精品解析：陕西省咸阳市武功县普集高级中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

2026届高三10月质量检测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. （－1，5） B. C. D. 2. 已知命题p：“”，则的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 以下函数是奇函数且在单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5 7. 已知，则“”是“”成立的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知均为锐角，，则（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. 与的实部相等 B. C. D. 10. 已知公差不为0等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 当时，中只有最大 D. 当时， 11. 设是函数三个零点，则（ ） A. B. C. 若成等差数列，则成等比数列 D. 若成等差数列，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 百华实验中学高三年级有学生600人，在某次开学数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为_____人． 13. 写出一个满足条件①②③的函数_____． ①的定义域为 ②的值域为 ③为的极值点 14. 已知实数满足，则最小值是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：； （2）记中点为，若，且，求的周长． 16. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知长方体中，分别为的中点，在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 如图，在直角坐标系中，，已知为角的终边上一点，且为角的终边上一点，且，记与矩形重合的部分的面积为． （1）求的解析式； （2）求的最大值． 19. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是增函数，求的值； （3）当时，设为的极大值点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三10月质量检测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. （－1，5） B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可化简集合A，由正弦函数值域可化简集合B，然后由交集定义可得答案. 【详解】由解得，则， 又由，可得， 所以. 故选：B． 2. 已知命题p：“”，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全称量词命题否定定义可得答案. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，所以的否定为，. 故选：C． 3. 以下函数是奇函数且在单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由各选项奇偶性及在上的单调性可得答案. 【详解】对于A，定义域为，为非奇非偶函数，故A不满足题意； 对于B，其为偶函数，故B不满足题意； 对于C，其为奇函数，又当时，，在区间上单调递增，故C不满足题意； 对于D，其为奇函数，又当时，，在区间上单调递减，故D满足题意. 故选：D 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助向量坐标的数量积公式可得，再利用向量夹角公式计算即可得解. 【详解】依题意，由，有，解得， 所以. 故选：B． 5. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出双曲线的右焦点，利用抛物线焦点与的关系求解即可. 【详解】对于双曲线：因为，所以，所以． 所以双曲线的右焦点的坐标为． 对于抛物线，因为焦点为，即，可得． 所以其准线方程为． 故选：D． 6. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】应用“1”的代换化将目标式化为，再由基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题意得， 由基本不等式得， 当且仅当，即，联立可得时取等号， 故的最小值为5． 故选：D 7. 已知，则“”是“”成立的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由题意上式等价于，设，求导，可得在区间上单调递增，可知，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】因为，因为，所以，上式等价于， 设，则， 当时，有， 所以在区间上单调递增，所以等价于， 故“”是“”成立的充要条件. 故选：A. 8. 已知均为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求得，，，再应用和角余弦公式求函数值. 【详解】由题得， 因为为锐角，所以，则. 又因为，所以为锐角， 所以，. 因为为锐角,所以, 又因，所以， 所以， 所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. 与的实部相等 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】应用特殊值法判断A、C，根据共轭复数的性质及模的相关运算判断B、D. 【详解】取，满足，但它们的实部不相等，A错误； 由，，所以，B正确； 取，满足，显然，C错误； 因为，所以，D正确； 故选：BD 10. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 当时，中只有最大 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式、等差数列的性质对各个选项逐一分析即可求解. 【详解】对于A，等差数列中，，有，有，可得，故A正确； 对于B，由，故B正确； 对于C，由，有，所以和最大，故C错误； 对于D，由，，有，故D正确． 故选：ABD． 11. 设是函数的三个零点，则（ ） A. B. C. 若成等差数列，则成等比数列 D. 若成等差数列，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】参变分离后构造函数，结合导数研究其单调性后可得A、B；结合等差、等比数列性质与指数运算性质计算可得C、D. 【详解】对A、B：令，则，设， 则，故当时，， 当时，， 故、上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，，时，， 且，故，且，故A、B正确； 对C、D：由题意可得，所以， 由于成等差数列，则，故， 则，所以，故成等比数列，故C正确； 则，化简有，则， 解得或， 又，则，故，则， 又，故舍去， 故，又， 所以，故D错误. 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 百华实验中学高三年级有学生600人，在某次开学数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为_____人． 【答案】72 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性求出的值，再乘以600即可求解. 【详解】由于数学成绩近似服从正态分布，且， 所以， 所以， 则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为人. 故答案为：72. 13. 写出一个满足条件①②③的函数_____． ①的定义域为 ②的值域为 ③为的极值点 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】，满足定义域为 R，值域为，图象如下图： 所以是极大值点. 故答案为：.（答案不唯一） 14. 已知实数满足，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件确定目标式的几何意义，然后根据椭圆的知识，画图求最小值即可. 【详解】由，则， 所以，可以视为上半个椭圆上的点到点和到的距离之和， 又点恰好是椭圆的右焦点， 设左焦点为，则， 所以， 当且仅当三点共线时取得等号，此时点是直线与椭圆在第一象限内的交点. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：； （2）记的中点为，若，且，求的周长． 【答案】（1）证明见解析； （2）16. 【解析】 【分析】（1）应用正弦边角关系及三角恒等变换、三角形内角和性质化简已知条件为，即可证； （2）应用余弦定理及，进而得，结合已知（1）结论求边长，即可得. 【小问1详解】 由正弦定理，得， ， ， ， ，即， ，即； 【小问2详解】 由（1）及题设有，又， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 显然有，则， 整理得，即，又， 所以，从而， 的周长为. 16. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）是奇函数，证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）应用奇偶性的定义判定证明函数的奇偶性即可； （2）根据解析式判断函数的单调性，再利用奇偶性、单调性得对一切成立，最后应用分类讨论及二次函数的性质列不等式求参数范围. 【小问1详解】 是奇函数，证明如下， 的定义域为，关于原点对称， ， 是奇函数； 【小问2详解】 是增函数， 是上的减函数， 原不等式可化为， 即对一切成立， ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，则有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 17. 已知长方体中，分别为的中点，在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量证明线面垂直即可； （2）利用空间向量计算线面角即可； （3）利用空间向量计算点面距离即可. 【小问1详解】 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的法向量， 则，令，则， 所以是平面的一个法向量， 易知，所以也是平面的一个法向量， 平面. 【小问2详解】 同上建立的空间直角坐标系，所以， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则， 所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为，由， 则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 【小问3详解】 因为，又是平面一个法向量， 则到平面的距离为， 所以点到平面的距离为. 18. 如图，在直角坐标系中，，已知为角的终边上一点，且为角的终边上一点，且，记与矩形重合的部分的面积为． （1）求的解析式； （2）求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设为中点，分和两种情况可求得； （2）分和两种情况，利用换元法，结合函数的单调性可求得的最大值. 【小问1详解】 设为中点， ①当时，设与交于与交于，如下左图， 则， ②当时，设分别与交于，如上右图， 则， 综上所述，. 【小问2详解】 ①当时，， 设，当时，， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当，即时，取得最大值； ②当时，， 当时，，即， ， 综上所述，当时，取得最大值. 19. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是增函数，求的值； （3）当时，设为的极大值点，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出函数在时的导数，进而得到切线斜率，再结合切点坐标求出切线方程； （2）根据函数是增函数得出其导数恒大于等于，通过构造新函数求出的值； （3）先求出函数的导数，根据导数的零点确定极大值点，再通过极大值点的性质证明. 【小问1详解】 当时，， 易知， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 小问2详解】 ，不妨设， 若增函数，即，则，解得， 当时，， 所以在单调递减，在单调递增，， 当时，单调递增， 当时，单调递增， 所以单调递增，所以． 【小问3详解】 ， 因为在上单调递增，所以存在唯一， 使得， 所以， 不妨设， 所以单调递减，所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $