专题1.12有理数的混合运算（知识点总结+9大题型举一反三+同步练习）易错重难点培优同步讲义2025-2026学年华东师大版（2024）七年级上册

1.12有理数的混合运算 【题型1】有理数混合运算的层级、乘除及括号运算 1.核心知识点总结 运算层级：乘除（第二级）优先于加减（第一级），同级运算（乘除或加减）按从左到右顺序计算。 括号优先级：小括号＞中括号＞大括号，需从内到外依次计算；括号前是“”，去括号后括号内符号反向。 符号规则：乘除中，负因数个数为奇数时结果负，偶数时结果正；加减中，异号相加取绝对值较大数的符号。 2.高频考点梳理 多步乘除运算：如、。 加减乘除混合：如。 多层括号运算：如。 3.易错点警示 违背同级运算顺序：如错算为（正确为）。 去括号漏变号：如错算为（正确为）。 混淆运算层级：如错算为（正确为）。 4.解题技巧拆解 第一步：“分层划区”，用横线标注括号（从内到外算）、乘除部分（优先算），如。 第二步：算括号内（），再算中括号（），最后算括号外（）。 第三步：无括号时，先算乘除（，），再算加减（）。 【例题1】．（2024-2025•乳山市期末）计算：． 【变式题1-1】．（2024-2025•南郑区期末）计算： （1）； （2）﹣13+81÷（﹣3）2﹣5×|﹣7|． 【变式题1-2】．（2024-2025•内黄县期末）计算： （1）； （2）． 【变式题1-3】．（2024-2025•洪洞县期末）计算： （1）15.7+（﹣7.3）+（﹣13.7）+7.3； （2）． 【题型2】利用运算律简化有理数混合运算 1.核心知识点总结 加法运算律：交换律()、结合律()，常用于凑整(如)、凑0(如)。 乘法运算律：分配律(，逆用：)、交换律/结合律(如)。 2.高频考点梳理 逆用乘法分配律：如。 加法凑整简化：如。 3.易错点警示 分配律漏乘项：如计算时，错算为(正确应为)。 逆用分配律找错公因数：如计算时，错提公因数“”(正确应提“”，得)。 4.解题技巧拆解 第一步：观察式子结构，找“凑整对象”(如与、与)或“公因数”(如各项均含、)。 第二步：加法凑整用结合律(如)；乘法用分配律(如)。 【例题2】．（2024-2025•衡山县期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A．（﹣4）×3＝4×（﹣3） B． C． D． 【变式题2-1】．（2024-2025•绍兴期末）分配律用式子可表达为a×（b+c）＝a×b+a×c．下列四个计算： ①； ②； ③； ④． 适合运用分配律来简化计算的算式有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式题2-2】．（2024-2025•龙华区校级开学）简便计算． （1）199×4.5； （2）； （3）3.4×2.77+2.3×0.34； （4）； （5）（16.9×24）÷（8×13）． 【变式题2-3】．（2024-2025•余杭区开学）脱式计算，能简便的用简便方法计算． （1）540﹣360÷18+60； （2）6.4×250×1.25； （3）； （4）； （5）； （6）． 【题型3】有理数混合运算的纠错分析 1.核心知识点总结 常见错误类型：运算顺序错误（如先加减后乘除）、符号错误（乘方/去括号符号）、运算律应用错误（分配律漏乘）、数制转化错误（小数分数转化错）； 纠错核心：对照“运算顺序、符号规则、运算律”三大核心，逐步排查错误步骤。 2.高频考点梳理 运算顺序纠错（如“2+3×4”误算“5×4”），北京海淀期中真题纠错题考查； 乘方符号纠错（如“-2²”误算“4”），江苏南通期末真题纠错题考查； 去括号符号纠错（如“3-(2-5)”误算“3-2-5”），《初中必刷题》纠错专题高频出现。 3.易错点警示 忽略隐藏错误：如“(-2)×3-4÷2”虽结果对，但步骤先算“3-4”，仍属运算顺序错误； 只改结果不分析：仅写正确答案，未说明“运算顺序错误”等原因； 漏查多步错误：如“1-2×(-3)²”误算“(1-2)×9”，漏查“运算顺序+乘方优先级”双错误。 4.解题技巧拆解 技巧1：对标规则查步骤：按“乘方→乘除→加减”“括号优先”，逐步比对原过程； 技巧2：符号专项核验：重点检查乘方（-aⁿ与(-a)ⁿ）、去括号（括号前是“-”）的符号； 技巧3：运算律/数制核验：用分配律时查“每一项是否参与”，数制转化查“小数化分数是否正确”； 技巧4：重新计算找差异：按正确规则重算，对比原过程锁定错误步骤。 【例题3】．（2024-2025•安康期末）阅读计算：． 解：原式，…第一步 ．…第二步 ．…第三步 （1）开始出现错误的是第　 　 步； （2）请写出这个计算题的正确解题步骤． 【变式题3-1】．（2024-2025•江山市期末）计算：．小明同学的过程如下： 解：， ， ， ． （1）请指出最早开始出错的步骤，并说明错误原因． （2）写出你的解答过程． 【变式题3-2】．（2024-2025•竞秀区期末）嘉嘉与琪琪两位同学分别对（+3）+（﹣9）+（﹣3）和进行了计算，过程如下： 嘉嘉： 琪琪： 嘉嘉： （+3）+（﹣9）+（﹣3） ＝（+3）+（﹣3）+（﹣9）…步骤一 ＝[（+3）+（﹣3）]+（﹣9）…步骤二 ＝0+（﹣9）…步骤三 ＝﹣9…步骤四 琪琪： ② ＝﹣16÷1…③ ＝﹣16…④ （1）嘉嘉计算过程中，“步骤一”运用的运算律是 　 　 ；琪琪的运算有错误，请指出她开始出错的是第 　 　 步（填序号）． （2）请你计算：． 【变式题3-3】．（2024-2025•伊通县校级月考）阅读下列材料，完成下面任务： 巧用乘法分配律计算 周末的一天，我在一本数学杂志上看到这样一道题： 计算：，该杂志上的解法有如下两种方法： 方法1：原式； 方法2：原式的倒数，所以原式． 任务： （1）材料中的方法1是先求括号内的　 　 运算，再求括号外的　 　 运算（填“加法”“减法”“乘法”或“除法”）； （2）小明联想到材料的方法，给出了如下解法． 答案解：原式① ② ③ ④ ．⑤ 显然小明的解法是错误的，从第　 　 步开始出现错误（填序号）； （3）根据材料中的方法2计算：． 【题型4】有理数混合运算中的程序流程图问题(提升) 1.核心知识点总结 程序逻辑：按流程图的“输入→运算规则→判断→输出”步骤执行，若结果不满足输出条件，需循环代入计算。 运算转化：将流程图中的文字规则(如“平方后减5”)转化为数学表达式(如)。 2.高频考点梳理 单次程序运算：如输入，按“”计算输出结果。 循环程序运算：如输入，按“计算，若结果>1则输出，否则将结果重新输入”执行。 3.易错点警示 跳过判断步骤直接输出：如循环程序中，第一次计算结果为(不满足>1)，错直接输出(需重新代入计算)。 运算规则转化错误：如将“输入，先乘2再减3”错写为(正确应为)。 4.解题技巧拆解 第一步：“翻译”程序规则，用数学式子表示(如“输入→平方→减8→判断是否>1”，式子为)。 第二步：代入初始值计算，若满足输出条件则输出；若不满足，将当前结果作为新输入，重复计算(如输入：(不满足>1)，再代入：(仍不满足)，继续代入…直到满足)。 【例题4】．（2024-2025•环县期末）根据流程图中的程序，若输入x的值为﹣1，则输出y的值为（　　） A．187 B．70 C．7 D．5 【变式题4-1】．（2024-2025•任城区校级期末）如图是一个数值转换机，若输入的a值为﹣6，则输出的结果应为（　　） A．﹣8 B．4 C．16 D．﹣20 【变式题4-2】．（2024-2025•梅河口市校级期中）如图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题，当输入的数为﹣4时，最后输出的结果是 　 　 ． 【变式题4-3】．（2024-2025•顺义区期末）学习完有理数加、减、乘、除运算后，数学兴趣小组对新运算“a※b”进行了探究．探究过程如下： Ⅰ．给出了“a※b”的一些具体例子： 3※2＝+5；3※5＝﹣2；（﹣1.4）※（﹣1.4）＝0； 4※0＝+4；（﹣3.5）※5＝﹣1.5；3※3＝0； （﹣2）※（﹣5）＝+7；（﹣5）*（﹣3）＝﹣2； 1※（﹣3）＝+4；（﹣1）※0＝﹣1； 0※（﹣2）＝+2；0※5＝﹣5． Ⅱ．根据上面的例子，小华画出了“a※b”的部分流程图如下： Ⅲ．小明在小华的基础上进一步完善和改进，画出了“a※b”的流程图如下： 根据以上探究过程，完成下面问题： （1）在①a+b，②a﹣b，③a×b中，符合小华画的部分流程图的运算有 　 　 （只填序号）； （2）小明画的流程图中的A处应填 　 　 ，B处应填 　 　 ； （3）根据小明画的流程图解决下面问题： ①计算：（﹣1）※2024； ②若2024※x＝2025，则x的值为 　 　 ． 【题型5】有理数混合运算的实际应用(提升) 1.核心知识点总结 正负数表示：用正数表示“收入、上升、增加”，负数表示“支出、下降、减少”(如收入300元记为，支出150元记为)。 实际运算：根据题意列混合运算式，分步计算实际结果(如总利润=总收入-总支出，最终温度=初始温度+温度变化总和)。 2.高频考点梳理 利润计算：如某商店一周收支为、、、、，求周总利润。 温度变化：如初始温度，每小时下降，3小时后上升，求最终温度。 3.易错点警示 正负数符号搞反：如将“下降”记为(正确应为)，导致结果错误。 算式列错：如计算总利润时，错将“收入+支出”(正确应为“收入-支出”，即正数加负数)。 4.解题技巧拆解 第一步：“定方向”，明确正数、负数分别表示的实际意义，用表格整理已知数据(如收支：+500，-200，+300，-100，+150)。 第二步：列算式，将实际问题转化为混合运算(如总利润=500+(-200)+300+(-100)+150)。 第三步：分步计算，先算同号相加，再算异号相加(如，，最终)。 【例题5】．（2024-2025•滨城区校级开学）某种品牌的X型汽车2023年平均每辆汽车的生产及营销成本为10万元，平均每辆汽车的销售价为12万元，生产并售出2万辆；通过技术革新和营销策略调整后，2024年平均每辆汽车的生产及营销成本比上一年降低了20%，平均每辆汽车的销售价为9.8万元/辆，生产并售出2.5万辆．若X型汽车的年利润等于销售总价与生产及营销成本总价的差，则2024年X型汽车年利润的增长率为（　　） A．10% B．12.5% C．20% D．22.5% 【变式题5-1】．（2024-2025•尧都区校级开学）临汾市内电话的收费标准如下： 前3分钟 共计0.20元 以后每分钟 计费0.12元（不足1分钟的按照1分钟收费） 李老师给市内的张教授打了9分40秒的电话，应付电话费（　　）元． A．0.92元 B．0.94元 C．1元 D．1.04元 【变式题5-2】．（2024-2025•普宁市开学）甲、乙、丙三个商店同款足球的单价都是75元，但优惠方式各不相同（如下表），李老师要为学校购买10个足球，选择（　　）商店能让支付的金额最少． 商店 甲 乙 丙 优惠方式 买10个送1个 全场八折 每满100元，返还现金20元 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【变式题5-3】．（2024-2025•天桥区期末）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2000年为例：天干为（2000﹣3）÷10＝199……7；地支为（2000﹣3）÷12＝166……5；对照天干地支表得出，2000年为农历庚辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断2025年为农历（　　）年． A．乙巳 B．戊申 C．乙申 D．戊巳 【题型6】有理数混合运算与代数式求值的结合(提升) 1.核心知识点总结 代数式化简：先对代数式进行有理数混合运算(如合并同类项、计算乘方)，简化后再代入数值(减少计算量)。 代入规则：代入负数或分数时，需加括号(避免符号或运算顺序错误，如，代入为，而非)。 2.高频考点梳理 已知字母值求代数式值：如已知，，求的值。 已知字母关系求代数式值：如已知，，求的值。 3.易错点警示 代数式化简错误：如将错化简为(正确应为)。 代入时漏加括号：如，代入为(虽结果对，但规范写法为，避免复杂式子出错)。 4.解题技巧拆解 第一步：化简代数式(若可化简)：如无需化简，直接代入；若为，先化简为。 第二步：确定字母值(或关系)：如，则，故。 第三步：代入计算：如，，代入。 【例题6】．（2024-2025•礼县期末）若a，b互为倒数，c的绝对值为1，则c2023+ab的值是（　　） A．﹣1 B．0或2 C．0或﹣1 D．2 【变式题6-1】．（2024-2025•平舆县校级期末）已知a，b互为相反数，c是绝对值最小的数，m，n互为倒数，则a+b+c﹣mn﹣1的值等于（　　） A．2 B．4 C．﹣3 D．﹣2 【变式题6-2】．（2024-2025•邻水县期末）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，且c≠0，则（a+b）2﹣cd的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【变式题6-3】．（2024-2025•商城县期末）已知m、n互为相反数，c、d互为倒数，则m+n+3cd﹣10的值为 　 　 ． 【题型7】有理数混合运算与非负性的结合(培优) 1.核心知识点总结 非负性概念：有理数的平方()、绝对值()均为非负数(即结果≥0)。 非负性性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0(如，则且)。 2.高频考点梳理 已知非负性求字母值：如，求的值。 结合混合运算求值：如已知，，且，求的值。 3.易错点警示 忽略非负性的隐含条件：如已知，错认为(忽略的情况)。 多个非负数和为0时漏解：如，错只求(需同时求)。 4.解题技巧拆解 第一步：根据非负性性质，列出方程求字母值(如得，得)。 第二步：将字母值代入混合运算式，按运算顺序计算(如；若有多个字母值，需结合条件筛选，如且，时，时无符合条件的)。 【例题7】．（2024-2025•运河区校级期末）已知|x﹣5|+（x+y）2＝0，则xy的值为（　　） A．0 B．﹣20 C．25 D．﹣25 【变式题7-1】．（2024-2025•昭阳区期末）已知|a﹣3|+（2+b）2＝0，则代数式3a+2b的值为（　　） A．13 B．5 C．﹣5 D．﹣13 【变式题7-2】．（2024-2025•苍溪县期末）若（a+1）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2025的值是（　　） A．1 B．﹣2025 C．﹣1 D．2025 【变式题7-3】．（2024-2025•德阳期末）若|a﹣2|+（a+b﹣5）2＝0，那么代数式2a﹣b2的值为（　　） A．﹣5 B．7 C．﹣13 D．9 【题型8】新定义运算下的有理数混合运算(培优) 1.核心知识点总结 新定义规则：题目自定义一种运算符号(如、)，并给出运算公式(如)，需转化为常规有理数运算。 运算优先级：新定义运算需遵循“括号优先”，同级新定义运算从左到右。 2.高频考点梳理 单层新定义运算：如定义，计算。 多层新定义运算：如定义，计算。 3.易错点警示 误解新定义规则：如定义，错将算为(正确应为)。 多层新定义运算顺序错：如计算时，错先算(需先算括号内)。 4.解题技巧拆解 第一步：“翻译”新定义，将符号替换为常规运算(如，则)。 第二步：按有理数混合运算顺序计算，多层新定义需从内到外(如，再算)。 【例题8】．（2024-2025•云县期末）用“※”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定a※b＝ab+b2．如1※2＝1×2+22＝6，则﹣4※2的值为（　　） A．﹣4 B．8 C．4 D．﹣8 【变式题8-1】．（2024-2025•北碚区校级月考）定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b＝ab﹣b，等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：2⊗4＝2×4﹣4＝4，3⊗（﹣2）＝3×（﹣2）﹣（﹣2）＝﹣4，则（﹣4）⊗[2⊗（﹣3）]的值为（　　） A．3 B．9 C．15 D．27 【变式题8-2】．（2024-2025•北碚区校级月考）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，比如|x1﹣x2|在数轴上表示数x1，x2对应的点之间的距离．现定义一种“F运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对﹣2，2，5进行“F运算”，得|﹣2﹣2|+|﹣2﹣5|+|2﹣5|＝14．下列说法： ①对a，﹣2进行“F运算”的结果是5，则a的值是3； ②对b，﹣5，6进行“F运算”的结果是22，则b的取值范围是﹣5≤b≤6； ③对a，a，b，c进行“F运算”，化简后的结果可能存在8种不同的表达式． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式题8-3】．（2024-2025•北京校级开学）对于有理数a、b两个数．若定义a◎b． 例如，a＝1，b＝2，则a◎b＝1◎2．回答下面问题： （1）（﹣9）◎（﹣10）的运算结果为　 　 ． （2）设1◎，m◎（﹣2）＝n，n◎（）＝p，p◎3＝q，则q的值为　 　 ． （3）若在这些数中，任意选取两个数进行“◎”运算，则所有运算结果中最大的值是　 　 ． 【题型9】有理数混合运算中的规律探究题(培优) 1.核心知识点总结 常见规律：乘方个位数字循环规律(如的个位为循环)、递推规律(如)、裂项规律(如)。 规律应用：通过前几项找规律，用规律简化复杂混合运算(如计算)。 2.高频考点梳理 乘方个位规律：如求的个位数字。 求和规律：如计算。 3.易错点警示 规律周期判断错误：如认为的个位循环周期为3(实际为4：)。 规律应用范围错：如将错用于(需调整为)。 4.解题技巧拆解 第一步：列出前5项结果，找规律(如，，，，，发现个位周期为4)。 第二步：验证规律(如，个位为9，符合周期)。 第三步：用规律计算(如，无余数，故个位为1)。 【例题9】．（2024-2025•凤台县期末）符号“f”表示一种运算，它对一组数的运算如下： ，…… （1）利用以上运算的规律写出f（n）＝　 　 ；（n为正整数） （2）计算f（1）•f（2）•f（3）•f（4）•f（5）； （3）计算f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）． 【变式题9-1】．（2024-2025•市中区期末）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表××年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2024年为例： 天干为：（2024﹣3）÷10＝202…1；地支为：（2024﹣3）÷12＝168…5； 对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断，2044年应为（　　） A．癸亥年 B．癸酉年 C．甲辰年 D．甲子年 【变式题9-2】．（2024-2025•芜湖期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： （+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]； （﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]； 0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2． 0*0＝02+02＝0 （1）归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，　 　 ．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，　 　 ． （2）计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝　 　 ． （3）是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【变式题9-3】．（2024-2025•定海区一模）综合与实践 有趣的“乘法运算” 小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究． 【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘． 【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数． 例：14×94＝100×（1×9+4）+42＝1316，前积是13，后积是16 （1）26×86＝100×（2×8+6）+62＝2236，前积是　 　 ，后积是　 　 ； 【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果． （2）25×85＝　 　 ＝　 　 ； 【推理算法】记两位数分别是和，且a+b＝10，其中． （3）请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论不正确的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C． D．ab＜0 2．下列运算正确的是（　　） A．﹣2﹣1＝﹣1 B．﹣14＝1 C． D． 3．若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则的值为（　　） A． B．99! C．9900 D．2！ 4．对于有理数a、b，定义一种新运算，规定a⊕b＝﹣2a﹣b，则5⊕（﹣3）＝（　　） A．4 B．﹣4 C．7 D．﹣7 5．我们平常用的数是十进制的数，如2024＝2×103+0×102+2×101+4×100，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如：二进制中，1111＝1×23+1×22+1×21+1×20等于十进制的数15；10101＝1×24+0×23+1×22+0×21+1×20等于十进制的数21．请问二进制中的110101等于十进制中的数（　　） A．50 B．51 C．52 D．53 二．填空题（共5小题） 6．若定义有理数x，y有x★y＝xy，则﹣2★3＝　 　 ． 7．（9）÷（）＝　 　 ． 8．请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数﹣3，﹣4，5，7组成算式（每个数必须用一次且只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是 　 　 （写出一种即可）． 9．现定义一种新运算：x⊗y＝xy﹣x+y，如1⊗2＝1×2﹣1+2＝3，则[（﹣2）⊗5]⊗3＝　 　 ． 10．如图大球的体积是　 　 立方厘米． 三．解答题（共5小题） 11．计算： （1）； （2）（﹣1）2024×2﹣24÷4+|﹣3|； （3）； （4）． 12．（1）某地一天早晨的气温是﹣8℃，中午上升了11℃，半夜又降了10℃，半夜的气温是多少摄氏度？ （2）计算：． 13．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为1，p是数轴上到原点距离为1的数，求p2024﹣cd1的值． 14．小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ﹣2，+5，﹣1，+8，﹣3，﹣2，﹣4，+7． （注：向西记作“﹣”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： （1）小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ （2）公司规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 15．黄河口大闸蟹是东营的一大特产，现有20箱大闸蟹，以每箱3千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：千克） ﹣0.3 ﹣0.2 ﹣0.1 0 0.1 0.2 箱数 1 1 4 5 8 1 （1）20箱大闸蟹中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ （2）与标准重量比较，20箱大闸蟹总计超过或不足多少千克？ （3）若大闸蟹的成本为每千克售价60元，每箱售价200元（按箱出售）．这20箱大闸蟹全部售出，共盈利（或亏损）多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.12有理数的混合运算 【题型1】有理数混合运算的层级、乘除及括号运算 1.核心知识点总结 运算层级：乘除（第二级）优先于加减（第一级），同级运算（乘除或加减）按从左到右顺序计算。 括号优先级：小括号＞中括号＞大括号，需从内到外依次计算；括号前是“”，去括号后括号内符号反向。 符号规则：乘除中，负因数个数为奇数时结果负，偶数时结果正；加减中，异号相加取绝对值较大数的符号。 2.高频考点梳理 多步乘除运算：如、。 加减乘除混合：如。 多层括号运算：如。 3.易错点警示 违背同级运算顺序：如错算为（正确为）。 去括号漏变号：如错算为（正确为）。 混淆运算层级：如错算为（正确为）。 4.解题技巧拆解 第一步：“分层划区”，用横线标注括号（从内到外算）、乘除部分（优先算），如。 第二步：算括号内（），再算中括号（），最后算括号外（）。 第三步：无括号时，先算乘除（，），再算加减（）。 【例题1】．（2024-2025•乳山市期末）计算：． 【答案】． 【分析】先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟练掌握有理数的混合运算的法则是解题的关键． 【变式题1-1】．（2024-2025•南郑区期末）计算： （1）； （2）﹣13+81÷（﹣3）2﹣5×|﹣7|． 【答案】（1）150； （2）﹣27． 【分析】（1）先把除法转化为乘法，然后根据乘法法则计算即可； （2）先计算有理数的乘方以及化简绝对值，然后先乘除后加减进行计算即可． 【解答】解：（1） ＝150； （2）﹣13+81÷（﹣3）2﹣5×|﹣7| ＝﹣1+81÷9﹣5×7 ＝﹣1+9﹣35 ＝﹣27． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，有理数的混合运算，有理数的乘方，绝对值，熟练掌握以上运算规则是解题的关键． 【变式题1-2】．（2024-2025•内黄县期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0；（2）﹣4． 【分析】（1）先计算乘方，再计算除法，最后计算加法即可得； （2）先计算除法、乘法，再计算加法即可得． 【解答】解：（1） ＝0； （2） ＝﹣4+0 ＝﹣4． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键． 【变式题1-3】．（2024-2025•洪洞县期末）计算： （1）15.7+（﹣7.3）+（﹣13.7）+7.3； （2）． 【答案】（1）2； （2）﹣12． 【分析】（1）运用有理数加法的交换律和结合律，求解即可． （2）先运算乘方，再运算乘除，最后运算加减，即可作答． 【解答】解：（1）原式＝15.7+7.3+[（﹣7.3）+（﹣13.7）] ＝23+（﹣21） ＝2； （2）原式 ＝﹣2﹣（9+1） ＝﹣2﹣10 ＝﹣12． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的法则是解题的关键． 【题型2】利用运算律简化有理数混合运算 1.核心知识点总结 加法运算律：交换律()、结合律()，常用于凑整(如)、凑0(如)。 乘法运算律：分配律(，逆用：)、交换律/结合律(如)。 2.高频考点梳理 逆用乘法分配律：如。 加法凑整简化：如。 3.易错点警示 分配律漏乘项：如计算时，错算为(正确应为)。 逆用分配律找错公因数：如计算时，错提公因数“”(正确应提“”，得)。 4.解题技巧拆解 第一步：观察式子结构，找“凑整对象”(如与、与)或“公因数”(如各项均含、)。 第二步：加法凑整用结合律(如)；乘法用分配律(如)。 【例题2】．（2024-2025•衡山县期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A．（﹣4）×3＝4×（﹣3） B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数乘法运算、有理数混合运算法则逐项判断即可． 【解答】解：A、（﹣4）×3＝4×（﹣3）运用了乘法交换律，不符合题意； B、运用了乘法结合律，不符合题意； C、运用了乘法结合律，不符合题意； D、，原计算错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数乘法运算、有理数混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•绍兴期末）分配律用式子可表达为a×（b+c）＝a×b+a×c．下列四个计算： ①； ②； ③； ④． 适合运用分配律来简化计算的算式有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据题意将各式变形后进行判断即可． 【解答】解：①原式＝1×（﹣12）（﹣12）（﹣12），它可以利用乘法分配律，符合题意； ②无法利用乘法分配律，不符合题意； ③原式＝18×（0.125），它可以利用乘法分配律，符合题意； ④原式＝24×（1），它可以利用乘法分配律，符合题意； 综上，适合运用分配律来简化计算的算式有①③④， 故选：D． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•龙华区校级开学）简便计算． （1）199×4.5； （2）； （3）3.4×2.77+2.3×0.34； （4）； （5）（16.9×24）÷（8×13）． 【答案】（1）895.5； （2）9； （3）10.2； （4）25； （5）3.9． 【分析】（1）将199转化为200﹣1，利用乘法分配律简便计算； （2）利用加法交换律和结合律以及减法的性质进行简便计算； （3）通过变形，利用乘法分配律简便计算； （4）把、0.25、25%都转化为0.25，再利用乘法分配律计算； （5）利用乘除法的运算性质进行简便计算． 【解答】解：（1）原式＝（200﹣1）×4.5 ＝200×4.5﹣1×4.5 ＝900﹣4.5 ＝895.5； （2）原式 ＝10﹣1 ＝9； （3）原式＝3.4×2.77+0.23×3.4 ＝3.4×（2.77+0.23） ＝3.4×3 ＝10.2； （4）原式＝45×0.25+54×0.25+0.25×1 ＝0.25×（45+54+1） ＝0.25×100 ＝25； （5）原式＝16.9×24÷13÷8 ＝（16.9÷13）×（24÷8） ＝1.3×3 ＝3.9． 【点评】本题考查了四则运算的简便计算，解题的关键是灵活运用运算律． 【变式题2-3】．（2024-2025•余杭区开学）脱式计算，能简便的用简便方法计算． （1）540﹣360÷18+60； （2）6.4×250×1.25； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）580； （2）2000； （3）11.2； （4）； （5）57； （6）． 【分析】（1）按有理数的四则混合运算顺序，先除法后加减运算即可求解； （2）用乘法交换律、结合律，拆分6.4后计算； （3）用减法性质，利用加法结合律进行计算； （4）除法转化为乘法，用乘法分配律逆运算计算； （5）用乘法分配律计算； （6）百分数化分数，按有括号的运算顺序，小括号内用乘法交换律计算． 【解答】解：（1）540﹣360÷18+60 ＝540﹣20+60 ＝520+60 ＝580； （2）6.4×250×1.25 ＝0.8×8×250×1.25 ＝（250×0.8）×（8×1.25） ＝200×10 ＝2000； （3） ＝13.2﹣（） ＝13.2﹣2 ＝11.2； （4） （） ； （5）48×（） ＝36+66﹣45 ＝102﹣45 ＝57； （6） [（）] （） ． 【点评】本题考查有理数四则混合运算，关键是运用运算定律（乘法交换律、结合律、分配律，减法性质等）和运算顺序简算． 【题型3】有理数混合运算的纠错分析 1.核心知识点总结 常见错误类型：运算顺序错误（如先加减后乘除）、符号错误（乘方/去括号符号）、运算律应用错误（分配律漏乘）、数制转化错误（小数分数转化错）； 纠错核心：对照“运算顺序、符号规则、运算律”三大核心，逐步排查错误步骤。 2.高频考点梳理 运算顺序纠错（如“2+3×4”误算“5×4”），北京海淀期中真题纠错题考查； 乘方符号纠错（如“-2²”误算“4”），江苏南通期末真题纠错题考查； 去括号符号纠错（如“3-(2-5)”误算“3-2-5”），《初中必刷题》纠错专题高频出现。 3.易错点警示 忽略隐藏错误：如“(-2)×3-4÷2”虽结果对，但步骤先算“3-4”，仍属运算顺序错误； 只改结果不分析：仅写正确答案，未说明“运算顺序错误”等原因； 漏查多步错误：如“1-2×(-3)²”误算“(1-2)×9”，漏查“运算顺序+乘方优先级”双错误。 4.解题技巧拆解 技巧1：对标规则查步骤：按“乘方→乘除→加减”“括号优先”，逐步比对原过程； 技巧2：符号专项核验：重点检查乘方（-aⁿ与(-a)ⁿ）、去括号（括号前是“-”）的符号； 技巧3：运算律/数制核验：用分配律时查“每一项是否参与”，数制转化查“小数化分数是否正确”； 技巧4：重新计算找差异：按正确规则重算，对比原过程锁定错误步骤。 【例题3】．（2024-2025•安康期末）阅读计算：． 解：原式，…第一步 ．…第二步 ．…第三步 （1）开始出现错误的是第　一　 步； （2）请写出这个计算题的正确解题步骤． 【答案】（1）一； （2）． 【分析】（1）运用有理数的加减运算，括号里算得的结果是，由此可得第一步出错； （2）根据有理数的混合运算法则，先计算括号的数，再运用有理数的混合运算即可求解． 【解答】解：（1）括号内的运算结果为 ， ∴开始出现错误的是第一步， 故答案为：一； （2） ． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 【变式题3-1】．（2024-2025•江山市期末）计算：．小明同学的过程如下： 解：， ， ， ． （1）请指出最早开始出错的步骤，并说明错误原因． （2）写出你的解答过程． 【答案】（1）；错误原因是（）×8，（）计算错误； （2）见解析． 【分析】（1）根据题干中的解题步骤进行判断即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【解答】解：（1）由题干中的计算步骤可得最早开始出错的步骤是， 错误原因是（）×8，（）计算错误； （2）原式＝﹣4×（）﹣（）÷8 ＝3 ＝3 ＝3． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式题3-2】．（2024-2025•竞秀区期末）嘉嘉与琪琪两位同学分别对（+3）+（﹣9）+（﹣3）和进行了计算，过程如下： 嘉嘉： 琪琪： 嘉嘉： （+3）+（﹣9）+（﹣3） ＝（+3）+（﹣3）+（﹣9）…步骤一 ＝[（+3）+（﹣3）]+（﹣9）…步骤二 ＝0+（﹣9）…步骤三 ＝﹣9…步骤四 琪琪： ② ＝﹣16÷1…③ ＝﹣16…④ （1）嘉嘉计算过程中，“步骤一”运用的运算律是 　加法交换律　 ；琪琪的运算有错误，请指出她开始出错的是第 　②　 步（填序号）． （2）请你计算：． 【答案】（1）加法交换律；②； （2）． 【分析】（1）结合有理数混合运算的相关法则，由题干中的计算过程即可求得答案； （2）先算乘方，再算乘除即可． 【解答】解：（1）嘉嘉计算过程中，“步骤一”运用的运算律是加法交换律，琪琪的运算是从第②步开始出错的， 故答案为：加法交换律；②； （2）原式＝﹣16÷（﹣8）×（） ＝2×（） ． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式题3-3】．（2024-2025•伊通县校级月考）阅读下列材料，完成下面任务： 巧用乘法分配律计算 周末的一天，我在一本数学杂志上看到这样一道题： 计算：，该杂志上的解法有如下两种方法： 方法1：原式； 方法2：原式的倒数，所以原式． 任务： （1）材料中的方法1是先求括号内的　减法　 运算，再求括号外的　除法　 运算（填“加法”“减法”“乘法”或“除法”）； （2）小明联想到材料的方法，给出了如下解法． 答案解：原式① ② ③ ④ ．⑤ 显然小明的解法是错误的，从第　①　 步开始出现错误（填序号）； （3）根据材料中的方法2计算：． 【答案】（1）减法；除法；（2）①；（3）1． 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则判断即可； （2）根据除法法则解答即可； （3）仿照材料中的方法2计算即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，材料中的方法1是先求括号内的减法运算，再求括号外的除法运算． 故答案为：减法；除法； （2）小明从第①步开始出现错误． 故答案为：①； （3）原式的倒数为： ＝﹣10+12﹣1 ＝1， ∴原式＝1． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键． 【题型4】有理数混合运算中的程序流程图问题(提升) 1.核心知识点总结 程序逻辑：按流程图的“输入→运算规则→判断→输出”步骤执行，若结果不满足输出条件，需循环代入计算。 运算转化：将流程图中的文字规则(如“平方后减5”)转化为数学表达式(如)。 2.高频考点梳理 单次程序运算：如输入，按“”计算输出结果。 循环程序运算：如输入，按“计算，若结果>1则输出，否则将结果重新输入”执行。 3.易错点警示 跳过判断步骤直接输出：如循环程序中，第一次计算结果为(不满足>1)，错直接输出(需重新代入计算)。 运算规则转化错误：如将“输入，先乘2再减3”错写为(正确应为)。 4.解题技巧拆解 第一步：“翻译”程序规则，用数学式子表示(如“输入→平方→减8→判断是否>1”，式子为)。 第二步：代入初始值计算，若满足输出条件则输出；若不满足，将当前结果作为新输入，重复计算(如输入：(不满足>1)，再代入：(仍不满足)，继续代入…直到满足)。 【例题4】．（2024-2025•环县期末）根据流程图中的程序，若输入x的值为﹣1，则输出y的值为（　　） A．187 B．70 C．7 D．5 【答案】C 【分析】先根据题意把﹣1代入求出代数式的值，再判断出结果的符号，进而可得出结论． 【解答】解：当x＝﹣1时， （﹣1）2×3﹣5 ＝1×3﹣5 ＝3﹣5 ＝﹣2＜0， 当x＝﹣2时， （﹣2）2×3﹣5 ＝4×3﹣5 ＝12﹣5 ＝7＞0， ∴y＝7． 故选：C． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 【变式题4-1】．（2024-2025•任城区校级期末）如图是一个数值转换机，若输入的a值为﹣6，则输出的结果应为（　　） A．﹣8 B．4 C．16 D．﹣20 【答案】C 【分析】先列式，再计算即可． 【解答】解：由数值转换机，若输入的a值为﹣6， 则[（﹣6）2﹣4]×0.5 ＝（36﹣4）×0.5 ＝32×0.5 ＝16， 故选：C． 【点评】本题考查的是程序框图与有理数的混合运算，理解程序框图的含义是解本题的关键， 【变式题4-2】．（2024-2025•梅河口市校级期中）如图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题，当输入的数为﹣4时，最后输出的结果是 　　 ． 【答案】． 