8.2.3　倍角公式 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

8.2.3　倍角公式 基础过关练 考点一　给角求值 1.(2024山东日照校级联合考试)2sin 15°cos 15°=(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 2.(2025重庆实验外国语学校月考)sin2-sin2=(　　) A.　　　　B.　　　　C.-　　　　D.- 3.(2024辽宁东北育才学校期中)sin 20°cos 20°-cos225°=(　　) A.1　　　　B.　　　　C.-1　　　　D.- 4.(2024四川成都树德中学月考)设a=cos 6°-sin 6°,b=,c=,则有(　　) A.a>b>c　　　　B.a<b<c C.a<c<b　　　　D.b<c<a 5.的值为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.2 6.cos cos sin cos =　.  考点二　条件求值 7.(2025吉林通化梅河口五中月考)已知sin=,则sin=(　　) A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D. 8.(2025黑龙江大庆实验中学期末)若tan=,则sin 2α=(　　) A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D. 9.(2024辽宁沈阳一模)已知sin+cos=1,则cos=(　　) A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.- 10.(2025四川泸州月考)已知tan=,tan=,则tan(α-2β)=(　　) A.-　　　　B.-　　　　 C.　　　　D. 11.已知角α在第一象限内,且cos α=,则=(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.- 12.(2025辽宁省实验中学模拟)已知<α<,且cos-cos α=,则sin=　　　　.  13.(2024宁夏银川一模)已知cos x+sin x=,则=　　　　.  14.(2025山东烟台期末)已知=3. (1)求tan α的值; (2)求的值. 考点三　倍角公式的综合运用 15.(2025山东新航标联考)函数f(x)=sin 2x-2cos2x在区间上的最大值为(　　) A.　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D. 16.(2025广东佛山模拟)函数f(x)=sin x+sin 2x在区间(0,3π)上的零点个数为(　　) A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7 17.(2025山东泰安月考)函数f(x)=sin2x+-3cos x的最小值为　　　　.  18.(2024福建厦门一中月考)若方程sin2x-=在(0,π)上的解为x1,x2(x1<x2),则sin(2x1-2x2)=　　　　.  19.证明:(1)cos 4α+4cos 2α+3=8cos4α; (2)=tan α+; (3)-2cos(α+β)=; (4)=tan4A. 20.(2025福建福宁古五校教学联合体期中)已知函数f(x)=sin xcos x+sin2x-. (1)求函数f(x)的单调递减区间; (2)若f(x0)=,x0∈,求cos 2x0. 能力提升练 考点　倍角公式的应用 1.(2025安徽宿州开学考试)数学可以刻画现实世界中的和谐美,人体结构、建筑物、绘画、优选法等美与黄金分割相关.黄金分割数ω=可以表示成2sin 18°,则=(　　) A.2　　　　B.　　　　C.-1　　　　D.+1 2.(2024江西南昌期末)已知α为锐角,且tan α+tan=1,则=(　　) A.　　　　B.-3　　　　C.-2　　　　D. 3.(2025江苏徐州期中)已知α,β为锐角,cos(α+β)=,cos αsin β=,则cos 2(α-β)=(　　) A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D. 4.(2025辽宁鞍山段考)已知θ∈,且cos θ-sin θ=-,则=(　　) A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D. 5.(2025江西百师联盟期中)已知函数f(x)=4cos2-2(ω>0)在[0,π]上有且仅有2个零点,则ω的取值范围为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 6.(2024山西大同第二中学校期末)若θ∈,sin θcos=cos 2θ,则tan 3θ=(　　) A.4　　　　B.　　　　C.5　　　　D. 7.(2025河北秦皇岛调研)已知-<α<,2tan β=tan 2α,tan(β-α)=-8,则sin α=(　　) A.-　　　　B.　　　　C.　　　　D.- 8.(多选题)(2025山东淄博桓台一中段考)若=-,则tan(k∈Z)的值可能是(　　) A.　　　　B.　　　　C.2　　　　D.3 9.计算下列各式的值: (1)=　　　　;  (2)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=　　　　.  10.(2025江苏宿迁期中)已知向量m=,n=, 设函数f(x)=m·n. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)若f =-,且<α<π,求sin α的值; (3)在△ABC中,若f =1,求sin B+sin C的取值范围. 答案 基础过关练 1.A　2sin 15°cos 15°=sin 30°=. 2.D　sin2-sin2=sin2-sin2=sin2-cos2=-cos =-. 3.D　sin 20°cos 20°-cos225°=sin 40°-=sin 40°-sin 40°-=-. 4.C　a=cos 6°-sin 6°=sin 30°cos 6°-cos 30°·sin 6°=sin(30°-6°)=sin 24°, b==tan 26°=>=sin 26°,c====sin 25°, 因为当0°<x<90°时,y=sin x单调递增,且0°<24°<25°<26°,所以sin 26°>sin 25°>sin 24°,故a<c<b. 5.B　原式= ===. 6.答案　 解析　原式= == ===sin =. 7.D sin=sin=cos=cos=1-2sin2=1-2×=. 8.A　∵tan===,解得tan α=-, ∴sin 2α=2sin αcos α====-. 9.B　由sin+cos=1得cos θ+cos θ+sin θ=1,即cos θ+sin θ=1,即cos=1,则cos=, ∴cos=2cos2-1=-. 10.B　由tan=, 得tan===, 因此tan(α-2β)=tan ===-. 11.C　因为cos α=,且角α在第一象限内,所以sin α=,所以cos 2α=cos2α-sin2α=-,sin 2α=2sin α·cos α=, 所以原式= ==. 12.答案　- 解析　因为cos-cos α=, 所以cos α+sin α-cos α=, 所以sin α-cos α=sin=, 因为<α<,所以α-∈, 所以cos=-=-, 所以sin=2sincos=2××=-. 13.答案　- 解析　原式===3×=-. 14.解析　(1)==3,解得tan α=2. (2) ==cos 2α. 由(1)知tan α=2, 所以=2, 又sin2α+cos2α=1, 所以cos α=±, 所以原式=cos 2α=2cos2α-1=-. 一题多解 　　cos 2α=cos2α-sin2α====-. 15.C　f(x)=sin 2x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=2sin-1, 因为x∈,所以2x-∈, 故函数f(x)的最大值为2-1=1. 16.B　令f(x)=0,则sin x+sin 2x=sin x+2sin xcos x=sin x(1+2cos x)=0, 故sin x=0或1+2cos x=0, 又x∈(0,3π), 所以x=π或x=2π或x=或x=或x=, 故函数f(x)共有5个零点. 17.答案　-4 解析　f(x)=sin-3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1=+, ∵-1≤cos x≤1,∴结合二次函数的性质可知当cos x=1时, f(x)min=-4,故函数f(x)的最小值为-4. 18.答案　- 解析　由0<x<π,得0<2x<2π,因此-<2x-<,因为sin=>0,所以0<2x-<π, 根据正弦函数的性质可知=x1+x2-=,所以x1+x2=,且0<2x1-<<2x2-<π,所以cos==, 所以sin(2x1-2x2)=2sin(x1-x2)cos(x1-x2) =2sincos =2sincos =2sincos =-2cossin =-2××=-. 19.证明　(1)左边=2cos22α-1+4cos 2α+3 =2(cos22α+2cos 2α+1)=2(cos 2α+1)2 =2(2cos2α-1+1)2=8cos4α=右边,得证. (2)左边== =tan α+=右边,得证. (3)左边=-2cos α·cos β+2sin αsin β =2cos βcos α+-2cos αcos β+2sin αsin β ===右边,得证. (4)左边== ==tan4A=右边,得证. 20.解析　(1)依题意,f(x)=sin 2x+·-=sin 2x-cos 2x=sin, 由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z). (2)由(1)及f(x0)=,得sin=, 由x0∈,得2x0-∈, 而sin=∈,则2x0-∈, 因此cos==, 所以cos 2x0=cos=coscos -sinsin =×-×=. 能力提升练 1.A　====2. 2.C　因为α为锐角,所以tan α>0,则tan α+tan=tan α+=tan α+=1,整理可得tan2α-3tan α=0,所以tan α=3(tan α=0舍去), 所以======-2. 3.D　因为α,β为锐角,所以0<α+β<π, 又cos(α+β)=,所以sin(α+β)==, 即sin αcos β+cos αsin β=,结合cos αsin β=, 可得sin αcos β=-=, 故sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=-=-, 故cos 2(α-β)=1-2sin2(α-β)=1-2×=. 4.A　∵cos θ-sin θ=-, ∴1-sin 2θ=,∴sin 2θ=-. ∵θ∈,∴cos θ+sin θ<0, ∴sin θ+cos θ=-=-=-=-, ∴==(cos θ+sin θ)=-. 5.C　f(x)=4cos2-2=2cos, 令t=2ωx+,因为x∈[0,π],所以t∈, 令cos t=0可得t=kπ+,k∈Z, 因为f(x)在[0,π]上有且仅有2个零点,所以≤2πω+<,解得ω∈. 6.D　因为sin θcos=cos 2θ,所以sin θ·=(cos2θ-sin2θ),即·sin θ(cos θ-sin θ)=(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ), 因为θ∈,所以cos θ-sin θ=cos>0,所以3sin θ=cos θ+sin θ,所以tan θ==, 所以tan 2θ===,所以tan 3θ=tan(2θ+θ)===. 7.D　易得tan β=tan[(β-α)+α]==,又tan 2α=,2tan β=tan 2α,所以=2×,整理,得tan3α=-8,解得tan α=-2.因为-<α<,所以-<α<0,所以由可得sin α=-. 8.CD　==sin θ·(cos θ-sin θ)===-, 即2tan2θ-5tan θ-3=0,解得tan θ=-或tan θ=3. 当k=2m(m∈Z)时,tan=tan(mπ+θ)=tan θ=-或3;当k=2m-1(m∈Z)时,tan=tan=tan=-=2或-. 9.答案　(1)1　(2) 解析　(1)原式====1. (2)原式=sin 10°sin 50°sin 70°=cos 80°cos 40°·cos 20°=··· =·=·=. 10.解析　(1)f(x)=sinsin+sin xcos x =cossin +sin 2x =sin +sin 2x =cos 2x+sin 2x=sin, 所以f(x)的最小正周期T==π. (2)f =sin=-, 由<α<π,得<α+<, 则cos=-=-, 则sin α=sin=sincos-cossin =-×+×=. (3)f=sin=1, 由A∈(0,π),得A+∈, 所以A+=,则A=, 则sin B+sin C=sin B+sin=sin B+cos B =sin, 由B∈,得B+∈, 所以sin∈, 则sin∈, 所以sin B+sin C的取值范围是. 31 学科网（北京）股份有限公司 $