精品解析：四川省德阳市第五中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

高2024级高二上期第一次月考统考数学试题 时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，则点A关于的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间坐标系中点的对称变换规则可得结果. 【详解】易知点关于的对称点的坐标保持横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为相反数，即为. 故选：B 2. 已知随机事件和互斥，且，，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率公式求得，再利用对立事件概率公式求得结果. 【详解】由与互斥，得， 则， 所以. 故选：B 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的信息，利用指数、对数函数性质，结合“媒介数”比较大小即得. 【详解】依题意，，而， 所以的大小关系为. 故选：D 4. 若a，b，l是空间中三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中真命题是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】A 【解析】 【分析】由线线，线面，面面的位置关系逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，若，，，由线面平行的性质可得，故A正确； 对于B，若，，，当时，得不出，故B错误； 对于C，若，，，可能，也可能与相交，故C错误； 对于D，若，，，可能，也可能，也可能不共线且不垂直，故D错误. 故选：A. 5. 角是第二象限角，以为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的纵坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再利用三角函数定义求出目标值. 【详解】依题意，点在第二象限，则点的横坐标为， 所以. 故选：A 6. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则两次向上的点数之和除以4的余数为3的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率. 【详解】一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次的试验有36个样本点， 两次向上的点数之和除以4的余数为3的事件含有的样本点为： ，共10， 所以两次向上的点数之和除以4的余数为3的概率为. 故选：C 7. 已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由侧面积得母线长，再由母线得到高，进而圆台的体积公式可得出. 【详解】如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径. 侧面积是，得，得，在直角三角形中， ，高， 所以. 故选：A. 8. 已知中，a、b、c为角A、B、C的对边，，若与的内角平分线交于点I，的外接圆半径为，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理求出，，，，得到，利用基本不等式求出面积的最大值. 【详解】，由正弦定理得： ∵，∴， ∵， ∴，为直角三角形且外接圆半径为， ∴， ∴， 设内切圆半径为，则． 其中， 因为，所以， 故，当且仅当时，等号成立， ∴， 当且仅当时等号成立， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则这组数据的众数为1 B. 若，则这组数据的分位数为3 C. 若，则这组数据的平均数的最小值为 D. 若，则这组数据的平均数的最小值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】A由众数定义可得答案；；B由百分位数计算方式可得答案；CD由基本不等式可判断选项正误. 【详解】对于A，数据中1出现次数最多，则众数为1，故A正确； 对于B，数据从小到大排序为1，1，1，2，3，3，4，4，又， 则这组数据的分位数为第六个数据，即3，故B正确； 对于CD，由，可得，当且仅当时取等号， 则平均数最小值为，故C正确，D错误. 故选：ABC 10. 在空间直角坐标系中，设、分别是异面直线、的两个方向向量，、分别是平面、的两个法向量，若，，，，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 异面直线、的夹角余弦值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明判断ABC；利用线线角的向量求法计算判断D. 【详解】由，，得不共线，因此直线与平面不垂直，A错误； 由，，得，即，直线，B正确； 由，，得，即，则，C错误； 由，，得， 因此异面直线、的夹角余弦值为，D正确. 故选：BD 11. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角是 D. 与所成角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果即可. 【详解】在平行六面体中， 其中以顶点为端点的三条棱长均为1 ，且彼此夹角都是， 所以，. 对于A，因为， 所以， ，故A正确； 对于B，因为, 且, 即不成立，故B错误； 对于C，，所以， 所以, 所以向量与夹角是，故C正确； 对于D，， ， 而， ， ，故D错误. 故选：AC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数，的共轭复数对应的点在第四象限，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出共轭复数，然后利用复数在各象限的特征列不等式组即可求解. 【详解】由可知：， 由题意，解得，即实数的取值范围是． 故答案为： 13. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，数量积和模的坐标运算公式即可得解. 【详解】由题意向量， 则在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 14. 如图，平面四边形中，，，，，沿将折起成直二面角（折起后原来平面图形的D点变为空间图形的P点），则折起后四面体的内切球半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出三棱锥的表面积、体积，结合等体积法即可列方程求解. 【详解】因为平面平面，，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面，而平面， 从而， 设所求为，三棱锥的表面积、体积分别为，， 而，， 从而，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用等体积法建立关于的方程，由此即可顺利得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值以及自习时间在内的学生人数； （2）估计该校每个学生一个学期自习的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 【答案】（1）； （2）105小时 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率直方图的性质即可求解； （2）利用频率直方图的中点值结合均值算法，可估计总体平均值； （3）利用分层抽样和古典概型公式可求出概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知：，解得， 一个学期自习时间在内的学生人数为； 【小问2详解】 该校学生一个学期自习平均时间 ， 即估计该校每个学生一个学期自习平均时间为105小时； 【小问3详解】 一个学期自习时间落在的抽取人数为， 这4人分别记为A，B，C，D， 一个学期自习时间落在的抽取人数为， 这2人分别记为a，b， 再从这6名学生中随机抽取2名学生的样本空间为： ，共有15个样本点， 其中恰有1名一个学期自习时间落在内的样本点，共8个样本点， 所以抽到这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 16. 如图，已知四棱锥中，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，，O为AD中点，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为． （1）证明平面PBO； （2）求点P到平面ABCD的距离； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接PO，BO，BD，如图， 因是边长为2的正三角形，则， 在菱形ABCD中，，则为正三角形， 所以，又，平面， 则平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接PO，BO，BD，先证明，，进而求证即可； （2）易得是二面角的平面角，即，过P作的延长线于H，进而证明平面，进而求解即可； （3）取PB中点E，连OE，取PC中点F，连EF，AE，DF，进而得到为二面角的平面角，进而求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，， 则是二面角的平面角，， 由平面，平面， 则平面平面，过P作的延长线于H， 因为平面平面，平面， 因此平面， 而在正中，，则， 又，则， 所以点P到平面的距离是. 【小问3详解】 由（1）知，是正三角形，则， 取PB中点E，连OE，由（2）知，， 则，，， 取PC中点F，连EF，AE，DF，则有，且， 又平面，平面，则， 即有，又，则， 从而得为二面角的平面角， 在梯形中，， 中，， ， 所以二面角的余弦值是. 17. 甲、乙、丙三人进行投篮比赛，其中甲投篮一次命中的概率为，甲、乙两人各投篮一次且都命中的概率为，乙、丙两人各投篮一次且都命中的概率为，且任意两次投篮互不影响. （1）分别计算乙，丙两人各投篮一次且都命中的概率； （2）求甲、乙、丙各投篮一次且恰有两人命中的概率； （3）若乙想命中的概率不低于0.9999，乙至少需要投篮多少次？（参考数据：，） 【答案】（1）乙射击一次击中目标的概率为，丙射击一次击中目标的概率为； （2）； （3）23次. 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件，结合已知求出乙，丙投篮一次且都命中的概率. （2）记甲、乙、丙各投篮一次恰有两人命中为事件，再由相互独立事件及互斥事件的概率公式计算求解. （3）设乙投篮次，则至少有一次投中的概率为，由，利用指数函数的性质及对数的运算性质计算得解. 【小问1详解】 记甲投篮一次命中为事件，乙投篮一次命中为事件，丙投篮一次命中为事件， 依题意，，，则， ，解得， 所以乙投篮一次命中的概率为，丙投篮一次命中的概率为. 【小问2详解】 记甲、乙、丙各投篮一次恰有两人命中为事件，则， 则 ， 所以甲、乙、丙各投篮一次恰有一人命中的概率. 【小问3详解】 设乙投篮次，则至少有一命击中的概率为， 由，得，两边取常用对数得， 因此，则， 所以乙至少要投篮次. 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足． （1）求B； （2）若，，求的面积； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简后利用余弦定理可求出角B； （2）利用余弦定理求出，再由三角形面积公式可求得结果；、 （3）利用正弦定理统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形得，令，然后利用二次函数的性质可求其范围. 【小问1详解】 ， 由正弦定理，得，． 由余弦定理，得， ，． 【小问2详解】 在中，，，． 由余弦定理，得， 即，解得（舍）或． 的面积为． 【小问3详解】 由（1）知． ． 令，， ，． ， 当时，取得最小值，最小值为． 当时，取得最大值，最大值为． 的取值范围是． 19. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中． （1）若向量，求． （2）已知向量，，证明：． （3）若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①若的从小到大依次为，求n． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1） （2）证明：因为向量， 所以， 所以 化简得； （3）①760； ②，理由如下： 令，则， 又因为，所以， 又因为，所以，由零点存在定理可得， 由（1）可知在上单调递减， 所以，即，所以 【解析】 【分析】（1）先由题设得到，接着由结合数量积的运算律计算即可求出； （2）先由题设得，再由结合数量积的运算律计算得证； （3）①先由（2）化简，进而将题设等价于方程的根，作出的图象，结合函数的周期分析求解即可；②令，由和结合零点存在定理得，再结合①得到及其大小范围即可得解. 【小问1详解】 因为向量，所以， 又因为， 所以， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得，化简得， 所以， 则方程的根等价于的根， 如图所示，在的一个周期内，方程根的个数为3， 因为， 则当，根的个数， ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级高二上期第一次月考统考数学试题 时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，则点A关于的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机事件和互斥，且，，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 若a，b，l是空间中三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中真命题是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 角是第二象限角，以为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的纵坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则两次向上的点数之和除以4的余数为3的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，a、b、c为角A、B、C的对边，，若与的内角平分线交于点I，的外接圆半径为，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则这组数据的众数为1 B. 若，则这组数据的分位数为3 C. 若，则这组数据的平均数的最小值为 D. 若，则这组数据的平均数的最小值为2 10. 在空间直角坐标系中，设、分别是异面直线、的两个方向向量，、分别是平面、的两个法向量，若，，，，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 异面直线、的夹角余弦值为 11. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角是 D. 与所成角的余弦值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数，的共轭复数对应的点在第四象限，则实数的取值范围为______． 13. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________ 14. 如图，平面四边形中，，，，，沿将折起成直二面角（折起后原来平面图形的D点变为空间图形的P点），则折起后四面体的内切球半径为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值以及自习时间在内的学生人数； （2）估计该校每个学生一个学期自习的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 16. 如图，已知四棱锥中，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，，O为AD中点，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为． （1）证明平面PBO； （2）求点P到平面ABCD的距离； （3）求二面角的余弦值． 17. 甲、乙、丙三人进行投篮比赛，其中甲投篮一次命中的概率为，甲、乙两人各投篮一次且都命中的概率为，乙、丙两人各投篮一次且都命中的概率为，且任意两次投篮互不影响. （1）分别计算乙，丙两人各投篮一次且都命中的概率； （2）求甲、乙、丙各投篮一次且恰有两人命中的概率； （3）若乙想命中的概率不低于0.9999，乙至少需要投篮多少次？（参考数据：，） 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足． （1）求B； （2）若，，求的面积； （3）求的取值范围． 19. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中． （1）若向量，求． （2）已知向量，，证明：． （3）若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①若的从小到大依次为，求n． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $