27.1 圆的认识 导学案 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

27.1.1 圆的基本元素 素养目标 1.能识别圆的基本元素. 2.会区分直径与弦,半圆与劣弧、优弧之间的关系. 重点 识别圆的基本元素. 【预习导学】 知识点 圆的基本元素 请你阅读课本本节开始至练习的内容,对照课本中的图形找出圆的以下基本元素:圆心、弦、弧、优弧、劣弧、圆心角等. 填一填: 如图,以点O为圆心的圆叫做　 　,记作　 　, 线段OA、OB叫做圆的　 　,线段MN叫做圆的　 　; MN=　 　OA=　 　OB. 画一画: 画出上图中的弦AB,弦BM. 找一找: 从上图中找出两条优弧,两条劣弧,并指出它们有什么不同;找出一个圆心角,并指出它的顶点和边. 辨一辨: 什么是等圆?什么是等弧? 归纳总结　圆的弦是指　 　;圆的弧是指　 　. 对点自测 判断正误. (1)长度相等的弧是等弧. ( ) (2)优弧和劣弧都可以用表示端点的两个字母表示. ( ) (3)圆心角的顶点是圆心. ( ) 【合作探究】 任务驱动一 判断正误 1.下列说法是否正确?不正确的请改正. (1)弦是直径; (2)半圆是弧; (3)过圆心的线段是直径; (4)半圆是最长的弧; (5)直径是圆中最长的弦. 任务驱动二 辨析概念 2.如图,下列说法正确的是 ( ) A.线段AB,AC,CD都是☉O的弦 B.线段AC经过圆心O,所以线段AC是直径 C.弦AC把☉O分成了两条不等弧 D.弦AB把圆分成两条弧,其中是劣弧 方法归纳交流　怎样找弦?怎样区分半圆、劣弧、优弧? 任务驱动三 应用概念 3.如图,OA,OB,OC是☉O的三条半径,∠AOC=∠BOC,M,N分别为OA,OB的中点.求证:MC=NC. 变式演练　若将上题中的条件“∠AOC=∠BOC”改成“MC=NC”,能否证明∠AOC=∠BOC?若能,请证明;若不能,请写出理由. 方法归纳交流　在圆的有关问题中,有哪些“隐性条件”是题中不交代但我们能直接应用的? 参考答案 【预习导学】 知识点 填一填: 圆O　☉O　半径　直径　2　2 画一画:解: 找一找: 解:(答案不唯一)劣弧有、,优弧有、;劣弧是小于半圆的弧,优弧是大于半圆的弧.圆心角有∠AOM,顶点是点O,边是OA、OM. 辨一辨: 解:半径相等的两个圆称为等圆;在同圆或等圆中能够互相重合的弧叫等弧. 归纳总结　连结圆上两点的线段　圆上两点间的部分 对点自测 (1)×　(2)×　(3)√ 【合作探究】 任务驱动一 1.解:(1)不正确,改为直径是弦,弦不一定是直径;(2)正确;(3)不正确,改为端点在圆上并且经过圆心的线段是直径;(4)不正确,改为优弧比半圆长,半圆不是最长的弧;(5)正确. 任务驱动二 2.B 方法归纳交流　解:弦的两个端点均在圆上;半圆也是一条弧,是圆的一半,劣弧小于半圆,用表示端点的两个字母表示,优弧大于半圆,用三个字母表示(两个端点夹弧上任意一点). 任务驱动三 3.证明:∵OA=OB,M,N分别为OA,OB的中点,∴OM=ON, 又∵∠AOC=∠BOC,OC=OC,∴△OMC≌△ONC,∴MC=NC. 变式演练　略. 方法归纳交流　解:在同圆或等圆中,半径相等、直径相等,直径等于半径的2倍等可以直接应用. 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.1.2 第1课时 弦、弧、圆心角 素养目标 1.理解圆的对称性,会画圆的对称轴,会找圆的对称中心,会用圆的对称性解决简单的问题. 2.理解弦、弧、圆心角之间的关系,会用它们的关系解决简单的问题. 重点 圆的对称性,弦、弧、圆心角之间的关系. 【预习导学】 知识点一 圆的对称性 请你阅读课本本节第一段和“我们已经探索发现”之后的部分,思考:圆是旋转对称图形吗?是轴对称图形吗? 做一做: (1)以圆心为旋转中心,旋转圆形纸片,回答:圆是旋转对称图形吗?找出它的旋转中心和旋转角. (2)折叠圆形纸片,回答:圆是轴对称图形吗?它有几条对称轴? 试一试: 请你用折叠的方法,将圆2等分,4等分.你还能将圆几等分? 归纳总结　圆是　 　对称图形,它的对称中心是　 　; 圆是　 　对称图形,它的对称轴是　 　, 它有　 　条对称轴. 知识点二 弦、弧、圆心角的关系 请你阅读课本“试一试”至例1的内容,思考:在同一个圆中,弦、弧、圆心角之间有怎样的关系? 想一想: 在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧、弦各有怎样的关系? 如果是弧相等,那么它所对的圆心角和弦各有怎样的关系?如果是弦相等呢? 【合作探究】 任务驱动一 1.如图,在☉O中,=,∠AOC=100°,求∠BOD的度数. 任务驱动二 2.如图,=,试说明AB=CD. 任务驱动三 3.如图,=,∠A=30°,则∠B=　 　. 方法归纳交流　在圆的有关问题中,如果已知弧相等,一般可以推得　 　相等 或　 　相等. 任务驱动四 4.如图,AB是☉O的直径,M、N分别是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB.求证:=. 参考答案 【预习导学】 知识点一 做一做: (1)解:圆是旋转对称图形,它的旋转中心是圆心,旋转角是任意度数. (2)解:圆是轴对称图形,每一条过圆心的直线都是它的对称轴,它有无数条对称轴. 试一试: (答案不唯一)如8等分等. 归纳总结　旋转　圆心　轴 直径所在的直线　无数 知识点二 想一想: 解:在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等,所对的弦相等. 在同一个圆中,如果弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等. 在同一个圆中,如果弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等. 【合作探究】 任务驱动一 1.解:∵=, ∴+=+, ∴=, ∴∠BOD=∠AOC=100°. 任务驱动二 2.证明:∵=, ∴+=+, ∴=, ∴AB=CD. 任务驱动三 3.75° 方法归纳交流　它们所对的弦　圆心角 任务驱动四 4.证明:如图,连结OC、OD. ∵M、N分别是OA、OB的中点, ∴OM=OA,ON=OB. ∵OA=OB,∴OM=ON. 又CM⊥AB,DN⊥AB,OC=OD, ∴Rt△OMC≌Rt△OND, ∴∠AOC=∠BOD, ∴=. 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.1.2 第2课时 垂径定理 素养目标 通过操作、观察、猜想、证明等活动,掌握垂径定理,并能应用垂径定理,解决有关圆的问题. 重点 垂径定理及推论. 【预习导学】 知识点一 垂径定理 请你阅读课本“试一试”至“证明”的内容,思考:课本的图中有哪些相等的线段?有哪些相等的弧?如何证明? 1.观察折叠的圆或课本上的图形,找一找,其中有哪些相等的线段?有哪些相等的弧? 2.请你阅读课本上的证明过程. 归纳总结　垂径定理:　 　. 符号语言:∵CD经过点O且垂直AB于点P, ∴　 　. 知识点二 垂径定理的推论 请你阅读课本“类似于上面的证明”下面的部分,思考:由垂径定理可以得出哪些推论? 1.如图,已知CD是直径,AP=BP,则CD与AB有怎样的位置关系?、相等吗?、呢?请说明理由. 2.如上题图,若已知CD经过点O与弦AB交于点P,并且=,AB与CD有怎样的关系?请说明理由. 归纳总结　垂径定理的推论1:　 　.  符号语言:∵CD经过点O,交AB于点P,AP=BP,∴　 　.  垂径定理的推论2:　 　.  符号语言:∵CD经过点O,交AB于点P,=,∴　 　.  对点自测 如图,AB是☉O的直径,CD为弦,CD⊥AB于点E,则下列结论错误的是 ( ) A.∠COE=∠DOE B.CE=DE C.AE=BE D.= 【合作探究】 任务驱动一 1.如图,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,E为垂足,若AB=9,BE=1,则CD=　 　.  任务驱动二 2.如图,线段CD与☉O交于A,B两点,且OC=OD.试比较线段AC和BD的大小,并说明理由. 任务驱动三 3.如图,这是一个直径为650 mm 的圆柱形输油管的横截面, 若油面宽AB=600mm,求油面的最大深度. 方法归纳交流　本题重点考查了哪些数学思想和数学知识,在解题中应注意哪些问题? 参考答案 【预习导学】 知识点一 1.解:AP=BP,=,=. 归纳总结 垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧 AP=BP,=,= 知识点二 1.解:CD⊥AB,=,=. 理由:如图,连结OA、OB,在△AOP和△BOP中,AO=BO,OP=OP,AP=BP, ∴△AOP≌△BOP, ∴∠APO=∠BPO=90°, ∴CD⊥AB. 由△AOP≌△BOP可知∠AOP=∠BOP,则=, ∴=. 2.解:CD垂直平分AB. 证明:如上题答图,连结AO、BO, 由=得∠AOP=∠BOP, 在△AOP和△BOP中,AO=BO,∠AOP=∠BOP,OP=OP, ∴△AOP≌△BOP, ∴AP=BP,∠APO=∠BPO=90°, ∴CD⊥AB. 归纳总结　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧　CD⊥AB,=,= 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦　AP=BP,CD⊥AB 对点自测 C 【合作探究】 任务驱动一 1.4 任务驱动二 2.解:线段AC=BD.理由: 如图,过O作OE⊥CD,点E为垂足. ∵OE⊥AB,∴EA=EB. 又∵OC=OD,OE⊥CD, ∴CE=DE, ∴AC=BD. 任务驱动三 3.解:过点O作OD⊥AB于点D,交于点F,连结OA,图略. ∵AB=600 mm,∴AD=300 mm. ∵底面直径为650 mm, ∴OA=×650=325 mm, ∴OD===125 mm, ∴DF=OF- OD=×650-125=200 mm. 答:油面的最大深度为200 mm. 方法归纳交流　解:答案不唯一,本题重点考查了分类讨论的思想,在做题中要能根据圆心与弦的位置分类;本题重点应用的知识是垂径定理,在应用垂径定理时,一般会涉及弦、半径、圆心到弦的距离,三条线段组成直角三角形,利用勾股定理解决. 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.1.3 圆周角 素养目标 1.认识圆周角,知道直径所对的圆周角是90°. 2.会分类证明圆周角定理,会用圆周角定理解决有关问题. 重点 圆周角定理的应用. 【预习导学】 知识点一 圆周角的概念 请你阅读课本本节开始至“思考”的内容,思考:什么样的角是圆周角?你能画出圆周角吗? 画一画: 请你在下面的圆中画出一个圆周角,记作∠ABC. 辨一辨: “顶点在圆上的角叫圆周角”这句话正确吗?判断一个角是圆周角需要几个条件? 归纳总结　圆周角的概念:　 　,　 　的角叫圆周角.  找一找: 图中的∠BAC是圆周角的有　 　.(只填序号)  知识点二 圆周角定理 请你阅读课本“试一试”上面两段至“圆周角定理”结束,思考:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角与圆心角之间有什么关系?如何进行证明? 看一看: 观察上图中的(3)(6)(8),圆心与圆周角的位置关系相同吗?它们之间存在几种不同的位置关系? 画一画: 请你在(3)(6)(8)中,画出所对的圆心角. 归纳总结　圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角　 　,都等于该弧所对的圆心角的　 　;相等的圆周角所对的弧　 　.  知识点三 直径与其所对的圆周角的关系 请你阅读课本“思考”和“推论1”,思考:直径所对的圆周角是多少度?反之,圆周角是90°时,它所对的弧有什么特点?它所对的弦呢? 知识点四 圆周角定理的推论2 请你阅读课本“推论2”及上面的一段,利用推论2的图,说明圆的内接四边形的性质. 归纳总结　圆周角定理推论2:圆内接四边形的对角　 　. 【合作探究】 任务驱动一 1.如图,AB和CD都是☉O的直径,∠AOC=50°,则∠C的度数是 ( ) A.20° B.25° C.30° D.50° 任务驱动二 2.如图,△ABC内接于☉O,∠A=50°,∠ABC=60°,BD是☉O的直径,BD交AC于点E,连结DC,求∠AEB. 任务驱动三 3.如图,△ABC的3个顶点都在☉O上,直径AD=4,∠ABC=∠DAC,求AC的长. 方法归纳交流　在圆的问题中,如果有直径,求角的度数,一般我们会用什么方法?还有哪些经验可以与同学分享 参考答案 【预习导学】 知识点一 画一画: 解: 辨一辨: 解:这句话不正确.判断一个角是圆周角需要两个条件:一是顶点在圆上,二是两边与圆相交. 归纳总结　顶点在圆上　两边与圆相交 找一找: (3)(6)(8) 知识点二 看一看: 解:圆心与圆周角的位置不相同,(3)圆心在圆周角的边上;(6)圆心在圆周角内部;(8)圆心在圆周角外部. 画一画: 解: 归纳总结　相等　一半　相等 知识点三 解:直径所对的圆周角是90°,反之,圆周角是90°时,它所对的弧是半圆,它所对的弦是直径. 知识点四 证明:如图,连结OB,OD,∵∠C=∠BOD,∠A=∠BOD(此角为大于平角的角),∴∠A+∠C=×360°=180°. 归纳总结　互补 【合作探究】 任务驱动一 1.B 任务驱动二 2.解:∵BD是直径,∴∠BCD=90°. ∵∠A=50°, ∴∠D=50°,∴∠DBC=40°. ∵∠ABC=60°, ∴∠ABD=20°, ∴∠AEB=180°-∠ABD-∠A=110°. 任务驱动三 3.解:如图,连结CD,AD是☉O的直径,那么∠ACD=90°. ∵同一条弧所对的圆周角相等, ∴∠ADC=∠ABC. 又∵∠ABC=∠DAC, ∴∠ADC=∠DAC, ∴△ABC是等腰直角三角形. 由勾股定理解得AC=2. 方法归纳交流　解:在圆中有直径,如果要求角的度数,一般会连结圆上两点,形成以直径为斜边的直角三角形;另外在解圆的问题中,同弧所对的圆周角相等、半径相等等条件常容易被忽视,因此找角的问题时,可以先看是不是同弧所对的圆周角. 学科网（北京）股份有限公司 $