精品解析：四川省广安加德学校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷（B卷）

广安加德学校2024—2025学年度上期高2024级第一次月考数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，然后根据并集的定义可求得结果. 【详解】由，得， 因为， 所以， 故选：B 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定形式，直接判断选项. 【详解】根据存在量词命题的否定形式是全称量词命题，可知，“”的否定是“”. 故选：C 3. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】确定阴影部分为，再结合交集补集运算即可求解. 【详解】阴影部分为：， ，所以. 故选：C. 4. 已知集合，若，则实数A的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合数轴上的位置关系即可求解. 【详解】解：∵ ， 又∵ 根据题意做出图形，如图， ∴ 故选：B. 5. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 6. 若，则有（     ） A. 最小值7 B. 最小值3 C. 最大值7 D. 最大值3 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取最小值，最小值为， 故选：A 7. 已知，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义就能行判断即可. 【详解】当“x＋y≤1”时，如x＝－4，y＝1，满足x＋y≤1，但不满足且， 当且时，根据不等式的性质有“x＋y≤1”， 故“x＋y≤1”是“且”的必要不充分条件． 故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，属基础题. 8. 已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是（ ） A. 11 B. 12 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，即可求解. 【详解】当中有元素时，， 当中有元素时，， 所以， 所以集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合， 故满足题意的集合有，共11个. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例可得A错误；由不等式的性质可得B正确；作差后由题意可得C、D正确； 【详解】对于A，设，则，故A错误； 对于B，由不等式的性质可得，若，则，故B正确； 对于C，， 因为且，所以，所以，且， 所以，所以，故C正确； 对于D，，因为，所以， 又，所以，故D正确； 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 的一个必要条件是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合， 则满足条件的集合N的个数为4 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，举例时不成立，进而由充分条件和必要条件的定义得不是的充分条件，也不是的必要条件；对于B，按和两种情况去探究方程的解即可；对于C，先由一元二次方程有一正一负根得，该不等式组的解即为方程有一正一负根的充要条件；对于D，先由得，再由结合子集个数公式即可得解. 【详解】对于A，当时，满足，但不成立， 所以不是的充分条件，不是的必要条件，故A错误； 对于B，当时，方程的解为， 此时集合中只有一个元素，满足题意， 当时，为一元二次方程， 则由集合中只有一个元素得，故， 所以符合题意的有两个，或，故B错误； 对于C，一元二次方程有一正一负根， 则， 所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故C正确； 对于D，因为，所以， 又，故集合N的个数为个，故D正确. 故选：CD. 11. 已知为正实数，，则（    ） A. 的最大值为 B. 的最小值 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】运用可判断A项；由结合基本不等式可判断B项；运用可判断C项；由，结合二次函数在区间上的最小值可判断D. 【详解】，当且仅当时取“=”，故A正确； ，当且仅当时取“=”，故B正确； 由，当且仅当时取“=”，故C正确； ， 当且仅当时取“=”，故D错误； 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用列举法表示集合为________． 【答案】## 【解析】 【分析】直接根据集合的表示法写出即可. 【详解】， 故用列举法表示集合. 故答案为:. 13. 命题“，方程有解”为假命题，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】命题为假命题，等价于一元二次方程没有实数根，判别式，可解实数a的取值范围. 【详解】命题“，方程有解”为假命题，∴一元二次方程没有实数根，判别式，解得，实数a的取值范围为. 故答案为： 14. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是___________. ①，是一个戴德金分割； ②没有最大元素，有一个最小元素； ③有一个最大元素，有一个最小元素； ④没有最大元素，没有最小元素； 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据题意举出实例依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项①，因为，，，故①错误； 对选项②，设，，满足戴德金分割，则中没有最大元素，有一个最小元素，故②正确； 对选项③，若有一个最大元素，有一个最小元素，则不能同时满足，，故③错误； 对选项④，设，，满足戴德金分割，此时没有最大元素，也没有最小元素，故④正确. 故答案为：②④. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，记全集． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据交集与补集的运算求解即可； （2）分与求解即可. 【小问1详解】 （1）∵， ∴或. 当时，， ∴. 【小问2详解】 当时，，符合题意； 当时，，则，此时． 综上，实数的取值范围为． 16. （1）已知，求的取值范围； （2）若正数x，y满足，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由不等式性质计算即可； （2）由乘“1”法结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由可得，故； （2）由可得， 则. 当且仅当，即，又，即，时取等号. 17. （1）是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． （2）若是的充分条件，求m的取值范围 （3）若=，求m的取值范围 【答案】（1）不存在，理由见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）假设存在，则，列出方程组，解之即可； （2）由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解； （3）分类讨论当、时解的情况，即可求解. 【小问1详解】 若存在m的值满足是的充要条件，则， 得，解得，无解， 故不存在这样的m符合题意； 【小问2详解】 若是的充分条件，则， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为； 【小问3详解】 若， 当时，，解得； 当即即时， 或，所以， 综上，或，即实数m的取值范围为； 18. 目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测COD传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助．该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为，其中v为传感器在静水中行进的速度（单位：km/h），t为行进的时间（单位：h），k为常数，如果待测量的河道的水流速度为3 km/h．设该传感器在水中逆流行进10 km消耗的能量为E． （1）请写出逆流行进时间t的表达式（用表示）； （2）若表示E关于v的函数，请写出； （3）当为多少时传感器消耗的能量最小？并求出的最小值. 【答案】（1） （2） （3），最小值． 【解析】 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度得解； （2）根据所给能耗模型代入时间求解即可； （3）利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 由题意，该传感器在水中逆流行进10 km所用的时间. 【小问2详解】 所消耗的能量． 【小问3详解】 有 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时取得最小值． 19. 已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合A具有性质Mk. （1）集合具有性质，求的最小值； （2）若A具有性质，即，且，求证：； （3）已知A具有性质，求集合A中元素个数的最大值，并说明理由. 【答案】（1）6 （2）证明见解析 （3）7，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由性质定义列不等式组求参数范围，结合即可得最小值. （2）根据定义，进而有，应用累加法即可证结论. （3）首先应用放缩有求得，同理可得恒成立，假设得出矛盾，再讨论并应用基本不等式证恒成立，即可确定元素个数最大值. 【小问1详解】 由性质定义知：，即，解得，而， 所以的最小值为6. 【小问2详解】 依题意，，且， 则，即， 所以，得证. 【小问3详解】 由（2）知：，则，解得， 由（2）同理得且，则， 又，于是，则在上恒成立， 而当，取，则，因此， 当时，则，解得，则， 所以集合中元素个数的最大值为7. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安加德学校2024—2025学年度上期高2024级第一次月考数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知集合，若，则实数A的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则有（     ） A. 最小值7 B. 最小值3 C. 最大值7 D. 最大值3 7. 已知，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是（ ） A. 11 B. 12 C. 15 D. 16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 的一个必要条件是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合， 则满足条件的集合N的个数为4 11. 已知为正实数，，则（    ） A. 的最大值为 B. 的最小值 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用列举法表示集合为________． 13. 命题“，方程有解”为假命题，则实数a的取值范围为________． 14. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是___________. ①，是一个戴德金分割； ②没有最大元素，有一个最小元素； ③有一个最大元素，有一个最小元素； ④没有最大元素，没有最小元素； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，记全集． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. （1）已知，求的取值范围； （2）若正数x，y满足，求的最小值. 17. （1）是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． （2）若是的充分条件，求m的取值范围 （3）若=，求m的取值范围 18. 目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测COD传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助．该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为，其中v为传感器在静水中行进的速度（单位：km/h），t为行进的时间（单位：h），k为常数，如果待测量的河道的水流速度为3 km/h．设该传感器在水中逆流行进10 km消耗的能量为E． （1）请写出逆流行进时间t的表达式（用表示）； （2）若表示E关于v的函数，请写出； （3）当为多少时传感器消耗的能量最小？并求出的最小值. 19. 已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合A具有性质Mk. （1）集合具有性质，求的最小值； （2）若A具有性质，即，且，求证：； （3）已知A具有性质，求集合A中元素个数的最大值，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $