第12讲函数与方程课件-2026年广东省学考数学备考复习

该高中数学高考复习课件聚焦函数与方程核心考点，覆盖函数零点的确定、应用及二次函数零点问题等高考高频内容。通过分点梳理必备知识，结合考点精析归纳零点区间判断、参数范围求解等常考题型，精准对接高考评价体系，突出考点权重分析，提升备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题题型解析+应试技巧归纳”，如例1用零点存在性定理结合单调性确定区间，例2通过端点函数值求参数范围，培养学生数学思维与推理能力。特设“归纳总结”提炼数形结合、解方程法等技巧，助力学生掌握答题逻辑，教师可据此高效指导，帮助学生冲刺高分。

第12讲　函数与方程 必备知识 1 考点精析 2 综合提升 3 必备知识 PART 01 第一部分 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是_____________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 连续不断 f(a)·f(b)<0 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 2．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间____________，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 一分为二 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 1．若y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，且有f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)一定有零点． 2．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． 3．周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 考点精析 PART 02 第二部分 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 解析：由f(x)－2|x|＝0，得f(x)＝2|x|，则函数y＝f(x)－2|x|的零点的个数即为函数y＝f(x)的图象与函数y＝2|x|的图象的交点个数．作出函数y＝f(x)与函数y＝2|x|的图象，如图所示，可知两个函数图象的交点的个数为2，故方程f(x)－2|x|＝0的解的个数为2.故选C. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法． (2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 考点二　函数零点的应用 (1)若函数f(x)＝2x＋x3＋a的零点所在的区间为(0，1)，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3，－1] B．[－2，－1] C．(－3，－1) D．(－2，－1) √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　对于“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域来解决，解的个数可化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝a交点的个数． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 考点三　二次函数的零点问题 (1)已知函数f(x)在区间[－2，2]上有定义，则“f(x)在区间[－2，2]上有零点”是“f(－2)·f(2)<0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0，1)上有零点，则实数a的取值范围是________． (－2，0) ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　解决与二次函数有关的零点问题： (1)可利用一元二次方程的求根公式． (2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系． (3)利用二次函数的图象列不等式组． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 综合提升 PART 03 第三部分 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 2．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如表：       那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根可以是(　　) A．1.25 B．1.39 C．1.41 D．1.5 √ f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝ －0.984 f(1.375)＝ －0.260 f(1.437 5)＝0.162 f(1.406 25)＝ －0.054 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 解析：由表中数据可得f(1.406 25)· f(1.437 5)＜0， 根据零点的存在性定理可知，零点在区间(1.406 25，1.437 5)内， 观察四个选项，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.41. 故选C. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 3．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x>0)，y2＝ln x(x>0)的图象，如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2. √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 4．已知函数f(x)＝log2x＋3x＋b的零点在区间(0，1]上，则实数b的取值范围是(　　) A．[－3，0] B．(－∞，3] C．[0，3] D．[－3，＋∞) 解析：函数f(x)＝log2x＋3x＋b在区间(0，＋∞)上单调递增，当x→0时，f(x)→－∞，因为函数f(x)＝log2x＋3x＋b的零点在区间(0，1]上，所以f(1)＝log21＋3×1＋b≥0，解得b≥－3.故选D. √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 解析：因为函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，所以g(x)＝f(x)－m＝0有三个实根，即直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个交点． 作出函数y＝f(x)图象，由图可知，实数m的取值范围是(0，1).   故选C. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 6．设k为实数，函数f(x)＝2x＋x2－k在[0，1]上有零点，则实数k的取值范围为________． [1，3] ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 7．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3. (1)求b，c的值； ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)若函数g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1，2)，(2，4)内，求实数m的取值范围． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 分类 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋ c(a>0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)， (x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 考点一　函数零点的确定 (1)函数f(x)＝3x＋log2x的零点所在区间为(　　) A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，\f(1,8))) B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,4))) C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) 解析：由题意，函数f(x)＝3x＋log2x，可得函数f(x)为增函数， 可得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16))) ＝3× eq \f(1,16) ＋log2 eq \f(1,16) ＝ eq \f(3,16) －4<0，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8))) ＝ eq \f(3,8) －3<0，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) ＝ eq \f(3,4) －2<0， f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) ＝ eq \f(3,2) －1>0，f(1)＝3>0， 所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) <0，所以函数f(x)的零点所在区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) . 故选C. (2)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)，x＞0，,x＋2，x≤0，)) 则方程f(x)－2|x|＝0的解的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：易知函数f(x)在(0，1)上单调递增，又函数f(x)零点所在的区间为(0，1)，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（0）<0,f（1）>0)) ⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋a<0,3＋a>0)) ，解得－3<a<－1. 故选C. (2)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－x，x<1，,ln x－1，x≥1)) 有两个零点，则实数a的取值范围是　(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：令ln x－1＝0，得x＝e≥1，所以e是函数f(x)的一个零点，因为函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－x，x<1，,ln x－1，x≥1)) 有两个零点，所以a－x＝0在(－∞，1)上有解，所以a<1.故选A. 解析：已知函数f(x)在区间[－2，2]上有定义，若f(x)在区间[－2，2]上有零点，不妨取f(x)＝x2，则f(－2)·f(2)>0， 即“f(x)在区间[－2，2]上有零点” eq \o(⇒,\s\up0(/)) “f(－2)·f(2)<0”； 另一方面，若f(－2)·f(2)<0，不妨取f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1，－2≤x<0，,1，0≤x≤2，)) 则f(x)在[－2，2]上无零点， 即“f(x)在区间[－2，2]上有零点” “f(－2)·f(2)<0”． 故“f(x)在区间[－2，2]上有零点”是“f(－2)·f(2)<0”的既不充分也不必要条件． 故选D. 解析：函数f(x)＝x2＋x＋a的图象的对称轴为直线x＝－ eq \f(1,2) ，故函数在区间(0，1)上单调递增， 再根据函数f(x)在(0，1)上有零点，可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（0）＝a<0，,f（1）＝2＋a>0，)) 解得－2<a<0. 故答案为(－2，0). 1．函数f(x)＝ln x－ eq \f(2,x) 的零点所在的大致区间是(　　) A．(1，2) B．(2，3) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1)) 和(3，4) D．(4，＋∞) 解析：因为f(2)＝ln 2－1<0， f(3)＝ln 3－ eq \f(2,3) >0， 且函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续不断，f(x)为增函数， 所以f(x)的零点在区间(2，3)内． 故选B. 5．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x>0，,－x2－2x，x≤0，)) 若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围(　　) A．(－1，0) B．[－1，0] C．(0，1) D．[0，1] 解析：因为f(x)＝2x＋x2－k在[0，1]单调递增，且有零点， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（0）＝1－k≤0，,f（1）＝2＋1－k≥0，)) 解得1≤k≤3. 解：由题意得2，3为方程x2＋bx＋c＝0的两根， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－b＝2＋3，,c＝2×3，)) 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－5，,c＝6.)) 解：由(1)知f(x)＝x2－5x＋6， 所以g(x)＝x2＋(m－5)x＋6， 依题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（1）>0，,g（2）<0，,g（4）>0，)) 解得－ eq \f(1,2) <m<0， 故实数m的取值范围是(－ eq \f(1,2) ，0). 8．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－ eq \f(a,2) ，3a>2c>2b.求证： (1)a>0，且－3< eq \f(b,a) <－ eq \f(3,4) ； 证明：因为f(1)＝a＋b＋c＝－ eq \f(a,2) ， 所以3a＋2b＋2c＝0， 又3a＞2c＞2b，所以3a＞0，2b＜0， 所以a＞0，b＜0， 又2c＝－3a－2b， 由3a＞2c＞2b，得3a＞－3a－2b＞2b， 因为a＞0，所以－3＜ eq \f(b,a) ＜－ eq \f(3,4) . 证明：因为f(0)＝c， f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c， ①当c＞0时，因为a＞0，所以f(0)＝c＞0 且f(1)＝－ eq \f(a,2) ＜0， 所以函数f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点； ②当c≤0时，因为a＞0，所以f(1)＝－ eq \f(a,2) ＜0，且f(2)＝a－c＞0， 所以函数f(x)在区间(1，2)内至少有一个零点． 结合①②得函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点． $