【分析】根据题中的程序流程图，将x＝﹣4代入计算得到结果为3＞1，再将x＝3代入计算得到结果为，即可得到最后输出的结果． 【解答】解：当x＝﹣4时， ＝3＞1， 当x＝3时， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【变式题4-3】．（2024-2025•顺义区期末）学习完有理数加、减、乘、除运算后，数学兴趣小组对新运算“a※b”进行了探究．探究过程如下： Ⅰ．给出了“a※b”的一些具体例子： 3※2＝+5；3※5＝﹣2；（﹣1.4）※（﹣1.4）＝0； 4※0＝+4；（﹣3.5）※5＝﹣1.5；3※3＝0； （﹣2）※（﹣5）＝+7；（﹣5）*（﹣3）＝﹣2； 1※（﹣3）＝+4；（﹣1）※0＝﹣1； 0※（﹣2）＝+2；0※5＝﹣5． Ⅱ．根据上面的例子，小华画出了“a※b”的部分流程图如下： Ⅲ．小明在小华的基础上进一步完善和改进，画出了“a※b”的流程图如下： 根据以上探究过程，完成下面问题： （1）在①a+b，②a﹣b，③a×b中，符合小华画的部分流程图的运算有 　②　 （只填序号）； （2）小明画的流程图中的A处应填 　绝对值相加　 ，B处应填 　绝对值相减　 ； （3）根据小明画的流程图解决下面问题： ①计算：（﹣1）※2024； ②若2024※x＝2025，则x的值为 　±1或﹣4049　 ． 【答案】（1）②； （2）绝对值相加，绝对值相减； （3）①﹣2023； ②±1或4049． 【分析】（1）根据有理数的加、减，乘法运算法则和新定义的运算法则求解； （2）根据特殊到一般的关系求解； （3）根据新定义求解． 【解答】解：（1）a+b的符号跟a、b的关系有关，可正可负可0， 当a＝b时，a﹣b＝0， a×b的符号根据a、b的符号是否相同有关，也是可正可负可0， 故答案为：②； （2）小明画的流程图中的A处为：绝对值相加，B处应为绝对值相减； 故答案为：绝对值相加，绝对值相减； （3）①（﹣1）※2024＝﹣（2024﹣1）＝﹣2023； ②当2024＞x时，2024※x＝2024+|x|＝2025， 解得：x＝±1， 当2024＜x时，2024※x＝﹣（2024﹣|x|）＝2025， 解得：x＝4049， 故答案为：±1或4049． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键． 【题型5】有理数混合运算的实际应用(提升) 1.核心知识点总结 正负数表示：用正数表示“收入、上升、增加”，负数表示“支出、下降、减少”(如收入300元记为，支出150元记为)。 实际运算：根据题意列混合运算式，分步计算实际结果(如总利润=总收入-总支出，最终温度=初始温度+温度变化总和)。 2.高频考点梳理 利润计算：如某商店一周收支为、、、、，求周总利润。 温度变化：如初始温度，每小时下降，3小时后上升，求最终温度。 3.易错点警示 正负数符号搞反：如将“下降”记为(正确应为)，导致结果错误。 算式列错：如计算总利润时，错将“收入+支出”(正确应为“收入-支出”，即正数加负数)。 4.解题技巧拆解 第一步：“定方向”，明确正数、负数分别表示的实际意义，用表格整理已知数据(如收支：+500，-200，+300，-100，+150)。 第二步：列算式，将实际问题转化为混合运算(如总利润=500+(-200)+300+(-100)+150)。 第三步：分步计算，先算同号相加，再算异号相加(如，，最终)。 【例题5】．（2024-2025•滨城区校级开学）某种品牌的X型汽车2023年平均每辆汽车的生产及营销成本为10万元，平均每辆汽车的销售价为12万元，生产并售出2万辆；通过技术革新和营销策略调整后，2024年平均每辆汽车的生产及营销成本比上一年降低了20%，平均每辆汽车的销售价为9.8万元/辆，生产并售出2.5万辆．若X型汽车的年利润等于销售总价与生产及营销成本总价的差，则2024年X型汽车年利润的增长率为（　　） A．10% B．12.5% C．20% D．22.5% 【答案】B 【分析】根据题意分别求出2023、2024年X型汽车的年利润，然后即可计算出2024年X型汽车年利润的增长率． 【解答】解：由题意得， 2023年X型汽车年利润为（120000﹣100000）×20000 ＝20000×20000 ＝400000000（元）， 2024年X型汽车年利润为[98000﹣100000×（1﹣20%）]×25000 ＝（98000﹣100000×0.8）×25000 ＝（98000﹣80000）×25000 ＝18000×25000 ＝450000000（元）， ∴2024年X型汽车年利润的增长率为， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数混合运算的实际应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•尧都区校级开学）临汾市内电话的收费标准如下： 前3分钟 共计0.20元 以后每分钟 计费0.12元（不足1分钟的按照1分钟收费） 李老师给市内的张教授打了9分40秒的电话，应付电话费（　　）元． A．0.92元 B．0.94元 C．1元 D．1.04元 【答案】D 【分析】根据题意可以列出算式0.20+（10﹣3）×0.12，然后计算即可． 【解答】解：由题意可得， 李老师应付电话费为：0.20+（10﹣3）×0.12 ＝0.20+7×0.12 ＝0.20+0.84 ＝1.04（元）， 故选：D． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•普宁市开学）甲、乙、丙三个商店同款足球的单价都是75元，但优惠方式各不相同（如下表），李老师要为学校购买10个足球，选择（　　）商店能让支付的金额最少． 商店 甲 乙 丙 优惠方式 买10个送1个 全场八折 每满100元，返还现金20元 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据三家商店的优惠方式，分别计算甲、乙、丙三个商店购买10个足球的实际支付金额，然后比较即可选择费用最低的商店． 【解答】解：根据三家商店的优惠方式，分别计算甲、乙、丙三个商店购买10个足球的实际支付金额为： 甲商店：优惠为“买10个送1个”，购买10个需支付10×75＝750元，但实际得到11个，因李老师只需10个，需按原价支付750元； 乙商店：全场八折，总金额为10×75＝750元，打八折后为750×0.8＝600（元）； 丙商店：每满100元返20元现金，总金额750元中含7个完整的100元，返现7×20＝140（元），实际支付750﹣140＝610（元）； ∵600＜610＜750， ∴乙商店实际支付金额最少，为600元， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数乘法和减法的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•天桥区期末）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2000年为例：天干为（2000﹣3）÷10＝199……7；地支为（2000﹣3）÷12＝166……5；对照天干地支表得出，2000年为农历庚辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断2025年为农历（　　）年． A．乙巳 B．戊申 C．乙申 D．戊巳 【答案】A 【分析】根据题意，列出算式进行计算，然后根据表格中的信息，即可写出2025年对应的农历年． 【解答】解：天干为：（2025﹣3）÷10＝202……2； 地支为：（2025﹣3）÷12＝168……6， 所以2025年应为乙巳年． 故选：A． 【点评】本题考查有理数运算的实际应用，掌握天干，地支的确定方法，正确的列出算式是解题的关键． 【题型6】有理数混合运算与代数式求值的结合(提升) 1.核心知识点总结 代数式化简：先对代数式进行有理数混合运算(如合并同类项、计算乘方)，简化后再代入数值(减少计算量)。 代入规则：代入负数或分数时，需加括号(避免符号或运算顺序错误，如，代入为，而非)。 2.高频考点梳理 已知字母值求代数式值：如已知，，求的值。 已知字母关系求代数式值：如已知，，求的值。 3.易错点警示 代数式化简错误：如将错化简为(正确应为)。 代入时漏加括号：如，代入为(虽结果对，但规范写法为，避免复杂式子出错)。 4.解题技巧拆解 第一步：化简代数式(若可化简)：如无需化简，直接代入；若为，先化简为。 第二步：确定字母值(或关系)：如，则，故。 第三步：代入计算：如，，代入。 【例题6】．（2024-2025•礼县期末）若a，b互为倒数，c的绝对值为1，则c2023+ab的值是（　　） A．﹣1 B．0或2 C．0或﹣1 D．2 【答案】B 【分析】先根据倒数，绝对值的意义得出ab＝1，c＝±1，然后分当c＝1时和当c＝﹣1时分别代入代数式求值即可． 【解答】解：∵a，b互为倒数，c的绝对值为1 ∴ab＝1，|c|＝1， ∴c＝±1， 当c＝1时，c2023+ab ＝12023+1 ＝1+1 ＝2； 当c＝﹣1时，c2023+ab ＝（﹣1）2023+1 ＝﹣1+1 ＝0； 由上可得，c2023+ab的值是2或0， 故选项A、C、D不符合题意，选项B符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•平舆县校级期末）已知a，b互为相反数，c是绝对值最小的数，m，n互为倒数，则a+b+c﹣mn﹣1的值等于（　　） A．2 B．4 C．﹣3 D．﹣2 【答案】D 【分析】根据a，b互为相反数，c是绝对值最小的数，m，n互为倒数，可以得到a+b＝0，c＝0，mn＝1，然后代入所求式子计算即可． 【解答】解：∵a，b互为相反数，c是绝对值最小的数，m，n互为倒数， ∴a+b＝0，c＝0，mn＝1， ∴a+b+c﹣mn﹣1 ＝0+0﹣1﹣1 ＝﹣2， 故选：D． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•邻水县期末）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，且c≠0，则（a+b）2﹣cd的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【答案】D 【分析】由a，b互为相反数得a+b＝0，由c，d互为倒数得cd＝1，然后代入求值即可． 【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，且c≠0， ∴a+b＝0，cd＝1， ∴（a+b）2﹣cd＝0﹣1＝﹣1． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•商城县期末）已知m、n互为相反数，c、d互为倒数，则m+n+3cd﹣10的值为 　﹣7　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据相反数，倒数的意义可得m+n＝0，cd＝1，然后代入式子中进行计算即可解答． 【解答】解：∵m、n互为相反数，c、d互为倒数， ∴m+n＝0，cd＝1， ∴m+n+3cd﹣10 ＝0+3×1﹣10 ＝0+3﹣10 ＝﹣7， 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相反数，倒数的意义是解题的关键． 【题型7】有理数混合运算与非负性的结合(培优) 1.核心知识点总结 非负性概念：有理数的平方()、绝对值()均为非负数(即结果≥0)。 非负性性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0(如，则且)。 2.高频考点梳理 已知非负性求字母值：如，求的值。 结合混合运算求值：如已知，，且，求的值。 3.易错点警示 忽略非负性的隐含条件：如已知，错认为(忽略的情况)。 多个非负数和为0时漏解：如，错只求(需同时求)。 4.解题技巧拆解 第一步：根据非负性性质，列出方程求字母值(如得，得)。 第二步：将字母值代入混合运算式，按运算顺序计算(如；若有多个字母值，需结合条件筛选，如且，时，时无符合条件的)。 【例题7】．（2024-2025•运河区校级期末）已知|x﹣5|+（x+y）2＝0，则xy的值为（　　） A．0 B．﹣20 C．25 D．﹣25 【答案】D． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x﹣5|+（x+y）2＝0， ∴x﹣5＝0，x+y＝0， ∴x＝5，y＝﹣5， ∴xy＝5×（﹣5）＝﹣25． 故选：D． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题7-1】．（2024-2025•昭阳区期末）已知|a﹣3|+（2+b）2＝0，则代数式3a+2b的值为（　　） A．13 B．5 C．﹣5 D．﹣13 【答案】B． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a﹣3|+（2+b）2＝0， ∴a﹣3＝0，2+b＝0， ∴a＝3，b＝﹣2， ∴3a+2b＝3×3+2×（﹣2）＝5． 故选：B． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•苍溪县期末）若（a+1）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2025的值是（　　） A．1 B．﹣2025 C．﹣1 D．2025 【答案】A． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵（a+1）2+|b﹣2|＝0， ∴a+1＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣1，b＝2， ∴（a+b）2025＝（﹣1+2）2025＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题7-3】．（2024-2025•德阳期末）若|a﹣2|+（a+b﹣5）2＝0，那么代数式2a﹣b2的值为（　　） A．﹣5 B．7 C．﹣13 D．9 【答案】A． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a﹣2|+（a+b﹣5）2＝0， ∴a﹣2＝0，a+b﹣5＝0， ∴a＝2，b＝3， ∴2a﹣b2＝2×2﹣32＝﹣5． 故选：A． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【题型8】新定义运算下的有理数混合运算(培优) 1.核心知识点总结 新定义规则：题目自定义一种运算符号(如、)，并给出运算公式(如)，需转化为常规有理数运算。 运算优先级：新定义运算需遵循“括号优先”，同级新定义运算从左到右。 2.高频考点梳理 单层新定义运算：如定义，计算。 多层新定义运算：如定义，计算。 3.易错点警示 误解新定义规则：如定义，错将算为(正确应为)。 多层新定义运算顺序错：如计算时，错先算(需先算括号内)。 4.解题技巧拆解 第一步：“翻译”新定义，将符号替换为常规运算(如，则)。 第二步：按有理数混合运算顺序计算，多层新定义需从内到外(如，再算)。 【例题8】．（2024-2025•云县期末）用“※”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定a※b＝ab+b2．如1※2＝1×2+22＝6，则﹣4※2的值为（　　） A．﹣4 B．8 C．4 D．﹣8 【答案】A 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【解答】解：根据题中的新定义得： ﹣4※2 ＝﹣4×2+22 ＝﹣8+4 ＝﹣4． 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•北碚区校级月考）定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b＝ab﹣b，等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：2⊗4＝2×4﹣4＝4，3⊗（﹣2）＝3×（﹣2）﹣（﹣2）＝﹣4，则（﹣4）⊗[2⊗（﹣3）]的值为（　　） A．3 B．9 C．15 D．27 【答案】C 【分析】先算2⊗（﹣3），列式为2×（﹣3）﹣（﹣3），然后再算（﹣4）⊗[2⊗（﹣3）]即可． 【解答】解：2⊗（﹣3） ＝2×（﹣3）﹣（﹣3） ＝﹣6+3 ＝﹣3， 则（﹣4）⊗[2⊗（﹣3）] ＝（﹣4）⊗（﹣3） ＝（﹣4）×（﹣3）﹣（﹣3） ＝12+3 ＝15， 故选：C． 【点评】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【变式题8-2】．（2024-2025•北碚区校级月考）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，比如|x1﹣x2|在数轴上表示数x1，x2对应的点之间的距离．现定义一种“F运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对﹣2，2，5进行“F运算”，得|﹣2﹣2|+|﹣2﹣5|+|2﹣5|＝14．下列说法： ①对a，﹣2进行“F运算”的结果是5，则a的值是3； ②对b，﹣5，6进行“F运算”的结果是22，则b的取值范围是﹣5≤b≤6； ③对a，a，b，c进行“F运算”，化简后的结果可能存在8种不同的表达式． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据“F运算”的运算方法进行运算可判断①和②；先根据“F运算”的运算方法进行运算，再分类化简绝对值符号，即可判断③，综上即可求解． 【解答】解：①由题意得，|m+2|＝5， 解得m＝﹣7或3，故①错误； ②由题意得|b+5|+|b﹣6|+|﹣5﹣6|＝22， 即|b+5|+|b﹣6|＝11， ∴﹣5≤b≤6，故②正确； ③对a，a，b，c进行“F运算”得，2|a﹣b|+2|a﹣c|+|b﹣c|， 当a﹣b≥0，a﹣c≥0，b﹣c≥0，原式＝2（a﹣b）+2（a﹣c）+b﹣c＝4a﹣b﹣3c， 当a﹣b≥0，a﹣c≥0，b﹣c≤0，原式＝2（a﹣b）+2（a﹣c）﹣b+c＝4a﹣3b﹣c， 当a﹣b≥0，a﹣c≤0，b﹣c≤0，原式＝2（a﹣b）﹣2a+2c﹣b+c＝﹣3b+3c， 当a﹣b≥0，a﹣c≥0，b﹣c≤0，原式＝2（a﹣b）+2（a﹣c）﹣b+c＝4a﹣3b﹣c， 当a﹣b≤0，a﹣c≤0，b﹣c≤0，原式＝﹣2a+2b﹣2a+2c﹣b+c＝﹣4a+b+3c， 当a﹣b≤0，a﹣c≥0，b﹣c≥0，原式＝﹣2a+2b+2a﹣2c+b﹣c＝3b﹣3c， 当a﹣b≤0，a﹣c≤0，b﹣c≥0，原式＝﹣2a+2b﹣2a+2c+b﹣c＝﹣4a+3b+c， 当a﹣b≤0，a﹣c≤0，b﹣c≥0，原式＝﹣2a+2b﹣2a+2c+b﹣c＝﹣4a+3b﹣c， ∴a，b，c的“F运算”化简后的结果可能存在8种不同的表达式，故③正确； 故选：C． 【点评】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，理解新定义运算是解题的关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•北京校级开学）对于有理数a、b两个数．若定义a◎b． 例如，a＝1，b＝2，则a◎b＝1◎2．回答下面问题： （1）（﹣9）◎（﹣10）的运算结果为　﹣10　 ． （2）设1◎，m◎（﹣2）＝n，n◎（）＝p，p◎3＝q，则q的值为　﹣2　 ． （3）若在这些数中，任意选取两个数进行“◎”运算，则所有运算结果中最大的值是　　 ． 【答案】（1）﹣10； （2）﹣2； （3）． 【分析】（1）利用新定义计算即可； （2）根据新定义可得a◎b，再比较有理数的大小即可得出答案； （3）由题意得，这些数中最大的两个数分别为和，且◎，根据新定义分析可得，当选取的两个数其中一个小于时，则这两个数进行“◎”运算的值一定小于，据此即可解答． 【解答】解：（1）原式 ＝﹣10， 故答案为：﹣10； （2）当a≥b时，a◎b， 当a＜b时，a◎b， 那么a◎b， ∵， ∴1◎， 即， ∵， ∴◎（﹣2）＝﹣2， 即n＝﹣2， ∵﹣2， ∴（﹣2）◎（）＝﹣2， 即p＝﹣2， ∵﹣2＜3， ∴（﹣2）◎3＝﹣2， 即q＝﹣2， 故答案为：﹣2； （3）由题意得，这些数中最大的两个数分别为和，且◎， 当选取的两个数其中一个小于时，则这两个数进行“◎”运算的值一定小于， ∴所有运算结果中最大的值是， 故答案为：． 【点评】本题考查了定义新运算、有理数加减的混合运算、绝对值、有理数的大小比较，理解新定义是解题的关键． 【题型9】有理数混合运算中的规律探究题(培优) 1.核心知识点总结 常见规律：乘方个位数字循环规律(如的个位为循环)、递推规律(如)、裂项规律(如)。 规律应用：通过前几项找规律，用规律简化复杂混合运算(如计算)。 2.高频考点梳理 乘方个位规律：如求的个位数字。 求和规律：如计算。 3.易错点警示 规律周期判断错误：如认为的个位循环周期为3(实际为4：)。 规律应用范围错：如将错用于(需调整为)。 4.解题技巧拆解 第一步：列出前5项结果，找规律(如，，，，，发现个位周期为4)。 第二步：验证规律(如，个位为9，符合周期)。 第三步：用规律计算(如，无余数，故个位为1)。 【例题9】．（2024-2025•凤台县期末）符号“f”表示一种运算，它对一组数的运算如下： ，…… （1）利用以上运算的规律写出f（n）＝　1　 ；（n为正整数） （2）计算f（1）•f（2）•f（3）•f（4）•f（5）； （3）计算f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）． 【答案】（1）1； （2）21； （3）5151． 【分析】（1）根据f（1）⋅f（2）⋅f（3）⋅f（4）的运算方法，写出f（n）的表达式即可． （2）根据（1）中求出的f（n）的表达式，求出f（1）⋅f（2）⋅f（3）⋅f（4）⋅f（5）的值是多少即可． （3）根据（1）中求出的f（n）的表达式，求出f（1）⋅f（2）⋅f（3）⋅…⋅f（100）的值是多少即可． 【解答】解：（1）∵， ∴． 故答案为：1； （2）∵，， ∴f（1）⋅f（2）⋅f（3）⋅f（4）⋅f（5） ＝21； （3）f（1）⋅f（2）⋅f（3）⋅…⋅f（100） ＝5151． 【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【变式题9-1】．（2024-2025•市中区期末）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表××年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2024年为例： 天干为：（2024﹣3）÷10＝202…1；地支为：（2024﹣3）÷12＝168…5； 对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断，2044年应为（　　） A．癸亥年 B．癸酉年 C．甲辰年 D．甲子年 【答案】D 【分析】根据题意，可以计算出2004年对应的天干和地支，从而可以得到2044年应为农历哪一年． 【解答】解：由题意可得， 天干为：（2044﹣3）÷10＝204…1；地支为：（2044﹣3）÷12＝170…1； 对照天干地支表得出，2044年为农历甲子年， 故选：D． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式题9-2】．（2024-2025•芜湖期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： （+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]； （﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]； 0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2． 0*0＝02+02＝0 （1）归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，　同号得正，异号得负，并把两数的平方相加　 ．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，　等于这个数的平方　 ． （2）计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝　17　 ． （3）是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）首先根据*运算的运算法则进行运算的算式，归纳出*运算的运算法则即可；然后根据：0*（﹣5）＝（﹣5）2；（+3）*0）＝（+3）2，可得：0和任何数进行* 运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方． （2）根据（1）中总结出的*运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出（+1）*[0*（﹣2）]的值是多少即可． （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【解答】解：（1）归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方． 故答案为：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； （2）（+1）*[0*（﹣2）] ＝（+1）*（﹣2）2 ＝（+1）*4 ＝+（12+42） ＝1+16 ＝17． 故答案为：17； （3）∵（m﹣1）*（n+2）＝0， ∴±[（m﹣1）2+（n+2）2]＝0 ∴m﹣1＝0，n+2＝0， 解得m＝1，n＝﹣2． 【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用． 【变式题9-3】．（2024-2025•定海区一模）综合与实践 有趣的“乘法运算” 小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究． 【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘． 【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数． 例：14×94＝100×（1×9+4）+42＝1316，前积是13，后积是16 （1）26×86＝100×（2×8+6）+62＝2236，前积是　22　 ，后积是　36　 ； 【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果． （2）25×85＝　100（2×8+5）+52　 ＝　2125　 ； 【推理算法】记两位数分别是和，且a+b＝10，其中． （3）请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明． 【答案】（1）22；36；（2）100×（2×8+5）+52；2125；（3）算法介绍中的运算规律为：记两位数分别是和，且a+b＝10，其中，那么100（ab+c）+c2.证明见解析． 【分析】（1）利用题干中的示例的方法解答即可； （2）仿照例题的解答过程运算即可； （3）利用多项式乘以多项式的法则运算即可． 【解答】解：（1）∵26×86＝100×（2×8+6）+62＝2236， ∴前积是22，后积是36． 故答案为：22；36； （2）25×85＝100×（2×8+5）+52＝2125． 故答案为：100×（2×8+5）+52；2125； （3）算法介绍中的运算规律为：记两位数分别是和，且a+b＝10，其中，那么100（ab+c）+c2． 证明：∵， ∴ ＝（10a+c）（10b+c） ＝100ab+10（a+b）c+c2， ∵a+b＝10， ∴ ＝100ab+100c+c2 ＝100（ab+c）+c2． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，数字变化的规律，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 C D C D D 一．选择题（共5小题） 1．有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论不正确的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C． D．ab＜0 【答案】C 【分析】首先根据题意得到a＜0＜b，|a|＞|b|，然后逐项判断即可． 【解答】解：由题意得，a+b＜0，a﹣b＜0，，ab＜0， ∴四个选项中只有C选项的结论错误，符合题意， 故选：C． 【点评】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，有理数的四则运算，根据题意得到a＜0＜b，|a|＞|b|是解题的关键． 2．下列运算正确的是（　　） A．﹣2﹣1＝﹣1 B．﹣14＝1 C． D． 【答案】D 【分析】利用有理数的加减运算的法则，有理数的除法的法则，乘方对各项进行运算即可． 【解答】解：A、﹣2﹣1＝﹣3，故A不符合题意； B、﹣14＝﹣1，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、5÷（）＝﹣10，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 3．若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则的值为（　　） A． B．99! C．9900 D．2！ 【答案】C 【分析】根据所给的运算，结合有理数的相应的运算法则进行求解即可． 【解答】解： ＝100×99 ＝9900． 故选：C． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 4．对于有理数a、b，定义一种新运算，规定a⊕b＝﹣2a﹣b，则5⊕（﹣3）＝（　　） A．4 B．﹣4 C．7 D．﹣7 【答案】D 【分析】根据新定义代入计算即可． 【解答】解：5⊕（﹣3）＝﹣2×5﹣（﹣3）＝﹣10+3＝﹣7， 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 5．我们平常用的数是十进制的数，如2024＝2×103+0×102+2×101+4×100，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如：二进制中，1111＝1×23+1×22+1×21+1×20等于十进制的数15；10101＝1×24+0×23+1×22+0×21+1×20等于十进制的数21．请问二进制中的110101等于十进制中的数（　　） A．50 B．51 C．52 D．53 【答案】D 【分析】根据二进制与十进制之间的转换法则列出运算式子，计算含乘方的有理数混合运算即可得． 【解答】解：根据二进制与十进制之间的转换法则列出运算式子考点： 二进制中的110101等于十进制中的数为1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20 ＝32+16+0+4+0+1 ＝53， 故选：D． 【点评】本题考查了含乘方的有理数混合运算，理解二进制与十进制之间的转换关系是解题关键． 二．填空题（共5小题） 6．若定义有理数x，y有x★y＝xy，则﹣2★3＝　﹣8　 ． 【答案】﹣8． 【分析】根据新定义计算即可． 【解答】解：∵x★y＝xy， ∴﹣2★3＝（﹣2）3＝﹣8， 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查有理数的乘方和新定义运算，解题的关键是掌握有理数乘方的法则． 7．（9）÷（）＝　13　 ． 【答案】13． 【分析】先算括号里面的，再算除法即可． 【解答】解：原式＝（）÷（） ＝（） ＝（） 97 （7+9） 16 ＝13， 故答案为：13． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 8．请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数﹣3，﹣4，5，7组成算式（每个数必须用一次且只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是 　﹣3×（﹣4）×（7﹣5）（答案不唯一）　 （写出一种即可）． 【答案】﹣3×（﹣4）×（7﹣5）（答案不唯一）． 【分析】根据有理数的加减乘除运算法则求解即可得． 【解答】解：∵12×2＝24，（﹣3）×（﹣4）＝12，7﹣5＝2， ∴列出的算式可以是﹣3×（﹣4）×（7﹣5）， 故答案为：﹣3×（﹣4）×（7﹣5）（答案不唯一）． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 9．现定义一种新运算：x⊗y＝xy﹣x+y，如1⊗2＝1×2﹣1+2＝3，则[（﹣2）⊗5]⊗3＝　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：（﹣2）⊗5 ＝﹣2×5+2+5 ＝﹣3， [（﹣2）⊗5]⊗3 ＝﹣3⊗3 ＝﹣3×3+3+3 ＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 10．如图大球的体积是　5　 立方厘米． 【答案】5． 【分析】由第二幅图和第三幅图可知加入三个小玻璃球后，排出水的体积增加了6cm3，可求得每个小球的体积，即可根据第二幅图得到答案． 【解答】解：由图可知，三个小玻璃球排出水的体积为13﹣7＝6（cm3）， ∴每个小球的体积是：6÷3＝2（cm3）， 由第二幅图可得，每个大玻璃球的体积是：7﹣2＝5（cm3）， 故答案为：5． 【点评】本题考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是读懂题意，求出每个小球的体积． 三．解答题（共5小题） 11．计算： （1）； （2）（﹣1）2024×2﹣24÷4+|﹣3|； （3）； （4）． 【答案】（1）0； （2）1； （3）﹣6； （4）4． 【分析】（1）运用乘法分配律计算即可； （2）先运算乘方和化简绝对值，然后运算乘除，最后运算加减，即可作答； （3）先运算乘方和化简绝对值，然后运算乘除，最后运算加减，即可作答； （4）根据含乘方的有理数的混合运算法则计算即可得解． 【解答】解：（1）原式（﹣60） ＝﹣45﹣25+70 ＝0； （2）原式＝1×2﹣16÷4+3 ＝2﹣4+3 ＝1； （3）原式＝﹣1+（﹣3）×（）﹣6 ＝﹣1+1﹣6 ＝﹣6； （4）原式＝﹣9÷3+（）×12+9 ＝﹣9÷39 ＝﹣3+6﹣8+9 ＝4． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 12．（1）某地一天早晨的气温是﹣8℃，中午上升了11℃，半夜又降了10℃，半夜的气温是多少摄氏度？ （2）计算：． 【答案】（1）﹣7℃； （2）113． 【分析】（1）根据题意可以得到算式﹣8+11+（﹣10），再计算即可； （2）先计算乘方，去绝对值，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【解答】解：（1）由题意可得， ﹣8+11+（﹣10） ＝3+（﹣10） ＝﹣7， 即半夜的气温是﹣7℃； （2）原式 ＝﹣2+100+14+1 ＝113． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 13．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为1，p是数轴上到原点距离为1的数，求p2024﹣cd1的值． 【答案】2． 【分析】利用相反数，绝对值，倒数以及数轴的特点求出各自的值，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为1，p是数轴上到原点距离为1的数， ∴a+b＝0，cd＝1，m＝1或﹣1，p＝﹣1或1， ∴p2024＝（±1）2024＝1，m2＝（±1）2＝1， 则 ＝1﹣1+0+1+1 ＝2． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，数轴，掌握有理数的混合运算法则是关键． 14．小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ﹣2，+5，﹣1，+8，﹣3，﹣2，﹣4，+7． （注：向西记作“﹣”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： （1）小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ （2）公司规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 【答案】（1）他此时在出发地A处东边，距A处8千米； （2）小王师傅接送8次乘客共收车费104元． 【分析】（1）根据有理数的加法，把相反意义的行程理数相加求和，根据正数在东，负数在西方可得答案； （2）判断出大于3千米与小于3千米的，根据收费标准列式求解即可得到答案； 【解答】解：（1）﹣2+5+（﹣1）+8+（﹣3）+（﹣2）+（﹣4）+7＝8＞0， 答：他此时在出发地A处东边，距A处8千米； （2）只有+5，+8，﹣4，+7四次大于3千米， 分别超过：2千米，5千米，1千米，4千米， 费用为：8×10+（2+5+1+4）×2 ＝80+12×2 ＝104（元）， 答：小王师傅接送8次乘客共收车费104元． 【点评】本题考查正负数的意义，有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算是解题的关键． 15．黄河口大闸蟹是东营的一大特产，现有20箱大闸蟹，以每箱3千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：千克） ﹣0.3 ﹣0.2 ﹣0.1 0 0.1 0.2 箱数 1 1 4 5 8 1 （1）20箱大闸蟹中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ （2）与标准重量比较，20箱大闸蟹总计超过或不足多少千克？ （3）若大闸蟹的成本为每千克售价60元，每箱售价200元（按箱出售）．这20箱大闸蟹全部售出，共盈利（或亏损）多少元？ 【答案】（1）0.5千克； （2）0.1千克； （3）394元． 【分析】（1）利用最重的一筐比最轻的一筐重的质量＝最重的一筐的质量﹣最轻的一筐的质量，即可求出结论； （2）将与标准质量的差值×箱数的值全部相加后，即可得出结论； （3）利用总利润＝每箱的售价×20﹣每千克的成本价×20箱的总质量，即可求出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：（3+0.2）﹣（3﹣0.3） ＝3.2﹣2.7 ＝0.5（千克）． 答：20箱大闸蟹中，最重的一筐比最轻的一筐重0.5千克； （2）根据题意得：﹣0.3×1﹣0.2×1﹣0.1×4+0×5+0.1×8+0.2×1 ＝﹣0.3﹣0.2﹣0.4+0.8+0.2 ＝0.1（千克）． 答：与标准重量比较，20箱大闸蟹总计超过0.1千克； （3）根据题意得：200×20﹣60×（3×20+0.1） ＝200×20﹣60×60.1 ＝4000﹣3606 ＝394（元）． 答：这20箱大闸蟹全部售出，共盈利394元． 【点评】本题考查了有理数的混合运算以及正数和负数，根据各数量之间的关系，列式计算是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $