1.2 矩形的性质与判定 讲义 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦矩形的性质与判定核心知识点，系统梳理矩形定义（含平行四边形与直角两要素）、性质（边、角、对角线、对称性）、判定（定义法、对角线相等的平行四边形、三直角四边形）及直角三角形斜边上的中线性质，通过要点诠释构建从概念到推论的逻辑链条，为学生提供阶梯式学习支架。 资料以九大题型突破为特色，涵盖线段长、角度、折叠、最值等场景，如折叠问题培养空间观念，判定条件题型训练推理能力，助力学生用数学眼光观察几何关系，用数学思维解决问题。课中便于教师分层教学，课后学生可针对性练习，查漏补缺，强化知识应用与迁移。

1.2矩形的性质与判定知识归纳与题型突破2025-2026学年 北师大版九年级上册（九大题型） 知识归纳： 知识点一：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点二：矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点三：矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 知识点四：直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 题型突破： 【题型 1 利用矩形的性质与判定求线段长】 1．如图，矩形中，，E是的中点，，则长为（    ） A． B．2 C． D．3 2．如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．如图，在四边形中，，，，，，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 4．线段、为矩形的对角线，若，则 ． 5．矩形ABCD中，CE平分∠BCD，交直线AD于点E，若CD＝6，AE＝2，则AC的长为 ． 【题型 2 利用矩形的性质与判定求角度】 1．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，�则两条对角线所夹的锐角的度数为（  ） A．80° B．60° C．45° D．40° 2．如图，一张长方形的纸条按图示方式折叠，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 3．在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A． B． C． D． 4．如图，E、F分别为矩形ABCD边AB、AD上的两点，BE、DF相交于G点，且BE＝FD，∠FGB＝19°，则∠BGC＝（　　） A．71° B．80.5° C．81° D．71.5° 5．如图所示，四边形ABCD为矩形，AE⊥EG，已知∠1＝25°，则∠2＝ 【题型 3 利用矩形的性质与判定求面积】 1．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为4，则矩形ABCD的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，点，，，则这个矩形的面积为（  ） A． B． C． D． 3．如图，四边形的对角线于点O，点、、、分别为边 、 、 、 的中点，顺次连接和得到四边形．若则四边形的面积等于（    ）    A．45 B．40 C．20 D．18 4．一名同学用一张长方形的纸做手工，如图，他将一角折叠，则阴影部分的面积是 ．    5．如图，在矩形中，过对角线交点作交于点，交于点，，，则的面积为 ． 【题型 4 利用矩形的性质与判定求坐标】 1．长方形ABCD的三个顶点的坐标是A（1,1）、B（3,1）、C（3,5），那么D点坐标是（ ） A．（1,3） B．（1,5） C．（5,3） D．（5,1） 2．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的横坐标是（   ） A．4 B． C． D．5 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【题型 5 添加条件使四边形为矩形】 1．如图，四边形的对角线互相平分，以下添加的条件不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 2.四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD 3.已知▱ABCD中，对角线AC，BD交于O点，如果能够判断▱ABCD为矩形，还需添加的条件是（　　） A．AB＝BC B．AB＝AC C．OA＝OB D．AC⊥BD 4．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AB=CD，∠ABD=∠CDB，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，你添加的条件是_________．(写出一种即可) 【题型 6 矩形的折叠】 1．如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，使点落在点处，交于点，，，则长为(   ) A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，矩形如图放置在平面直角坐标系中，其中，若将其沿着对折后，为点A的对应点，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．4.5 3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，，将沿直线折叠，使得点A落在点D处，与交于点E，则点D的纵坐标为（　　） A． B． C． D．4 【题型 7 矩形中的最值】 1．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为（       ） A．6 B． C．5 D． 2．如图，在等腰中，，为的中点，点在上，是上一个动点，则的最小值为（   ） A．10 B． C． D． 3．如图，矩形中，，若上各取一点，使的值最小，求这个最小值（   ） A．5 B． C． D． 4．如图，点B在C的左侧运动，且，，，，点E在上，且，则的长度为 ；若点F在上运动，当F运动到的中点时，则的最小值为 ． 【题型 8直角三角形斜边上的中线】 1．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，，， 分别是的中位线和中线，，则______． 3．如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，∠A＝30°，D为斜边AB的中点．若BC＝2，则CD＝_____． 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（　　） A．12 B．6 C．4 D．3 【题型 9矩形的性质与判定综合】 1.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长． 2.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF、BF． （1）求证：四边形DEBF是矩形； （2）若AF平分∠DAB，FC＝3，DF＝5，求BF的长． 3.如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】 1.2矩形的性质与判定知识归纳与题型突破2025-2026学年 北师大版九年级上册（九大题型） 知识归纳： 知识点一：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点二：矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点三：矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 知识点四：直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 题型突破： 【题型 1 利用矩形的性质与判定求线段长】 1．如图，矩形中，，E是的中点，，则长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 2．如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 3．如图，在四边形中，，，，，，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 4．线段、为矩形的对角线，若，则 ． 【答案】8 5．矩形ABCD中，CE平分∠BCD，交直线AD于点E，若CD＝6，AE＝2，则AC的长为 ． 【答案】10或2． 【题型 2 利用矩形的性质与判定求角度】 1．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，�则两条对角线所夹的锐角的度数为（  ） A．80° B．60° C．45° D．40° 【答案】A 2．如图，一张长方形的纸条按图示方式折叠，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 3．在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 4．如图，E、F分别为矩形ABCD边AB、AD上的两点，BE、DF相交于G点，且BE＝FD，∠FGB＝19°，则∠BGC＝（　　） A．71° B．80.5° C．81° D．71.5° 【答案】B 5．如图所示，四边形ABCD为矩形，AE⊥EG，已知∠1＝25°，则∠2＝ 【答案】115° 【题型 3 利用矩形的性质与判定求面积】 1．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为4，则矩形ABCD的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 2．在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，点，，，则这个矩形的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 3．如图，四边形的对角线于点O，点、、、分别为边 、 、 、 的中点，顺次连接和得到四边形．若则四边形的面积等于（    ）    A．45 B．40 C．20 D．18 【答案】C 4．一名同学用一张长方形的纸做手工，如图，他将一角折叠，则阴影部分的面积是 ．    【答案】 5．如图，在矩形中，过对角线交点作交于点，交于点，，，则的面积为 ． 【答案】5 【题型 4 利用矩形的性质与判定求坐标】 1．长方形ABCD的三个顶点的坐标是A（1,1）、B（3,1）、C（3,5），那么D点坐标是（ ） A．（1,3） B．（1,5） C．（5,3） D．（5,1） 【答案】B 2．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的横坐标是（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】D 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【题型 5 添加条件使四边形为矩形】 1．如图，四边形的对角线互相平分，以下添加的条件不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2.四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD 【答案】B 3.已知▱ABCD中，对角线AC，BD交于O点，如果能够判断▱ABCD为矩形，还需添加的条件是（　　） A．AB＝BC B．AB＝AC C．OA＝OB D．AC⊥BD 【答案】C 4．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AB=CD，∠ABD=∠CDB，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，你添加的条件是_________．(写出一种即可) 【答案】∠ABC=90° 【题型 6 矩形的折叠】 1．如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，使点落在点处，交于点，，，则长为(   ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 2．如图，矩形如图放置在平面直角坐标系中，其中，若将其沿着对折后，为点A的对应点，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．4.5 【答案】B 3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，，将沿直线折叠，使得点A落在点D处，与交于点E，则点D的纵坐标为（　　） A． B． C． D．4 【答案】A 【题型 7 矩形中的最值】 1．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为（       ） A．6 B． C．5 D． 【答案】D 2．如图，在等腰中，，为的中点，点在上，是上一个动点，则的最小值为（   ） A．10 B． C． D． 【答案】B 3．如图，矩形中，，若上各取一点，使的值最小，求这个最小值（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 4．如图，点B在C的左侧运动，且，，，，点E在上，且，则的长度为 ；若点F在上运动，当F运动到的中点时，则的最小值为 ． 【答案】 10 【题型 8直角三角形斜边上的中线】 1．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2．如图，中，，， 分别是的中位线和中线，，则______． 【答案】 3．如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，∠A＝30°，D为斜边AB的中点．若BC＝2，则CD＝_____． 【答案】2 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（　　） A．12 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【题型 9矩形的性质与判定综合】 1.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长． 【答案】（1）略 （2）8 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC， ∵CE＝BC， ∴AD＝CE，AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∵AB＝DC，AE＝AB， ∴AE＝DC， ∴四边形ACED是矩形； （2）解：∵四边形ACED是矩形， ∴OA＝AE，OC＝CD，AE＝CD， ∴OA＝OC， ∵∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴OC＝AC＝4， ∴CD＝8． 2.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF、BF． （1）求证：四边形DEBF是矩形； （2）若AF平分∠DAB，FC＝3，DF＝5，求BF的长． 【答案】（1）略 （2）4 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∵FC＝AE， ∴CD﹣FC＝AB﹣AE， 即DF＝BE， ∴四边形DEBF是平行四边形， 又∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴平行四边形DEBF是矩形； （2）解：∵AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠BAF， ∵DC∥AB， ∴∠DFA＝∠BAF， ∴∠DFA＝∠DAF， ∴AD＝DF＝5， 在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝4， 由（1）得：四边形DEBF是矩形， ∴BF＝DE＝4． 3.如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形，点在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 的长是． 学科网（北京）股份有限公司 $