精品解析：陕西省渭南市韩城市象山中学2025-2026学年高二上学期培优部第一次月考数学试题

培优部高二数学第一次月考试题 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的．） 1. 已知复数与在复平面内对应的点关于原点对称，且，则虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算，先求解，根据复数在复平面内对应的点求解，即可求解的虚部. 【详解】解：因为，故， 所以在复平面对应的点为，则在复平面对应的点为，故， 的虚部为-1. 故选：A. 2. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先分离参数可得，然后结合对勾函数的性质求得，从而可确定的取值范围． 【详解】因为不等式对一切恒成立， 所以在区间上恒成立， 由对勾函数的性质可知函数 在区间上单调递增， 且当时，，所以 故实数的取值范围是． 故选：． 【点睛】方法点睛：一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑判别式的符号即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题. 3. 的值为（ ） A. － B. － C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式以及两角差的正弦公式化简求值． 【详解】， 故选：C 4. 直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线的斜率范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算直线过点A，B的斜率，数形结合，即得解 【详解】 当直线过点B时，设直线的斜率为，则 当直线过点A时，设直线的斜率为，则 故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点， 则直线的斜率的取值范围为：或. 故选：B. 5. 如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】图2中水所占部分为四棱柱，求出其底面积和高，根据棱柱的体积公式求出四棱柱的体积，同理在图1中，求同三棱柱的体积，能求出图1中容器内水面的高度. 【详解】在图2中，水中部分是四棱柱， 四棱柱底面积为，高为2， ∴四棱柱的体积为， 设图1中容器内水面高度为h， 则V，解得h. ∴图1中容器内水面的高度是. 故选：D. 6. 从点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可知点在直线上，根据题意利用勾股定理求切线长，结合圆的性质求最小值. 【详解】圆的圆心为，半径， 点在直线上， 则圆心到直线的距离， 可知直线与圆相离， 设其中一个切点为A， 则切线长， 所以切线长的最小值为. 故选：C. 7. 中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由推导可得的平分线垂直于边BC，进而可得，再由给定面积导出得解. 【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、， 以、为邻边作平行四边形，则，显然， 因此平行四边形为菱形，平分，而，则有，即， 于是得是等腰三角形，即，令直线AF交BC于点O，则O是BC边的中点，， 而，因此有，从而得， 所以是等腰直角三角形. 故选：D 8. 已知定点，圆与轴相切，直线是圆的一条对称轴．若圆上存在两点使得，则圆圆心的横坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆心，求出与圆相切且时的取值，即可得解. 【详解】由题意作图，由于圆心在直线上，设， 又圆与轴相切，所以圆的半径. 当点在圆上或圆内时，显然存在满足条件，此时， 当点在圆外时， 经分析，当与圆相切时，取最大值， 由已知时，，此时， 所以 所以， 整理得，所以， 即圆圆心的横坐标的取值范围为. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 下列说法中，正确的有（   ） A. 直线在轴的截距是2 B. 直线的倾斜角为 C. 直线的方向向量是，则直线的斜率是 D. 点在直线上，直线方程为． 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据截距的定义判断；B选项，先求出直线斜率，根据斜率和倾斜角关系求解；C选项，根据方向向量的定义判断；D选项，根据点在直线上，代入条件，化简判断. 【详解】A选项，取，则，即直线在轴的截距是，A选项错误； B选项，直线化为，直线的斜率是， 设倾斜角为，则，，B选项正确； C选项，根据方向向量的定义可知其正确； D选项，点在直线上，则，即， 直线可化为，D选项正确. 故选：BCD 10. 已知函数的图象经过点，，则（ ） A. B. C. 曲线关于轴对称 D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】代入点坐标，解方程组可得函数解析式，再利用定义法可判断函数的奇偶性，再根据复合函数单调性的判断方式可判断函数单调性，进而可判断各选项. 【详解】由题意可得，，解得，故选项A正确，选项B错误； 由前面计算可知，其定义域为关于原点对称， 且， 为偶函数，即曲线关于轴对称，故选项C正确； 由复合函数单调性可知在区间上单调递减，且为偶函数， 故等价于， 两边平方可得，解得，故选项D错误； 故选：AC. 11. 在平面直角坐标系中，圆的半径为1，点在圆上，则（ ） A. 轴与圆可能相切 B. 直线与圆可能相交 C. 轴被圆所截得的弦长的最大值是2 D. 原点与圆上的点的距离的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】A，设圆，令举例说明；B，令，利用关系式求出的范围，再根据直线与圆的位置关系判断方法计算即可；C，先根据圆与轴相交求出的范围，再根据弦长公式即可判断；D，将问题转化为求的最值，再利用几何意义即可求出. 【详解】设圆， 因点在圆上，则， 若，则，则圆，此时轴与圆相切，故A正确； 令，则， 因直线与圆有交点，则， 得， 则圆心到直线的距离， 则，故直线与圆不可能相交，故B错误； 因，得， 令，则化为， 故当时圆与轴相交， 弦长为，等号成立时，故C正确； 因， 则可以理解为以为圆心，以为半径的圆上的点到的距离， 则的最大值为， 故， 故原点与圆上的点的距离的最大值为，故D错误. 故选：AC 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 12. 已知直线与直线垂直，则实数的值为 __． 【答案】2或0 【解析】 【分析】由直线垂直的充要条件列出关于a的方程即可求解. 【详解】由于直线与直线垂直， 故，解得或0． 故答案为：2或0． 13. 已知不等式的解集为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集的特点结合根与系数关系求得答案. 【详解】由题，可得，解得，， . 故答案为：. 14. 已知，且为第二象限角，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角的三角函数平方关系、商数关系，结合诱导公式进行求解即可. 【详解】． 因为，且为第二象限角， 所以， 所以原式． 故答案为： 15. 在气象台正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为___________小时． 【答案】5 【解析】 【分析】以气象台为圆心，作半径为100的圆交台风轨迹于CD两点，计算CD两点的长度即可求得气象台所在地受到台风影响的时间． 【详解】如图所示，可设台风中心初始位置为，气象台为，， 以A为圆心，为半径作圆A交台风运动轨迹于C、D两点，CD为圆A的弦， 而台风向北偏东移动，可知， 过作BD的垂线，垂足为E， 在直角中，，则， 在直角中，由勾股定理得， 所以， 故持续时间为小时． 故答案为：5． 四、解答题（本题共6小题，每小题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知直线，，其中为实数． （1）当时，求的值； （2）当时，求过直线的交点，且垂直于直线的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，列出关于m的方程，即可求得答案； （2）解方程组求出直线的交点，再根据直线的垂直关系，利用直线的点斜式，即可求得答案. 【小问1详解】 由得，解得，经检验，符合题意, 故； 【小问2详解】 当时，，联立，解得， 即直线的交点为， 又直线的斜率为， 故过直线的交点，且垂直于直线的直线方程为，即． 17. 已知圆C的方程为 （1）若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； （2）若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出圆的标准方程，则圆心坐标可求，再由点斜式方程求解即可得答案； （2）利用点到直线的距离公式结合勾股定理知识可求解. 【小问1详解】 由题意得圆C的标准方程为：， 所以圆心坐标为， 由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； 【小问2详解】 圆心到直线的距离为， 所以弦AB的长为. 18. 函数，函数是定义在R上的奇函数，且当时，． （1）求和的值； （2）求函数在时的解析式． 【答案】（1）​，； （2）当时，. 【解析】 【分析】（1）求出时的函数，结合奇函数性质求出函数值. （2）利用奇函数定义求出解析式. 【小问1详解】 函数，则当时，，， 由函数是定义在R上的奇函数，得. 【小问2详解】 由（1）知当时，，又函数是定义在R上的奇函数， 所以当时，，. 19. 已知平面向量，且．求： （1）的值； （2）向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的运算律化简条件等式计算即得； （2）利用两向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因， 则， 可得； 【小问2详解】 因， ， 设向量与的夹角为， 则. 20. 过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． （1）过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； （2）求弦的中点M的轨迹方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，结合点到直线距离公式及相切条件求解即可； （2）设，根据圆的性质，弦的中点与圆心的连线垂直于弦，即，再利用向量垂直的坐标表示即可求解． 【小问1详解】 由题知圆心，半径， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离，直线与圆相离，不符合题意； 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到直线的距离，即， 整理得，解得或， 所以切线的方程为或． 【小问2详解】 设，圆心， 因为M弦的中点，所以， 又直线l过原点O，所以， ， ， 整理得， 所以M的轨迹方程为． 21. 已知圆，圆交于两点，在第二象限． （1）求以为直径的圆的方程； （2）若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）两圆方程相减得公共弦所在直线方程，再根据已知两圆心得出中点坐标（即所求圆圆心坐标），求出半径后可得圆方程； （2）设直线的方程是，由几何法求弦长，再由弦长相等求得，从而得直线方程． 【小问1详解】 根据题意，圆，圆心为，半径为3， 圆，圆心为，半径为4，两圆方程相减得，所以直线的方程为． 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为． 【小问2详解】 A在第二象限，由（1）可得， 如图，不妨设点分别在圆和圆上，易知直线的斜率存在，设直线的方程是，即，则点到直线的距离为，点到直线的距离为． 因为，所以，解得， 所以直线的方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优部高二数学第一次月考试题 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的．） 1. 已知复数与在复平面内对应的点关于原点对称，且，则虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 的值为（ ） A. － B. － C. D. 4. 直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线的斜率范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（ ） A. B. C. D. 6. 从点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 7. 中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 已知定点，圆与轴相切，直线是圆的一条对称轴．若圆上存在两点使得，则圆圆心的横坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 下列说法中，正确的有（   ） A. 直线在轴的截距是2 B. 直线的倾斜角为 C. 直线的方向向量是，则直线的斜率是 D. 点在直线上，直线方程为． 10. 已知函数的图象经过点，，则（ ） A. B. C. 曲线关于轴对称 D. 不等式的解集为 11. 在平面直角坐标系中，圆的半径为1，点在圆上，则（ ） A. 轴与圆可能相切 B. 直线与圆可能相交 C. 轴被圆所截得的弦长的最大值是2 D. 原点与圆上的点的距离的最大值为 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 12. 已知直线与直线垂直，则实数的值为 __． 13. 已知不等式的解集为，则__________． 14. 已知，且为第二象限角，则______． 15. 在气象台正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为___________小时． 四、解答题（本题共6小题，每小题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知直线，，其中为实数． （1）当时，求的值； （2）当时，求过直线的交点，且垂直于直线的直线方程． 17. 已知圆C的方程为 （1）若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； （2）若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 18. 函数，函数是定义在R上的奇函数，且当时，． （1）求和的值； （2）求函数在时的解析式． 19. 已知平面向量，且．求： （1）的值； （2）向量与夹角的余弦值． 20. 过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． （1）过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； （2）求弦的中点M的轨迹方程． 21. 已知圆，圆交于两点，在第二象限． （1）求以为直径的圆的方程； （2）若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $