8.2.1　两角和与差的余弦 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

8.2.1　两角和与差的余弦 基础过关练 考点一　给角求值 1.(2025辽宁沈阳二中月考)cos 255°的值是(　　) A.　　　　B. C.-　　　　D.- 2.(2025安徽六安期中)cos 25°cos 160°+sin 25°·sin 20°=　　　　.  3.cos 15°+sin 15°=　　　　.  4.化简:=　　　　.  考点二　给值求值 5.(2024辽宁营口期末)已知α∈,且tan α=-2,则cos=(　　) A.　　　　B. C.-　　　　D.- 6.(2024山东淄博高青一中月考)已知sin(α+60°)=,30°<α<120°,则cos α=(　　) A.　　　　B.- C.　　　　D.- 7.(2025山东烟台模拟)已知cos=,则cos x+cos=(　　) A.-1　　　　B.1　　　　C.　　　　D. 8.(2023广东佛山质量检测)若0<α<,0<β<,cos(α+β)=,sin=,则cos=(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 9.(2025上海长宁期中)已知α∈,β∈且sin(α-β)=-,sin β=,则cos α=　　　　.  10.(2025北京人大附中月考)若sin α+sin β=,cos α-cos β=,则cos(α+β)=　　　　.  考点三　给值求角 11.(2025上海普陀期中)若cos(α-β)=,cos 2α=,α为锐角,β为钝角,则α+β的值为(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 12.(2024北京二中段考)设α,β为钝角,且sin α=,cos β=-,则α+β的值为　　　　.  能力提升练 考点一　利用两角和与差的余弦公式求值 1.(2025吉林长春期末)已知α,β均为锐角,cos (α+β)=-,sin=,则cos=(　　) A.或-　　　　B.- C.　　　　D.或 2.(2025湖南长沙雅礼中学模拟)已知0<β<α<,sin αsin β=,cos αcos β=,则cos 2α=(　　) A.0　　　　B.　　　　C.　　　　D.1 3.(2024河北保定期中联考)记A,B,C为△ABC的内角,若cos B,cos C是方程5x2-3x-1=0的两根,则cos A=(　　) A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D. 4.(2024辽宁本溪高级中学月考)已知锐角α的顶点为原点,始边在x轴非负半轴上,现将角α的终边绕原点逆时针转后,交以原点为圆心的单位圆于点P,则cos α的值为　　　　.  5.形如的式子称为行列式,其运算法则为=ad-bc,则行列式的值是　　　　.  6.(2025北京昌平月考)已知cos α+cos β=,sin α-sin β=,则sin 2 024(α+β)+cos 2 024(α+β)=　　　　.  考点二　利用两角和与差的余弦公式求角 7.(2024辽宁葫芦岛模拟)已知α,β∈(0,π),且sin α=,cos α=sin βtan β,则(　　) A.α=β　　　　B.α+β=π C.α-β=　　　D.β-α= 8.(2025湖北武汉六中月考)若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β=　　　　.  9.已知函数f(x)=-cos 2xcos +sin 2xsin ,若<α<β<,f(α)=,且f(β)=,则2β-2α=　　　　.  10.(2025山东菏泽月考)(1)若cos(α+β)=,cos(α-β)=-,求tan αtan β的值; (2)已知0<α<,0<β<π,sin α=,sin(α+β)=,求β的值. 答案 基础过关练 1.C　cos 255°=cos(180°+75°)=-cos 75°=-cos(30°+45°) =-(cos 30°cos 45°-sin 30°sin 45°) =-=-. 2.答案　- 解析　　cos 25°cos 160°+sin 25°sin 20° =cos 25°·(-cos 20°)+sin 25°sin 20° =-(cos 25°cos 20°-sin 25°sin 20°) =-cos (25°+20°)=-cos 45°=-. 3.答案　 解析　cos 15°+sin 15°=cos 60°cos 15°+sin 60°·sin 15°=cos(60°-15°)=cos 45°=. 4.答案　 解析　= ==. 5.A　因为α∈,且tan α==-2,sin2α+cos2α=1,所以sin α=,cos α=-, 所以cos=cos αcos+sin αsin=-×+×=. 6.A　∵30°<α<120°,∴90°<α+60°<180°, 又sin(α+60°)=,∴cos(α+60°)=-, ∴cos α=cos [(α+60°)-60°]=cos(α+60°)cos 60°+sin(α+60°)sin 60°=-×+×=. 7.B　∵cos=,∴cos x+cos=cos x+cos x+sin x==cos·cos x+sinsin x=cos=×=1. 8.C　因为0<α<,0<β<, 所以0<α+β<π,-<β-<, 所以sin(α+β)==,cos==, 所以cos=cos=cos(α+β)·cos+sin(α+β)sin=×+×=. 9.答案　- 解析　∵α∈,β∈, ∴α-β∈, 又∵sin β=,sin(α-β)=-, ∴cos β==,cos(α-β)=-=-, ∴cos α=cos[(α-β)+β]=cos(α-β)cos β-sin(α-β)·sin β=-×-×=-. 10.答案　 解析　由题意得,(sin α+sin β)2+(cos α-cos β)2 =sin2α+sin2β+2sin αsin β+cos2α+cos2β-2cos αcos β =2+2sin αsin β-2cos αcos β=+=, 即sin αsin β-cos αcos β=-, 所以-cos(α+β)=-,则cos(α+β)=. 11.C　∵cos(α-β)=,cos 2α=,α∈,β∈,∴α-β∈,2α∈, ∴α+β∈,sin(α-β)=-,sin 2α=, ∴cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β)=×+×=-, ∵α+β∈,∴α+β=. 易错警示 　　已知三角函数值求角时,角的范围是关键,一方面要利用已知的三角函数值对角的范围进行缩小,另一方面要由角的范围选择所求值的三角函数名称. 12.答案　 解析　∵<α<π,<β<π,sin α=,cos β=-,∴π<α+β<2π,cos α=-,sin β=, ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β =-×-×=. ∵π<α+β<2π,∴α+β=. 能力提升练 1.C　因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π),β+∈, 所以sin(α+β)=,cos∈, 又sin=,所以cos=-, 则cos=cos =cos(α+β)cos+sin(α+β)sin =-×+×=. 2.A　∵sin αsin β=,cos αcos β=, ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=+=, cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-=, ∵0<β<α<,∴0<α-β<,0<α+β<π, ∴sin(α-β)==,sin(α+β)==, ∴cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=×-×=0. 3.D　由根与系数的关系得cos B+cos C=,cos B·cos C=-, ∵ B,C∈(0,π), ∴sin Bsin C=· = ==, ∴cos A=-cos(B+C)=sin Bsin C-cos Bcos C=. 4.答案　 解析　由题意得,将角α的终边绕原点逆时针转后所得的角为α+,因为α为锐角,所以0<α<,故<α+<,又P点的横坐标为-<0,故P在第二象限内,则y=,故cos=-,sin=,则cos α=cos=coscos+sinsin=-×+×=. 5.答案　- 解析　由题意可得=sin 15°-cos 15° =sin 45°sin 15°-cos 45°cos 15°=-cos 60°=-. 6.答案　1 解析　由cos α+cos β=得cos2α+cos 2β+2cos αcos β=①. 由sin α-sin β=得sin2α+sin 2β-2sin αsin β=②. ①+②,得2+2cos(α+β)=2,即cos(α+β)=0, 所以sin2(α+β)=1-cos2(α+β)=1, 所以sin2 024(α+β)+cos2 024(α+β)=1. 7.A　由sin α=,可得cos2β=sin αsin β, 由cos α=sin βtan β,可得cos αcos β=sin2β, 故cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=sin2β+cos2β=1,又因为α,β∈(0,π),所以α-β∈(-π,π), 所以α-β=0,即α=β. 8.答案　 解析　因为α∈,所以2α∈, 又sin 2α=>0,所以2α∈,α∈, 所以cos 2α=-=-=-, 因为β∈,α∈,sin(β-α)=, 所以β-α∈,所以cos(β-α)=-=-=-. 因为α∈,β∈,所以α+β∈(α+β的终边在第三、四象限或y轴的非正半轴上,故求其余弦值). 因为cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]=cos(β-α)cos 2α-sin(β-α)sin 2α=-×-×=, 所以α+β=. 9.答案　 解析　f(x)=-cos 2xcos+sin 2xsin=cos 2x·cos +sin 2xsin =cos. 因为f(α)=,且f(β)=, 所以cos=,cos=. 因为<α<β<, 所以2α-∈,2β-∈, 所以sin==, sin==, 所以cos(2β-2α)=cos=coscos+sinsin=×+×=. 因为<α<β<,所以0<2β-2α<, 所以2β-2α=. 10.解析　(1)因为cos(α+β)=,cos(α-β)=-, 所以cos αcos β-sin αsin β=,cos αcos β+sin αsin β=-, 所以cos αcos β=,sin αsin β=-, 所以tan αtan β==-2. (2)因为0<α<,sin α=, 所以cos α==, 因为0<α<,0<β<π,且sin(α+β)>0,所以0<α+β<π, 又sin(α+β)=<sin α=,所以<α+β<π(根据正弦函数的单调性缩小角的范围), 所以cos(α+β)=-=-, 则cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·sin α=-×+×=-, 又0<β<π,所以β=. 31 学科网（北京）股份有限公司 $