精品解析：陕西省咸阳市实验中学2025--2026学年上学期九年级数学第一次质量检测试卷

试卷类型：A 咸阳市实验中学2025—2026学年度第一学期第一次质量检测九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 如图，矩形的对角线与交于点，点、分别是、的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球的个数是（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 20 5. 如图，在中，对角线和相交于点，添加下列条件不能判定四边形是菱形的是（ ） A. B. C. 平分 D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 7. 如图，在正方形中，点在对角线上，连接并延长交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 新定义：关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．如方程是“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”．则代数式的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为______． 10. 如图，在正方形中，连接，若正方形的面积为4，则对角线的长为______． 11. 古印度数学家所著的《算法本原》一本中记载了一个有趣的猴群问题：一群猴子在树林中玩耍，总数的八分之一的平方只猴子在欢乐地蹦跳；还有12只猴子在啼叫，设这群猴子共有x只，根据题意，可列方程为______． 12. 物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，表示电路的开关（同时闭合开关与或与，小灯泡发光），L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，小灯泡L发光的概率是______． 13. 如图，菱形在平面直角坐标系中，，点的坐标为，点是对角线上一点，，，则点的坐标为______． 14. 如图，在矩形中，，，点E是延长线上的动点，连接，交的延长线于点F，连接，则的最大值为_____． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 用因式分解法解方程：． 16. 解方程：． 17. 如图，菱形的对角线、交于点．若，，求的长． 18. 如图，已知，，，请用尺规作图法在内作正方形，使得点、、分别在、、边上．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在四边形中，与交于点，，，，求证：四边形是矩形． 20. 陕西波浪谷景区是级景区，是摄影爱好者的天堂．如图是该景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． A B C D （1）甲停放在C位置的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 21. 某养殖场准备靠着如图所示的直角墙角（两堵墙足够长），用长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场（篱笆只围两边），并在两边上各开一个宽的门（图中虚线部分，门不用篱笆围），若． （1）用含的代数式表示______； （2）养殖场的面积能否为？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 22. 名著赏析课上，张老师要求每位同学讲述一个关于西游记的小故事，因此制作了一个可以自由转动的转盘，将其分成四个完全相同的扇形，把西游记中的部分人物名称（师父：唐僧，徒弟：孙悟空、猪八戒、沙悟净）分别写在每个扇形区域内（如图所示）．每位同学转动一次转盘，转盘停止后，指针所指区域内的人物即为所要讲述小故事的主角（若指针指向两个扇形的分界线，则不计次数，重新转动，直到指针指向一个扇形区域为止）． （1）求该班同学小明讲述的小故事的主角是徒弟的概率； （2）请你用列表或画树状图的方法，求该班同学小美和小丽所讲述的小故事的两个主角是师徒关系的概率． 23. 如图，正方形是校园的一块空地，为了给学生提供实践活动的场地，学校准备将空地中的四边形（在上，在上，点、不与端点重合）区域作为实践活动区，在点处设置出入口，要求，再沿铺设一条小路将实践活动区（即四边形）划分为和两种不同的活动场地，王老师说小路的长等于与的长度之和（即），请你判断他的说法是否正确，并说明理由． 24. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，垂足为，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求四边形的周长． 25. 2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力，某商场以30元/件的进价购进一批坦克模型，并以50元/件的售价进行销售，第一周销售50件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到72件． （1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元？ 26. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点是对角线延长线上一点，连接，过点在左侧作，且，连接，判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图2，矩形是某公园的一块空地，是一条小路，现对该空地进行扩建并规划，点是延长线上一点，沿铺设地下水管，交于点，在的中点处修建一个凉亭，并将区域打造成向日葵观赏区，在区域种植草皮．根据规划要求，是等腰直角三角形，，且的面积为，．求种植草皮区域的面积（即的面积）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 咸阳市实验中学2025—2026学年度第一学期第一次质量检测九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用直接开平方法求一元二次方程的解，熟练掌握用直接开平方法求一元二次方程的解是关键．用直接开平方法求两个解即可． 【详解】解：， ， ，． 故选：C． 2. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴， 故选：A． 3. 如图，矩形的对角线与交于点，点、分别是、的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与三角形中位线定理，熟练掌握矩形的对角线相等是解题的关键．先根据三角形中位线定理求出的长，再利用矩形对角线相等的性质求出的长． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线． ∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． 故选：D． 4. 一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球的个数是（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式．由摸到红球的频率稳定在0.2附近，可得摸到红球的概率为0.2，设口袋中有x个白球，根据概率公式列方程即可． 【详解】解：设口袋中有x个白球， 则， 解得， 故选C． 5. 如图，在中，对角线和相交于点，添加下列条件不能判定四边形是菱形的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法逐一进行分析即可． 【详解】A. 若添加，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断四边形ABCD为菱形，故不符合题意； B.若添加，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断四边形ABCD是菱形，故不符合题意； C.若添加平分，则有∠DAC=∠BAC， ∵平行四边形ABCD中，AD//CB， ∴∠DAC=∠BCA， ∴∠BCA =∠BAC， ∴AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形，故不符合题意； D. 若添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判断四边形ABCD是矩形，故符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，熟练掌握相关的判定定理是解题的关键． 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式列不等式，求得，再根据二次项系数，即得答案． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 又二次项系数， 的取值范围是且． 故选：C． 7. 如图，在正方形中，点在对角线上，连接并延长交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，由正方形的性质可推出的度数，再证明得到的度数，进而求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 新定义：关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．如方程是“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”．则代数式的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程以及分式的求值，能够正确解出一元二次方程是解题关键． 先解出一元二次方程，然后通过“倍根方程”的定义进行分类讨论即可． 【详解】解：， 解得：， ∵方程是“倍根方程”， ∴当时，， 此时； 当时，， 此时， 综上所述，代数式的值为或． 故选：C 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程中未知数最高次数为是解题的关键．根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为，由此确定的值． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴ 未知数的最高次数为，即， ∴ ． 故答案为：． 10. 如图，在正方形中，连接，若正方形的面积为4，则对角线的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与勾股定理，熟练掌握正方形的性质以及勾股定理是解题的关键．先根据正方形面积求出边长，再利用勾股定理求出对角线长度． 【详解】解：∵ 正方形的面积为4， ∴ 正方形的边长． ∵ 四边形是正方形， ∴ ． 在中，由勾股定理可得： ． 故答案为：． 11. 古印度数学家所著的《算法本原》一本中记载了一个有趣的猴群问题：一群猴子在树林中玩耍，总数的八分之一的平方只猴子在欢乐地蹦跳；还有12只猴子在啼叫，设这群猴子共有x只，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出方程，理解题意找到等量关系成为解题的关键． 利用猴子总数为欢乐地蹦跳和在啼叫的猴子数之和，据此得出关于x的方程即可． 【详解】解：设这群猴子的总数是x只，则在欢乐地蹦跳是只， 由题意可得：，即． 故答案为：． 12. 物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，表示电路的开关（同时闭合开关与或与，小灯泡发光），L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，小灯泡L发光的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键．先列出随机闭合两个开关的所有可能情况，再找出能让小灯泡发光的情况，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：随机闭合两个开关，所有可能的情况有：、、、、、，共种．同时闭合开关与或与，小灯泡发光，能让小灯泡发光的情况有、，共种． ∴小灯泡发光的概率是． 故答案为：． 13. 如图，菱形在平面直角坐标系中，，点的坐标为，点是对角线上一点，，，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】考查菱形的性质、勾股定理，解题关键是利用菱形性质得出边的关系，结合勾股定理求出点的坐标，再根据线段长度关系确定点的坐标先利用菱形性质及勾股定理求出点坐标，再得出长度，结合求出长度，进而确定点坐标． 【详解】解：∵ 四边形是菱形，， ∴ ． ∵ ，在轴上， ∴ 平行于轴，点的纵坐标与点的纵坐标相同． 设点的坐标为，点的坐标为， 由勾股定理可得， 解得或, ∵点在轴正半轴， ∴， ∴ 点的坐标为． ∵点的坐标为，平行于轴， ∴ 点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，点E是延长线上的动点，连接，交的延长线于点F，连接，则的最大值为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形的三边关系以及勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．设的中点为，连接，，先求出，，再根据三角形的三边关系求出的最大值． 【详解】解：设的中点为，连接，． ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵，的中点为， ∴， 在中，． ∴， ∴当，，三点共线时，取得最大值． 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 用因式分解法解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法以及“若，则或”这一性质是解题的关键．在解题过程中，要先将方程化为一般形式，再通过因式分解将其转化为两个因式乘积等于0的形式，进而求解方程． 本题可通过移项，将方程右边化为0，然后对左边进行因式分解，再根据“若几个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”来求解方程． 【详解】解：， ， ， ∴ 或 ， 解得，． 16. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，具体是求根公式法的运用．熟练掌握一元二次方程求根公式以及判别式与根的关系是解题的关键，要先根据方程确定系数、、的值，再计算判别式，最后代入求根公式求解．对于一元二次方程，可使用一元二次方程的求根公式来求解，其中、、是一元二次方程（）的系数，先计算出判别式的值，再代入求根公式得出方程的解． 【详解】解：方程中，，，． ， ， ∴，． 17. 如图，菱形的对角线、交于点．若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解题的关键．利用菱形对角线互相垂直且平分的性质，结合勾股定理求出对角线一半的长度，进而得到的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵， ∴． 在中，，， ∴． ∴． 18. 如图，已知，，，请用尺规作图法在内作正方形，使得点、、分别在、、边上．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，作的角平分线交于E，作线段的垂直平分线分别交于D、F，连接，可证明，则都是等腰直角三角形，则可证明得到，则四边形即为正方形． 【详解】略 19. 如图，在四边形中，与交于点，，，，求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵ ， ∴ ． 在和中， ， ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ 四边形是平行四边形． ∵ ， ∴ 平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 先通过证明三角形全等得到线段相等，进而得出四边形是平行四边形，再结合一个角是直角的平行四边形是矩形来证明． 【详解】略 20. 陕西波浪谷景区是级景区，是摄影爱好者的天堂．如图是该景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． A B C D （1）甲停放在C位置的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 【答案】（1） （2）甲、乙两车停放在相邻车位的概率为 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）用画树状图法得出所有等可能的结果数以及甲和乙两车恰好都停放在相邻车位的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵一个有4个空闲的停车位，且每个停车位被选择的概率相同， ∴甲停放在位置的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下所示： 由树状图可以得所有等可能的情况共有12种，其中甲、乙两车停放在相邻车位的有6种， ∴甲、乙两车停放在相邻车位的概率为． 21. 某养殖场准备靠着如图所示的直角墙角（两堵墙足够长），用长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场（篱笆只围两边），并在两边上各开一个宽的门（图中虚线部分，门不用篱笆围），若． （1）用含的代数式表示______； （2）养殖场的面积能否为？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）当的长为或时，养殖场的面积能为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，据此篱笆的长度列式求解即可； （2）根据矩形面积公式建立方程求出养殖场的面积为时，x的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：若养殖场的面积能为，则， 整理得， 解得或， 答：当的长为或时，养殖场的面积能为． 22. 名著赏析课上，张老师要求每位同学讲述一个关于西游记的小故事，因此制作了一个可以自由转动的转盘，将其分成四个完全相同的扇形，把西游记中的部分人物名称（师父：唐僧，徒弟：孙悟空、猪八戒、沙悟净）分别写在每个扇形区域内（如图所示）．每位同学转动一次转盘，转盘停止后，指针所指区域内的人物即为所要讲述小故事的主角（若指针指向两个扇形的分界线，则不计次数，重新转动，直到指针指向一个扇形区域为止）． （1）求该班同学小明讲述的小故事的主角是徒弟的概率； （2）请你用列表或画树状图的方法，求该班同学小美和小丽所讲述的小故事的两个主角是师徒关系的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式以及列表法求概率是解题的关键． （1）先确定总情况数和主角是徒弟的情况数，再根据概率公式计算． （2）通过列表法列出所有可能的结果，再找出两个主角是师徒关系的结果数，最后用概率公式计算． 【小问1详解】 解：∵ 转盘被分成四个完全相同的扇形，分别写有唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净，其中徒弟有孙悟空、猪八戒、沙悟净，共种情况， ∴ （主角是徒弟）； 【小问2详解】 解：设唐僧为，孙悟空为，猪八戒为，沙悟净为，列表如下： 小美 \ 小丽 共有种等可能的结果，其中两个主角是师徒关系的有、、、、、，共种结果， ∴ （两个主角是师徒关系）． 23. 如图，正方形是校园的一块空地，为了给学生提供实践活动的场地，学校准备将空地中的四边形（在上，在上，点、不与端点重合）区域作为实践活动区，在点处设置出入口，要求，再沿铺设一条小路将实践活动区（即四边形）划分为和两种不同的活动场地，王老师说小路的长等于与的长度之和（即），请你判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】 解：王老师的说法正确，理由如下： 如图所示，延长到H，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，延长到H，使得，连接，可证明，得到；证明，则可证明，得到，根据，即可证明． 【详解】略 24. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，垂足为，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：∵是的垂直平分线， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵是的垂直平分线， ∴． ∴平行四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】（1）先证明三角形全等得到，结合平行关系证得四边形是平行四边形，再根据垂直平分线性质证得邻边相等，从而证明是菱形． （2）利用直角三角形斜边中线性质求出，再用勾股定理求出，设菱形边长为，根据勾股定理列方程求解，进而求出周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中，，是中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴在中，由勾股定理可得． ∵线段的垂直平分线交于点， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，可得 ， 解得． ∴菱形的周长为． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的判定方法和勾股定理是解题的关键． 25. 2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力，某商场以30元/件的进价购进一批坦克模型，并以50元/件的售价进行销售，第一周销售50件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到72件． （1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元？ 【答案】（1） （2） 7元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x，根据第一周的销量为50件和第三周的销量为72件建立方程求解即可； （2）设当该坦克模型每件降价m元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元，则每件的利润为元，销量为件，再根据总利润等于每一件的利润乘以销量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当该坦克模型每件降价m元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：当该坦克模型每件降价7元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点是对角线延长线上一点，连接，过点在左侧作，且，连接，判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图2，矩形是某公园的一块空地，是一条小路，现对该空地进行扩建并规划，点是延长线上一点，沿铺设地下水管，交于点，在的中点处修建一个凉亭，并将区域打造成向日葵观赏区，在区域种植草皮．根据规划要求，是等腰直角三角形，，且的面积为，．求种植草皮区域的面积（即的面积）． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）以为直径画圆，过点作，交于点，连接，利用矩形的性质和直角得出，点都在同圆上，证明，得出，得出等腰直角三角形，设，表示出相关线段的长度，利用面积和勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； （2）如图，以为直径画圆，过点作，交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴点都在同圆上， ∵， ∴， ∵，且点是的中点，， ∴，是的中位线， ∴， 又∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，，， 由的面积为得，， ∴， 解得，（负值已舍） ∴，， ∴， ∴种植草皮区域的面积为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，共圆问题，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质定理，利用一元二次方程解决几何问题等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $