1.3 正方形形的性质与判定 讲义 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦正方形的性质与判定核心知识点，系统梳理定义、边与角及对角线性质、两种判定思路，明确与矩形菱形的特殊关系，归纳中点连线四边形形状规律，构建完整知识支架。 通过七大题型（求角度、线段、面积等）设计，结合具体题目培养推理能力与几何直观，综合题提升问题解决能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生强化练习，查漏补缺，落实核心素养。

1.3正方形的性质与判定知识归纳与题型突破2025-2026学年 北师大版九年级上册（七大题型） 知识归纳： 知识点一：正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点二：正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 知识点三：正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 知识点四：特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 知识点五：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 题型突破： 【题型 1 根据正方形性质与判定求角度】 1.如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为（    ） A． B． C． D． 2.如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（    ）    A． B． C． D． 3.如图，正方形ABCD中，在BA延长线上取一点，使BE＝BD，连接DE，则∠EDA的度数为（　　） A．10° B．15° C．30° D．22.5° 4.如图，在正方形ABCD中，E是DC上一点，F为BC延长线上一点，∠BEC＝70°，且△BCE≌△DCF．连接EF，则∠EFD的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 5.如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为    【题型 2 根据正方形性质与判定求线段长度】 1.一个正方形的面积为8m²，则它的对角线长为（　　） A．2cm B．2cm C．4cm D．3cm 2. 如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3.正方形的边长为8，点E在边上，，点F在正方形的边上，且，与交于点P，则的长为 ． 4.如图， 正方形的边长为8， 点E在上，， 当点 F在边 或上时，是以为斜边的直角三角形， 则的长为 ．    5.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的正方形学具，他先将活动学具成为图1所示的正方形，并测得对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的菱形，且测得，则图2中对角线的长为 ． 【题型 3 根据正方形性质与判定求面积】 1.如图，在菱形中，以为对角线作正方形，若，，则正方形的面积为（    ） A．12 B．18 C．24 D．48 2.如图，正方形的边长为，则阴影部分的面积为（　　）． A．4 B．8 C．12 D．16 3.如图，正方形和正方形的边长分别为和，则阴影部分的面积为 . 4.如图，，四边形是正方形，若，则的面积等于 ． 5.如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 【题型 4 利用矩形的性质与判定求坐标】 1.如图，A（0，2），D（1，0），以AD为边作正方形ABCD，则点C的坐标为（　　） A．（3，1） B．（3，2） C．（2，1） D．（1，3） 2.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 3.如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），则C点的坐标是（　　） A．（1，3） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，1） 4.如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（　　） A．（） B．（2，﹣1） C．（1，） D．（﹣1，） 5.正方形如图放在平面直角坐标系中，已知，，则顶点D的坐标为 ． 【题型 5 添加条件使四边形为正方形】 1.下列说法不正确的是（　　） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2.满足下列条件的四边形一定是正方形的是（   ） A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形 C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形 3.如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　） A．， B．， C．， D．， 【题型 6正方形中的最值】 1．如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，的最小值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．11 2．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连结BP，EP，则BP＋EP的最小值为（    ） A． B． C． D．＋1 3.如图，在边长为6的正方形中，若E，F分别是边上的动点，，与交于点P，连接．则的最小值为 ． 4.如图，正方形的对角线相交于点，点在上，且，点是上一动点，则的最小值为 ． 5.如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为 ． 【题型 7 正方形性质与判定综合】 1.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④正方形对角线AC＝1+，其中正确的序号是（　　） A．①②④ B．①② C．②③④ D．①③④ 2.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP．其中正确结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH，连接EF，FG，GH，HE． （1）求证：四边形EFGH是正方形； （2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFGH的周长． 4．如图，正方形中，是边的中点，将沿折叠，得到，延长交边于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】 1.3正方形的性质与判定知识归纳与题型突破2025-2026学年 北师大版九年级上册（七大题型） 知识归纳： 知识点一：正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点二：正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 知识点三：正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 知识点四：特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 知识点五：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 题型突破： 【题型 1 根据正方形性质与判定求角度】 1.如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 3.如图，正方形ABCD中，在BA延长线上取一点，使BE＝BD，连接DE，则∠EDA的度数为（　　） A．10° B．15° C．30° D．22.5° 【答案】D 4.如图，在正方形ABCD中，E是DC上一点，F为BC延长线上一点，∠BEC＝70°，且△BCE≌△DCF．连接EF，则∠EFD的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】D 5.如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为    【答案】 【题型 2 根据正方形性质与判定求线段长度】 1.一个正方形的面积为8m²，则它的对角线长为（　　） A．2cm B．2cm C．4cm D．3cm 【答案】C 2. 如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 3.正方形的边长为8，点E在边上，，点F在正方形的边上，且，与交于点P，则的长为 ． 【答案】5或/或5 4.如图， 正方形的边长为8， 点E在上，， 当点 F在边 或上时，是以为斜边的直角三角形， 则的长为 ．    【答案】4或 5.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的正方形学具，他先将活动学具成为图1所示的正方形，并测得对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的菱形，且测得，则图2中对角线的长为 ． 【答案】15 【题型 3 根据正方形性质与判定求面积】 1.如图，在菱形中，以为对角线作正方形，若，，则正方形的面积为（    ） A．12 B．18 C．24 D．48 【答案】C 2.如图，正方形的边长为，则阴影部分的面积为（　　）． A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 3.如图，正方形和正方形的边长分别为和，则阴影部分的面积为 . 【答案】 4.如图，，四边形是正方形，若，则的面积等于 ． 【答案】12 5.如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 【答案】 【题型 4 利用矩形的性质与判定求坐标】 1.如图，A（0，2），D（1，0），以AD为边作正方形ABCD，则点C的坐标为（　　） A．（3，1） B．（3，2） C．（2，1） D．（1，3） 【答案】A 2.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 3.如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），则C点的坐标是（　　） A．（1，3） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，1） 【答案】A 4.如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（　　） A．（） B．（2，﹣1） C．（1，） D．（﹣1，） 【答案】A 5.正方形如图放在平面直角坐标系中，已知，，则顶点D的坐标为 ． 【答案】 【题型 5 添加条件使四边形为正方形】 1.下列说法不正确的是（　　） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】D 2.满足下列条件的四边形一定是正方形的是（   ） A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形 C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形 【答案】D 3.如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【题型 6正方形中的最值】 1．如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，的最小值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．11 【答案】C 2．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连结BP，EP，则BP＋EP的最小值为（    ） A． B． C． D．＋1 【答案】A 3.如图，在边长为6的正方形中，若E，F分别是边上的动点，，与交于点P，连接．则的最小值为 ． 【答案】/ 4.如图，正方形的对角线相交于点，点在上，且，点是上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 5.如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【题型 7 正方形性质与判定综合】 1.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④正方形对角线AC＝1+，其中正确的序号是（　　） A．①②④ B．①② C．②③④ D．①③④ 【答案】A 2.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP．其中正确结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 3.如图，已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH，连接EF，FG，GH，HE． （1）求证：四边形EFGH是正方形； （2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFGH的周长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵AE＝BF＝CG＝DH， ∴AB﹣AE＝BC﹣BF＝CD﹣CG＝AD﹣DH， ∴BE＝CF＝DG＝AH， 在△AEH，△BFE，△CGF，△DHG中， ， ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）， ∴EH＝EF＝FG＝GH，∠AEH＝∠BFE，∠AHE＝∠BEF， ∴四边形EFGH是菱形，∠AEH+∠BEF＝∠AHE+∠BFE， ∵∠AEH+∠AHE＝90°， ∴∠AEH+∠BEF＝90°， ∴∠FEH＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形EFGH是正方形； （2）解：∵AB＝7，AE＝3， ∴BE＝AH＝AB﹣AE＝7﹣3＝4， ∴EH＝＝＝5， ∵四边形EFGH是正方形， ∴四边形EFGH的周长＝5×4＝20． 4．如图，正方形中，是边的中点，将沿折叠，得到，延长交边于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】（1）证明：连接， 四边形是正方形， ，， 将沿折叠，得到，延长交边于点， ，， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：，是边的中点， ，， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $