27.2 与圆有关的位置关系 导学案 2025-2026学年华东师大版（2024）数学九年级下册

27.2.3 第1课时 切线的判定与性质定理 素养目标 1.通过探究,得出切线的判定定理,能够运用切线的判定定理解决问题. 2.知道切线的性质定理,并能运用切线的性质定理解决问题. 重点 运用圆的切线的判定定理和性质定理进行证明与计算. 【预习导学】 知识点一 切线的判定定理 阅读课本本课时前5段的内容,完成下面问题. 如图,OA是☉O的半径,记为r,过点A作直线l⊥OA. 1.由图可知,对直线l上除点A外的任何一点P,必有OP　 　OA,即点P在圆外,从而直线与圆只有　 　个公共点,所以直线l是圆的　 　.  2.设点O到l的距离为d,则d与r的等量关系是　 　,由此我们可知直线l是☉O的　 　.  归纳总结　切线的判定定理:经过圆的半径的　 　且　 　于这条半径的直线是圆的切线.  【讨论】你有哪几种方法判断一条直线是圆的切线? 知识点二 切线的性质定理 阅读课本本课时第6段至”练习”之前的内容,完成下面问题. 如图,直线l是☉O的切线,则圆心O到直线l的距离　 　半径;若A为切点,则半径OA就是圆心O到直线l的　 　,即l　 　OA. 归纳总结　切线的性质定理:圆的切线　 　经过　 　的半径.  对点自测 1.下列直线中一定是圆的切线的是 ( ) A.与圆有公共点的直线 B.到圆心的距离等于半径的直线 C.垂直于圆的半径的直线 D.过圆的直径端点的直线 2.如图,AT切☉O于点A,AB是☉O的直径.若∠ABT=40°,则∠ATB=　 　.  【合作探究】 任务驱动一 切线的判定 1.如图,AB是☉O的直径,P为圆上一点,C为AB延长线上一点,PA=PC,∠C=30°.求证:CP是☉O的切线. 方法归纳交流　证明一条直线是圆的切线,当已知条件中直线与圆有公共点时,连结过公共点的半径,然后证明这条半径与直线　 　.  任务驱动二 切线的性质定理的应用 2.如图,△ABC的边AC与☉O相交于C,D两点,且经过圆心O,边AB与☉O相切,切点为B.如果∠A=34°,那么∠C等于 ( ) A.28° B.33° C.34° D.56° 3.如图,AC与☉O相切于点C,AO交☉O于点B,已知AB=1,AC=,求☉O的半径. 方法归纳交流　利用切线的性质定理解题时,通常连结过切点的半径,构造　 　三角形. 任务驱动三 切线的性质与判定的综合应用 4.【易错题】如图,OC平分∠AOB,D是OC上任意一点,☉D与OA相切于点E.求证:OB与☉D相切. 变式演练　在上题中,如果已知OA、OB是☉D的切线,切点分别是E,F,试说明OD是∠AOB的平分线. 参考答案 【预习导学】 知识点一 1.>　一　切线 2.d=r　切线 归纳总结　外端　垂直 讨论 解:1.根据直线与圆的公共点个数判断:与圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线. 2.根据圆心到直线的距离d与这个圆的半径r之间的关系判断:若d=r,则这条直线是圆的切线. 3.根据切线的判定定理判断:经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 知识点二 等于　垂线段　⊥ 归纳总结　垂直于　切点 对点自测 1.B　2.50° 【合作探究】 任务驱动一 1.证明:连结OP.图略,∵PA=PC,∠C=30°, ∴∠A=∠C=30°,∴∠APC=120°. ∵OA=OP,∴∠OPA=∠A=30°,∴∠OPC=120°-30°=90°,即OP⊥CP,∴CP是☉O的切线. 方法归纳交流　垂直 任务驱动二 2.A 3.解:如图,连结OC. ∵AC与☉O相切于点C,∴OC⊥AC. 设☉O的半径为r, 则OC=OB=r, ∵AB=1,∴OA=1+r. 在Rt△OAC中, ∵OA2=OC2+AC2, ∴(1+r)2=r2+()2,解得r=1, ∴☉O的半径是1. 方法归纳交流　直角 任务驱动三 4.证明:连结DE,过点D作DF⊥OB于点F,图略. ∵OA是切线,∴DE⊥OA. ∵OC平分∠AOB, ∴DE=DF,∴☉D与OB相切于点F. 变式演练　证明:连结DE,DF,图略. ∵OA,OB是☉D的切线, ∴DE⊥OA,DF⊥OB. 在Rt△EOD与Rt△FOD中, ∵DE=DF,OD=OD, ∴Rt△EOD≌Rt△FOD, ∴∠EOD=∠FOD, ∴OD是∠AOB的平分线. 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2.1 点与圆的位置关系 素养目标 1.知道点与圆的位置关系,能通过点与圆心的距离与半径的关系判断点与圆的位置关系,反之亦可. 2.知道不在同一直线上的三点确定一个圆,知道三角形的外心、圆的内接三角形等概念,会画三角形的外接圆. 重点 与圆的位置关系. 【预习导学】 知识点一 点和圆的位置关系 请你阅读课本本节开始至“试一试”上面两段的内容,思考:点和圆有几种位置关系?如何判断? 将如图所示的圆记作☉O,你能按各点与圆的位置关系,将点分类吗?怎样分? 归纳总结　点与圆的位置关系,可以通过点和圆心的距离与半径的大小来判断: 点在圆内⇔点与圆心的距离　 　半径;点在圆　 　⇔点与圆心的距离等于半径;点在圆外⇔点与圆心的距离　 　半径.  知识点二 不在同一直线上的三点确定圆 请你阅读课本“试一试”上一段至“练习”的内容,思考:几个点能确定一个圆? 画一画: 1.过下面的点A,你能画几个圆? 2.过下面的点A、点B,你能画几个圆?圆心在哪? 议一议: 过A、B、C三个点能画一个圆吗?如果能,怎样确定圆心? 归纳总结　　 　的三点确定一个圆.经过三角形三个顶点的圆是三角形的　 　,三角形外接圆的圆心是这个三角形的　 　,这个三角形叫做圆的　 　,三角形的外心就是　 　的交点.  对点自测 在平面内,☉O的半径为5 cm,点P到圆心O的距离为3 cm,则点P与☉O的位置关系是　 　.  【合作探究】 任务驱动一 点与圆的位置关系 1.已知☉O的半径为1,点P到圆心O的距离为d,若关于x的方程x2-2x+d=0有实根,则点P ( ) A.在☉O的内部 B.在☉O的外部 C.在☉O上 D.在☉O上或☉O的内部 变式演练　1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=4,如果以点A为圆心,AC为半径作☉A,那么斜边中点D与☉O的位置关系是 ( ) A.点D在☉A外 B.点D在☉A上 C.点D在☉A内 D.无法确定 2.在平面直角坐标系中,作以原点O为圆心,4为半径的☉O,试确定点A(-2,-3),B(4,-2),C(-2,2)与☉O的位置关系. 任务驱动二 圆的确定 2.【动点问题】已知直线l:y=x-4,点A(0,2),点B(2,0),设P为直线l上一动点,当点P的坐标 为　 　时,过P,A,B三点不能作出一个圆.  任务驱动三 三角形的外接圆 3.如图,△ABC内接于☉O,圆的半径为7,∠BAC=60°,则弦BC的长为　 　. 变式演练　如图,点O是△ABC的外心,∠A=40°,连结BO,CO,则∠BOC的度数是 ( ) A.60° B.70° C.80° D.90° 参考答案 【预习导学】 知识点一 解:分为三类,点在圆内,点在圆上,点在圆外. 归纳总结　小于　上　大于 知识点二 画一画: 1.解:如图,能画无数个圆. 2.解:如图,能画无数个圆,圆心在线段AB的垂直平分线上. 议一议: 解:若三点在一条直线上,则不能画一个圆;若三点不在一条直线上,则能画一个圆.连结AB、BC,画线段AB、BC的垂直平分线,两垂直平分线的交点即为圆心. 归纳总结　不在同一直线上　外接圆　外心　内接三角形　三角形三条边垂直平分线 对点自测 点P在☉O内 【合作探究】 任务驱动一 1.D 变式演练　1.A 2.解:如图,连结OA、OB、OC, ∵A(-2,-3), ∴由勾股定理得OA==<4, 即点A与☉O的位置关系是点A在☉O内. ∵B(4,-2), ∴由勾股定理得OB==>4, 即点B与☉O的位置关系是点B在☉O外. ∵C(-2,2), ∴由勾股定理得OC==4, 即点C与☉O的位置关系是点C在☉O上. 任务驱动二 2.(3,-1)　解析:设直线AB的解析式为y=kx+b.∵A(0,2),点B(2,0),∴解得∴y=-x+2.解方程组得∴当点P的坐标为(3,-1)时,过P,A,B三点不能作出一个圆. 任务驱动三 3.7　 解析:如图,过点O作OD⊥BC于点D,连结OB,OC. ∵∠BAC=60°, ∴∠BOC=2∠BAC=120°. ∵OD⊥BC, ∴∠BOD=60°,OB=7,BD=CD, ∴BD=BO·sin∠BOD=7×sin 60°=7×=, ∴BC=2BD=7. 变式演练　C 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2.2 直线与圆的位置关系 素养目标 1.知道直线与圆的三种位置关系. 2.能用圆心与直线的距离与半径的关系判断直线与圆的位置关系. 重点 直线与圆的三种位置关系. 【预习导学】 知识点 直线与圆的位置关系 请你阅读课本本节开始至“例1”前面的内容,思考:直线与圆有几种位置关系?如何判断? 想一想: 如何从公共点的个数判断直线与圆的位置关系?不同位置的直线各叫什么? 议一议: 如何从圆心到直线的距离d与半径的关系判断直线与圆的位置关系? 归纳总结　判断直线与圆的位置关系有几种方法?是哪几种? 对点自测 1.已知直线l与☉O相切,若圆心O到直线l的距离是5,则☉O的半径是　 　.  2.在△ABC中,已知∠ACB=90°,BC=AC=10,以C为圆心,分别以5,5,8为半径作圆,那么直线AB与圆的位置关系分别是　 　,　 　,　 　.  【合作探究】 任务驱动一 1.若直线a与☉O交于A,B两点,O到直线a的距离为6,AB=16,则☉O的半径为　 　.  任务驱动二 2.已知Rt△ABC的斜边AB=8 cm,AC=4 cm,以点C为圆心作圆, 当半径R=　 　cm时,AB与☉O相切. 任务驱动三 3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,且以C为圆心,r为半径作圆. (1)当直线AB与☉C相切时,求r的取值范围. (2)当直线AB与☉C相离时,求r的取值范围. (3)当直线AB与☉C相交时,求r的取值范围. 变式演练　已知☉O的半径为5 cm,点O到直线l的距离OP为7 cm,如图所示. (1)怎样平移直线l,才能使l与☉O相切? (2)要使直线l与☉O相交,应把直线l向上平移多少厘米? 方法归纳交流　上面变式演练,应注意什么问题? 参考答案 【预习导学】 知识点 想一想: 解:当直线与圆没有公共点时,我们说直线与圆相离;当直线与圆只有一个公共点时,我们说直线与圆相切,此时的直线叫作切线;当直线与圆有两个公共点时,我们说直线与圆相交,此时的直线叫作割线. 议一议: 解:圆心到直线的距离d>r⇔直线与圆相离;圆心到直线的距离d=r⇔直线与圆相切;圆心到直线的距离d<r⇔直线与圆相交. 归纳总结　解:有两种方法,分别是由直线与圆的公共点的个数和圆心到直线的距离与半径的关系来判断. 对点自测 1.5　2.相离　相切　相交 【合作探究】 任务驱动一 1.10 任务驱动二 2.2 任务驱动三 3.解:如图,过点C作CD垂直AB于点D,由∠C=90°,AC=3,AB=5,得BC=4,则高CD=2.4. (1)当直线AB与☉C相切时,r=2.4; (2)当直线AB与☉C相离时,r<2.4; (3)当直线AB与☉C相交时,r>2.4. 变式演练　解:(1)直线l向上平移2 cm或12 cm. (2)大于2 cm且小于12 cm. 方法归纳交流　解:(答案不唯一)如注意直线与圆相切有两种情况,与圆相交是在两条切线之间. 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2.3 第2课时 切线长定理 素养目标 1.知道切线长的概念,能在图形中识别切线长. 2.通过探索得出切线长定理,并能运用切线长定理解决问题. 3.会画三角形的内切圆,会利用三角形内心的性质解题. 重点 切线长定理及其应用. 【预习导学】 知识点一 切线长的概念及切线长定理 阅读课本本课时“读一读”之前的内容,回答下列问题. 1.过圆外一点,可以作这个圆的　 　条切线.  2.我们把圆的切线上某一点与　 　之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.  3.如图,PA,PB是☉O的两条切线,切点分别为A,B,则线段　 　、 　 　的长度就是点P到☉O的切线长.如果我们沿着直线PO将纸对折, 那么线段PA与线段　 　重合,∠APO与　 　重合.由此,我们发现:PA=　 　,∠APO=　 　.  4.如图,已知PA,PB是☉O的两条切线,切点分别为A、B.求证:PA=PB,∠APO=∠BPO. 归纳总结　切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线,它们的切线长　 　.过圆外这一点和圆心的连线　 　这两条切线的夹角.  知识点二 三角形的内切圆 如图,已知△ABC. (1)与边AB,AC都相切的圆的圆心在哪里? (2)如果有一个圆与△ABC的三边都相切,那么该圆的圆心到这三边的距离相等吗?如何确定这个圆的圆心呢? 归纳总结　与三角形各边都　 　的圆叫做这个三角形的内切圆, 三角形的　 　的圆心叫做这个三角形的内心,这个三角形叫做这个圆的外切三角形,三角形的内心就是三角形三条　 　的交点.  对点自测 1.如图,在△ABC中,∠A=66°,点I是内心,则∠BIC的大小为 ( ) A.114° B.122° C.123° D.132° 2.如图,PA、PB是☉O的两条切线,A、B是切点,若∠APB=60°,PO=2,则☉O的半径等于　 　. 【合作探究】 任务驱动一 切线长定理的应用 1.如图,P为☉O外一点,PA、PB分别切☉O于点A、B,CD切☉O于点E且分别交PA、PB于点C、D,若PA=4,求△PCD的周长. 任务驱动二 三角形的内心 2.如图,☉O是△ABC的内切圆,若∠ABC=70°,∠ACB=40°,则∠BOC=　 　.  方法归纳交流　若I是△ABC的内心,∠BAC=α,则∠BIC=90°+　 　.  任务驱动三 三角形的内切圆 3.已知直角三角形的两直角边分别为5,12,则这个三角形的内切圆半径是　 　.  方法归纳交流　在直角三角形中,两条直角边为a、b,斜边为c,则该直角三角形的内切圆的半径r=　 　(用a,b,c表示,写出一种即可).  变式演练　Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,内切圆半径为2,则三角形的周长为　 　. 参考答案 【预习导学】 知识点一 1.两 2.切点 3.PA　PB　PB　∠BPO　PB　∠BPO 4.证明:连结OA,OB,图略. ∵PA,PB是☉O的两条切线,∴OA⊥PA,OB⊥PB. 在Rt△PAO与Rt△PBO中, ∵OA=OB,PO=PO,∴Rt△PAO≌△PBO.∴PA=PB,∠APO=∠BPO. 归纳总结　相等　平分 知识点二 (1)在∠BAC的平分线上. (2)相等.作三角形三个内角的平分线,交点即为圆心. 归纳总结　相切　内切圆　角平分线 对点自测 1.C　2.1 【合作探究】 任务驱动一 1.解:∵PA、PB分别切☉O于点A、B,∴PB=PA=4, ∵CD切☉O于点E且分别交PA、PB于点C、D, ∴CA=CE,DE=DB,∴△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=8. 任务驱动二 2.125° 方法归纳交流　α 任务驱动三 3.2 方法归纳交流　或 变式演练　30 学科网（北京）股份有限公司 $