精品解析：江苏省南通市海安市实验中学2025-2026学年高二上学期第一次学情检测（10月）数学试题

实验中学高二年级第一次学情检测 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果，，那么直线不通过（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】化简直线方程为直线的斜截式方程，结合斜率和在轴上的截距，即可求解. 【详解】因，且，所以均不为零， 由直线方程，可化为， 因为，且，可得，y轴截距， 所以直线经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限． 故选：B. 2. 圆与圆的公切条数为（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，判断出两圆的位置关系，即可得到结果. 【详解】的圆心是，半径 圆即，圆心为，半径， ，所以两圆相交，公切线有2条． 故选：B 3. 若△的三个顶点为，，，则BC边上的高所在直线的方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据所在直线的斜率求得高线的斜率，结合点斜式即可求得结果. 【详解】因为，，故可得所在直线的斜率为， 则边上的高所在直线的斜率，又其过点， 故其方程，整理得：. 故选：B. 4. 平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹为以，为焦点的椭圆，且，， 所以，故所求的轨迹方程为. 故选：D 5. 已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分是否为0，即斜率是否存在讨论，再结合正切函数的图象即可求解. 【详解】当时，直线的斜率为， 设直线l的倾斜角为，则有， 结合正切函数的图象可知，倾斜角的取值范围为， 当时，倾斜角为， 综上，直线l的倾斜角取值范围为. 故选：C. 6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解. 【详解】记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C. 7. 已知两平行直线，分别过点，，它们分别绕，旋转，但始终保持平行，则，之间的距离的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线，之间距离介于两直线重合和两直线与直线垂直这两种情况之间，故求出两种临界情况即可得到两直线之间的距离的取值范围. 【详解】当直线，与直线垂直时，它们之间的距离达到最大， 此时， 当两直线重合时其距离为0. 所以． 故选：C. 8. 若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心和半径，表达出圆心与的距离为，数形结合得到，从而得到不等式，求出答案. 【详解】的圆心为，半径为1， 与的距离为， 要想圆上总存在两个点到点的距离为2， 则，即，解得. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据斜率与倾斜角关系及正切函数性质依次判断各项的正误. 【详解】A：由表明斜率存在，则， 由正切函数在上，倾斜角和斜率一一对应，故，对； B：若，时，相应的倾斜角，，不满足，错； C：由正切函数的图象知： 当和时，； 当，时，； 当或时，或不存在，错； D：因为，结合正切函数的图象知，， 所以，对. 故选：AD 10. 已知，，在下列方程表示的曲线上，存在点P满足的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】求出点的轨迹方程，发现是圆，故只需判断直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】 对于A，，所以直线与圆相离，不存在点P； 对于B，，所以直线与圆相交，存在点P； 对于C，，所以两圆外切，存在点P； 对于D，，所以两圆内含，不存在点P． 故选：BC. 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形有4条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上的任意两点间的距离不超过5 D. 若是曲线上任意一点，的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断各选项即可. 【详解】曲线, 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示， 对于A：由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确； 对于B：曲线由4个半圆组成，其周长为，故B正确； 对于C：由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C错误； 对于D：到直线的距离， 而到直线的距离为，由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为， 故的最小值为，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知关于的方程组无解，则实数的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化成直线与直线平行，进而可求解. 【详解】方程组无解， 等价于直线与直线平行， 可得：， 解得：或， 当时，直线方程分别为：和重合舍去， 当时，直线方程分别为：和，平行， 故， 故答案为： 13. 已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则m等于______. 【答案】36 【解析】 【分析】分焦点在和两种情况，根据椭圆定义得到方程，求出答案. 【详解】若焦点在轴上，由椭圆定义得，解得，满足要求， 若焦点在轴上，，不合题意， 综上，. 故答案：36 14. 已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为______． 【答案】或， 【解析】 【分析】表达出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，即可得到直线方程. 【详解】因为直线与轴、轴分别交于点、点， 所以直线的斜率存在，可设直线的方程为， 所以，，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，此时， 此时直线的方程为或， 故答案为：或， 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设为实数，直线恒过一定点记作，为直角的一个顶点，为直角顶点，点在轴上 （1）求点，的坐标； （2）求斜边中线所在的直线方程. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据即可求解，利用垂直，根据斜率关系即可求解， （2）根据中点坐标求解，即可根据两点斜率公式求解斜率，即可根据点斜式求解直线方程. 【小问1详解】 由可得， 令且，解得， 故直线恒过定点， 设，则,故则，解得， 故 【小问2详解】 由于，，故的中点坐标， 则, 故直线方程为，即 16. 在平面直角坐标系中，存在四点． （1）求过三点的圆的方程，并判断点与圆的位置关系； （2）若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程． 【答案】（1），D在圆M内 （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出圆的一般方程,利用待定系数法计算可得圆的方程，把D坐标代入圆的方程判定位置关系即可； （2）对直线分类讨论，设出直线方程，利用直线与圆相交，已知弦长求直线方程. 【小问1详解】 设圆M方程为， 把A，B，C三点坐标代入可得： 解得，，， 所以圆M方程是, 把D点坐标代入可得：，故D在圆M内； 【小问2详解】 由（1）可知圆M：，则圆心，半径， 由题意可知圆心到直线l的距离是， 当直线l斜率存在时，设直线l方程为：， 所以由点到直线的距离公式得，解得，故直线l的方程为； 当直线l斜率不存在时，则直线l方程为：， 此时圆心到直线l的距离是3，符合题意. 综上所述，直线l的方程为或. 17. 在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线、轴正半轴于点、. （1）当的中点为时，求直线的方程； （2）已知点在线段（包括端点）上运动，求取值范围； （3）求面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可设、，根据中点坐标公式可得，，进而可得直线方程； （2）由直线的方程得，代入消元可得关于的二次函数，进而求最值； （3）根据直线斜率是否存在分类讨论，求得，的坐标，进一步用坐标表示三角形的面积，利用换元法和二次函数的性质可得最值. 【小问1详解】 由题意可设、，且，． 当AB的中点为P时，则，解得，， 所以、． 所以直线AB的方程为，即一般式方程为：． 小问2详解】 由、，得线段的方程为：， 因为点在线段（包括端点）上运动，所以，则， 因此， 因为二次函数的开口向上，对称轴方程为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此，当时，有最小值，最小值， 当时，有最大值，最大值， 故的取值范围是. 【小问3详解】 当过点的直线斜率不存在时，、， 此时． 当过点的直线斜率存在时， 设直线AB的方程为，即． 直线AB与相交，可得， 直线AB与x轴正半轴相交于B，可得． 由，解得或． 则． 令，则（或）， 可得， 由或，可得或， 根据二次函数的单调性可知，当，有最大值，最大值为， 此时面积有最小值，且，此时，、符合题意． 综上所述，面积的最小值为． 18. 材料：我们把经过两条直线：，：的交点的直线方程叫做共点直线系方程，其交点称作共点直线系方程的“共点”，共点直线系方程也可表示为：（其中，且该方程不表示）． 问题：已知圆M：．求： （1）求共点直线系方程的“共点”的坐标； （2）设点为第（1）问中的“共点”，点N为圆上一动点，求的取值范围； （3）若有唯一一组非零实数对满足关于实数的方程：．设过点的直线与圆相交于，两点，当取得最小值时，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）解方程组可得点坐标. （2）确定点与圆的位置关系，根据圆外的点与圆上的点的距离的最值可求解. （3）把转化为点和到直线的距离相等，根据非零实数对唯一存在可求的值，进而确定的值；再判断点与圆的位置关系，可确定过点的弦长最短时，直线所在的方程. 【小问1详解】 由. 所以“共点”的坐标为： 【小问2详解】 圆：，所以圆心，半径， 由， 所以点在圆外. 所以. 【小问3详解】 由得：点和到直线的距离相等. 所以直线过的中点或与直线平行或重合，又非零实数对唯一存在，所以就是直线. 所以. 因为：，所以点在圆内. 因为，所以当最小时，直线的方程为：. 若，理论上到AB距离为的直线有两条，它们与直线AB平行，这不唯一， 但注意到直线不过原点，由于AB方程为，当直线与平行过原点时， 方程为，所以另一条直线是，它是唯一符合条件的直线，此时，满足题意， 点，，所以在圆内，因为，所以当|ST|最小时，直线ST的方程为， 综上，满足条件的直线方程为或 19. 在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. （1）求圆的标准方程； （2）设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率. （ⅰ）若，求面积的最大值； （ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）1；（ⅱ）过定点. 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据已知条件代入求即可； （2）（i）由可得，且，根据三角形面积公式和基本不等式求最大值即可；（ⅱ）设直线的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理和斜率公式代入求出与的关系进而可得定点. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 由已知可得：，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，因为，所以， 从而直线经过圆心，是直角三角形，且， 设，，则， 又，所以，当且仅当时取等号， 所以. （ⅱ）由已知得：直线的斜率必存在， 设直线的方程为，，， 由，消去得：， 当时，，，（※） 又， 即， 代入（※）得：， 即，解得：，或， 当时，此时直线的方程为，过定点（舍去）， 当时，此时直线的方程为，过定点， 故当，动弦过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学高二年级第一次学情检测 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 如果，，那么直线不通过（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 圆与圆的公切条数为（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 3. 若△三个顶点为，，，则BC边上的高所在直线的方程为（ ）． A. B. C. D. 4. 平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知两平行直线，分别过点，，它们分别绕，旋转，但始终保持平行，则，之间的距离的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 8. 若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 10. 已知，，在下列方程表示的曲线上，存在点P满足的有（ ） A. B. C. D. 11. 数学美表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形有4条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上的任意两点间的距离不超过5 D. 若是曲线上任意一点，的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知关于方程组无解，则实数的值为_____. 13. 已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则m等于______. 14. 已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设为实数，直线恒过一定点记作，为直角的一个顶点，为直角顶点，点在轴上 （1）求点，的坐标； （2）求斜边中线所在的直线方程. 16. 在平面直角坐标系中，存在四点． （1）求过三点的圆的方程，并判断点与圆的位置关系； （2）若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程． 17. 在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线、轴正半轴于点、. （1）当的中点为时，求直线的方程； （2）已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； （3）求面积的最小值． 18. 材料：我们把经过两条直线：，：的交点的直线方程叫做共点直线系方程，其交点称作共点直线系方程的“共点”，共点直线系方程也可表示为：（其中，且该方程不表示）． 问题：已知圆M：．求： （1）求共点直线系方程的“共点”的坐标； （2）设点为第（1）问中的“共点”，点N为圆上一动点，求的取值范围； （3）若有唯一一组非零实数对满足关于实数的方程：．设过点的直线与圆相交于，两点，当取得最小值时，求直线的方程． 19. 在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. （1）求圆的标准方程； （2）设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率. （ⅰ）若，求面积的最大值； （ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $