第16讲：直线和椭圆的位置关系【知识梳理+6个题型归纳+方法总结】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026年高二数学上学期常考题型归纳 【第16讲：直线和椭圆的位置关系】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、核心判定方法：联立方程判别式法 这是判断直线与椭圆位置关系的根本方法，步骤固定且普适。 1.设方程 椭圆标准方程（以焦点在x轴上为例）：（）。 直线方程：根据情况选择斜截式（斜率存在）或一般式。 2.联立消元 将直线方程代入椭圆方程，消去一个变量（通常消去y），得到关于x的一元二次方程：（，因椭圆方程二次项系数不为0，联立后不会出现一次方程）。 3.计算判别式 计算一元二次方程的判别式，根据的符号判断位置关系： ：直线与椭圆有两个不同交点，位置关系为相交。 ：直线与椭圆有一个公共点，位置关系为相切（此时直线为椭圆的切线）。 ：直线与椭圆无公共点，位置关系为相离。 二、常考结论与应用 掌握这些结论能跳过复杂计算，直接快速解题，是考试中的高频考点。 1.椭圆的切线相关结论 结论1：椭圆切线方程 过椭圆上一点的切线方程为：（“点代入”法则，将换成，换成）。 斜率为k的椭圆切线方程为：（切线恒在椭圆外，有两条，符号对应上下两支）。 结论2：切线性质 椭圆的切线与过切点的半径（椭圆中心到切点的连线）不垂直，但与过切点的焦点弦存在特定夹角关系（较少直接考，了解即可）。核心应用是切线方程的快速书写。 2.直线与椭圆相交的弦长问题 结论3：弦长公式 当直线与椭圆相交于、两点时，弦长的计算有两个常用公式： 若直线斜率为k，联立后方程为，则： （其中，，即韦达定理的应用）。 若直线斜率不存在（垂直x轴，方程为），则直接代入椭圆方程求y，弦长。 3.中点弦与点差法结论 结论4：中点弦斜率公式（点差法核心） 若椭圆的弦AB以为中点，则弦AB的斜率满足： （其中是椭圆中心O到中点M的连线斜率）。 推导方法为“点差法”：将A、B两点坐标代入椭圆方程，两式相减，利用平方差公式和中点坐标公式推导。 结论5：中点弦存在性 给定椭圆内一点，必存在以M为中点的椭圆弦；若M在椭圆上或椭圆外，则不存在这样的弦（或弦与椭圆相切/无交点）。 4.焦点弦相关结论 结论6：焦点弦性质 过椭圆焦点F的弦AB（焦点弦），设其倾斜角为，则： 弦长（其中c为椭圆半焦距，满足）。 当（弦垂直于长轴）时，弦长最短，为通径，长度为（通径是椭圆的最短焦点弦）。 三、易错点提醒 1.联立方程时，务必确保直线方程的斜率存在性，若斜率可能不存在（如直线垂直x轴），需单独讨论。 2.使用“点差法”时，前提是直线与椭圆相交（即存在两点A、B），否则推导的斜率无意义，需验证。 3.椭圆的切线方程与圆的切线方程形式不同，切勿混淆“点代入”法则的应用（圆的切线方程是，与椭圆不同）。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：直线和椭圆的位置关系判断】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·全国·课堂例题）已知椭圆，若直线与椭圆有唯一的公共点，求实数的值. 【答案】或 【分析】把直线方程代入椭圆方程，利用判别式法直接求解. 【详解】由直线的方程特征可知，随着的变化，直线平行移动， 若直线与椭圆有唯一的公共点，则直线方程和椭圆方程联立方程组应有唯一解. 联立直线与椭圆的方程，得 消去，并整理，得③ 因为方程③是一元二次方程， 所以它有唯一的实数解的充要条件是， 解得或. 所以当直线与椭圆有唯一的公共点时，实数的值为或. 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，若椭圆上存在两个不同点关于直线对称，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】据题意可设直线的方程为，，，的中点为，联立直线与椭圆方程，可得，结合韦达定理可得，代入直线可得，进而求解即可. 【详解】根据题意可设直线的方程为， 设，，的中点为， 联立方程组，得， 则，解得， 由韦达定理得，则，所以． 又点在直线上，即，则， 而，则. 所以实数的取值范围是. 故选：B． 相似练习 【相似题1】（2025高二·全国·专题练习）已知，为椭圆上的两个动点，，且的垂直平分线的方程为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的中点坐标为，讨论、，结合，，，由点在直线上得，点在椭圆内有，即可得. 【详解】设直线的中点坐标为，直线的垂直平分线为直线， ①当时，，符合题意； ②当时，因为，而，则， 所以，即， 因为点在直线上，故，可得， 又因为点在椭圆内，故，解得且； 综上，. 故选：B 【相似题2】（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆，若椭圆上存在关于直线对称的两点，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法1：设，，的中点为，求出，由点在椭圆内，代入椭圆方程解不等式即可求解； 解法2：设，，的中点为，直线的方程为．，与椭圆联立方程，求出中点，代入直线即可求解. 【详解】解法1：设，，的中点为． 因为，，所以，故． 因为点在椭圆内，故，即． 又点在直线上，所以，即．故选C． 解法2：设，，的中点为，直线的方程为． 由，得，故， 即，，，故． 又因为点在直线上，所以，得， 由，得，解得，故实数的取值范围是． 故选：C． 【解题策略】 一、通用解题步骤（判别式法） 这是判断所有位置关系的“万能方法”，无论直线是否过定点、斜率是否存在，都能适用。 步骤1：明确方程形式，统一坐标系 首先确定椭圆和直线的标准方程，确保二者在同一平面直角坐标系下。 椭圆方程：优先写标准式，避免带参数混淆。 例：焦点在x轴上：（）；焦点在y轴上：（）。 直线方程：根据斜率是否存在分类设定，避免漏解。 若斜率存在：设为斜截式（k为斜率，m为纵截距），方便代入消元。 若斜率可能不存在（如直线垂直x轴、题目未明确斜率）：先设斜截式，最后单独讨论“”的情况。 步骤2：联立方程，消元得一元二次方程 将直线方程代入椭圆方程，消去一个变量（通常消去y，计算更简便），整理为标准一元二次方程形式：（）。 关键提醒：椭圆方程的二次项系数不为0，联立后必然不为0（若，则直线与椭圆要么无交点，要么为特殊情况，需结合题目验证），无需额外讨论。 示例：椭圆与直线联立，代入得： ，展开整理为，即，，。 步骤3：计算判别式，判断位置关系 根据一元二次方程的判别式的符号，直接对应位置关系： ：方程有两个不同实根→直线与椭圆相交（2个交点）。 ：方程有两个相等实根→直线与椭圆相切（1个交点）。 ：方程无实根→直线与椭圆相离（0个交点）。 示例：承接上例，。 当时，→相交； 当时，→相切（直线与椭圆上顶点相切）。 二、特殊场景的快捷解题思路 除通用步骤外，针对常考的“直线过定点”“斜率不存在”等场景，可简化判断流程，提升解题速度。 1.直线过定点的位置判断 若题目明确直线过某定点，可先判断定点与椭圆的位置关系，再辅助判别式验证： 若定点在椭圆内部：无论直线斜率如何，直线必与椭圆相交（无需计算，直接得出结论）。 （椭圆内点判定：代入椭圆方程，） 若定点在椭圆上：直线与椭圆至少有一个交点（过椭圆上点），再通过判断是否相切（）或相交（，即直线为椭圆的割线）。 若定点在椭圆外部：需按通用步骤计算，判断直线与椭圆是相交（）、相切（）还是相离（）。 2.斜率不存在的直线判断 当直线方程为（垂直x轴，斜率不存在）时，无需联立消元，直接代入椭圆方程求y： 代入椭圆，得。 若（即）：有两个不同值→相交。 若（即）：→相切（直线与椭圆长轴端点相切）。 若（即）：无实根→相离。 三、解题易错点提醒 1.漏判直线斜率不存在的情况：题目未明确直线斜率时，直接设，忽略的情况，导致漏解。 对策：解题开头先注明“当直线斜率存在时，设方程为；当斜率不存在时，设方程为”，分情况讨论。 2.判别式计算错误：展开联立方程时符号出错，或忘记中的“4AC”，导致结论颠倒。 对策：整理一元二次方程时，先明确、、的具体值（含符号），再代入公式计算。 3.误用“点差法”判断位置关系：点差法适用于“已知中点求斜率”，但不能直接用其推导的斜率判断位置关系（需先保证直线与椭圆相交，即）。 对策：点差法仅作为辅助工具，最终位置关系仍需通过判别式验证。 四、典型例题解题思路演示 题目：判断直线与椭圆的位置关系。 1.步骤1：联立方程 将代入椭圆方程，得。 展开整理：，通分后为。 2.步骤2：计算判别式 确定，，，则： 。 3.步骤3：根据判断 当，即→→时，直线与椭圆相交。 当，即时，直线与椭圆相切。 当，即时，直线与椭圆相离。 【题型二：求椭圆切线方程】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆上任意一点处的切线方程为.过点作椭圆：的两条切线与分别相切于，两点，设为坐标原点，则外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设，，根据题意求出直线的方程为，进而再求，，再用待定系数法求出三角形的外接圆方程. 【详解】设，，则在点处的切线方程为，点处的切线方程为 ，由于切线，均过点，则，，故直线的方程为. 将直线与联立，消去得，解得，， 代入直线的方程为，，，所以得，. 设的外接圆方程为，将点代入可得， 故，将，代入得， 解得，，故的外接圆方程为. 故选：A. 【例题2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆E：的左焦点为F，过点分别作E的切线、，切点分别为A、B，则面积最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据椭圆上一点的切线方程求出直线的方程，然后联立直线与椭圆方程，利用韦达定理将表示出来，然后列出三角形面积表达式，最后根据不等式的性质求出三角形面积的最大值. 【详解】因为椭圆方程为，设切点， 则切线的方程为，. 因为切线过点，所以，切线的方程变为： ，因为点都在直线上， 所以直线的方程为.该直线必过点刚好是椭圆的右焦点. 联立直线方程和椭圆方程为： ，化简得. 根据韦达定理.而 所以. 因为， 要使得面积取得最大值，则应取最小值，根据不等式， 所以当时，三角形的面积最大，最大值为. 故选：A. 相似练习 【相似题1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出与l：平行的直线，当与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值，联立与椭圆方程，由根的判别式等于0求出的方程，从而求出答案. 【详解】设与l：平行的直线为：， 当与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值， 联立与可得，， 由，可得， 当时，直线：，此时两平行线距离为， 当时，直线：，此时两平行线距离为， 故椭圆上任意一点到直线l的距离最大值为. 故选：A 【相似题2】（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点为为椭圆上一点，过P点作椭圆的切线l，PM垂直于直线l且与x轴交于点M，若M为的中点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆方程和切点坐标，写出切线方程，得M点坐标，由M的位置，求得离心率. 【详解】因为为椭圆 上一点，所以过P作椭圆的切线， 切线斜率，所以PM的斜率，直线PM的方程为， 令，得，所以，由题， ，所以，． 故选：C． 【解题策略】 一、先明确椭圆的“基准”：标准方程 所有切线方程的推导都基于椭圆标准式，解题第一步需先确定椭圆焦点位置，避免公式用错。 焦点在x轴上：（，为长半轴，为短半轴）。 焦点在y轴上：（，长轴在y轴上，公式需对应调整）。 二、三大类已知条件的解题思路（核心） 根据“已知什么”分类，是最快求出切线方程的关键，以下为高频考法的具体步骤。 1.已知条件：切线过椭圆上一点（已知切点） 这是最直接的情况，核心用“点代入法则”，无需计算判别式，一步写方程。 解题步骤： 1.确认切点在椭圆上（可代入椭圆方程验证，题目通常已给出）。 2.套用“点代入公式”：将椭圆标准方程中的换成，换成，即可得到切线方程。 若椭圆为，则切线方程为：。 若椭圆为，则切线方程为：。 示例：求过椭圆上一点的切线方程。 直接套用公式：，整理得。 2.已知条件：切线斜率为（未知切点） 已知斜率时，核心用“斜率式切线公式”，公式源于“联立方程令Δ=0”的推导，可直接套用。 解题步骤： 1.确定椭圆标准式，明确和的值。 2.套用斜率式切线公式：切线有两条，分别在椭圆上下（或左右）两侧，公式含“±”。 若椭圆为，则切线方程为：。 若椭圆为，则切线方程为：（注意和的位置，因长轴在y轴）。 推导逻辑（可选）：设切线为，代入椭圆方程得一元二次方程，令Δ=0，解得，代入即得公式。 示例：求斜率为2，与椭圆相切的直线方程。 ，，代入公式得，即。 3.已知条件：切线过椭圆外一点（未知切点、未知斜率） 这是最复杂的情况，核心用“设方程+联立Δ=0”，需分“斜率存在”和“斜率不存在”两种情况讨论，避免漏解。 解题步骤： 1.先判断点在椭圆外：代入椭圆方程，若（焦点在x轴），则为外点（只有外点能作两条切线）。 2.情况1：切线斜率存在 设切线方程为（点斜式，为斜率），整理为。 3.联立方程求 将切线方程代入椭圆方程，整理为一元二次方程，令Δ=0，得到关于的一元二次方程。 4.解并写方程 解出的两个值（对应两条切线），分别代入点斜式，得到两条切线方程。 5.情况2：切线斜率不存在 单独验证直线是否为切线：将代入椭圆方程，若仅得一个值（即Δ=0），则也是切线，否则不是。 示例：求过点，与椭圆相切的直线方程。 第一步：判断外点：，确认为外点。 情况1：斜率存在，设切线为，即。 代入椭圆得，整理后令Δ=0，解得或。 对应切线：和。 情况2：斜率不存在，直线，代入椭圆得，无实根，故不是切线。 最终切线方程：和。 三、解题易错点提醒 1.焦点位置搞反：误用公式（如焦点在y轴却用了x轴的斜率式），导致结果错误。 对策：先圈出椭圆方程中的（分母大的为），明确焦点位置。 2.忽略斜率不存在的情况：已知外点时，只算斜率存在的切线，漏了垂直x轴的切线（如）。 对策：解题时强制分“斜率存在/不存在”两类，每类都验证。 3.外点判断错误：若点在椭圆上或椭圆内，却按外点求切线，会导致无解或只有一条切线。 【题型三：求椭圆的弦长】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆方程为，为过椭圆的左焦点的弦，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法1：对直线有无斜率进行讨论，当直线有斜率时，设直线方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式，进行化简整理，可得结论；方法2：从选择项发现所给问题为定值，则由于数学问题的特殊与一般的统一性，取点在特殊位置求值即可. 【详解】方法1：如图： 易知：. 若直线斜率不存在，则弦为椭圆通径，此时，所以； 若直线斜率存在，可设直线方程：，代入椭圆方程得： ， 整理得：. 设，（不妨令）， 则：，. 所以. 所以. 又，. 所以 . 综上可知：. 方法2：如图： 可取为椭圆的长轴，则，， 所以. 故选：C 【例题2】（2025高二·全国·专题练习）已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式将表示成的函数即可求解. 【详解】设直线的方程为，由，得， 由，得， 则， 所以， 当时取到最大值，此时直线的方程为． 故选：B． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线方程，联立直线与椭圆，根据的面积求出，利用弦长公式求出弦长. 【详解】如图： 由题，不妨设，直线斜率存在， 设直线方程， 联立， ， ， 解得， 故， 故选：D. 【相似题2】（24-25高二上·山西晋中·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先求得直线故直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解. 【详解】解：在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 故选：B． 【解题策略】 一、弦长问题的前提：确认直线与椭圆相交 计算弦长的大前提是直线与椭圆有两个不同交点（即弦存在），因此第一步需验证： 联立直线与椭圆方程，得到一元二次方程（），计算判别式。 只有当时，弦长存在，可继续计算； 若，直线与椭圆相切或相离，无弦长（或弦长为0）。 二、核心解题步骤（分两种情况） 根据直线斜率是否存在，弦长公式分为两类，解题步骤需对应调整，其中“斜率存在”是考试高频场景。 情况1：直线斜率存在（设斜率为） 当直线可表示为（斜截式）或（点斜式）时，用此方法。 解题步骤： 1.联立方程：将直线方程代入椭圆标准方程（如），消去，整理为一元二次方程：。 2.验证相交：计算，确认（弦存在）。 3.用韦达定理求根与系数关系：无需解出，直接求两根之和与两根之积： 两根之和： 两根之积： 4.代入弦长公式计算： 弦长 （公式推导：由两点间距离公式，结合，化简可得）。 示例：求直线与椭圆的弦长。 联立得：→（，，）。 ，弦存在。 韦达定理：，。 弦长：。 情况2：直线斜率不存在（直线垂直x轴，方程为） 当直线垂直于x轴时，无需联立韦达定理，直接代入椭圆求y值即可，计算更简便。 解题步骤： 1.代入直线方程：将代入椭圆标准方程，解出对应的值：（以焦点在x轴的椭圆为例）。 2.求y的差值：设两交点为、，则，。 3.计算弦长：弦长（因x坐标相同，距离即y坐标差的绝对值）。 示例：求直线与椭圆的弦长。 代入得：→。 弦长：。 三、常考特殊弦：焦点弦的快捷公式 过椭圆焦点的弦（焦点弦）是高频考点，除通用方法外，可直接用专门公式计算，节省时间。 以焦点在x轴上的椭圆（，半焦距）为例： 1.通径（最短焦点弦）：当焦点弦垂直于长轴（x轴）时，弦长为通径，公式为： （直接代入“斜率不存在”的弦长公式，，化简可得）。 2.倾斜角为的焦点弦：若焦点弦与x轴夹角为，则弦长公式为： （由通用弦长公式结合焦点坐标推导，可直接套用）。 示例：椭圆（，，），求过右焦点且倾斜角为的焦点弦长。 代入公式：，，。 弦长：。 四、解题易错点提醒 1.忘记验证：直接计算弦长，忽略直线与椭圆可能无交点（如直线与椭圆相离），导致结果无意义。 对策：解题第一步必算，确认弦存在后再继续。 2.韦达定理符号错误：混淆中的负号，或代入弦长公式时漏算“”，导致结果错误。 对策：整理一元二次方程时，明确、、的符号（含正负），再代入公式。 3.焦点弦公式记错：混淆椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦公式，或记错、、的位置（如焦点在y轴时公式需调整）。 对策：焦点弦公式优先用通用方法推导，不强行死记，若记公式需明确适用条件（椭圆类型、焦点位置）。 【题型四：求椭圆中三角形（四边形）面积】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）已知椭圆的左顶点为，左焦点为，下顶点为，若椭圆C的长轴是短轴的倍，且（O为坐标原点） (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与曲线C相交于A、B两点，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求解即可； （2）设，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，，由得，由弦长公式可得，由点到直线的距离公式可得点到直线的距离，再计算即可得出答案. 【详解】（1） 由题意可得，解得， 所以椭圆方程为； （2）由题意知：，设，， 联立得， ，即， ，， 所以， ，，满足， ， 又点到直线的距离， ， 把代入上式得： 的面积为. 【例题2】（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)为坐标原点，设点，过作的垂线交椭圆于两点.求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点得到，根据点在椭圆上符合椭圆方程及，联立解得的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）由垂直得到直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，由韦达定理求得，由三角形面积公式得到面积，由基本不等式得到面积的最大值. 【详解】（1）由右焦点为，得，所以， 又点在上，所以，即， 联立，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2） 因为，，所以， 因为，所以， 故直线的方程为，即， 联立并整理得， 设，则， 所以， 所以的面积， 令，则，， 当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为. 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·重庆南岸·阶段练习）已知椭圆的短半轴长为1，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题设条件，建立关于的方程组，求解即得椭圆标准方程； （2）对直线的斜率分类讨论，利用韦达定理求得和，进而表示出，最后利用求解. 【详解】（1）因为椭圆的短半轴长为，所以. 椭圆过点，所以，解得. 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）可得椭圆的半焦距,则椭圆右焦点为， 若直线斜率为，则为椭圆的左右顶点，不符合题意，故直线的斜率不为. 可设的方程为.设，. 由，消去化简得，. 由韦达定理得，，. 则. ，解得. 所以直线的方程为或. 【相似题2】（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切. (1)求椭圆的方程； (2)过定点斜率为的直线与椭圆交于两点，若求实数的值及的面积. 【答案】(1). (2)， 【详解】（1）由题可知原点到直线距离.因为椭圆的离心率为，所以，所以. 所以椭圆C的方程为：. （2）过定点斜率为的直线方程为：.设. 由，得.所以. 因为，所以，所以， 整理得：，所以. 所以.所以， 所以的面积. 【解题策略】 一、总述：面积计算核心思路 椭圆中图形面积计算的本质是“拆解图形+结合椭圆性质算关键量”，核心逻辑如下： 1.图形拆解：将四边形拆分为三角形、梯形等基础图形（如平行四边形拆为4个中心三角形，焦点四边形拆为2个焦点三角形），优先利用椭圆的中心对称性和焦点性质简化计算。 2.关键量计算：面积公式需的“底”（弦长、两点距离）和“高”（点到直线距离、纵坐标差），结合椭圆的弦长公式、点到直线距离公式、韦达定理推导，避免求解复杂交点坐标。 3.前提验证：涉及椭圆弦时，需先通过联立方程计算判别式，确认弦存在（否则面积无意义）。 二、三角形面积解题知识（3类高频场景） 场景1：顶点为“椭圆中心O+椭圆上两点A、B”（△OAB） 适用条件 顶点构成：O（椭圆中心，默认原点(0,0)）、A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)（均在椭圆上，椭圆方程）。 核心优势：无需计算高，利用向量叉乘的几何意义，用行列式公式快速求解。 核心公式 面积公式：（推导：由向量、的叉乘模长得出）。 坐标代入技巧：若A、B由直线与椭圆联立得到，可设椭圆参数方程、，代入公式简化计算。 解题步骤 1.确定A、B的坐标（或参数形式），确认均在椭圆上（代入椭圆方程验证）。 2.直接代入行列式公式，计算，再乘以得面积。 场景2：顶点为“椭圆焦点F+过F的弦AB”（焦点弦三角形，如△F₁AB） 适用条件 顶点构成：一个焦点（如F₁(-c,0)，c=）、过该焦点的弦AB（A、B在椭圆上，即焦点弦）。 核心思路：“底=焦点弦长|AB|，高=另一个焦点到直线AB的距离”，结合椭圆焦点弦性质简化。 核心公式 1.焦点弦长计算： 已知倾斜角θ：（仅适用于椭圆焦点弦）。 未知倾斜角：联立直线AB与椭圆，得一元二次方程，用韦达定理求（k为直线AB斜率）。 2.高的计算：另一个焦点（如F₂(c,0)）到直线AB的距离，用点到直线距离公式（直线AB：Ax+By+C=0，F₂(x₀,y₀)）。 3.面积公式：。 解题步骤 1.确定椭圆参数a、b、c，以及两焦点F₁、F₂的坐标。 2.计算焦点弦长|AB|（选上述两种方法之一）。 3.计算另一个焦点到直线AB的距离d。 4.代入面积公式计算，注意单位和符号（面积为正）。 场景3：顶点为“椭圆外一点P+椭圆上两点A、B”（△PAB） 适用条件 顶点构成：外点P(x₀,y₀)（满足）、椭圆上两点A、B（AB为椭圆的弦）。 核心思路：“底=弦长|AB|，高=外点P到直线AB的距离”，需先确认弦AB存在（）。 核心公式 1.弦长|AB|计算： 直线AB斜率存在（设为k）：联立椭圆与直线AB（y=kx+m），得一元二次方程，用韦达定理求。 直线AB斜率不存在（x=x₀）：代入椭圆方程求y₁、y₂，得。 2.高的计算：外点P到直线AB的距离，用点到直线距离公式。 3.面积公式：。 解题步骤 1.设直线AB的方程（分斜率存在/不存在两类），联立椭圆方程得一元二次方程。 2.计算判别式，确认（弦AB存在）。 3.用韦达定理或直接代入法求弦长|AB|。 4.计算外点P到直线AB的距离d。 5.代入面积公式计算。 三、四边形面积解题知识（3类高频场景） 场景1：椭圆内接平行四边形（中心对称） 适用条件 图形特征：四个顶点均在椭圆上，且为中心对称图形（对角线必过椭圆中心O）。 核心优势：利用椭圆中心对称性，将平行四边形拆为4个全等的△OAB（A、B为相邻顶点），简化计算。 核心公式 面积公式：（x₁,y₁为A坐标，x₂,y₂为B坐标，推导自△OAB的行列式面积公式）。 解题步骤 1.设平行四边形相邻顶点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，由中心对称得另外两顶点为(-x₁,-y₁)、(-x₂,-y₂)。 2.用△OAB的行列式公式计算。 3.平行四边形面积=4×，代入化简。 核心公式 1.平行弦长计算： 若平行于x轴（直线y=m₁、y=m₂）：代入椭圆方程求x₁、x₂，得弦长。 若平行于y轴（直线x=m₁、x=m₂）：代入椭圆方程求y₁、y₂，得弦长。 一般斜率k：联立直线与椭圆，用韦达定理求弦长（同三角形弦长公式）。 2.两弦间距离（高）： 平行于x轴：。 平行于y轴：。 一般斜率k：（直线y=kx+m₁、y=kx+m₂）。 3.面积公式：（|AB|、|CD|为两条平行弦的长）。 解题步骤 1.确定两条平行弦的方程（分斜率存在/不存在两类）。 2.分别计算两条平行弦的长|AB|和|CD|。 3.计算两弦间的距离d（高）。 4.代入梯形面积公式计算。 场景3：焦点四边形F₁AF₂B（两焦点+椭圆上两点） 适用条件 图形特征：四个顶点为F₁、F₂（椭圆两焦点）、A、B（椭圆上两点），以F₁F₂为对角线（即四边形被F₁F₂分为△F₁AF₂和△F₁BF₂）。 核心思路：面积=两个焦点三角形面积之和，利用“底=F₁F₂=2c，高=A、B到x轴的距离之和”简化。 核心公式 1.单个焦点三角形面积：（|F₁F₂|=2c为底，|y_A|为A到x轴的距离，即高）。 2.四边形面积公式：（推导：）。 解题步骤 1.确定椭圆参数c（），以及F₁F₂的长度（2c）。 2.求A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)的纵坐标绝对值|y_A|和|y_B|（可通过联立直线AB与椭圆，用韦达定理求y₁、y₂，再取绝对值）。 3.代入四边形面积公式计算。 四、核心工具与易错点总结 1.必用工具（关联已学知识点） 椭圆基础：标准方程（a>b>0）、半焦距、中心对称性、焦点坐标。 弦长计算：斜率存在时，斜率不存在时（或|x₁-x₂|）。 距离公式：点到直线距离、平行直线距离（直线y=kx+m₁、y=kx+m₂）。 韦达定理：联立直线与椭圆得一元二次方程，则，（用于弦长和纵坐标计算）。 【题型五：椭圆中焦半径焦点弦问题】 例题精选 【例题1】（2023·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，用弦长公式表示出，用两点间的距离公式结合点在椭圆上的条件表示出，代入题干条件即可求解. 【详解】设，则，由， 消去，得， 注意到，则.于是， 同理，. 因此. 的倾斜角为，∴直线的斜率， 根据弦长公式，可得. 由，可得，故. ． 故选：A 【例题2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则 ． 【答案】3 【分析】解法一：由已知条件得到直线的方程，联立直线和椭圆方程求得点横坐标，再由相似性质可得结果；解法二：由椭圆的焦半径公式表示出，化简可得结果；解法三：由焦比定理代入化简可得结果. 【详解】解法一：由题意知，，，所以，即，故直线为， 联立直线与椭圆方程得消去整理得，解得或， 又，所以，，由相似的性质可知，． 解法二：如图所示，设直线的倾斜角为，结合知，．    由题意知，，则．因为斜率，所以，所以． 解法三：由题意知，直线的斜率，设， 由焦比定理知，即，解得，即，所以． 故答案为：3. 相似练习 【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为．设l为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M，N两点，且l的倾斜角为．则 ． 【答案】或 【分析】根据题意，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理代入计算，然后由，代入计算，即可得到结果. 【详解】    因为，，所以，， 设， 所以椭圆方程可化为，即， 所以直线方程为， 联立，消去可得， 则， 所以， 令，则，化简可得， 解得，所以，或. 故答案为：或. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质以及一元二次方程根与系数的关系，难度较大，解答本题的关键在于将转化为. 【相似题2】（20-21高三下·河北唐山·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上运动，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，且当时，，则 ，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由、知椭圆过，代入求参数即可；设直线的倾斜角为，令，则有，，可得，利用，， 得，，再由得，由利用基本不等式可得答案． 【详解】因为当时，，所以， 即，故． 设直线的倾斜角为，令， 则有，， 可得， 又，则，， 同理可得， 因为，所以， 所以， 故． 当且仅当时等号成立，故的最小值为． 故答案为：①；②． 【解题策略】 一、总述：核心关联与解题逻辑 概念关联：焦半径是“椭圆焦点到椭圆上任意一点的线段”（如，在椭圆上）；焦点弦是“过椭圆焦点且两端点在椭圆上的线段”（如过，则是焦点弦，由和两条焦半径组成）。 解题逻辑： 1.焦半径：优先选对应公式（按“已知坐标”“已知倾斜角”分类），无公式时用椭圆定义推导。 2.焦点弦：以焦半径为基础，结合“长度=焦半径之和”“中点=两端点坐标平均”“斜率=两点坐标差比”，或联立直线与椭圆用韦达定理求解。 二、焦半径问题解题思路 1.先明确核心前提：椭圆与焦点位置 以最常见的焦点在x轴上的椭圆为例，标准方程为（），关键参数： 两焦点：，（，半焦距）。 椭圆定义：对椭圆上任意一点，有（核心等式，用于焦半径互求）。 2.焦半径核心公式（分场景选用） 焦半径公式需根据“已知条件”选择，避免盲目计算，以下为3类高频公式： 场景1：已知椭圆上点的横（纵）坐标（如） 焦点在x轴时： 左焦半径（到）： 右焦半径（到）： （为椭圆离心率，） 焦点在y轴时（椭圆方程）： 上焦半径（到）： 下焦半径（到）： 推导逻辑：由椭圆的第二定义（“椭圆上点到焦点的距离与到对应准线的距离之比=离心率e”）推导，可直接套用。 场景2：已知焦半径的倾斜角（如与x轴夹角为） 设焦半径的倾斜角为（即与焦点所在轴的夹角），则： 焦点在x轴时，左焦半径： 右焦半径（若倾斜角为）： 适用场景：已知焦点弦倾斜角，需快速求单条焦半径长度时（如焦点弦的一半）。 场景3：无已知条件，用椭圆定义推导 若忘记公式或条件不明确，直接用椭圆定义： 已知一条焦半径（如），则另一条焦半径。 已知椭圆上两点的焦半径关系（如），可联立，直接解出两条焦半径。 3.焦半径常见题型解题步骤 题型1：焦半径的最值问题 核心思路：利用焦半径公式结合椭圆上点的坐标范围（或）求最值。 解题步骤： 1.选焦半径公式（如焦点在x轴，）。 2.分析坐标范围对公式的影响（最大时，最小；最小时，最大）。 3.代入端点值求最值（如时，，为右焦半径最小值）。 题型2：焦半径的定值问题 核心思路：结合韦达定理，设直线方程与椭圆联立，证明焦半径之和/积为定值。 解题步骤： 1.设过焦点的直线方程（如，过），与椭圆联立得一元二次方程。 2.用韦达定理求、（为直线与椭圆交点的横坐标）。 3.代入焦半径公式（如），化简后证明结果为定值（如，代入参数后为常数）。 三、焦点弦问题解题思路 焦点弦是“过焦点的弦”，所有问题均围绕“长度、中点、斜率、轨迹、面积”展开，核心是“用焦半径公式简化计算”或“联立方程用韦达定理”。 1.焦点弦核心公式（高频考点） 考点1：焦点弦长度计算（2种方法） 设焦点弦过焦点，倾斜角为，则长度有两种计算方式： 方法1：焦半径之和（更简便） 若过（右焦点），则，代入焦半径公式： 焦点在x轴：（用韦达定理代入）。 用倾斜角表示：（直接套用，无需联立方程）。 方法2：联立方程弦长公式（通用） 联立直线与椭圆，得一元二次方程，用弦长公式： （为直线斜率）。 特殊结论：焦点弦的最短长度为通径（垂直于焦点所在轴的焦点弦），长度为（代入，，得）。 考点2：焦点弦的中点坐标 核心思路：中点坐标=两端点坐标的平均值，结合韦达定理快速求。 解题步骤： 1.设焦点弦过，直线方程为，与椭圆联立得。 2.用韦达定理求，则中点横坐标。 3.代入直线方程求中点纵坐标，即得中点。 考点3：焦点弦的斜率与方程 核心思路：已知焦点弦的中点、长度或端点，用“点差法”或“韦达定理”求斜率。 解题步骤（以已知中点为例）： 1.设、在椭圆上，满足和。 2.两式相减（点差法）：。 3.代入中点关系（，）和斜率，得： （焦点弦斜率公式，需结合焦点在弦上验证）。 考点4：焦点弦的轨迹问题 核心思路：设焦点弦的端点或中点坐标，消去参数（如斜率），得轨迹方程。 解题步骤（以焦点弦的中点轨迹为例）： 1.由考点3得斜率（中点）。 2.因在焦点弦上，且焦点弦过，故斜率也可表示为。 3.联立两式消去：，整理得轨迹方程：（需满足椭圆内范围）。 四、核心工具与易错点总结 1.必用工具（关联已学知识） 椭圆基础：定义（）、离心率、标准方程与焦点坐标。 焦半径公式：按“坐标”“倾斜角”分类的公式（重点区分焦点在x轴/y轴的差异）。 代数工具：韦达定理（联立方程求、）、点差法（求斜率与中点关系）、弦长公式（通用计算）。 三角函数：倾斜角与斜率的关系（）、在焦半径/焦点弦公式中的应用。 2.高频易错点 焦半径公式记混：混淆“左/右焦半径”“x轴/y轴焦点”的公式（如焦点在x轴，右焦半径是，左焦半径是，不要颠倒）。 忽略椭圆定义的应用：盲目联立方程计算，忘记用简化（如焦半径最值、定值问题）。 通径结论用错：误将通径记为（正确为），或忽略“通径是最短焦点弦”的性质。 倾斜角范围失误：计算焦半径时，是“焦半径与焦点所在轴的夹角”，而非与y轴的夹角，导致符号或数值错误。 【题型六：椭圆中点弦（点差法）】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的右焦点为，经过该焦点的直线交椭圆于两点，若中点的坐标为，则椭圆的方程为 ． 【答案】 【分析】设直线的参数方程为（为参数），代入椭圆方程，利用得，又根据的关系即可求解. 【详解】根据题意可得， 设直线的参数方程为（为参数），由中点的坐标为，所以， 代入椭圆方程整理得． 根据题意可得，即． 又，所以椭圆的方程为． 故答案为：. 【例题2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为 . 【答案】 【分析】设，得到，再根据点差法解决中点弦问题，可求出焦距. 【详解】设，又因为， 所以，则，则， 由，两式相减得， 即，因为，所以，所以， ，所以，解得， 所以，所以椭圆的焦距为. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·浙江舟山·期末）已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，且，，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】由题意与的中点重合，若且，，结合已知有，，进而有，再应用点差法得到，联立所得各式求参数，即可得直线方程. 【详解】由，易知与的中点重合，若且， 令，则，即， 所以且， 令，则，作差得， 所以， 综上，代入，则，故， 所以，整理得. 故答案为： 【相似题2】（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点M，可得点M为的中点，设.根据点为的重心，列方程可求得点的坐标.由点差法可得.将代入整理得，再结合即可求解. 【详解】延长交于点M，所以点M为的中点，设. 因为，点为的重心， 所以即，所以. 因为点在椭圆上， 所以，两式相减得，即， 整理得. 因为，所以，即， 所以，解得或. 又因为，所以，，所以. 故选：D. 【解题策略】 一、先明确核心概念：什么是“中点弦”？ 椭圆的“中点弦”是指两端点都在椭圆上，且被某定点平分的线段（该定点称为“弦的中点”）。例如：椭圆上两点、，若线段的中点为，则就是以为中点的椭圆弦。 二、点差法的适用场景（3类高频题型） 点差法是解决中点弦问题的“专属工具”，尤其适用于以下场景： 1.已知中点求弦的斜率/直线方程（最常考，如“已知中点，求椭圆的中点弦方程”）； 2.已知弦的斜率求中点坐标（如“已知椭圆弦的斜率为2，求弦的中点轨迹”）； 3.判断某定点是否能作为椭圆的中点弦（存在性问题）（如“判断点是否为椭圆的中点弦”）。 三、基础前提：椭圆的标准方程与参数 点差法的推导依赖椭圆标准方程，需先明确焦点位置（避免公式混淆）： 焦点位置 椭圆标准方程 核心参数（） 焦点在轴上 长轴沿轴，（半焦距） 焦点在轴上 长轴沿轴， 四、点差法的核心推导（以焦点在轴的椭圆为例） 点差法的本质是“利用椭圆方程的对称性+平方差公式，关联中点与弦的斜率”，推导步骤清晰且可复制： 步骤1：设点——标记弦的端点与中点 设椭圆中点弦为，中点为，端点、（、在椭圆上，且，即弦不垂直于轴）。 由中点坐标公式，得： ，（中点的横、纵坐标是端点的平均值）。 步骤2：代入——端点满足椭圆方程 因、在椭圆上，代入得两个等式： ——（1） ——（2） 步骤3：作差——用平方差公式分解 将（1）-（2），目的是构造“”和“”（为斜率做准备）： 利用平方差公式、，代入上式： 步骤4：化简——关联中点与斜率 1.代入“中点关系”（，）： 2.引入“弦的斜率”：弦的斜率（），即，代入上式： （约去，因） 3.整理得焦点在轴的椭圆中点弦斜率公式： （，若，弦水平，斜率） 同理推导：焦点在轴的椭圆 若椭圆为，重复上述步骤，最终得斜率公式： （，若，弦竖直，斜率不存在） 五、分题型解题步骤（含关键提醒） 题型1：已知中点坐标，求中点弦的斜率/直线方程 解题步骤： 1.定椭圆类型：确定椭圆焦点位置，找出、（如椭圆，焦点在轴，，）； 2.代公式求斜率：将中点代入对应斜率公式（如中点，代入）； 3.写直线方程：用点斜式（如，整理为）； 4.验证存在性（必做！）：将直线方程与椭圆联立，计算判别式，若，则弦存在；若，则不存在（如中点在椭圆外时，无实弦）。 题型2：已知弦的斜率，求中点坐标/轨迹 解题步骤： 1.设中点：设中点为，椭圆类型确定、； 2.代公式列关系：将已知斜率代入斜率公式，得与的等式（如焦点在轴，→）； 3.结合附加条件：若弦过定点（如过椭圆内点），则中点在弦上，满足； 4.联立求解：联立上述两式，得、（若求轨迹，将换为，换为，整理方程）。 题型3：判断中点弦是否存在 解题步骤（2种方法）： 1.方法1：联立验证法（通用）： 假设存在，用斜率公式求，写直线方程； 联立直线与椭圆，算：→存在，→不存在。 2.方法2：内点判断法（快捷）： 若中点在椭圆内部（满足），则存在； 若中点在椭圆上（）或外部（），则不存在。 六、高频易错点与避坑指南 1.公式记混：焦点在轴/轴的斜率公式区分—— 记口诀：“轴椭圆，分子是；轴椭圆，分子是”（分母均为乘另一坐标）。 2.忽略斜率不存在的情况： 若中点（焦点在轴）：弦水平，斜率； 若中点（焦点在轴）：弦竖直，斜率不存在（需单独讨论直线是否为中点弦）。 3.忘记验证存在性： 仅用点差法求斜率和方程，未联立椭圆算，可能得出“不存在的弦”（如中点在椭圆外部，无中点弦）。 4.中点坐标用错： 代入公式时误将“端点坐标”当“中点坐标”，导致计算错误（需明确标记“中点”）。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二上·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·北京·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，若的面积是面积的2倍，则（ ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·广东肇庆·期中）已知直线与椭圆相交于两点，则线段AB的中点M的轨迹必经过点（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高二下·云南保山·期中）已知椭圆的焦点分别为、，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆上不存在点使得 C．直线的方程为 D．的周长为 5．（25-26高二上·全国·期中）椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若为上一点，则面积的最大值为 B．过点的直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为8 C．若直线与恒有公共点，则的取值范围为 D．若上存在点，使得，则的取值范围为 三、填空题 6．（24-25高二下·上海·期中）若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为 ． 四、解答题 7．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围. 8．（24-25高二下·河南周口·期中）已知椭圆经过点，且的离心率． (1)求的方程； (2)若直线经过点且与相切，求的方程． 9．（24-25高二下·重庆·期中）已知、分别是椭圆（）的左、右焦点，点在椭圆上，且的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与线段相交于，与椭圆交于、两点.若，求点的坐标. 10．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若O为坐标原点，椭圆C的右顶点为A，点E的坐标为，过点F的直线l与椭圆C交第一象限于点M，与线段AE交于点P． （i）若的面积是1，求直线l的斜率； （ii）若的面积与的面积之比为，求直线l的斜率． 11．（24-25高二下·福建厦门·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆的左、右顶点分别为，过点作斜率不为0的直线，与交于两个不同的点.若，求直线的方程. 12．（24-25高三下·云南昭通·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，为坐标原点，，若，求． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 A D C BCD ACD 1．A 【分析】设，弦的中点坐标为，利用点差法列方程组，结合条件推得，逐一检验选项，并考虑点在椭圆内即得. 【详解】设，则， 两式相减得：（*）， 设弦的中点坐标为，则， 因直线的斜率为1，即， 分别代入上式（*），整理得：. 将选项逐一代入检验知，A，D满足，但是，点在椭圆外，不合要求. 故选：A. 2．D 【分析】根据已知面积关系可得，即可求解. 【详解】如下图示，若的面积是面积的2倍，则， 由题设知，且，故， 所以. 故选：D 3．C 【分析】设，联立得到，进而得到中点的坐标及轨迹方程即可. 【详解】设， ， ， ，即， 又为线段AB的中点，所以，则的轨迹方程为， 所以，都在上， 又，所以，因为，所以D错误. 故选：C. 4．BCD 【分析】根据离心率公式计算可判断A的正误，根据无解可判断B的正误，利用点差法可判断C的正误，根据椭圆的定义计算周长后可判断D的正误. 【详解】椭圆的焦点分别为，，则，，，可得，故， 对于A，椭圆的离心率为，A错误； 对于B，假设在椭圆上存在点，使得，且，，，， ，在实数范围内无解， 椭圆上不存在点使得，B对； 对于C，设点，，由题意可得 若直线的斜率不存在，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 所以直线的斜率存在，则由 可得， 即，所以直线的斜率为，因此直线的方程为，即，C对； 对于D，因为，所以，直线过椭圆的上焦点， 所以的周长为： ， D对， 故选：BCD. 5．ACD 【分析】当为椭圆上顶点或下顶点时，面积最大，计算可判断A；根据椭圆的定义结合焦点所在的位置分析可判断B；因为直线过定点，可知定点在椭圆内部或椭圆边界上，列式计算可判断C；分析可知当位于短轴顶点时，最大，此时，分类讨论焦点所在位置分析求解可判断D. 【详解】 选项 正误 原因 A √ 若，则，则，由题意，当为椭圆上顶点或下顶点时，面积最大，此时． B × 由椭圆的定义可得的周长为，但焦点不一定在轴上，若椭圆焦点在轴上，则的周长为4m． C √ 因为直线过定点，直线与恒有公共点，所以点在椭圆内部或椭圆边界上，则，即．又因为且，所以的取值范围为． D √ 若，则．当位于短轴端点时，最大，此时（O为坐标原点），可知，即，当焦点在轴，即时，得，解得，当焦点在轴，即时，得，解得．综上所述，的取值范围为．    故选：ACD 6． 【分析】设出中点弦的端点，的坐标，代入椭圆方程，再利用中点的坐标即可求出直线的斜率，从而得解. 【详解】设，，依题意，点，在椭圆上， 所以，两式相减得，， 即，变形得， 因为的中点为，所以，， 设直线的斜率为， 所以， 所以直线的方程为，化为斜截式方程为. 故答案为：. 7．(1)； (2). 【分析】（1）由焦距、离心率得、，结合椭圆参数关系即可得方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用求参数范围. 【详解】（1）由题意，则，又，则，则， 所以C的标准方程为. （2）联立与，有，整理得， 由题意，，则，则. 8．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程； （2）设直线的斜率为，得到直线的方程为，联立方程组，结合，求得的值，即可得到的方程. 【详解】（1）解：由椭圆经过点，且的离心率， 可得，且，解得， 所以椭圆的方程为. （2）解：当过的直线的斜率不存在时，此时，显然不符合题意， 设直线的斜率为，则直线的方程为，即， 联立方程组，整理得， 因为直线与椭圆相切，所以， 整理得，解得， 所以的方程为，即. 9．(1) (2) 【分析】（1）根据点在椭圆上及三角形面积公式求椭圆参数，即可得方程； （2）设，联立椭圆方程，并写出对应韦达公式，由三角形面积相等有，进而得到三角形相似，再确定为线段的中垂线与椭圆的交点，即可求的坐标. 【详解】（1）由的面积为，得，解得，所以①， 又因为点在椭圆上，所以②， 联立①②解得，所以椭圆的标准方程为 （2） 设，联立方程， 消得：，直线与线段交于点，则， 所以 ，所以， 由得：，即，又. 所以，所以，则， 所以，又， 所以，所以， 所以为线段的中垂线与椭圆的交点， 由，解得：或， 因此，的坐标为 10．(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，求出即可求出椭圆的方程. （2）（i）求出线段的方程，由三角形的面积求出点的坐标，进而求出直线l的斜率；（ii）根据给定条件，结合三角形面积公式得，设出直线的方程，求出点的坐标，进而求出点的坐标，再代入椭圆方程求解即得. 【详解】（1）依题意，椭圆的半焦距，由离心率为，得， 所以椭圆方程为. （2）（i）由点，得线段AE的方程为，设， 由的面积是1，得，而， 解得，，即点，又点. 所以直线l的斜率. （ii）依题意，直线l的斜率存在且为正，设直线l的，点， 由的面积与的面积之比为， 得，而，则， 又点均在第一象限，因此， 由，解得，即， 则，，而， 因此，整理得，解得， 所以直线l的斜率为. 11．(1) (2)或. 【分析】（1）根据椭圆的参数关系，和离心率定义，求出椭圆标准方程. （2）对于直线斜率不为0，和斜率存在，取用不同的直线设法，选用不同的方程联立，根据向量垂直的坐标表示，和韦达定理求出直线斜率，求出方程. 【详解】（1）由题意可知，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解法一：因为直线的斜率存不为0，所以设直线的方程为， 设，联立方程组， 消去整理可得， 因为，所以，， 又，，且， 故， 于是，化简得，解得， 所以直线的方程为：，即或； 解法二： 当斜率不存在时，直线与椭圆交于, 可得，则，不符合条件，所以直线的斜率存在且不为0， 所以设直线的方程为， 设，联立方程组， 消去得， 因为， 所以设，则， 又，，且， 故， 于是 化简得，解得， 所以直线的方程为：， 即，或. 12．(1) (2) 【分析】（1）由已知求出得方程； （2）设直线，由求出，根据弦长公式求. 【详解】（1）因为短轴长为，故． 又离心率为，由且， 故， 故椭圆方程为：． （2）如图，由题设直线的斜率存在，故设直线， 即，令， 由可得． 故，即， 且， 则． 又点到直线距离，点到直线距离， 故 ， 故， 即，解得， 故． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高二数学上学期常考题型归纳 【第16讲：直线和椭圆的位置关系】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、核心判定方法：联立方程判别式法 这是判断直线与椭圆位置关系的根本方法，步骤固定且普适。 1.设方程 椭圆标准方程（以焦点在x轴上为例）：（）。 直线方程：根据情况选择斜截式（斜率存在）或一般式。 2.联立消元 将直线方程代入椭圆方程，消去一个变量（通常消去y），得到关于x的一元二次方程：（，因椭圆方程二次项系数不为0，联立后不会出现一次方程）。 3.计算判别式 计算一元二次方程的判别式，根据的符号判断位置关系： ：直线与椭圆有两个不同交点，位置关系为相交。 ：直线与椭圆有一个公共点，位置关系为相切（此时直线为椭圆的切线）。 ：直线与椭圆无公共点，位置关系为相离。 二、常考结论与应用 掌握这些结论能跳过复杂计算，直接快速解题，是考试中的高频考点。 1.椭圆的切线相关结论 结论1：椭圆切线方程 过椭圆上一点的切线方程为：（“点代入”法则，将换成，换成）。 斜率为k的椭圆切线方程为：（切线恒在椭圆外，有两条，符号对应上下两支）。 结论2：切线性质 椭圆的切线与过切点的半径（椭圆中心到切点的连线）不垂直，但与过切点的焦点弦存在特定夹角关系（较少直接考，了解即可）。核心应用是切线方程的快速书写。 2.直线与椭圆相交的弦长问题 结论3：弦长公式 当直线与椭圆相交于、两点时，弦长的计算有两个常用公式： 若直线斜率为k，联立后方程为，则： （其中，，即韦达定理的应用）。 若直线斜率不存在（垂直x轴，方程为），则直接代入椭圆方程求y，弦长。 3.中点弦与点差法结论 结论4：中点弦斜率公式（点差法核心） 若椭圆的弦AB以为中点，则弦AB的斜率满足： （其中是椭圆中心O到中点M的连线斜率）。 推导方法为“点差法”：将A、B两点坐标代入椭圆方程，两式相减，利用平方差公式和中点坐标公式推导。 结论5：中点弦存在性 给定椭圆内一点，必存在以M为中点的椭圆弦；若M在椭圆上或椭圆外，则不存在这样的弦（或弦与椭圆相切/无交点）。 4.焦点弦相关结论 结论6：焦点弦性质 过椭圆焦点F的弦AB（焦点弦），设其倾斜角为，则： 弦长（其中c为椭圆半焦距，满足）。 当（弦垂直于长轴）时，弦长最短，为通径，长度为（通径是椭圆的最短焦点弦）。 三、易错点提醒 1.联立方程时，务必确保直线方程的斜率存在性，若斜率可能不存在（如直线垂直x轴），需单独讨论。 2.使用“点差法”时，前提是直线与椭圆相交（即存在两点A、B），否则推导的斜率无意义，需验证。 3.椭圆的切线方程与圆的切线方程形式不同，切勿混淆“点代入”法则的应用（圆的切线方程是，与椭圆不同）。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：直线和椭圆的位置关系判断】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·全国·课堂例题）已知椭圆，若直线与椭圆有唯一的公共点，求实数的值. 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，若椭圆上存在两个不同点关于直线对称，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025高二·全国·专题练习）已知，为椭圆上的两个动点，，且的垂直平分线的方程为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆，若椭圆上存在关于直线对称的两点，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、通用解题步骤（判别式法） 这是判断所有位置关系的“万能方法”，无论直线是否过定点、斜率是否存在，都能适用。 步骤1：明确方程形式，统一坐标系 首先确定椭圆和直线的标准方程，确保二者在同一平面直角坐标系下。 椭圆方程：优先写标准式，避免带参数混淆。 例：焦点在x轴上：（）；焦点在y轴上：（）。 直线方程：根据斜率是否存在分类设定，避免漏解。 若斜率存在：设为斜截式（k为斜率，m为纵截距），方便代入消元。 若斜率可能不存在（如直线垂直x轴、题目未明确斜率）：先设斜截式，最后单独讨论“”的情况。 步骤2：联立方程，消元得一元二次方程 将直线方程代入椭圆方程，消去一个变量（通常消去y，计算更简便），整理为标准一元二次方程形式：（）。 关键提醒：椭圆方程的二次项系数不为0，联立后必然不为0（若，则直线与椭圆要么无交点，要么为特殊情况，需结合题目验证），无需额外讨论。 示例：椭圆与直线联立，代入得： ，展开整理为，即，，。 步骤3：计算判别式，判断位置关系 根据一元二次方程的判别式的符号，直接对应位置关系： ：方程有两个不同实根→直线与椭圆相交（2个交点）。 ：方程有两个相等实根→直线与椭圆相切（1个交点）。 ：方程无实根→直线与椭圆相离（0个交点）。 示例：承接上例，。 当时，→相交； 当时，→相切（直线与椭圆上顶点相切）。 二、特殊场景的快捷解题思路 除通用步骤外，针对常考的“直线过定点”“斜率不存在”等场景，可简化判断流程，提升解题速度。 1.直线过定点的位置判断 若题目明确直线过某定点，可先判断定点与椭圆的位置关系，再辅助判别式验证： 若定点在椭圆内部：无论直线斜率如何，直线必与椭圆相交（无需计算，直接得出结论）。 （椭圆内点判定：代入椭圆方程，） 若定点在椭圆上：直线与椭圆至少有一个交点（过椭圆上点），再通过判断是否相切（）或相交（，即直线为椭圆的割线）。 若定点在椭圆外部：需按通用步骤计算，判断直线与椭圆是相交（）、相切（）还是相离（）。 2.斜率不存在的直线判断 当直线方程为（垂直x轴，斜率不存在）时，无需联立消元，直接代入椭圆方程求y： 代入椭圆，得。 若（即）：有两个不同值→相交。 若（即）：→相切（直线与椭圆长轴端点相切）。 若（即）：无实根→相离。 三、解题易错点提醒 1.漏判直线斜率不存在的情况：题目未明确直线斜率时，直接设，忽略的情况，导致漏解。 对策：解题开头先注明“当直线斜率存在时，设方程为；当斜率不存在时，设方程为”，分情况讨论。 2.判别式计算错误：展开联立方程时符号出错，或忘记中的“4AC”，导致结论颠倒。 对策：整理一元二次方程时，先明确、、的具体值（含符号），再代入公式计算。 3.误用“点差法”判断位置关系：点差法适用于“已知中点求斜率”，但不能直接用其推导的斜率判断位置关系（需先保证直线与椭圆相交，即）。 对策：点差法仅作为辅助工具，最终位置关系仍需通过判别式验证。 四、典型例题解题思路演示 题目：判断直线与椭圆的位置关系。 1.步骤1：联立方程 将代入椭圆方程，得。 展开整理：，通分后为。 2.步骤2：计算判别式 确定，，，则： 。 3.步骤3：根据判断 当，即→→时，直线与椭圆相交。 当，即时，直线与椭圆相切。 当，即时，直线与椭圆相离。 【题型二：求椭圆切线方程】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆上任意一点处的切线方程为.过点作椭圆：的两条切线与分别相切于，两点，设为坐标原点，则外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆E：的左焦点为F，过点分别作E的切线、，切点分别为A、B，则面积最大值为（    ） A． B． C．2 D． 相似练习 【相似题1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点为为椭圆上一点，过P点作椭圆的切线l，PM垂直于直线l且与x轴交于点M，若M为的中点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、先明确椭圆的“基准”：标准方程 所有切线方程的推导都基于椭圆标准式，解题第一步需先确定椭圆焦点位置，避免公式用错。 焦点在x轴上：（，为长半轴，为短半轴）。 焦点在y轴上：（，长轴在y轴上，公式需对应调整）。 二、三大类已知条件的解题思路（核心） 根据“已知什么”分类，是最快求出切线方程的关键，以下为高频考法的具体步骤。 1.已知条件：切线过椭圆上一点（已知切点） 这是最直接的情况，核心用“点代入法则”，无需计算判别式，一步写方程。 解题步骤： 1.确认切点在椭圆上（可代入椭圆方程验证，题目通常已给出）。 2.套用“点代入公式”：将椭圆标准方程中的换成，换成，即可得到切线方程。 若椭圆为，则切线方程为：。 若椭圆为，则切线方程为：。 示例：求过椭圆上一点的切线方程。 直接套用公式：，整理得。 2.已知条件：切线斜率为（未知切点） 已知斜率时，核心用“斜率式切线公式”，公式源于“联立方程令Δ=0”的推导，可直接套用。 解题步骤： 1.确定椭圆标准式，明确和的值。 2.套用斜率式切线公式：切线有两条，分别在椭圆上下（或左右）两侧，公式含“±”。 若椭圆为，则切线方程为：。 若椭圆为，则切线方程为：（注意和的位置，因长轴在y轴）。 推导逻辑（可选）：设切线为，代入椭圆方程得一元二次方程，令Δ=0，解得，代入即得公式。 示例：求斜率为2，与椭圆相切的直线方程。 ，，代入公式得，即。 3.已知条件：切线过椭圆外一点（未知切点、未知斜率） 这是最复杂的情况，核心用“设方程+联立Δ=0”，需分“斜率存在”和“斜率不存在”两种情况讨论，避免漏解。 解题步骤： 1.先判断点在椭圆外：代入椭圆方程，若（焦点在x轴），则为外点（只有外点能作两条切线）。 2.情况1：切线斜率存在 设切线方程为（点斜式，为斜率），整理为。 3.联立方程求 将切线方程代入椭圆方程，整理为一元二次方程，令Δ=0，得到关于的一元二次方程。 4.解并写方程 解出的两个值（对应两条切线），分别代入点斜式，得到两条切线方程。 5.情况2：切线斜率不存在 单独验证直线是否为切线：将代入椭圆方程，若仅得一个值（即Δ=0），则也是切线，否则不是。 示例：求过点，与椭圆相切的直线方程。 第一步：判断外点：，确认为外点。 情况1：斜率存在，设切线为，即。 代入椭圆得，整理后令Δ=0，解得或。 对应切线：和。 情况2：斜率不存在，直线，代入椭圆得，无实根，故不是切线。 最终切线方程：和。 三、解题易错点提醒 1.焦点位置搞反：误用公式（如焦点在y轴却用了x轴的斜率式），导致结果错误。 对策：先圈出椭圆方程中的（分母大的为），明确焦点位置。 2.忽略斜率不存在的情况：已知外点时，只算斜率存在的切线，漏了垂直x轴的切线（如）。 对策：解题时强制分“斜率存在/不存在”两类，每类都验证。 3.外点判断错误：若点在椭圆上或椭圆内，却按外点求切线，会导致无解或只有一条切线。 【题型三：求椭圆的弦长】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆方程为，为过椭圆的左焦点的弦，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2025高二·全国·专题练习）已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二上·山西晋中·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 【解题策略】 一、弦长问题的前提：确认直线与椭圆相交 计算弦长的大前提是直线与椭圆有两个不同交点（即弦存在），因此第一步需验证： 联立直线与椭圆方程，得到一元二次方程（），计算判别式。 只有当时，弦长存在，可继续计算； 若，直线与椭圆相切或相离，无弦长（或弦长为0）。 二、核心解题步骤（分两种情况） 根据直线斜率是否存在，弦长公式分为两类，解题步骤需对应调整，其中“斜率存在”是考试高频场景。 情况1：直线斜率存在（设斜率为） 当直线可表示为（斜截式）或（点斜式）时，用此方法。 解题步骤： 1.联立方程：将直线方程代入椭圆标准方程（如），消去，整理为一元二次方程：。 2.验证相交：计算，确认（弦存在）。 3.用韦达定理求根与系数关系：无需解出，直接求两根之和与两根之积： 两根之和： 两根之积： 4.代入弦长公式计算： 弦长 （公式推导：由两点间距离公式，结合，化简可得）。 示例：求直线与椭圆的弦长。 联立得：→（，，）。 ，弦存在。 韦达定理：，。 弦长：。 情况2：直线斜率不存在（直线垂直x轴，方程为） 当直线垂直于x轴时，无需联立韦达定理，直接代入椭圆求y值即可，计算更简便。 解题步骤： 1.代入直线方程：将代入椭圆标准方程，解出对应的值：（以焦点在x轴的椭圆为例）。 2.求y的差值：设两交点为、，则，。 3.计算弦长：弦长（因x坐标相同，距离即y坐标差的绝对值）。 示例：求直线与椭圆的弦长。 代入得：→。 弦长：。 三、常考特殊弦：焦点弦的快捷公式 过椭圆焦点的弦（焦点弦）是高频考点，除通用方法外，可直接用专门公式计算，节省时间。 以焦点在x轴上的椭圆（，半焦距）为例： 1.通径（最短焦点弦）：当焦点弦垂直于长轴（x轴）时，弦长为通径，公式为： （直接代入“斜率不存在”的弦长公式，，化简可得）。 2.倾斜角为的焦点弦：若焦点弦与x轴夹角为，则弦长公式为： （由通用弦长公式结合焦点坐标推导，可直接套用）。 示例：椭圆（，，），求过右焦点且倾斜角为的焦点弦长。 代入公式：，，。 弦长：。 四、解题易错点提醒 1.忘记验证：直接计算弦长，忽略直线与椭圆可能无交点（如直线与椭圆相离），导致结果无意义。 对策：解题第一步必算，确认弦存在后再继续。 2.韦达定理符号错误：混淆中的负号，或代入弦长公式时漏算“”，导致结果错误。 对策：整理一元二次方程时，明确、、的符号（含正负），再代入公式。 3.焦点弦公式记错：混淆椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦公式，或记错、、的位置（如焦点在y轴时公式需调整）。 对策：焦点弦公式优先用通用方法推导，不强行死记，若记公式需明确适用条件（椭圆类型、焦点位置）。 【题型四：求椭圆中三角形（四边形）面积】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）已知椭圆的左顶点为，左焦点为，下顶点为，若椭圆C的长轴是短轴的倍，且（O为坐标原点） (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与曲线C相交于A、B两点，且，求的面积． 【例题2】（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)为坐标原点，设点，过作的垂线交椭圆于两点.求面积的最大值. 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·重庆南岸·阶段练习）已知椭圆的短半轴长为1，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的方程. 【相似题2】（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切. (1)求椭圆的方程； (2)过定点斜率为的直线与椭圆交于两点，若求实数的值及的面积. 【解题策略】 一、总述：面积计算核心思路 椭圆中图形面积计算的本质是“拆解图形+结合椭圆性质算关键量”，核心逻辑如下： 1.图形拆解：将四边形拆分为三角形、梯形等基础图形（如平行四边形拆为4个中心三角形，焦点四边形拆为2个焦点三角形），优先利用椭圆的中心对称性和焦点性质简化计算。 2.关键量计算：面积公式需的“底”（弦长、两点距离）和“高”（点到直线距离、纵坐标差），结合椭圆的弦长公式、点到直线距离公式、韦达定理推导，避免求解复杂交点坐标。 3.前提验证：涉及椭圆弦时，需先通过联立方程计算判别式，确认弦存在（否则面积无意义）。 二、三角形面积解题知识（3类高频场景） 场景1：顶点为“椭圆中心O+椭圆上两点A、B”（△OAB） 适用条件 顶点构成：O（椭圆中心，默认原点(0,0)）、A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)（均在椭圆上，椭圆方程）。 核心优势：无需计算高，利用向量叉乘的几何意义，用行列式公式快速求解。 核心公式 面积公式：（推导：由向量、的叉乘模长得出）。 坐标代入技巧：若A、B由直线与椭圆联立得到，可设椭圆参数方程、，代入公式简化计算。 解题步骤 1.确定A、B的坐标（或参数形式），确认均在椭圆上（代入椭圆方程验证）。 2.直接代入行列式公式，计算，再乘以得面积。 场景2：顶点为“椭圆焦点F+过F的弦AB”（焦点弦三角形，如△F₁AB） 适用条件 顶点构成：一个焦点（如F₁(-c,0)，c=）、过该焦点的弦AB（A、B在椭圆上，即焦点弦）。 核心思路：“底=焦点弦长|AB|，高=另一个焦点到直线AB的距离”，结合椭圆焦点弦性质简化。 核心公式 1.焦点弦长计算： 已知倾斜角θ：（仅适用于椭圆焦点弦）。 未知倾斜角：联立直线AB与椭圆，得一元二次方程，用韦达定理求（k为直线AB斜率）。 2.高的计算：另一个焦点（如F₂(c,0)）到直线AB的距离，用点到直线距离公式（直线AB：Ax+By+C=0，F₂(x₀,y₀)）。 3.面积公式：。 解题步骤 1.确定椭圆参数a、b、c，以及两焦点F₁、F₂的坐标。 2.计算焦点弦长|AB|（选上述两种方法之一）。 3.计算另一个焦点到直线AB的距离d。 4.代入面积公式计算，注意单位和符号（面积为正）。 场景3：顶点为“椭圆外一点P+椭圆上两点A、B”（△PAB） 适用条件 顶点构成：外点P(x₀,y₀)（满足）、椭圆上两点A、B（AB为椭圆的弦）。 核心思路：“底=弦长|AB|，高=外点P到直线AB的距离”，需先确认弦AB存在（）。 核心公式 1.弦长|AB|计算： 直线AB斜率存在（设为k）：联立椭圆与直线AB（y=kx+m），得一元二次方程，用韦达定理求。 直线AB斜率不存在（x=x₀）：代入椭圆方程求y₁、y₂，得。 2.高的计算：外点P到直线AB的距离，用点到直线距离公式。 3.面积公式：。 解题步骤 1.设直线AB的方程（分斜率存在/不存在两类），联立椭圆方程得一元二次方程。 2.计算判别式，确认（弦AB存在）。 3.用韦达定理或直接代入法求弦长|AB|。 4.计算外点P到直线AB的距离d。 5.代入面积公式计算。 三、四边形面积解题知识（3类高频场景） 场景1：椭圆内接平行四边形（中心对称） 适用条件 图形特征：四个顶点均在椭圆上，且为中心对称图形（对角线必过椭圆中心O）。 核心优势：利用椭圆中心对称性，将平行四边形拆为4个全等的△OAB（A、B为相邻顶点），简化计算。 核心公式 面积公式：（x₁,y₁为A坐标，x₂,y₂为B坐标，推导自△OAB的行列式面积公式）。 解题步骤 1.设平行四边形相邻顶点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，由中心对称得另外两顶点为(-x₁,-y₁)、(-x₂,-y₂)。 2.用△OAB的行列式公式计算。 3.平行四边形面积=4×，代入化简。 核心公式 1.平行弦长计算： 若平行于x轴（直线y=m₁、y=m₂）：代入椭圆方程求x₁、x₂，得弦长。 若平行于y轴（直线x=m₁、x=m₂）：代入椭圆方程求y₁、y₂，得弦长。 一般斜率k：联立直线与椭圆，用韦达定理求弦长（同三角形弦长公式）。 2.两弦间距离（高）： 平行于x轴：。 平行于y轴：。 一般斜率k：（直线y=kx+m₁、y=kx+m₂）。 3.面积公式：（|AB|、|CD|为两条平行弦的长）。 解题步骤 1.确定两条平行弦的方程（分斜率存在/不存在两类）。 2.分别计算两条平行弦的长|AB|和|CD|。 3.计算两弦间的距离d（高）。 4.代入梯形面积公式计算。 场景3：焦点四边形F₁AF₂B（两焦点+椭圆上两点） 适用条件 图形特征：四个顶点为F₁、F₂（椭圆两焦点）、A、B（椭圆上两点），以F₁F₂为对角线（即四边形被F₁F₂分为△F₁AF₂和△F₁BF₂）。 核心思路：面积=两个焦点三角形面积之和，利用“底=F₁F₂=2c，高=A、B到x轴的距离之和”简化。 核心公式 1.单个焦点三角形面积：（|F₁F₂|=2c为底，|y_A|为A到x轴的距离，即高）。 2.四边形面积公式：（推导：）。 解题步骤 1.确定椭圆参数c（），以及F₁F₂的长度（2c）。 2.求A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)的纵坐标绝对值|y_A|和|y_B|（可通过联立直线AB与椭圆，用韦达定理求y₁、y₂，再取绝对值）。 3.代入四边形面积公式计算。 四、核心工具与易错点总结 1.必用工具（关联已学知识点） 椭圆基础：标准方程（a>b>0）、半焦距、中心对称性、焦点坐标。 弦长计算：斜率存在时，斜率不存在时（或|x₁-x₂|）。 距离公式：点到直线距离、平行直线距离（直线y=kx+m₁、y=kx+m₂）。 韦达定理：联立直线与椭圆得一元二次方程，则，（用于弦长和纵坐标计算）。 【题型五：椭圆中焦半径焦点弦问题】 例题精选 【例题1】（2023·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则 ． 相似练习 【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为．设l为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M，N两点，且l的倾斜角为．则 ． 【相似题2】（20-21高三下·河北唐山·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上运动，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，且当时，，则 ，若，，则的最小值为 ． 【解题策略】 一、总述：核心关联与解题逻辑 概念关联：焦半径是“椭圆焦点到椭圆上任意一点的线段”（如，在椭圆上）；焦点弦是“过椭圆焦点且两端点在椭圆上的线段”（如过，则是焦点弦，由和两条焦半径组成）。 解题逻辑： 1.焦半径：优先选对应公式（按“已知坐标”“已知倾斜角”分类），无公式时用椭圆定义推导。 2.焦点弦：以焦半径为基础，结合“长度=焦半径之和”“中点=两端点坐标平均”“斜率=两点坐标差比”，或联立直线与椭圆用韦达定理求解。 二、焦半径问题解题思路 1.先明确核心前提：椭圆与焦点位置 以最常见的焦点在x轴上的椭圆为例，标准方程为（），关键参数： 两焦点：，（，半焦距）。 椭圆定义：对椭圆上任意一点，有（核心等式，用于焦半径互求）。 2.焦半径核心公式（分场景选用） 焦半径公式需根据“已知条件”选择，避免盲目计算，以下为3类高频公式： 场景1：已知椭圆上点的横（纵）坐标（如） 焦点在x轴时： 左焦半径（到）： 右焦半径（到）： （为椭圆离心率，） 焦点在y轴时（椭圆方程）： 上焦半径（到）： 下焦半径（到）： 推导逻辑：由椭圆的第二定义（“椭圆上点到焦点的距离与到对应准线的距离之比=离心率e”）推导，可直接套用。 场景2：已知焦半径的倾斜角（如与x轴夹角为） 设焦半径的倾斜角为（即与焦点所在轴的夹角），则： 焦点在x轴时，左焦半径： 右焦半径（若倾斜角为）： 适用场景：已知焦点弦倾斜角，需快速求单条焦半径长度时（如焦点弦的一半）。 场景3：无已知条件，用椭圆定义推导 若忘记公式或条件不明确，直接用椭圆定义： 已知一条焦半径（如），则另一条焦半径。 已知椭圆上两点的焦半径关系（如），可联立，直接解出两条焦半径。 3.焦半径常见题型解题步骤 题型1：焦半径的最值问题 核心思路：利用焦半径公式结合椭圆上点的坐标范围（或）求最值。 解题步骤： 1.选焦半径公式（如焦点在x轴，）。 2.分析坐标范围对公式的影响（最大时，最小；最小时，最大）。 3.代入端点值求最值（如时，，为右焦半径最小值）。 题型2：焦半径的定值问题 核心思路：结合韦达定理，设直线方程与椭圆联立，证明焦半径之和/积为定值。 解题步骤： 1.设过焦点的直线方程（如，过），与椭圆联立得一元二次方程。 2.用韦达定理求、（为直线与椭圆交点的横坐标）。 3.代入焦半径公式（如），化简后证明结果为定值（如，代入参数后为常数）。 三、焦点弦问题解题思路 焦点弦是“过焦点的弦”，所有问题均围绕“长度、中点、斜率、轨迹、面积”展开，核心是“用焦半径公式简化计算”或“联立方程用韦达定理”。 1.焦点弦核心公式（高频考点） 考点1：焦点弦长度计算（2种方法） 设焦点弦过焦点，倾斜角为，则长度有两种计算方式： 方法1：焦半径之和（更简便） 若过（右焦点），则，代入焦半径公式： 焦点在x轴：（用韦达定理代入）。 用倾斜角表示：（直接套用，无需联立方程）。 方法2：联立方程弦长公式（通用） 联立直线与椭圆，得一元二次方程，用弦长公式： （为直线斜率）。 特殊结论：焦点弦的最短长度为通径（垂直于焦点所在轴的焦点弦），长度为（代入，，得）。 考点2：焦点弦的中点坐标 核心思路：中点坐标=两端点坐标的平均值，结合韦达定理快速求。 解题步骤： 1.设焦点弦过，直线方程为，与椭圆联立得。 2.用韦达定理求，则中点横坐标。 3.代入直线方程求中点纵坐标，即得中点。 考点3：焦点弦的斜率与方程 核心思路：已知焦点弦的中点、长度或端点，用“点差法”或“韦达定理”求斜率。 解题步骤（以已知中点为例）： 1.设、在椭圆上，满足和。 2.两式相减（点差法）：。 3.代入中点关系（，）和斜率，得： （焦点弦斜率公式，需结合焦点在弦上验证）。 考点4：焦点弦的轨迹问题 核心思路：设焦点弦的端点或中点坐标，消去参数（如斜率），得轨迹方程。 解题步骤（以焦点弦的中点轨迹为例）： 1.由考点3得斜率（中点）。 2.因在焦点弦上，且焦点弦过，故斜率也可表示为。 3.联立两式消去：，整理得轨迹方程：（需满足椭圆内范围）。 四、核心工具与易错点总结 1.必用工具（关联已学知识） 椭圆基础：定义（）、离心率、标准方程与焦点坐标。 焦半径公式：按“坐标”“倾斜角”分类的公式（重点区分焦点在x轴/y轴的差异）。 代数工具：韦达定理（联立方程求、）、点差法（求斜率与中点关系）、弦长公式（通用计算）。 三角函数：倾斜角与斜率的关系（）、在焦半径/焦点弦公式中的应用。 2.高频易错点 焦半径公式记混：混淆“左/右焦半径”“x轴/y轴焦点”的公式（如焦点在x轴，右焦半径是，左焦半径是，不要颠倒）。 忽略椭圆定义的应用：盲目联立方程计算，忘记用简化（如焦半径最值、定值问题）。 通径结论用错：误将通径记为（正确为），或忽略“通径是最短焦点弦”的性质。 倾斜角范围失误：计算焦半径时，是“焦半径与焦点所在轴的夹角”，而非与y轴的夹角，导致符号或数值错误。 【题型六：椭圆中点弦（点差法）】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的右焦点为，经过该焦点的直线交椭圆于两点，若中点的坐标为，则椭圆的方程为 ． 【例题2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为 . 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·浙江舟山·期末）已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，且，，则直线的方程为 ． 【相似题2】（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（   ） A．或 B． C． D． 【解题策略】 一、先明确核心概念：什么是“中点弦”？ 椭圆的“中点弦”是指两端点都在椭圆上，且被某定点平分的线段（该定点称为“弦的中点”）。例如：椭圆上两点、，若线段的中点为，则就是以为中点的椭圆弦。 二、点差法的适用场景（3类高频题型） 点差法是解决中点弦问题的“专属工具”，尤其适用于以下场景： 1.已知中点求弦的斜率/直线方程（最常考，如“已知中点，求椭圆的中点弦方程”）； 2.已知弦的斜率求中点坐标（如“已知椭圆弦的斜率为2，求弦的中点轨迹”）； 3.判断某定点是否能作为椭圆的中点弦（存在性问题）（如“判断点是否为椭圆的中点弦”）。 三、基础前提：椭圆的标准方程与参数 点差法的推导依赖椭圆标准方程，需先明确焦点位置（避免公式混淆）： 焦点位置 椭圆标准方程 核心参数（） 焦点在轴上 长轴沿轴，（半焦距） 焦点在轴上 长轴沿轴， 四、点差法的核心推导（以焦点在轴的椭圆为例） 点差法的本质是“利用椭圆方程的对称性+平方差公式，关联中点与弦的斜率”，推导步骤清晰且可复制： 步骤1：设点——标记弦的端点与中点 设椭圆中点弦为，中点为，端点、（、在椭圆上，且，即弦不垂直于轴）。 由中点坐标公式，得： ，（中点的横、纵坐标是端点的平均值）。 步骤2：代入——端点满足椭圆方程 因、在椭圆上，代入得两个等式： ——（1） ——（2） 步骤3：作差——用平方差公式分解 将（1）-（2），目的是构造“”和“”（为斜率做准备）： 利用平方差公式、，代入上式： 步骤4：化简——关联中点与斜率 1.代入“中点关系”（，）： 2.引入“弦的斜率”：弦的斜率（），即，代入上式： （约去，因） 3.整理得焦点在轴的椭圆中点弦斜率公式： （，若，弦水平，斜率） 同理推导：焦点在轴的椭圆 若椭圆为，重复上述步骤，最终得斜率公式： （，若，弦竖直，斜率不存在） 五、分题型解题步骤（含关键提醒） 题型1：已知中点坐标，求中点弦的斜率/直线方程 解题步骤： 1.定椭圆类型：确定椭圆焦点位置，找出、（如椭圆，焦点在轴，，）； 2.代公式求斜率：将中点代入对应斜率公式（如中点，代入）； 3.写直线方程：用点斜式（如，整理为）； 4.验证存在性（必做！）：将直线方程与椭圆联立，计算判别式，若，则弦存在；若，则不存在（如中点在椭圆外时，无实弦）。 题型2：已知弦的斜率，求中点坐标/轨迹 解题步骤： 1.设中点：设中点为，椭圆类型确定、； 2.代公式列关系：将已知斜率代入斜率公式，得与的等式（如焦点在轴，→）； 3.结合附加条件：若弦过定点（如过椭圆内点），则中点在弦上，满足； 4.联立求解：联立上述两式，得、（若求轨迹，将换为，换为，整理方程）。 题型3：判断中点弦是否存在 解题步骤（2种方法）： 1.方法1：联立验证法（通用）： 假设存在，用斜率公式求，写直线方程； 联立直线与椭圆，算：→存在，→不存在。 2.方法2：内点判断法（快捷）： 若中点在椭圆内部（满足），则存在； 若中点在椭圆上（）或外部（），则不存在。 六、高频易错点与避坑指南 1.公式记混：焦点在轴/轴的斜率公式区分—— 记口诀：“轴椭圆，分子是；轴椭圆，分子是”（分母均为乘另一坐标）。 2.忽略斜率不存在的情况： 若中点（焦点在轴）：弦水平，斜率； 若中点（焦点在轴）：弦竖直，斜率不存在（需单独讨论直线是否为中点弦）。 3.忘记验证存在性： 仅用点差法求斜率和方程，未联立椭圆算，可能得出“不存在的弦”（如中点在椭圆外部，无中点弦）。 4.中点坐标用错： 代入公式时误将“端点坐标”当“中点坐标”，导致计算错误（需明确标记“中点”）。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二上·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·北京·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，若的面积是面积的2倍，则（ ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·广东肇庆·期中）已知直线与椭圆相交于两点，则线段AB的中点M的轨迹必经过点（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高二下·云南保山·期中）已知椭圆的焦点分别为、，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆上不存在点使得 C．直线的方程为 D．的周长为 5．（25-26高二上·全国·期中）椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若为上一点，则面积的最大值为 B．过点的直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为8 C．若直线与恒有公共点，则的取值范围为 D．若上存在点，使得，则的取值范围为 三、填空题 6．（24-25高二下·上海·期中）若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为 ． 四、解答题 7．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围. 8．（24-25高二下·河南周口·期中）已知椭圆经过点，且的离心率． (1)求的方程； (2)若直线经过点且与相切，求的方程． 9．（24-25高二下·重庆·期中）已知、分别是椭圆（）的左、右焦点，点在椭圆上，且的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与线段相交于，与椭圆交于、两点.若，求点的坐标. 10．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若O为坐标原点，椭圆C的右顶点为A，点E的坐标为，过点F的直线l与椭圆C交第一象限于点M，与线段AE交于点P． （i）若的面积是1，求直线l的斜率； （ii）若的面积与的面积之比为，求直线l的斜率． 11．（24-25高二下·福建厦门·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆的左、右顶点分别为，过点作斜率不为0的直线，与交于两个不同的点.若，求直线的方程. 12．（24-25高三下·云南昭通·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，为坐标原点，，若，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $