精品解析：广东省广州市玉岩中学2025-2026学年高二上学期阶段性教学质量检测（10月）数学试题

2025－2026学年第一学期阶段性教学质量检测 （10月）高二数学 一、单选题 1. 如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知平行四边形且，沿对角线将折起，当二面角为时，则与之间距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平面平面，是正三角形，四边形是正方形，点是平面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹是（ ） A. B. C. D. 7. 在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，分别是底面与侧面的中心，为该正方体表面上的一个动点，且满足，记点的轨迹所在的平面为，则过四点的球面被平面截得的圆的周长是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下面四个结论中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量的夹角是钝角 C. 若对空间中任一点O，有则四点共面 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10. 如图，正方体的棱长为2，点E在线段上运动，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 若E为线段的中点，则点E到直线的距离为 D. 存在某个点E，使直线与平面所成角为 11. 在直三棱柱中，，且为线段BC（不含端点）上的动点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 异面直线与所成角的取值范围为 C. 的最小值为 D. 当是BC的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为 三、填空题 12. 一条直线经过，并且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为__________． 13. 如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为_______． 14. 如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是______． 四、解答题 15. 已知空间中三点，，，设，. （1）若，且，求向量； （2）已知向量与互相垂直，求的值； （3）若点在平面上，求的值. 16. 已知直线l过点，与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． （1）若的面积为，求直线l的方程； （2）求的面积的最小值． 17. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． （1）求A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 18. 如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在平面上的投影为的中点D，且. （1）求点到直线的距离； （2）求点C到侧面的距离； （3）在线段上是否存在点E，使得直线与侧面所成角的正弦值为?若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 19. 如图，在三棱台中，点D，E分别为，的中点，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）点M在侧面内，且平面，当线段最短时，求平面与平面所成的二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期阶段性教学质量检测 （10月）高二数学 一、单选题 1. 如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量加减运算与数乘运算的几何表示即可得解. 【详解】根据题意， . 故选：A 2. 已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量基本定理设向量在基底下的坐标为，根据题意结合空间向量相等的条件建立方程组，解方程组可得答案． 【详解】设向量在基底下的坐标为，则， 整理得， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为． 故选：B 3. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据和进行分类讨论，结合余弦函数的值域计算出的范围，则倾斜角的取值范围可知. 【详解】当时，此时直线方程，垂直于轴，所以倾斜角； 当时，此时直线的斜率， 因为，所以， 结合正切函数的图象可知， 综上所述，倾斜角的取值范围是， 故选：C. 4. 一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出关于的对称点，然后根据两点式求解直线方程即可； 【详解】设关于的对称点为， 则有， 解得：，即， 反射光线所在直线为， 整理得： 故选：B． 5. 如图，已知平行四边形且，沿对角线将折起，当二面角为时，则与之间距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式计算模长即可. 【详解】已知平行四边形，，且， ，， 二面角为，， ， ， ， 则，即与之间距离为. 故选：D． 6. 如图，平面平面，是正三角形，四边形是正方形，点是平面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取中点，中点，连接，，由题证明平面，建立空间直角坐标系，取，求出相关点的坐标，设，利用长度相等推得动点的轨迹方程即可逐一判断． 【详解】 如图，取中点，中点，连接，， 因平面平面，由可得， 因平面平面， 平面，故平面，易得， 故可以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系， 不妨取，则，则，． 由点在平面内，可设，因为， 所以，化简得：， 故点的轨迹是一条直线，排除C，D．又点不在直线上，故排除B，而点在直线上，故A正确． 故选：A. 7. 在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记的重心为，点是的中点，点是的中点，进而求得，利用空间向量加减、数乘的几何意义，将化为，数形结合求最小值. 【详解】记的重心为，点是的中点，点是的中点， 在正三棱锥中，所以， 平面，又平面，所以，则. 又， 所以 ， 所以当与重合时，取最小值0， 此时有最小值. 故选：C 8. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，分别是底面与侧面的中心，为该正方体表面上的一个动点，且满足，记点的轨迹所在的平面为，则过四点的球面被平面截得的圆的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，找到球心O和点的轨迹，求出到平面的距离，利用几何法求截面圆的半径和周长. 【详解】取面对角线中点，连接，，，，分别在上，且， 以为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ，，，，， ，，，， 三棱锥中， 为直角三角形，所以， 因此点即为三棱锥的外接球球心，球半径长为， ，，，，，共面， ，，， ， 平面，，平面，平面， 点的轨迹为矩形的四边，如图所示， ，为平面的法向量， 则球心到平面的距离为， 球面被平面截得的圆的半径，圆的周长为. 故选：B 【点睛】本题找球心O考查学生的空间想象能力，其余的计算和证明问题，则利用空间向量法. 二、多选题 9. 下面四个结论中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量的夹角是钝角 C. 若对空间中任一点O，有则四点共面 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【解析】 【分析】易求得对称点可判断A；当反向时可判断B；由，可得四点共面判断C；设，可得，进而可得共面，判断D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A正确； 对于B，当反向时，，此时向量的夹角为，不是钝角，B错误； 对于C，由于对空间中任一点，有，而，故四点共面，C正确； D选项，设，即，故， 解得，故共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：AC. 10. 如图，正方体的棱长为2，点E在线段上运动，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 若E为线段的中点，则点E到直线的距离为 D. 存在某个点E，使直线与平面所成角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正方体的性质，结合三棱锥体积公式、线线垂直判定、点到直线距离公式，线面角的定义来逐一分析选项. 【详解】对于A,,所以A正确. 对于B,连接，如图： 在正方体中，， 所以平面，又因为平面， 所以，所以B正确. 对于C,当E为线段的中点，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 即 所以点E到直线的距离， 所以C正确. 对于D,由上面空间直角坐标系可知，， 所以平面的法向量，设， 则，设直线与平面所成角为，则 ， 若直线与平面所成角为， 则， 又，所以方程无解，D错误. 故选：ABC. 11. 在直三棱柱中，，且为线段BC（不含端点）上的动点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 异面直线与所成角的取值范围为 C. 的最小值为 D. 当是BC的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出相应向量的坐标表示，得出选项A正确，根据向量夹角余弦公式，求出异面直线所成角的取值范围判断B；将空间线段长转化为平面线段长求最值，得出C错误；求利用向量法求出圆心到平面的距离，利用垂径定理得出截面圆的半径，求出所截的圆的面积,得出D正确. 【详解】以为原点，,,所在直线方向分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 设，故，，，， 对于A选项：，，， 故，故A正确； 对于B选项：，， 故， 因为，， 故异面直线与所成角的取值范围为，故B正确. 对于C选项：，， ， 可将其看成分别到点，的距离和， 当且仅当三点共线时，此时距离最小，故C错误； 对于D选项：当M为中点时，则，外接球圆心为且 半径为， 设球心到平面的距离为 设平面的法向量为，， 则，令，则； 又，则， 由截面圆半径， 故截面圆面积为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 一条直线经过，并且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的倾斜角，从而可求得直线的倾斜角，则可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程 【详解】因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为， 所以直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为， 因为直线经过， 所以直线的方程为，即， 故答案为： 13. 如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线与所成的角的余弦值. 【详解】以D为原点建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 则, 则异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 14. 如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是______． 【答案】 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，求得，取线段的中点，可知点的轨迹为线段，求出点关于直线的对称点的坐标，由此可求得结果. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点， ，， 因为，则，即，即点， 由题意可得，则， 取点，则点的轨迹为线段，设点关于直线的对称点为点， 则线段的中点在直线上，所以，，可得，① ，，②， 联立①②可得，，则点，由对称性可知， 所以，点到底面的距离与它到点的距离之和的最小值， 即为点到平面的距离，即为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键是建立合适的空间直角坐标系，再计算得到点的轨迹，最后利用对称的知识得到最值. 四、解答题 15. 已知空间中三点，，，设，. （1）若，且，求向量； （2）已知向量与互相垂直，求的值； （3）若点在平面上，求的值. 【答案】（1）或；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）由，得存在实数，使得，由向量模的运算求得得向量； （2）由垂直的数量积运算计算； （3）由空间向量共面定理求解，即存在，使得，然后求得值． 【详解】解：（1），因为，所以存在实数，使得. 又，所以，解得. 所以或. （2）由已知，， 因为与互相垂直，故即， 故即. （3）因为点在平面上，故存在，使得， 又，所以，解得. 故. 16. 已知直线l过点，与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． （1）若的面积为，求直线l的方程； （2）求的面积的最小值． 【答案】（1）或 （2）4 【解析】 【分析】（1）设直线方程为，根据所过的点及面积可得关于的方程组，求出解后可得直线方程，我们也可以设直线，利用面积求出后可得直线方程. （2）结合（1）中直线方程的形式利用基本不等式可求面积的最小值. 【小问1详解】 法一：（1）设直线，则 解得或，所以直线或． 法二：设直线，，则，． 则，∴或﹣8 所以直线或． 【小问2详解】 法一：∵，∴，∴，此时，． ∴面积的最小值为4，此时直线． 法二：∵， ∴， 此时，∴面积的最小值为4，此时直线． 17. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． （1）求A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等体积法运算即可得解； （2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. 【小问1详解】 在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h， 则， 解得， 所以点A到平面的距离为； 【小问2详解】 取的中点E,连接AE,如图，因为，所以, 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 在直三棱柱中，平面， 由平面，平面可得，， 又平面且相交，所以平面， 所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由（1）得，所以，，所以， 则,所以的中点， 则，, 设平面的一个法向量，则， 可取， 设平面的一个法向量，则， 可取， 则， 所以二面角的正弦值为. 18. 如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在平面上的投影为的中点D，且. （1）求点到直线的距离； （2）求点C到侧面的距离； （3）在线段上是否存在点E，使得直线与侧面所成角的正弦值为?若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意，以点为坐标原点，直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用向量法求点到直线的距离； （2）求出的坐标与平面的一个法向量，利用点到平面的距离公式即可得解； （3）假设存在满足条件的点，且，从而得到，再利用空间向量线面夹角公式得到关于的方程，进而求得，由此即可求出的长. 【小问1详解】 因为点在底面上的投影为的中点，所以平面， 又平面，故， 因为是以为斜边的等腰直角三角形，点为的中点，故， 所以两两垂直，故以点为坐标原点，直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图， 因为是以为斜边的等腰直角三角形，，则，， 因为侧面为菱形，所以，又，所以， 则，，，，，， ，， 所以点到直线的距离为. 【小问2详解】 ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，， 故， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 假设存在满足条件的点， 则存在，使得， 则， 因为直线与侧面所成角的正弦值为， 所以， 即，解得， 又，故， 因此存在满足条件的点，且，即． 19. 如图，在三棱台中，点D，E分别为，的中点，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）点M在侧面内，且平面，当线段最短时，求平面与平面所成的二面角的正弦值． 【答案】（1） 由棱台性质知， 所以，则， 在中，由余弦定理可得：，， 连接，因为D为BC中点，所以， 所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以，， 又因为，，平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形求出，余弦定理求出，即可根据勾股定理证明，结合，可证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，空间向量法求直线与平面所成角的正弦值. （3）求出平面ADE的法向量，设，由点M在侧面内，所以存在使得，再结合平面可推出，根据两点间距离公式及二次函数的性质可求出取最小值时m的取值，即可求出此时点M的坐标，利用向量法求平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以，则， 以A为坐标原点，AB、AD、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， ，， ，， 设平面的一个法向量为， ，令，得，故， 设直线与平面所成角为， . 【小问3详解】 设为平面ADE的法向量， ， ，令得，， 设， 因为点M在侧面内，所以存在使得， ， ，，， 因为平面，所以，得， 将，，代入上式可得， 则，所以， 因为M在侧面内，所以， . 当时，取得最小值，此时， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量为， ，， ，令得，， 设平面与平面所成的二面角为， ，， 所以平面与平面所成的二面角得正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $