8.2.4　三角恒等变换的应用同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

8.2.4　三角恒等变换的应用 基础过关练 考点一　求值问题 1.若cos α=,且α∈,则cos +sin的值为(　　) A.　 　B.　 　C.　 　D. 2.(2025广东深圳高级中学月考)若α是第三象限角,且sin(α+β)cos β-sin βcos(α+β)=-,则tan 的值为(　　) A.-5　　　　B.5　　　　C.-　　　　D. 3.(2025江苏无锡一中期末)已知角α,β满足cos α=,cos(α+β)cos β=,则cos(α+2β)的值为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 4.(2024江西鹰潭期末质量检测)已知cos α+cos β=,sin α-sin β=-,则tan(α-β)的值为(　　) A.　　　　B.-　　　　C.-　　　　D. 5.计算:sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°=　.  6.(2024江西景德镇期末)已知α为钝角,β为锐角,且sin α=,sin β=,求cos与tan的值. 考点二　三角函数式的化简与证明 7.(2025湖南师大附中期中)若α∈[0,2π]且+=sin -cos ,则α的取值范围是(　　) A.[0,π]　　　　B. C.[π,2π]　　　　D. 8.化简的结果为(　　) A.tan α　　　　B.tan 2α　　　　C.　　　　D. 9.已知180°<α<360°,化简:=　　　　.  10.(2025辽宁沈阳皇姑月考) (1)化简:; (2)求值:①sin 50°(1+tan 10°); ②cos 20°cos 40°-cos 40°cos 80°+cos 80°·cos 20°. 11.化简下列各式: (1); (2). 考点三　三角恒等变换的综合应用 12.(2024河南焦作博爱第一中学月考)函数f(x)=sincos是(　　) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的非奇非偶函数 D.最小正周期为π的非奇非偶函数 13.(2025上海徐汇开学考试)在△ABC中,若sin Asin B=cos2 ,则△ABC是(　　) A.等边三角形　　　　B.等腰三角形 C.直角三角形　　　　D.等腰直角三角形 14.定义向量=(a,b)的“伴随函数”为f(x)=asin x+bcos x,函数f(x)=asin x+bcos x的“伴随向量”为=(a,b). (1)写出向量=(1,-1)的伴随函数f(x),并直接写出f(x)的最大值; (2)求函数f(x)=sin2+2sincos -3cos2+1的伴随向量的模. 15.(2025云南昆明期末)如图,在扇形OPQ中,半径OP=1,圆心角∠POQ=,C是扇形弧上的一个动点,矩形ABCD内接于扇形,记∠POC=x,矩形ABCD的面积为f(x). (1)求f(x); (2)求f(x)的最大值及此时x的值; (3)若f(x)≥,求x的取值范围. 16.在△ABC中,求证: (1)sin2A+sin2B-sin2C=2sin Asin Bcos C; (2)sin A+sin B-sin C=4sin sin cos . 能力提升练 考点　三角恒等变换的应用 1.(2025辽宁阜新期末)已知sin α+sin β=,tan =,则cos α+cos β=(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.1 2.(2024辽宁大连滨城高中联盟月考)若α+β=,则cos2α+cos2β的取值范围是(　　) A.　　　　B. C.　　　　D.[0,1] 3.(2024四川成都第十二中学模拟)已知f(θ)=cos 4θ+cos 3θ,且θ1,θ2,θ3是f(θ)在(0,π)内的三个不同零点,则下列结论不正确的是(　　) A.∈{θ1,θ2,θ3} B.θ1+θ2+θ3=π C.cos θ1cos θ2cos θ3=- D.cos θ1+cos θ2+cos θ3= 4.(2025四川资阳乐至中学月考)已知函数f(x)=sin 2x+sin+a,若对于任意的x1,x2,x3∈, f(x1)+f(x2)≥f(x3)恒成立,则a的取值范围为(　　) A.[0,+∞)　　　　B.(-∞,0] C.[1,+∞)　　　　D.(-∞,1] 5.(2025江西宜春丰城中学段考)已知函数f(x)=cos 3x-cos 2x,x∈(0,π),若f(x)有两个零点x1,x2(x1<x2),则cos x1cos x2=(　　) A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.- 6.(2025辽宁辽阳期末)已知sin=-,α∈,则sin=　　　　.  7.(2024山东高中名校统一调研)已知△ABC的内角分别为A,B,C,且满足cos+2sin=0,则+的最小值为　　　　.  8.(2025江西上饶期中)已知α,β满足sin α+cos β=,cos α+sin β=,则sin(α-β)=　　　　.  9.(2023江苏盐城中学月考)已知tan γ=. (1)若α+β=,求tan γ的值; (2)若α,β,γ都为锐角,求的最大值. 答案 基础过关练 1.B　∵α∈,∴∈. ∴cos===, sin ===. ∴cos +sin =+=. 2.A　由已知及两角差的正弦公式得,sin α=-, ∵α是第三象限角,∴cos α=-. ∴tan ===-5. 3.C　由积化和差公式可得cos(α+β)cos β=[cos(α+β+β)+cos(α+β-β)]=[cos(α+2β)+cos α], 故=,解得cos(α+2β)=-=. 4.B　由和差化积公式,得cos α+cos β=2cos·cos =,sin α-sin β=2cossin=-, 两式相除,可得tan=-, 所以tan(α-β)==-. 5.答案　 解析　sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50° =[sin(20°+70°)+sin(20°-70°)]+[cos(10°-50°)-cos(10°+50°)] =(sin 90°-sin 50°)+(cos 40°-cos 60°) =-sin 50°+cos 40° =-sin 50°+sin 50°=. 6.解析　因为α为钝角,β为锐角,sin α=,sin β=,所以cos α=-,cos β=. 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-×+×=. 解法一:因为<α<π,0<β<,所以0<α-β<π, 所以0<<, 所以cos== =, sin==. 所以tan==. 解法二:同解法一,求得cos =. 由0<α-β<π,cos(α-β)=, 得sin(α-β)==. 所以tan===. 7.C　由半角公式cos =±和sin =±可得+=+,结合已知得+=-cos +sin ,又α∈[0,2π],所以∈[0,π],所以∈,所以α∈[π,2π]. 8.B　= ==tan 2α. 9.答案　cos α 解析　原式= = ==. 因为180°<α<360°, 所以90°<<180°, 所以cos<0, 所以原式=cos α. 10.解析　(1)原式====sin αcos α=sin 2α. (2)①原式=sin 50°=sin 50°×=sin 50°×=====1. ②cos 20°cos 40°-cos 40°cos 80°+cos 80°cos 20°=[cos(40°+20°)+cos(40°-20°)]-[cos(80°+40°)+cos(80°-40°)]+[cos(80°+20°)+cos(80°-20°)] =-+cos 100°+=+(cos 20°-cos 40°+cos 100°) =+[cos(30°-10°)-cos(30°+10°)-sin 10°] =+(2sin 30°sin 10°-sin 10°)=. 11.解析　(1)原式= ===tan. (2)原式= == =. 12.D　f(x)=sin+sin=sin2x++1=sin+. 故f(x)是最小正周期T==π的非奇非偶函数. 13.B　由已知得[cos(A-B)-cos(A+B)]=(1+cos C).因为A+B=π-C,所以cos(A-B)-cos(π-C)=1+cos C,所以cos(A-B)=1.易知-π<A-B<π,所以A-B=0,所以A=B,所以△ABC为等腰三角形.无法判断其是不是等边三角形,也无法判断其是不是直角三角形. 14.解析　(1)由题意可知向量=(1,-1)的伴随函数f(x)=sin x-cos x. f(x)=sin x-cos x=sin,当x-=+2kπ,k∈Z,即x=+2kπ,k∈Z时,f(x)取得最大值,最大值为. (2)f(x)=sin2+2sincos-3cos2+1=+sin x-+1=sin x-2cos x, 故伴随向量=(1,-2),故||==. 15.解析　(1)根据题意可知AD=BC=sin x,OB=cos x,OA=AD=sin x, 所以f(x)=AB·AD=(OB-OA)·AD =·sin x=cos xsin x-sin2x =sin 2x+(cos 2x-1)=sin 2x+cos 2x- =sin-, 即f(x)=sin-. (2)由(1)知f(x)=sin-, 易得2x+∈,显然当2x+=时,f(x)max=-=,此时x==. (3)由f(x)≥,可得sin-≥,即sin≥, 因为2x+∈,所以≤2x+≤,解得≤x≤, 即满足题意的x的取值范围为. 16.证明　(1)左边=sin2A+-=sin2A+(cos 2C-cos 2B)=sin2(B+C)+sin(B+C)sin(B-C)=sin(B+C)[sin(B+C)+sin(B-C)]=sin(B+C)·2sin Bcos C=2sin Asin Bcos C=右边, ∴等式得证. (2)左边=sin(B+C)+2sincos=2sin·cos+2sincos=2cos·=4sinsincos=右边, ∴等式得证. 能力提升练 1.B　依题意得,sin α+sin β=2sin cos =, 则sin cos =, 又tan ==, 故cos cos =, 所以cos α+cos β=2cos cos =. 2.C　cos2α+cos2β=+ =1+(cos 2α+cos 2β)=1+cos·cos =1+cos(α+β)·cos(α-β)=1+cos·cos(α-β) =1-cos(α-β). ∵cos(α-β)∈[-1,1],∴cos2α+cos2β∈. 3.B　不妨设θ1<θ2<θ3. 令cos 4θ+cos 3θ=0,得cos 4θ=-cos 3θ=cos(π-3θ), 所以4θ=π-3θ+2kπ,k∈Z或4θ=3θ-π+2kπ,k∈Z, 即θ=+,k∈Z或θ=-π+2kπ,k∈Z, 又θ∈(0,π),所以θ1=,θ2=,θ3=,故A中结论正确; θ1+θ2+θ3=++=,故B中结论错误; cos θ1cos θ2cos θ3=coscoscos=coscos·cos= ====-,故C中结论正确; cos θ1+cos θ2+cos θ3=cos+cos+cos=- = =- =,故D中结论正确. 4.A　若对于任意的x1,x2,x3∈,f(x1)+f(x2)≥f(x3)恒成立,则2f(x)min≥f(x)max,x∈, 由和差化积公式得f(x)=2sincos+a=sin+a, 由x∈,得2x+∈, 易知f(x)=sin+a在上单调递增,在上单调递减, 所以f(x)≤sin +a=+a,即f(x)max=+a, f(x)min=min=+a, 则2≥+a,解得a≥0. 5.B　易知f(x)=cos 3x-cos 2x=cos-cos=-2sin sin . 令f(x)=0,得sin sin =0, 因为x∈(0,π),所以∈,所以sin >0, 故sin =0,可得=kπ,k∈Z,即x=kπ,k∈Z, 因为x∈(0,π),所以x=或x=, 又x1<x2,所以x1=,x2=, 所以cos x1cos x2=cos cos == ===-. 6.答案　 解析　因为sin=-cos α=-,所以cos α=, 因为α∈,所以∈, 所以sin =-=-,cos ==, 所以sin=sin cos +cos sin =-×+×=. 7.答案　16 解析　由已知得cos+2sin=sin+2sin=0, 所以sincos+cossin+2sincos-cossin=0,所以3sincos=cossin, 易知,∈,所以3tan=tan>0, 又sin A=,sin C=, 所以+ =+ ==+16tan ≥2=16, 当且仅当=16tan,即tan=时取等号, 所以+的最小值为16. 知识拓展 　　万能公式: ①sin α=;②cos α=. 8.答案　 解析　因为sin α+cos β=,cos α+sin β=, 所以(sin α+cos β)2=sin2α+cos2β+2sin αcos β=①,(cos α+sin β)2=cos2α+sin2β+2cos αsin β=②, ①+②得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2sin αcos β+2cos α·sin β=,即2+2sin(α+β)=,所以sin(α+β)=-, 又sin α+sin β=2sin cos ,sin α-sin β=2cos ·sin ,所以sin2α-sin2β=2sin ·cos ·2cos ·sin =sin(α-β)sin(α+β)=-sin(α-β), ①-②得sin2α+cos2β-cos2α-sin2β+2sin αcos β-2cos αsin β=2(sin2α-sin2β)+2(sin αcos β-cos α·sin β)=2(sin2α-sin2β)+2sin(α-β)=2×sin(α-β)+2sin(α-β)=,解得sin(α-β)=. 9.解析　(1)tan γ===tan. 因为α+β=,所以tan γ=tan==2-. (2)因为tan γ=tan,所以γ+kπ=,k∈Z,则2γ+2kπ=α+β,k∈Z, 又因为α,β,γ均为锐角,所以2γ=α+β, 则 = = ≤=3, 当且仅当即α=β=γ时,等号成立, 因此的最大值为3. 31 学科网（北京）股份有限公司 $