平移三角板； ⑤ 沿着三角板贴住直线的直角边，画出另一条直线（如直线 CD），则 CD∥AB。 符号表示：用 “∥” 表示 “平行”，读作 “平行于”。 例：直线 AB 平行于直线 CD，写作 “AB∥CD”，读作 “AB 平行于 CD”。 图形示例： 2. 相交线 标准画法： ① 用直尺画第一条直线（如直线 EF）； ② 从直线 EF 上的任意一点（非端点）出发，画另一条不与 EF 重合的直线（如直线 GH），两条直线交于点 O，则 EF 与 GH 相交。 符号表示：无专用符号，直接标注 “交点 O” 即可。 图形示例： 3. 垂线 标准画法（用三角板）： ① 先画一条已知直线（如直线 MN）； ② 把三角板的直角顶点对准直线 MN 上的一点（或直线外一点），使三角板的一条直角边与 MN 重合； ③ 沿着三角板的另一条直角边，画出一条直线（如直线 PQ），与 MN 交于点 P，则 PQ⊥MN，点 P 是垂足。 符号表示：用 “⊥” 表示 “垂直”，读作 “垂直于”；垂足用 “┐” 标注在交点处。 例：直线 PQ 垂直于直线 MN，写作 “PQ⊥MN”，读作 “PQ 垂直于 MN”。 图形示例： 四、实际应用（生活中的平行与相交） 知识类型 生活实例 应用说明 平行线 1. 黑板的上下两条对边、左右两条对边；2. 铁轨的两条轨道；3. 斑马线的横线；4. 课本封面的对边。 铁轨设计成平行线，能保证火车平稳行驶；黑板对边平行，让版面整齐美观。 相交线 1. 剪刀张开的两条刀刃；2. 十字路口的两条交叉道路；3. 三角板的两条非直角边；4. 窗户的横竖框架（相交但不垂直）。 剪刀通过刀刃相交，才能剪断物体；十字路口道路相交，方便不同方向的车辆通行。 垂线 1. 教室的墙角（墙面的竖线与地面的横线垂直）；2. 窗户的相邻两条边（横竖框架垂直）；3. 三角板的两条直角边；4. 升旗杆与地面（旗杆垂直于地面）。 窗户相邻边垂直，能保证窗户方正；升旗杆垂直于地面，才能让国旗竖直上升。 点到直线的距离 1. 从教室门口到黑板的最短路径（垂直走向黑板时距离最短）；2. 工人师傅用 “铅锤线” 检测墙壁是否竖直（铅锤线与地面垂直，若墙壁与铅锤线平行，则墙壁竖直）。 利用 “垂线段最短” 的性质，找到最短路径或检测物体是否垂直。 五、易错点提示（易混淆概念 + 常见错误） 易错点 1：忽略 “同一平面内” 的前提 错误表现：认为 “天空中两条不相交的电线是平行线”（实际电线不在同一平面，是异面直线，不算平行）； 纠正方法：强调 “必须在同一个平面内”，可举例 “一张纸的两条边是同一平面，纸外的线和纸上的线不是同一平面”。 易错点 2：混淆 “平行线” 与 “不相交的直线” 错误表现：认为 “两条直线看着不相交就是平行线”（如两条直线延长后会相交，只是没画完）； 纠正方法：判断时要 “延长两条直线”，若延长后仍不相交，才是平行线；可画图对比 “暂时不相交” 和 “永不相交” 的区别。 易错点 3：误用平行 / 垂直符号 错误表现：把 “AB 平行于 CD” 写成 “AB⊥CD”，或把 “PQ 垂直于 MN” 写成 “PQ∥MN”； 纠正方法：牢记符号含义（“∥” 像两条平行线，“⊥” 像直角），写符号后用三角板或直尺验证，再读一遍确认。 易错点 4：画垂线时角度不是 90° 错误表现：不用三角板画垂线，凭感觉画，导致交角不是直角； 纠正方法：强制使用三角板的直角边画垂线，画完后用三角板的直角验证交角，确保是 90°。 易错点 5：误解 “垂线段最短” 错误表现：认为 “从直线外一点到直线的线段中，斜线段最短”； 纠正方法：用直尺测量不同线段长度（垂线段、斜线段），对比发现 “垂线段长度最短”，结合生活实例（如从门口到黑板，垂直走最近）理解。 题型1：平行的特征及性质 【例1】（2022四年级上·全国·单元测试）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。( ) 【答案】√ 【详解】根据平行线的意义可知，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【练1】（23-24四年级上·山东聊城·期中）在同一平面内，和一条直线平行且相距2厘米的直线有（    ）条。 A．1 B．2 C．4 D．0 【答案】B 【分析】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；两条平行线之间垂线段的长度，就是这两条平行线之间的距离，依此画图并选择。 【详解】画图如下： 由此可知，在同一平面内，和一条直线平行且相距2厘米的直线有2条。 故答案为：B 题型2：画平行线 【例2】（24-25四年级上·山东滨州·期末）请过A点，画出已知直线的平行线。 【答案】见详解 【分析】平行线的画法：固定三角尺，使其一条直角边和直线重合，用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺，使点A位于该直角边上，沿着这条直角边再画出另一条直线，这条直线就是已知直线的平行线。 【详解】 【练2】（24-25四年级上·山东聊城·期中）（1）以A为顶点画一个130°的角。 （2）过C点画出线段AB的平行线。 【答案】见详解 【分析】同一平面内不相交的两条直线互相平行。用量角器画角时，量角器的中心和端点重合，0°刻度线和已知线段重合。 （1）使量角器的中心和A点重合，0°刻度线和线段AB重合。在量角器130°刻度线的地方点一个点。以A点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。据此画出130°的角。 （2）过C点作线段AB的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与线段AB重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使C点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。 【详解】根据分析作图如下： 题型3：垂直的特征 【例3】（24-25四年级上·山东德州·期中）同一平面内的两条直线，如果不平行，就一定垂直。( ) 【答案】× 【分析】在同一个平面内不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条线互相平行；两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。据此解答。 【详解】根据题意作图如下： 由图可知，在同一平面内，两条直线不平行，那么它们一定会相交，但不一定会垂直。原题说法错误。 故答案为：× 【练3】（24-25四年级上·山东潍坊·期末）下列各组线，互相垂直的有（    ）组。 A．2 B．3 C．4 【答案】A 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线，我们就说这两条直线互相平行；两条直线相交成直角，我们就说这两条直线互相垂直，由此求解。 【详解】根据垂直的特征可知：互相垂直的是第一个和第四个图形。 所以互相垂直的有2组。 故答案为：A 题型4：画垂线 【例4】（24-25四年级上·山东枣庄·期末）请以为顶点画一个的角，以为顶点画一个的角，两条射线相交于点，组成一个三角形。分别过点做的平行线和垂线。 【答案】见详解 【分析】用量角器画角：首先画出角顶点和其中的一条边，使量角器的中心位置和角的顶点重合，然后使角的一边和零刻度线重合（两个重合很重要），要画多少度就在量角器的刻度相应位置点一下，然后顶点和此点之间画一条连接线即可画出角，据此画一个为顶点的角和为顶点的角，两条射线相交于点，组成一个三角形即可； 把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和C点重合，过C点沿三角板的直角边画直线，即可画出过点做的垂线； 把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和C点重合，过C点沿三角板的直角边，向已知直线画直线，即可画出过点做的平行线。 【详解】 【练4】（2024四年级·全国·课后作业）过A点画已知直线的垂线，过B点画已知直线的平行线。 【答案】见详解 【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可；用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和B点重合，过B沿直角边向已知直线画直线即可。 【详解】 如图： 题型5：两点间线段最短与两点间的距离 【例5】（24-25四年级上·山东潍坊·期末）如图，点A和点B分别代表小明家和小刚家。画出他们两家之间的最短距离。现在要从小明家铺一条小路，以便到河边取水，怎么样取可以使路线最短？把最短的路线画出来。 【答案】见详解 【分析】两点之间线段是最短距离，所以小明家和小刚家最短距离是线段AB；点到直线最短距离是垂线段，所以过A点作河边垂线段，即为最短路线，据此解答。 【详解】小明家和小刚家最短距离是线段AB，从点A作河边的垂线，即为最短路线，画图如下： 【练5】（23-24四年级上·山东枣庄·期中）小设计师。 （1）请你画出一条从工厂到加油站最近的路。 （2）请你画出一条从工厂到公路最近的路。 【答案】见详解 【分析】（1）根据两点之间线段最短，过工厂和加油站画一条线段即可； （2）根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中垂线段最短，所以过工厂画一条与公路垂直的线段即可。 【详解】作图如下： 题型6：点到直线的距离 【例6】（24-25四年级上·山东潍坊·期末）如图，一只小企鹅在雪地中行走很吃力，但可以在冰面上轻松滑行。现在它和小冰屋中间隔了一条已经结冰的河，小企鹅想要去河对岸的小冰屋，为了省力，小企鹅要尽可能少地在雪地中行走，请你画出小企鹅最佳到达路线。 【答案】见详解 【分析】依据题意结合图示可知，要减少小企鹅在雪地中行走路程，则要使小企鹅与河之间的路程最短，做小企鹅所在点到上河边的垂直线段；小冰屋与河之间的路程最短，做小冰屋所在点到下河边的垂直线段，再连接河两边的点，由此解答本题。 【详解】如图： 【练6】（24-25四年级上·山东枣庄·期中）某公园中由广场到秀园路修了A、B两条路，但人们总喜欢在草坪中走出C这样一条路。你能利用所学知识解释产生这一现象的原因吗？如果你是草坪管理员，你会给公园设计师提什么建议？ 【答案】见详解 【分析】过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此解答。 【详解】从广场到秀园路时，C路垂直于秀园路，因为从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。 修路时，建议设计师按照垂线段修建最短距离路程。（答案不唯一） 1．（24-25四年级上·山东·期末）将一张圆形纸片连续对折两次，两条折痕的关系是（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．垂直或平行 【答案】B 【分析】圆形纸片是先再上下折，然后左右折，观察图可知两条折痕的关系。 【详解】将一张圆形纸片连续对折两次，两条折痕的关系是互相垂直。 故答案为：B 2．（24-25四年级上·山东滨州·期末）在同一平面内，直线和直线互相平行，直线和直线互相垂直。那么直线和直线（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．可能互相平行，也可能互相垂直 【答案】B 【分析】平行线表示两条直线在平面上始终保持相同的距离，永不相交。垂直线表示两条直线形成直角，相交与一个点，并且互相垂直，据此解答即可。 【详解】 在同一平面内，直线和直线互相平行，直线和直线互相垂直。那么直线和直线互相垂直。 故答案为：B 3．（24-25四年级上·山东潍坊·期末）爸爸、妈妈、欢欢、乐乐一家四人玩游戏，如图是爸爸、欢欢、乐乐三人跑向妈妈的路线。如果他们速度相同，那么最快到妈妈身边的是（    ）。 A．爸爸 B．欢欢 C．乐乐 【答案】B 【分析】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，3条路线中，欢欢的路线最短，所以最快到妈妈身边的是欢欢。 故答案为：B 4．（24-25四年级上·山东枣庄·期末）过直线外一点作已知直线的垂线，下面画法正确的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】作“过直线外一点作已知直线的垂线”时，需将三角板的一条直角边紧贴已知直线，并移动三角板，使那一点正好落在三角板的另一条直角边上，再沿此边画线，即可得到与已知直线垂直的直线。 【详解】A．图中直线外一点没有落在三角板的另一条直角边上，不正确。 B．图中没有将三角板的一条直角边紧贴已知直线，不正确。 C．此图是按照这一正确方法来作图的。 故答案为：C 5．（22-23四年级上·辽宁·单元测试）在同一平面内，与已知直线相距3厘米的平行线有（    ）条。 A．1 B．2 C．无数 【答案】B 【分析】根据在同一平面内与一条直线相距3厘米的直线只有上、下两条，据此作图即可得出结论。 【详解】如图： 如图可知：同一平面内与一条直线相距3厘米的直线只有2条； 故答案为：B 【点睛】此题考查了垂直和平行的特征，结合题意，作出图，是解答此题的关键。 6．（24-25四年级上·山东德州·期末）如图中，最短的线段是( )，( )互相平行，( )互相垂直。（都填序号） 【答案】 ④ ①② ②④ 【分析】两点之间的连线中，线段最短。 在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。 【详解】如图中，最短的线段是④，①②互相平行，②④或①④互相垂直。 7．（24-25四年级上·山东德州·期末）丽丽家通往五一大街有4条路线（如下图），其中四条路线长度是：1850米、850米、1700米、800米，根据下图可以判断B路线的长度是( )米。 【答案】800 【分析】根据“点到直线的距离，垂线段最短”这一原理，观察图可以发现，在丽丽家到五一大街的4条路线中，B路线是垂线段，所以B路线是最短的，比较1850米、850米、1700米、800米的大小，求出B路线的长度即可。 【详解】1850＞1700＞850＞800 所以B路线的长度是800米。 8．（22-23四年级上·山东青岛·期中）过一点可以画( )条直线，过一点可以画( )条直线与已知直线平行。 【答案】 无数 一 【分析】过两点可以确定一条直线，而过一点则可以画无数条直线；平行线之间的距离处处相等，已知一点，就确定了这个点到已知直线的距离，所以过一点只能画一条直线与已知直线平行。 【详解】根据分析，过一点可以画无数条直线，过一点可以画一条直线与已知直线平行。 【点睛】本题考查直线的特点及平行的特征。 9．（23-24四年级上·山东·期中）在一条公路上有四条路通往李老师家，它们的长度分别是320米、208米、140米、410米，其中有一条小路是与公路互相垂直的，那么这条小路的长度是( )米。 【答案】140 【分析】根据点到直线的距离的含义：从直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；比较题干中的长度，看那个数最小，则那一条小路最短，据此解答。 【详解】根据分析：410＞320＞208＞140，则140米最短； 所以：在一条公路上有四条路通往李老师家，它们的长度分别是320米、208米、140米、410米，其中有一条小路是与公路互相垂直的，那么这条小路的长度是140米。 【点睛】熟练掌握垂线段最短的知识是本题解答的关键。   10．（22-23四年级上·山东青岛·期末）请把相交、平行、垂直三种位置关系填在下图中。 【答案】见详解 【分析】在同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。 两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；两条直线只有一个公共点时，称这两条直线相交；依此填空即可。 【详解】如图所示： 【点睛】本题主要考查平行和相交的判断。需注意垂直也属于相交。 11．（2022四年级上·山东青岛·期中）从菊园到郁金香园分别向小河边铺一条小路，怎样铺路最近？请你画出来。 【答案】见详解 【分析】根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短。把小河看作一条直线，菊园、郁金香园分别看作一个点，由点向直线画垂直线段即可。 【详解】据分析作图如下： 【点睛】本题主要考查垂直线段的性质，利用这一性质作最短线路图。 12．（22-23四年级上·山东枣庄·期末）过C点分别画出已知直线的平行线和垂线。 【答案】见详解 【分析】过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点（C点）在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过C点时，沿这条直角边画的直线就是过C点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 【详解】画图如下：    【点睛】此题考查的是过直线外一点作垂线、画平行线，熟练掌握垂直与平行的特点，是解答此题的关键。 13．（22-23四年级下·山东滨州·期末）小马要到磨坊去，有哪几条路可以走？哪条路最近？（用字母表示所走的路径）    【答案】见详解 【分析】小马在A的位置，小马可以先到B再到C，小马也可以先到E再到C，小马还可以从A到D再到C，所以小马有三条路可以走，其中ABC、ADC这两条路是折线， AEC这条路是线段这条路最短。 【详解】答：有ABC、AEC、ADC这三条路可以走；走AEC这条路最近。 【点睛】两地之间最短的路程是连接两地的线段。 14．（22-23四年级下·山东德州·期末）如图所示，请你回答下列问题。    （1）小英从家到学校有哪几条路可走？ （2）哪条路最近？为什么？ 【答案】（1）可经过公园到学校，或经过电影院到学校，或经过超市到学校。 （2）经过公园到学校；因为两点之间线段距离最短。 【分析】（1）小英从家到学校，可分别经过公园、电影院、或超市到学校，依此解答。 （2）两点之间的距离，线段距离最短，依此解答。 【详解】（1）小英从家到学校可经过公园到学校，或经过电影院到学校，或经过超市到学校。 （2）小英从家经过公园到学校最近，因为两点之间线段距离最短。 【点睛】解答此题的关键是要明确两点之间线段距离最短与两点之间的距离。 15．（2022四年级上·山东滨州·期末）为了方便A小区的居民出行： （1）公路局计划穿过A小区，修建一条与公路平行的步行街，请你把步行街的路线画出来。 （2）公交公司拟在公路上设一个公交站点，这个站点设在哪儿距离A小区最近？请你画出来。（用B点做出标记） 【答案】（1）见详解； （2）过A小区这点画公路的垂线段，站点设在垂足处，距离A小区最近；图见详解 【分析】（1）根据题意可知，过A小区这点画公路的平行线，把三角板的一条直角边与已知直线（公路）重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和图中的A小区这点重合，过A小区这点沿三角板的直角边画直线即可； （2）在公路上设一个公交站点，应该以从A小区到公路的距离最短为宜，依据垂线段最短，过图中已知点（A小区）画公路的垂线段，在垂足处设站点即可，依据画垂线的方法：用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A小区这点重合，过A小区这点沿直角边向已知直线画垂线段即可。 【详解】（1）画出步行街的路线，如下； （2）过A小区这点画公路的垂线段，站点设在垂足处，距离A小区最近；画图如下： 【点睛】本题主要考查了学生利用直尺和三角板作垂线和作平行线的能力。 16．（22-23四年级上·山东青岛·期末）王伯伯要从A点到果园挖一条水渠，怎样设计最近？ （1）请你在图上画一画。 （2）从数学的角度谈谈为什么这样画。 【答案】（1）见详解 （2）因为从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一 直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并解答。 【详解】（1）画图如下： （2）因为从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 【点睛】此题考查的是过直线外一点作垂线，熟练掌握垂直的特点是解答此题的关键。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 交通中的线——平行与相交 期中复习知识清单 一、核心概念（同一平面内两条直线的位置关系为前提） 1.同一平面 指 “在同一个平面内”（如一张纸的表面、黑板面），是判断直线平行或相交的重要前提（四年级暂不研究 “不在同一平面的直线”，如教室墙角的竖线与天花板的横线）。 2.平行线（平行直线） 同一平面内，永不相交（没有公共点）的两条直线，叫做平行线（也说这两条直线互相平行）。 3.相交线（相交直线） 同一平面内，有且只有一个公共点（交点）的两条直线，叫做相交线。 4.垂线（垂直直线） 相交线的特殊情况：当两条直线相交成直角（90°） 时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 5.垂足 两条互相垂直的直线的交点，叫做垂足。 二、性质特征（每种线的特点 + 判定方法） 线的类型 核心性质（特点） 判定方法（怎么判断是这种线） 平行线 1. 同一平面内永不相交；2. 两条平行线间的 “距离处处相等”（从一条直线上任意一点向另一条直线画垂线段，所有垂线段长度都一样）；3. 过直线外一点，只能画 1 条直线与已知直线平行。 1. 观察：同一平面内没有交点，且延长后也不相交；2. 测量距离：用直尺量两条直线间不同位置的距离，若相等则平行；3. 工具验证：用 “三角板 + 直尺” 平移画直线，能重合则平行。 相交线 1. 同一平面内有且只有 1 个公共点（交点）；2. 延长后不会重合（若延长后重合，是 “重合直线”，不算相交）。 1. 观察：同一平面内有明显交点；2. 延长验证：延长两条直线，若只有 1 个交点，不是重合，则是相交线。 垂线 1. 属于特殊的相交线，必满足 “相交成直角（90°）”；2. 过一点（直线上或直线外），只能画 1 条直线与已知直线垂直；3. 从直线外一点到这条直线的所有线段中，“垂线段最短”（这条垂线段的长度叫 “点到直线的距离”）。 1. 工具验证：用三角板的直角边贴合两条直线，若直角顶点与交点重合，且两条直线分别与直角的两条边对齐，则是垂线；2. 量角器测量：测量两条直线的交角，若为 90° 则是垂线。 三、图形表示（标准画法 + 符号表示） 1. 平行线 标准画法（用三角板 + 直尺）： ① 先画一条已知直线（如直线 AB）； ② 把三角板的一条直角边紧紧贴住已知直线 AB； ③ 用直尺紧紧贴住三角板的另一条直角边； ④ 固定直尺，沿着直尺慢慢平移三角板； ⑤ 沿着三角板贴住直线的直角边，画出另一条直线（如直线 CD），则 CD∥AB。 符号表示：用 “∥” 表示 “平行”，读作 “平行于”。 例：直线 AB 平行于直线 CD，写作 “AB∥CD”，读作 “AB 平行于 CD”。 图形示例： 2. 相交线 标准画法： ① 用直尺画第一条直线（如直线 EF）； ② 从直线 EF 上的任意一点（非端点）出发，画另一条不与 EF 重合的直线（如直线 GH），两条直线交于点 O，则 EF 与 GH 相交。 符号表示：无专用符号，直接标注 “交点 O” 即可。 图形示例： 3. 垂线 标准画法（用三角板）： ① 先画一条已知直线（如直线 MN）； ② 把三角板的直角顶点对准直线 MN 上的一点（或直线外一点），使三角板的一条直角边与 MN 重合； ③ 沿着三角板的另一条直角边，画出一条直线（如直线 PQ），与 MN 交于点 P，则 PQ⊥MN，点 P 是垂足。 符号表示：用 “⊥” 表示 “垂直”，读作 “垂直于”；垂足用 “┐” 标注在交点处。 例：直线 PQ 垂直于直线 MN，写作 “PQ⊥MN”，读作 “PQ 垂直于 MN”。 图形示例： 四、实际应用（生活中的平行与相交） 知识类型 生活实例 应用说明 平行线 1. 黑板的上下两条对边、左右两条对边；2. 铁轨的两条轨道；3. 斑马线的横线；4. 课本封面的对边。 铁轨设计成平行线，能保证火车平稳行驶；黑板对边平行，让版面整齐美观。 相交线 1. 剪刀张开的两条刀刃；2. 十字路口的两条交叉道路；3. 三角板的两条非直角边；4. 窗户的横竖框架（相交但不垂直）。 剪刀通过刀刃相交，才能剪断物体；十字路口道路相交，方便不同方向的车辆通行。 垂线 1. 教室的墙角（墙面的竖线与地面的横线垂直）；2. 窗户的相邻两条边（横竖框架垂直）；3. 三角板的两条直角边；4. 升旗杆与地面（旗杆垂直于地面）。 窗户相邻边垂直，能保证窗户方正；升旗杆垂直于地面，才能让国旗竖直上升。 点到直线的距离 1. 从教室门口到黑板的最短路径（垂直走向黑板时距离最短）；2. 工人师傅用 “铅锤线” 检测墙壁是否竖直（铅锤线与地面垂直，若墙壁与铅锤线平行，则墙壁竖直）。 利用 “垂线段最短” 的性质，找到最短路径或检测物体是否垂直。 五、易错点提示（易混淆概念 + 常见错误） 易错点 1：忽略 “同一平面内” 的前提 错误表现：认为 “天空中两条不相交的电线是平行线”（实际电线不在同一平面，是异面直线，不算平行）； 纠正方法：强调 “必须在同一个平面内”，可举例 “一张纸的两条边是同一平面，纸外的线和纸上的线不是同一平面”。 易错点 2：混淆 “平行线” 与 “不相交的直线” 错误表现：认为 “两条直线看着不相交就是平行线”（如两条直线延长后会相交，只是没画完）； 纠正方法：判断时要 “延长两条直线”，若延长后仍不相交，才是平行线；可画图对比 “暂时不相交” 和 “永不相交” 的区别。 易错点 3：误用平行 / 垂直符号 错误表现：把 “AB 平行于 CD” 写成 “AB⊥CD”，或把 “PQ 垂直于 MN” 写成 “PQ∥MN”； 纠正方法：牢记符号含义（“∥” 像两条平行线，“⊥” 像直角），写符号后用三角板或直尺验证，再读一遍确认。 易错点 4：画垂线时角度不是 90° 错误表现：不用三角板画垂线，凭感觉画，导致交角不是直角； 纠正方法：强制使用三角板的直角边画垂线，画完后用三角板的直角验证交角，确保是 90°。 易错点 5：误解 “垂线段最短” 错误表现：认为 “从直线外一点到直线的线段中，斜线段最短”； 纠正方法：用直尺测量不同线段长度（垂线段、斜线段），对比发现 “垂线段长度最短”，结合生活实例（如从门口到黑板，垂直走最近）理解。 题型1：平行的特征及性质 【例1】（2022四年级上·全国·单元测试）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。( ) 【练1】（23-24四年级上·山东聊城·期中）在同一平面内，和一条直线平行且相距2厘米的直线有（    ）条。 A．1 B．2 C．4 D．0 题型2：画平行线 【例2】（24-25四年级上·山东滨州·期末）请过A点，画出已知直线的平行线。 【练2】（24-25四年级上·山东聊城·期中）（1）以A为顶点画一个130°的角。 （2）过C点画出线段AB的平行线。 题型3：垂直的特征 【例3】（24-25四年级上·山东德州·期中）同一平面内的两条直线，如果不平行，就一定垂直。( ) 【练3】（24-25四年级上·山东潍坊·期末）下列各组线，互相垂直的有（    ）组。 A．2 B．3 C．4 题型4：画垂线 【例4】（24-25四年级上·山东枣庄·期末）请以为顶点画一个的角，以为顶点画一个的角，两条射线相交于点，组成一个三角形。分别过点做的平行线和垂线。 【练4】（2024四年级·全国·课后作业）过A点画已知直线的垂线，过B点画已知直线的平行线。 题型5：两点间线段最短与两点间的距离 【例5】（24-25四年级上·山东潍坊·期末）如图，点A和点B分别代表小明家和小刚家。画出他们两家之间的最短距离。现在要从小明家铺一条小路，以便到河边取水，怎么样取可以使路线最短？把最短的路线画出来。 【练5】（23-24四年级上·山东枣庄·期中）小设计师。 （1）请你画出一条从工厂到加油站最近的路。 （2）请你画出一条从工厂到公路最近的路。 题型6：点到直线的距离 【例6】（24-25四年级上·山东潍坊·期末）如图，一只小企鹅在雪地中行走很吃力，但可以在冰面上轻松滑行。现在它和小冰屋中间隔了一条已经结冰的河，小企鹅想要去河对岸的小冰屋，为了省力，小企鹅要尽可能少地在雪地中行走，请你画出小企鹅最佳到达路线。 【练6】（24-25四年级上·山东枣庄·期中）某公园中由广场到秀园路修了A、B两条路，但人们总喜欢在草坪中走出C这样一条路。你能利用所学知识解释产生这一现象的原因吗？如果你是草坪管理员，你会给公园设计师提什么建议？ 1．（24-25四年级上·山东·期末）将一张圆形纸片连续对折两次，两条折痕的关系是（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．垂直或平行 2．（24-25四年级上·山东滨州·期末）在同一平面内，直线和直线互相平行，直线和直线互相垂直。那么直线和直线（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．可能互相平行，也可能互相垂直 3．（24-25四年级上·山东潍坊·期末）爸爸、妈妈、欢欢、乐乐一家四人玩游戏，如图是爸爸、欢欢、乐乐三人跑向妈妈的路线。如果他们速度相同，那么最快到妈妈身边的是（    ）。 A．爸爸 B．欢欢 C．乐乐 4．（24-25四年级上·山东枣庄·期末）过直线外一点作已知直线的垂线，下面画法正确的是（    ）。 A． B． C． 5．（22-23四年级上·辽宁·单元测试）在同一平面内，与已知直线相距3厘米的平行线有（    ）条。 A．1 B．2 C．无数 6．（24-25四年级上·山东德州·期末）如图中，最短的线段是( )，( )互相平行，( )互相垂直。（都填序号） 7．（24-25四年级上·山东德州·期末）丽丽家通往五一大街有4条路线（如下图），其中四条路线长度是：1850米、850米、1700米、800米，根据下图可以判断B路线的长度是( )米。 8．（22-23四年级上·山东青岛·期中）过一点可以画( )条直线，过一点可以画( )条直线与已知直线平行。 9．（23-24四年级上·山东·期中）在一条公路上有四条路通往李老师家，它们的长度分别是320米、208米、140米、410米，其中有一条小路是与公路互相垂直的，那么这条小路的长度是( )米。 10．（22-23四年级上·山东青岛·期末）请把相交、平行、垂直三种位置关系填在下图中。 11．（2022四年级上·山东青岛·期中）从菊园到郁金香园分别向小河边铺一条小路，怎样铺路最近？请你画出来。 12．（22-23四年级上·山东枣庄·期末）过C点分别画出已知直线的平行线和垂线。 13．（22-23四年级下·山东滨州·期末）小马要到磨坊去，有哪几条路可以走？哪条路最近？（用字母表示所走的路径）    14．（22-23四年级下·山东德州·期末）如图所示，请你回答下列问题。    （1）小英从家到学校有哪几条路可走？ （2）哪条路最近？为什么？ 15．（2022四年级上·山东滨州·期末）为了方便A小区的居民出行： （1）公路局计划穿过A小区，修建一条与公路平行的步行街，请你把步行街的路线画出来。 （2）公交公司拟在公路上设一个公交站点，这个站点设在哪儿距离A小区最近？请你画出来。（用B点做出标记） 16．（22-23四年级上·山东青岛·期末）王伯伯要从A点到果园挖一条水渠，怎样设计最近？ （1）请你在图上画一画。 （2）从数学的角度谈谈为什么这样画。 1 学科网（北京）股份有限公司 $