第24章圆测试卷 2025-2026学年沪科版（2012）数学九年级下册

2025-2026学年沪科版九下数学24章圆测试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 .(单选)如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（  ）． A. B. C. D. 2 .(单选)下列说法错误的是（   ）． A.直径是圆中最长的弦 B.长度相等的两条弧是等弧 C.面积相等的两个圆是等圆 D.半径相等的两个半圆是等弧 3 .(单选)如图，点、、在⊙上，若，，则图中阴影部分的面积为（　　）． A. B. C. D. 4 .(单选)如图，为⊙ 的直径，，为⊙ 上两点，若 ，则 的大小为（   ）． A. B. C. D. 5 .(单选)如图，的弦，是上任意一点，且最小值为，则的半径为（   ）． A. B. C. D. 6 .(单选)如图，⊙的半径为，为弦，点为的中点，若，则弦的长为（   ）． A. B. C. D. 7 .(单选)如图，在⊙中，，则的度数是（   ）． A. B. C. D. 8．若扇形AOB的半径为6，∠AOB＝120°，则的长为（　　） A．2π B．3π C．4π D．6π 9. 如图，正五边形内接于，连接，则（ ） A. B. C. D. 10.已知☉O的半径为7,AB是☉O的弦,点P在弦AB上.若PA=4,PB=6,则OP= A. B.4 C. D.5 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11. 如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为________． 12.如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O，若∠A=60°，∠B=75°，则AB=_______. 13. 如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O半径为2，则CD的长为_____ 14. 如图，已知☉O的半径为2，A为☉O外一点.过A作☉O的一条切线AB，切点是B.AO的延长线交☉O于点C，若∠BAC=30°，则劣弧的长为　　　　.  三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5． （1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)； （2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长． 16.如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 4、 (本大题共2小题,每小题8分,满分16分) 17.如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE． （1）求证：CD⊥AB； （2）设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，求AC的长． 18. 已知四边形内接于，对角线是的直径． （1）如图1，连接，若，求证；平分； （2）如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长． 五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分) 19.已知AB为☉O的直径,C为☉O上一点,D为BA的延长线上一点,连接CD. (1)如图1,若CO⊥AB,∠D=30°,OA=1,求AD的长; (2)如图2,若DC与☉O相切,E为OA上一点,且∠ACD=∠ACE,求证:CE⊥AB. 20.如图，圆O中两条互相垂直的弦AB,CD交于点E. (1)M是CD的中点，OM等于3，CD=12，求圆O的半径长； (2)点F在CD上，且CE=EF，求证:AF⊥BD. 六．（本题满分12分） 21. 如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点， 求证：； 若求平分． 七、(本题满分12分) 22.如图，在四边形中，，，不平行于，过点作交的外接圆于点，连接. （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接，求证：平分. 八、(本题满分14分) 23．如图，在中，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且．    (1)求的长； (2)若，求证：为的切线． 1 、【答案】 C 【解析】 不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故选项错误； 是轴对称图形，也是中心对称图形．故选项错误； 不是轴对称图形，是中心对称图形．故选项正确； 是轴对称图形，不是中心对称图形．故选项错误． 2 、【答案】 B 【解析】 、直径是圆中最长的弦，所以选项的说法正确； 、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以选项的说法错误； 、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以选项的说法正确； 、半径相等的两个半圆是等弧，所以选项的说法正确． 故选． 3 、【答案】 A 【解析】 ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴． 故选． 4 、【答案】 B 【解析】 连接， ∵为⊙的直径， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：． 5 、【答案】 D 【解析】 根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短， 知∶当时，为最小值， 连接 根据垂径定理，得∶， 根据勾股定理，得∶， 即的半径为． 故选． 6 、【答案】 D 【解析】 连接、， ∵， ∴， ∵为弦，点为的中点， ∴， 在中，， ∴． 7 、【答案】 C 【解析】 ∵， ∴， ∵四边形为⊙的内接四边形， ∴． 故选． 8.利用弧长计算公式计算即可． 【解答】解：＝，故选：C． 9.【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可． 【详解】∵，∴ 10.【解析】本题考查垂径定理及勾股定理的应用.连接OA,过点O作OC⊥AB于点C,则AC=AB=(PA+PB)=5,OA=7,PC=1.在Rt△AOC中,OC==2,在Rt△POC中,OP==5. 11.【详解】解；如图所示，连接， ∵与相切于点B，∴，∴，∵，∴， ∴， 12.解析：连接OA,OB, 由∠A＝60°，∠B＝75°得：∠C＝45°所以∠BOA＝90°三角形OAB是等腰直角三角形，由OA=OB=1,所以AB= 13.【分析】连接OA，OC，根据∠COA=2∠CBA=90°可求出AC=，然后在Rt△ACD中利用三角函数即可求得CD的长.【详解】解：连接OA，OC， ∵∠COA=2∠CBA=90°，∴在Rt△AOC中，AC=， ∵CD⊥AB，∴在Rt△ACD中，CD=AC·sin∠CAD=，故答案为. 14. 本题考查切线的性质、弧长公式等知识.∵AB是☉O的切线，∴AB⊥OB，∴∠ABO=90°，∵∠A=30°，∴∠BOC=120°，∴的长为. 15.【分析】（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AB、AC有交点，再分别以这两个交点为圆心，以大于这两点距离一半为半径画弧，两弧交于一点，过点A与这点作射线，与圆交于点E ，据此作图即可； （1） 连接OE交BC于点F，连接OC、CE，由AE平分∠BAC，可推导得出OE⊥BC，然后在Rt△OFC中，由勾股定理可求得FC的长，在Rt△EFC中，由勾股定理即可求得CE的长． 【详解】解：（1）如图所示，射线AE就是所求作的角平分线； （2）连接OE交BC于点F，连接OC、CE，∵AE平分∠BAC，∴， ∴OE⊥BC，EF=3，∴OF=5-3=2， 在Rt△OFC中，由勾股定理可得FC==，在Rt△EFC中，由勾股定理可得CE== 16.【答案】（1）详见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得，则可证明，据此可证明． （2）连接，交于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到，即，则可证明，由垂径定理可得点E为的中点，则是的中位线，即可得到．设半圆的半径为r，则．由勾股定理知，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接，交于点E．由题意知， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴点E为的中点， 又∵O是中点， ∴是的中位线， ∴． 设半圆的半径为r，则． 由勾股定理知，， 即， 解得，（舍去）． ∴． 17.【分析】（1）证明∠CEB+∠DCE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝90°，即可得到∠CDE＝90°，由此得出CD⊥AB； （2）求出AB和BC的长，即可求出AC的长． 【解答】（1）证明：∵FA＝FE，∴∠FAE＝∠AEF，∵∠FAE与∠BCE都是所对的圆周角，∴∠FAE＝∠BCE， ∵∠AEF＝∠CEB，∴∠CEB＝∠BCE，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CEB+∠DCE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝90°， ∴∠CDE＝90°，∴CD⊥AB； （2） 解：由（1）知，∠BEC＝∠BCE，∴BE＝BC，∵AF＝EF，FM⊥AB，∴MA＝ME＝2，AE＝4， ∴圆的半径OA＝OB＝AE﹣OE＝3，∴BC＝BE＝OB﹣OE＝2， 在△ABC中，AB＝6，BC＝2，∠ACB＝90°∴． 【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理等，掌握定理并综合运用是解题的关键． 18.（1）利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可．(2)证明四边形平行四边形，后用勾股定理计算即可． 【小问1详解】∵对角线是直径，∴，∴，∴平分． 【小问2详解】∵对角线是的直径，∴，∴ ∵，∴，∴四边形平行四边形， ∴，又∵，∴． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理的推论，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 19.【思路探究】本题考查特殊角的三角函数值、圆的切线的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质.(1)根据tan 30°=即可求出OD,进而求出AD的长;(2)根据切线的性质可得OC⊥CD,根据等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC,由各个角之间的关系进行等量代换即可. (1)∵CO⊥AB,OC=OA=1,∴在Rt△DOC中,tan D=,即OD=OC=,∴AD=OD-OA=-1. (2)∵DC与☉O相切,∴∠DCO=90°,∴∠ACD+∠OCA=90°. 在☉O中,∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC,∴∠ACD+∠OAC=90°. ∵∠ACD=∠ACE,∴∠ACE+∠OAC=90°,∴∠AEC=90°,∴CE⊥AB. 20.（1）连接OC，∵M为弦CD的中点，∴OM⊥CD， ∴半径OC=. （2）连接AC，延长AF交BD于点G， ∵弦AB于弦CD垂直，且CE=EF∴线段AB垂直平分线段CF， ∴AF=AC，∴∠FAE=∠CAE=∠BDC， ∵∠AFE=∠DFG，∴∠BDC+∠DFG=90°，∴AF⊥BD。 21.【分析】利用证明利用为直径，证明结合已知条件可得结论； 利用等腰三角形的性质证明： 再证明 利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明： 从而可得答案． 【详解】证明： 为直径， ． 证明： 为半圆的切线， 平分． 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 试题分析：（1）根据平行四边形的定义来证明；（2）根据角平分线的判定定理证明. 22. 又，∴，∴，∴平分. 23.【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）如图所示，连接，先求出，再由圆周角定理得到，进而求出，再根据弧长公式进行求解即可； （2）如图所示，连接，先由三角形内角和定理得到，则由圆周角定理可得，再由是的直径，得到，进而求出，进一步推出，由此即可证明是的切线． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵是的直径，且， ∴， ∵E为上一点，且， ∴， ∴， ∴的长；    （2）证明：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线．      【点睛】本题主要考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $