1.5 有理数的乘法和除法 课件2025-2026学年 湘教版（2024）七年级数学上册

该初中数学课件系统覆盖有理数的乘法法则、乘法运算律、除法法则及乘除混合运算，通过复习小学加法转乘法、正数乘法等旧知，结合分配律推导负数乘法法则，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生构建完整知识脉络。 其亮点在于以推理意识和运算能力为核心，通过分配律推导乘法法则（如“3×(-5)+3×5=0”推出“3×(-5)=-(3×5)”）培养逻辑推理，分层例题和检测题提升运算能力，用符号语言（如“a×b=b×a”）体现符号意识。学生能理解法则本质，教师可借分层练习落实目标，提高教学效率。

1.5 有理数的乘法和除法 22230 1.5.1 有理数的乘法 课时1 有理数的乘法法则 22230 1.知道有理数的乘法的实际意义,知道有理数的乘法法则. 2.会进行有理数的乘法运算. 学习目标 22230 1．计算： (1)5＋5＋5＝_____；　　　　 (2)(－5)＋(－5)＋(－5)＝ _____ ． 2．请将上面两个算式写成乘法算式的形式. 解：5＋5＋5＝5×3; (－5)＋(－5)＋(－5)＝(－5)×3. 思考：像(－5)×3，(－5)×(－3)这样带有负数的式子怎样运算呢？ 15 －15 复习导入 22230 为了满足有理数的乘法对加法的分配律，则有 3×(－5) +3×5 = 3×[(－5)+5]=3×0=0. 根据 的两个数和为0， 应当规定3×(－5) = . －(3×5) 互为相反数 知识点 1 异号两数相乘、0与负数相乘 新知探究 22230 根据这一规定填空： (－5)×3 = ，0×(－5) = ，(－5)×0 = . －(5×3) 0 0 规定3×(－5) = . －(3×5) 正数与负数相乘得负数，并把绝对值相乘. 因此，为了满足有理数的乘法对加法的分配律，就必须规定: 0与负数相乘得0. 新知探究 22230 例1 计算: (1)3×(-2);　(2)(-8)×5;　(3)0×(-6.18); (4) (-)×0;　(5) (-)×. 解：(1)3×(-2)=-( ) (2)(-8)×5=-( ) (3)0×(-6.18)=0. (4) (-)×0=0. (5) (- )×=- (×) 3×2 = -6. 8×5 = -40. = - . 典型例题 22230 知识点 2 同号两数相乘 同样，为了满足有理数的乘法对加法的分配律，则有 (－5)×(－3) +(－5)×3 = (－5)×[(－3)+3]=(－5)×0=0. 根据 的两个数和为0， 于是有(－5)×(－3) = = = . －[(－5)×3] 互为相反数 －[－(5×3)] 5×3 负数与负数相乘得正数，并把绝对值相乘. 因此，为了满足有理数的乘法对加法的分配律，就必须规定: 新知探究 22230 有理数的乘法法则： 同号两数相乘得正数，异号两数相乘得负数，并把绝对值相乘； 0乘任何数都得0 . 知识要点 22230 例2 计算: (1)(-3)×(-)；　 (2) (-)× (-). 解： (1)(-3)×(-) = 3× (2) (-)× (-) = × = 1 . = . 典型例题 22230 10 1.填空： (1)若a＜0，b＞0，则ab______0 ; (2)若a＜0，b＜0，则ab______0 ; (3)若ab＞0，则a、b应满足__________; (4)若ab＜0，则a、b应满足__________； (5)若ab＝0，则a、b应满足_________________. ＜ ＞ a、b同号 a、b异号 a、b至少有一个为0 当堂检测 22230 2.计算： (1)(-8)×; (2)×(-1.2); (3)(-0.12)× ； (4)(-0.57)×0 ； 解：(1)(-8)× =- =-12. (2)×(-1.2)==-1.5. (3)(-0.12)×= 0.12×=0.01. (5)(-5)×(-4)；　(6)2×(-3.5)； (7)× . (4)(-0.57)×0 =0. (5)(-5)×(-4)=+(5×4)=20. (6)2×(-3.5)=-(2×3.5)=-7. (7)×=- . 当堂检测 22230 12 有 理 数 的 乘 法 法 则 法则 步骤 同号两数相乘得正数，异号两数相乘得负数，并把 绝对值相乘. 1.确定符号. 2.确定绝对值. 0乘任何数都得0. 课堂小结 22230 13 1.5.1 有理数的乘法 课时2 有理数的乘法运算律 22230 1.明确小学学习的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律在 有理数中仍然适用. 2.能熟练运用乘法运算律简化有理数乘法的运算过程. 3.会进行多个因数的乘法运算. 学习目标 22230 知识点1 有理数的乘法运算律 问题1：(1)先填空，再判断下面三组算式的结果是否分别相等. ① (-6)×[4＋(-9)]＝(-6)× ＝ . (-6)×4＋(-6)×(-9)＝ ＋ ＝ . ② (-6)×[(-4)＋9]＝(-6)× ＝ . (-6)×(-4)＋(-6)×9＝ ＋ ＝ . -5 30 -24 54 30 5 -30 24 (-54) -30 ③ (-6)×[(-4)＋(-9)]＝(-6)× ＝ . (-6)×(-4)＋(-6)×(-9)＝ ＋ ＝ . -13 78 24 54 78 新知探究 22230 (2)将(1)中的有理数换成其他有理数，算一算各组算式的结果还分别相等吗？ 相等. 思考：由此你能得出什么结论？ 新知探究 22230 即一个有理数与两个有理数的和相乘，可以先把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加. 一般地，有理数的乘法满足乘法对加法的分配律： a×(b＋c)＝ ， (b＋c)×a＝ . a×b＋a×c b×a＋c×a 知识要点 22230 问题2：(1) 先填空，再判断下面两组算式的结果是否分别相等. ① ＝ ， ＝ ； ② [(-2)×3]×(-4)＝ ×(-4)＝ ， (-2)× [3×(-4)]＝(-2)× ＝ . (2) 将 (1) 中的有理数换成其他有理数，算一算各组算式的结果还分别相等吗？ (-6) 24 (-12) 24 由此你能得出什么结论？ 相等 新知探究 22230 一般地，有理数的乘法满足如下两个运算律： a×b＝b×a； 乘法交换律 (a×b)×c＝a×(b×c). 乘法结合律 即：①两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变； ②三个有理数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变. 知识要点 22230 1.由有理数的乘法交换律、乘法结合律可知， 三个或三个以上的有理数相乘，可以写成这些数的连乘式．对于连乘式，可以任意交换因数的位置， 也可以先把其中的几个数相乘. 2.由于(－1)×a＋a＝(－1)×a＋1×a ＝[(－1) ＋1] ×a ＝0×a ＝0， 因此(－1)×a 与 a 互为相反数，即 (－1)×a＝－a 总结归纳 22230 例1 计算： = -39＋14 乘法对加法的分配律 解： = -25. 典型例题 22230 例1 计算： = －30＋20＋15－12 = －7. 解： 乘法对加法的分配律 典型例题 22230 (3) (-12.5)×(-2.5)×(-8)×4. 解： (-12.5)×(-2.5)×(-8)×4 ＝100×(－10) ＝－1000. ＝(-12.5)×(-8)×[(-2.5)×4] 乘法交换律 乘法结合律 例1 计算： ＝(-12.5)×(-8)×(-2.5)×4 典型例题 22230 观察下列各式，它们的积是正还是负？ (1)2×3×4×(－5)； (2)2×3×(－4)×(－5)； (3)2×(－3)×(－4)×(－5)； (4)(－2)×(－3)×(－4)×(－5). 思考：几个不为0的数相乘，积的符号和负因数的个数有什么关系？ 负 正 负 正 知识点 2 多个有理数相乘的积的符号 新知探究 22230 25 多个有理数相乘的法则: (1)几个不等于 0 的数相乘，积的符号由_____________决定. 当有_____个负数时，积为负数； 当有_____个负数时，积为正数. (2)几个数相乘，如果其中有因数0，那么积等于0. 负因数的个数 奇数 偶数 奇负偶正 知识要点 22230 例2 计算： (1)(-8)×(-1) ×(-3)×4×(-5) ； (2) ×10×(-3.2)×(-5). ＝－32 . 解：(1) (-8)×(-1) ×(-3)×4×(-5) (2) ×10×(-3.2)×(-5) ＝ ＝480 . ＝－ 8× 1× 3× 4× 5 典型例题 22230 多个有理数相乘的运算步骤： 1.先确定积的符号； 2.再把所有因数的绝对值相乘. 总结归纳 22230 填空： (1) 已知a b c＞0，a＞0，ac＜0，则a、b、c的符号分别是____________； (2) 已知a b c＞0，a＞c，ac＜0，则a、b、c的符号分别是____________. 正、负、负 正、负、负 练一练 22230 1.下面解题的过程正确吗？若不正确，请说说错在哪里？ 解： 原式＝ ＝16＋6＋2－9 ＝15. 计算： 解：不正确.第一步的符号错误. 当堂检测 22230 2.计算: (1)87×(); (2)(－60)×()； 解：(1) 87×() = 87×()+87×() =+() =73. (2) (－60)×() =(60)×+(60)×()+(60)×() =30+40+48 =58. (3)(－2)×17×(－5)； (4)(－15)×(－3)×(－4)×2. 当堂检测 22230 解： (3) (－2)×17×(－5) ＝ 2 ×17× 5 ＝ 170 (4) (－15)×(－3)×(－4)×2 ＝－ (15×3×4×2) ＝－ 360 2.计算: (1)87×(); (2)(－60)×()； (3)(－2)×17×(－5)； (4)(－15)×(－3)×(－4)×2. 当堂检测 22230 3.直接判断下列各式计算结果的符号： (1) (－2)×7×8； (2) (－3)×5×(－) ； (3) × (－2.1)×(－6) ×(－3)； (4) (－3.6)×(－5)×(－4)×(－) ； (5) 4× (－8.1)×(－11)×(－14)×(－) ×(－ ) . 负 正 负 正 负 当堂检测 22230 有理数的乘法运算律 有理数的乘法运算律 多个有理数相乘 乘法对加法的分配律 乘法交换律 乘法结合律 几个不等于 0 的数相乘，当有偶数个负数时，积为正数，当有奇数个负数时，积为负数. 几个数相乘，若其中有因数0，则积等于0. 课堂小结 22230 1.5 有理数的乘法和除法 1.5.2 有理数的除法 22230 35 1.知道有理数的除法法则,能进行两个有理数的除法运算. 2.知道倒数的概念,会求非零有理数的倒数. 3.能运用倒数将除法运算转化为乘法运算. 学习目标 22230 36 计算： 8×9=____, (－4)×3 =____ , 2×(－3)=____ , (－4)×(－3)=____, 0×(－6)=____. 同号两数相乘得正数，异号两数相乘得负数，并把绝对值相乘. 任何数与 0 相乘都得 0. 有理数的乘法法则是什么？ 72 -12 -6 12 0 复习导入 22230 37 我们知道 2 × 3 = 6，因此 6 ÷ 3 = 2. 那么如何计算(-6)÷3，6÷(-3)，-6)÷(-3)呢？ 由于(-2)×3 = - 6， 因此， (-6)÷3 = -2. 由于(-2)×(-3)= 6， 由于 2 ×(-3) = -6 ， 因此， 6÷(- 3)= -2. 因此， (-6)÷(-3)=2. 新知探究 22230 从这些式子受到启发，抽象出有理数的除法运算： 对于两个有理数a，b，其中b不为0，如果有一个有理数c，使得cb = a，那么规定a÷b=c，且把c叫作a除以b的商. 知识要点 22230 39 1.同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并且把它们的绝对值相除. 2.0 除以任何一个不等于0的数都得0. 由于有理数的除法是通过乘法来规定的， 因此由6 ÷ 3 = 2，(-6)÷3 = -2，6÷(- 3)= -2，(-6)÷(-3)=2可以得出： (+)÷(+)→(+) (-)÷(-)→(+) (-)÷(+)→(-) (+)÷(-)→(-) 知识要点 22230 (1)(－24)÷4； (2)(-18)÷(-9)； 例1 计算： (2)(-18)÷(-9)＝+(18÷9)=2. (3)10÷(-5)； (3)10÷(-5)＝－( 10 ÷ 5 )＝－2. 解：(1)(－24)÷4＝－(24÷4)＝－6. (4)0÷(-10). (4)0÷(-10)=0. 典型例题 22230 41 有理数除法的运算步骤： 1.确定商的符号； 2.将被除数与除数的绝对值相除. 总结归纳 22230 分别计算10÷(-5)与10×，它们的结果相等吗？ 由于 10÷(-5)=-2， 又 10×=-2， 所以 10÷(-5)= 10×. 新课讲授 22230 43 分别计算(-10)÷(-5)与(-10)×(-)，它们的结果相等吗？ 做一做 由于 (-10)÷(-5)=2， 又 (-10)×=2， 所以 (-10)÷(-5)=(-10)×(-). 22230 例如，是-5的倒数，-5是的倒数，-5和互为倒数. (-5)×=1，因此，类似于小学学的倒数,可以抽象出如下概念： 因此,10÷(-5)= 10×表明，10除以-5等于10乘-5的倒数; (-10)÷(-5)=(-10)×(-)表明，-10除以-5等于-10乘-5的倒数. 若两个有理数的乘积等于1，则把其中一个数叫作另一个数的倒数， 也称它们互为倒数.0没有倒数. 知识要点 22230 45 (1)1的倒数为_____; (2)-1的倒数为______; (3) 的倒数为______; (4) - 的倒数为______; (5) 的倒数为_____; (6) - 的倒数为______. 1 3 思考： a的倒数是 对吗？为什么？ 不对.只有当a≠0时，a的倒数才是 . 填空： -1 -3 练一练 22230 46 填空： 新课讲授 22230 互为倒数 互为倒数 互为倒数 互为倒数 思考：对比这四个等式，从中你能得出什么结论？ 新知探究 22230 一般地，有 互为倒数 除法变乘法 除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数. 也可以表示成 a÷b=a× (b不为0) 知识要点 22230 1.因为0不能作分母，所以0没有倒数； 2.求分数的倒数，只要把这个分数的分子，分母颠倒位置即可 (带分数要先化成假分数，小数要先化成分数)； 3.正数的倒数是正数，负数的倒数是负数. 注意： 总结归纳 22230 50 例2 计算： (1) (－12)÷ ； (2) 15÷ ； (3) ÷ . 解：(1) (－12)÷ ＝ (－12)×3＝ －36. (2) 15÷ ＝15× ＝－35. 典型例题 22230 1. 计算： 解： 当堂检测 22230 注意：运算中遇到小数和分数时，把小数化成分数，带分数化成假分数，然后相除. 解： 当堂检测 22230 2.化简下列各式： 总结：一般地，分数的分子、分母、分数本身的三个符号中，任意改变其中两个的符号，分数的值不变. (1); (2). 解：(1)=(-12)÷3=-4. (2)=(-45)÷(-12)=. 当堂检测 22230 有 理 数 的 除 法 同号两数相除得正数, 异号两数相除得负数, 并把它们的绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数都得0. 有理数的除法法则(一) 有理数的除法法则 (二) 注意 (1)0不能作除数; (2)一般在不能整除的情况下应用法则(二), 在能整除的情况下应用法则(一). 除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数. (b不为0). 课堂小结 22230 55 1.5 有理数的乘法和除法 1.5.3 有理数的乘除 22230 1.能熟练应用有理数的乘除法则进行有理数乘除的混合运算. 2.会正确确定有理数乘除的运算顺序. 学习目标 22230 怎样进行有理数的乘除混合运算呢？ 在小学，我们已经学习过乘除混合运算，其运算顺序是按从________到________的顺序进行运算的.如果有括号，先算__________里面的. 左 右 括号 复习导入 22230 方法一： 按从左往右的顺序依次计算 (-10)÷(-5)×(- 2) =2 ×(- 2) =-4. 方法二： 先将除法转化为乘法 =(-10)×( - )×(- 2) =-(10× ×2) =-4. (-10)÷(-5)×(- 2) 如何计算(-10)÷(-5)×(-2)？ 新知探究 22230 59 在只有有理数的乘法和除法运算时，如果没有括号，则按照从左到右的顺序依次进行计算，并可以把除法转化为乘法，然后再按照乘法法则进行计算；如果有括号， 就先做括号内的运算． 有理数乘除混合运算的运算顺序： 总结归纳 22230 60 解： (-5) ×6 ÷(-3) = (-30) ÷(-3) =10. 解： (-56)÷(-2) ÷ (-8) =28 ÷ (-8) 例1 计算: (2)(-56)÷(-2) ÷ (-8). (1)(-5)×6 ÷(-3)； = . 总结：同级运算，按从左到右的顺序依次进行. 典型例题 22230 61 例2 计算： (1) (-10)÷[(-5)×(-2)]； (2) (-24)÷×； (3) -÷÷； (4) ×÷×. 解：(1) (-10)÷[(-5)×(-2)] (2) (-24)÷×=(-24)××=8. (3) -÷÷= ×× =-=-. (4) × ÷ × =×× =-=-. =(-10)÷10=-1. 22230 62 有理数乘除混合运算的步骤: 1.有括号，先算括号内的； 2.同级运算从左往右依次进行； 3.含有除法运算的，可以先利用倒数将除法转化为乘法， 然后利用有理数的乘方法则进行计算，也可以用运算律简化计算. 总结归纳 22230 计算: (1)(-49)÷7×2÷(-16); (2)(-4)÷. 解： (-49)÷7×2÷(-16) =(-7)×2÷(-16) =(-14)÷(-16) = . (-4)÷ =(-4)÷[(-6)×(-2)] =(-4)÷12 = . 练一练 解： 22230 64 下面是小楠同学做的一道计算题，他的计算是否正确？如果不正确，说说他错在哪里. 议一议 (-4)÷(-8) =(-4)÷(-2) =2. 解：不正确.没有按从左到右的顺序计算. (-4)÷(-8) = =. 22230 1．下列计算正确的是（ ） A．－3.5÷ ×(－ )＝－3 B．－2÷3×3＝－ C．(－6)÷(－4)÷(＋ )＝ D． C 当堂检测 22230 2.计算： (3)×÷. 解：(1) 解：(2) 当堂检测 22230 ×÷ =×÷ =×× = ＝﹣. (3)×÷. 解： 当堂检测 22230 如果没有括号按从左到右的顺序进行. 先把除法转化为乘法，再按照乘法的运算法则，结合运算律进行计算. 有理数的乘除 方法1 方法2 课堂小结 22230 69 $