精品解析：河北省NT20名校联合体2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题

NT20第一学期高一年级10月联考 数学 考试说明： 1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填在答题卡上. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据表示数集即可得解. 【详解】因为是有理数，是无理数，故AD错误； 因为是自然数，故B正确； 因为不是整数，故C错误. 故选：B 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定求解. 【详解】根据存在量词命题的否定可得， 的否定为， 故选：C 3. 设集合，若且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据且，建立不等式求解即可. 【详解】因为集合，而且 且，解得. 故选：B 4. 已知集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系及集合之间的包含关系逐项分析求解. 【详解】集合，则，故A不正确； ，故B不正确； ，故C正确： ，故D不正确. 故选：C 5. 设已知集合，若，则（ ） A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合相等列出方程求解. 【详解】因为，且， 所以，解得，即. 故选：B 6. 命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题为真命题求出参数的取值范围，根据充分不必要条件判断各选项即可求解. 【详解】若命题“”是真命题， 则，即. 因为命题“”是真命题的一个充分不必要条件 故所求的取值集合是的真子集. 只有选项D符合， 故选：D. 7. 已知，若这个关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解得，解得，由题意有三个整数解，判断出，解出m的范围即可． 【详解】不等式组恰好有3个整数解， 由可得，由可得，则这3个整数为， 所以，即． 故选：A． 8. 若不等式对恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. C. 6 D. -6 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式求得不等式左边的最小值，再由不等式恒成立的条件建立关于的不等式，从而得到实数的最大值. 【详解】因为， 当且仅当，即时取等号， 所以，解得，所以的最大值为6. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，集合，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据集合的交集、并集、补集运算逐项分析即可得解. 【详解】集合， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于CD，，所以， ，故CD正确. 故选：BCD 10. 中国古代有一道题：“今有物，不知其数，三三数之，剩一；五五数之，剩二；七七数之，剩三.问：物几何？”翻译成数学语言就是：已知，，则有，下列选项中符合题意的有（ ） A. 52 B. 73 C. 122 D. 262 【答案】AD 【解析】 【分析】分别将选项中的数代入集合中验证，即可求解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 11. 已知，且均为正数，当取得最大值时，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为6 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基本不等式可得时，取到最大值，进而可求解AB，根据二次函数的性质即可求解CD. 【详解】因为，所以， 因为均为正数，由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，解得，故，的最大值为4， 此时，故B正确； 将代入可得，得，故A错误； ，故D正确，C错误. 故选：BD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如果，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 两式相加得. 故答案为： 13. 已知命题恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值即可得解. 【详解】由题意可知，， 因为，当且仅当时取等号， 所以，即. 故答案为： 14. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，若，则的所有可能取值构成集合，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据新定义可得或，分别讨论两种情况求的值，得出集合即可. 【详解】由，故， 因为，即，所以或. 方程可化为， ①当时，方程只有实数根0，所以且无解，即，得； ②当时，，方程， 则有，由于0不是方程的实数根， (i)若是方程的实数根，则， 若，则方程的根为和，满足条件； 若，则方程的根为和，满足条件. (ii)若不是方程的实数根， 则方程有2个相等的实数根， 即，得， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件 所以. 故答案为：5 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，且. （1）求实数的值； （2）写出集合的所有子集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据元素与集合的关系列方程求解； （2）根据集合子集的定义求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可得， 故集合的所有子集为. 16 已知集合，非空集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的补集、并集运算求解； （2）由集合的包含关系列出不等式组求解. 【小问1详解】 若，则集合， 所以或， 又，故 【小问2详解】 因为，且， 所以， 解得，即实数的取值范围为. 17. （1）已知正数满足，求的最大值； （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式求解； （2）根据待定系数法求出，再由不等式性质求解. 【详解】（1）由正数满足， 因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即，所以，即的最大值为. （2）令，即， 所以，解得， 所以， 因为，可得， 所以，所以 18. 某学校计划建造一个长方体形状的体育器材室，器材室的高度为3米，宽度为米，，地面面积为144平方米.建筑公司给出两种报价方案： 方案一：器材室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为元； 方案二：整体报价为元，. （1）当宽度为10米时，方案二的报价为37800元，求的值； （2）求方案一中总报价（单位：元）与器材室宽度（单位：米）之间的函数关系式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】（1）15 （2）；38400 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，代入即可求解， （2）利用基本不等式即可求解， （3）根据题意列出不等式，分离参数，进而结合换元法以及函数的单调性，即可得解. 【小问1详解】 宽度为10米时，方案二的报价为37800元， 即，所以的值为15. 【小问2详解】 底面长为，所以墙面面积为， ， ，当且仅当，即时等号成立， 所以方案一中报价的最小值为38400元. 【小问3详解】 对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为， 设，则， 由于对勾函数在单调递增， 故当时，取最小值，所以， 又，所以， 所以若对任意的时，方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 19. 对于正数满足时，则称有序数对是的“下位序列”. （1）判断有序数对是否是的“下位序列”； （2）设均为正数，且是的“下位序列”，试比较的大小； （3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值. 【答案】（1）是 （2） （3）3345 【解析】 【分析】（1）根据所给定义，代入数据，即可得答案. （2）由题意，可得，利用作差法，分别比较各式大小，即可得答案. （3）由题意可得，进而可得，化简整理，根据均为正整数，可得n的最小值，验证即可得答案. 小问1详解】 因为，所以是的“下位序列”. 【小问2详解】 因为是的“下位序列”，所以， 因为均为正数， 所以，即， 同理，即， 综上所述： 【小问3详解】 由已知得， 因为均为正整数，故， 所以， 即， 因为该式对集合内的每一个整数都成立， 所以，所以. 下证时满足题意， 为了，只需，即， 取，由可得，即. 由可得，即， 故存在正整数满足题意. 综上，正整数的最小值为3345. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ NT20第一学期高一年级10月联考 数学 考试说明： 1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填在答题卡上. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 设集合，若且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，则下列说法正确的是（ ） A B. C D. 5. 设已知集合，若，则（ ） A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 6. 命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若这个关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式对恒成立，则实数的最大值为（ ） A B. C. 6 D. -6 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，集合，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 中国古代有一道题：“今有物，不知其数，三三数之，剩一；五五数之，剩二；七七数之，剩三.问：物几何？”翻译成数学语言就是：已知，，则有，下列选项中符合题意的有（ ） A. 52 B. 73 C. 122 D. 262 11. 已知，且均为正数，当取得最大值时，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为6 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如果，则的取值范围是__________. 13. 已知命题恒成立，则实数的取值范围为__________. 14. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，若，则的所有可能取值构成集合，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，且. （1）求实数的值； （2）写出集合的所有子集. 16. 已知集合，非空集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. （1）已知正数满足，求的最大值； （2）已知，求取值范围. 18. 某学校计划建造一个长方体形状体育器材室，器材室的高度为3米，宽度为米，，地面面积为144平方米.建筑公司给出两种报价方案： 方案一：器材室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为元； 方案二：整体报价为元，. （1）当宽度为10米时，方案二的报价为37800元，求的值； （2）求方案一中总报价（单位：元）与器材室宽度（单位：米）之间的函数关系式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 19. 对于正数满足时，则称有序数对是的“下位序列”. （1）判断有序数对是否是的“下位序列”； （2）设均为正数，且是的“下位序列”，试比较的大小； （3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $