精品解析：山东省百师联盟2025-2026学年高二上学期10月联考数学试题

2025-2026学年度高二10月联考数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答屈卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回， 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（    ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 6 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知直线与，则下列说法不正确的是（    ） A. 若时，则 B. 若时，则与重合 C. 若时，则 D. 若时，则与交于点 6. 已知四棱锥中，，则该四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 7. 在四棱锥中，平面平面，为正三角形，为梯形，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 设直线的方程为，则下列说法正确的有（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线与坐标轴围成的三角形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为__________. 12. 直线经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，则实数的取值范围是______． 13. 在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 如图，在棱长为的正四面体中，分别是的中点，设. （1）求（用表示）； （2）求直线和夹角的正弦值. 15. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 16. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱的中点，．用空间向量法求解下列问题． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 17. 已知直线：. （1）若直线垂直于直线：，求的值； （2）求证：直线经过定点； （3）当时，求点关于直线的对称点的坐标. 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．用空间向量法求解下列问题． （1）求证：． （2）求线段的中点到平面的距离． （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二10月联考数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答屈卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回， 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作图，然后根据空间向量基本定理求解即可. 【详解】根据题意，． 故选：B． 2. 已知空间向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】若，则．因为，， 所以，解得． 故选：C． 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线一般方程确定斜率，再结合斜率与倾斜角的关系即可求得倾斜角大小． 【详解】由直线方程， 则直线的斜率为，即为倾斜角的正切值， 所以倾斜角的大小为． 故选：D． 4. 设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先表示出，然后利用数量积公式计算. 【详解】 . 故选：B 5. 已知直线与，则下列说法不正确的是（    ） A. 若时，则 B. 若时，则与重合 C. 若时，则 D. 若时，则与交于点 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行和垂直的充要条件，结合选项逐项计算判断即可. 【详解】对于A，当时，， 即，则，故A正确； 对于B，当时，， 即，则与不重合，故B错误； 对于C，当时，， 因为，所以，故C正确； 对于D，当时，，即， 由，得，所以与交于点，故D正确. 故选：B. 6. 已知四棱锥中，，则该四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求平面的法向量，再利用空间向量中点到平面的距离公式求解即可. 【详解】设平面的法向量为，则有， 取，得， 所以点点平面的距离，即四棱锥的高为. 故选：D 7. 在四棱锥中，平面平面，为正三角形，为梯形，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点O，连接，可得平面，建立如图所示的直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解. 【详解】取的中点O，连接， 因为为正三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 建立如图所示的直角坐标系， 则，，，，，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，得平面的一个法向量为. 又，设与平面所成角为， 所以. 故选：B. 8. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得. 【详解】动直线化为，可知定点， 动直线化为，令， 解得，可知定点， 又， 所以直线与直线垂直，为交点， . 则，当且仅当时，等号成立. 即面积的最大值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系，推断直线方向向量与平面法向量的关系，进而用空间向量的坐标表示，最后求出参数关系. 【详解】若，则，故，即，化简得. 故选项正确，选项错误. 若，则，故存在实数使得，即，化简得. 故选项错误，选项正确. 故选： 10. 设直线的方程为，则下列说法正确的有（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线与坐标轴围成的三角形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据斜截式直接判断AB，令，求得，即可判断C，求出两截距，利用三角形面积公式即可判断D. 【详解】由直线的斜截式方程，得直线的斜率为，在轴上的截距为2，故AB正确． 在方程中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故C错误． 设直线与轴、轴的交点分别为，则，， 直线与坐标轴围成的三角形为． 因为，，所以，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点到平面距离的向量方法公式，求出方向向量，代入公式求出距离即可. 【详解】因为，所以点到平面的距离. 故答案为：. 12. 直线经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出其斜率和在轴上的截距，再根据其所过象限得到不等式组，解出即可. 【详解】因为直线经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，所以直线的斜率，且在轴上的截距． 因为直线，所以，， 则，解得，即实数的取值范围是． 故答案为：. 13. 在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行六面体的结构特征确定异面直线所成的角，再借助空间向量数量积的运算律求出，进而利用余弦定理求得答案. 【详解】在平行六面体中，， 则是异面直线与所成角或其补角， 而，，， ， ， ， ， 在中，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 如图，在棱长为的正四面体中，分别是的中点，设. （1）求（用表示）； （2）求直线和夹角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算进行计算； （2）根据向量夹角的计算公式进行求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ，， 所以 . 又和都是等边三角形，， 设直线和的夹角为，则， 所以. 15. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； （2）利用截距为0和不为0分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【小问1详解】 由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； 【小问2详解】 联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为，即 综上所述：所求直线方程为或． 16. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱的中点，．用空间向量法求解下列问题． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值； （2）利用向量法可求出点到平面的距离． 【小问1详解】 依题意：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 又分别是棱，，的中点，，． 所以， 所以有：， 设平面的法向量为，则有 所以，令，有， 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 因为，由（1）有平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为：. 17. 已知直线：. （1）若直线垂直于直线：，求的值； （2）求证：直线经过定点； （3）当时，求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】（1）1 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】(1)根据两直线垂直的条件即可得解； (2)转换为恒等式成立问题，由恒等式成立的条件解方程组即可得解. (3)设对称点坐标，根据中点坐标公式求出的中点坐标，然后根据两直线垂直的性质以及的中点在直线上，列出方程组，解方程组即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 解得， 故的值为； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， 解得， 所以直线恒过定点； 【小问3详解】 因为， 所以直线， 设点关于直线的对称点的坐标为， 所以的中点坐标为， 所以， 解得， 所以点关于直线的对称点的坐标为. 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．用空间向量法求解下列问题． （1）求证：． （2）求线段的中点到平面的距离． （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，建立空间直角坐标系，再计算出，后相乘即可得； （2）求出平面的法向量后由点到平面距离的向量公式即可求解； （3）令，，由面面夹角的向量公式求得，即可求解． 【小问1详解】 取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则,，，，， 则，， 有，故； 【小问2详解】 由，，则，又， 则，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以到平面的距离． 【小问3详解】 令，， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 则， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为， 此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $