11.3余弦定理、 正弦定理的应用（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

11.3 余弦定理、正弦定理的应用 第十章 三角恒等变换 学 习 目 标 1 2 3 能准确理解方位角等实际问题中的几何概念，掌握将实际问题抽象为三角形数学模型的方法. 能灵活运用余弦定理、正弦定理解决测量距离、航海航向、力的平衡等实际问题. 经历 “实际问题→提取信息→构建三角形模型→用定理解三角形→回归实际验证” 的完整解题过程，提升抽象概括能力、数学应用能力和近似计算能力. 新课导入 在前面的课程中，我们已经学习了余弦定理和正弦定理，你还记得两个定理的主要内容吗？ ①余弦定理 ②正弦定理 在现实生活中，我们无法直接测量河对岸两点的距离、海上舰艇的航行航向，也需要分析力的平衡问题，这些问题该如何用我们学过的定理解决呢？ 这就是本节课我们要研究的主题——余弦定理、正弦定理的实际应用 新知探究 探究一：测量问题 —— 河对岸两点间的距离 如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边取点C，D，测得 设在同一平面内，试求两点之间的距离（精确到1m）． ，． 【分析】①先在 中，利用三角形内角和求出未知角 ②再用正弦定理分别求出 和 的长度 ③最后在 中，根据已知的两边及夹角，用余弦定理求出 的距离。 新知探究 在中，由余弦定理，得 解：在． 又DC=100m，由正弦定理，得 在 又由正弦定理，得 所以AB≈57(m)． 即时训练 1.如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为_______m． 【分析】由题设得，利用正弦定理求两点间的距离. 【详解】由题设 在中，由正弦定理，得 ∴m. 知识小结 测量问题 —— 河对岸两点间的距离 解题关键：构造多个三角形，公共边为突破口 思路总结：测量不可直接到达的两点间距离，可通过： ①构造多个可解的三角形 ②利用公共边实现边角的传递 ③先分别解小三角形，再解最终目标三角形 新知探究 探究二：航海问题 —— 舰艇的航行航向与时间 如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在 A 处获悉后，测出 求舰艇的航向和靠拢渔轮所需的时间(角度精确到 时间精确到 该渔轮在方位角为 、距离为 的 处，并测得该渔轮正沿方位角为 的方向，以 的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以 的速度前去营救． 【分析】先设出舰艇靠拢渔轮的时间 ①用含 的式子表示出 AB 和 BC 的长度 ②再在△中利用余弦定理建立方程求出 ③最后用正弦定理求出，从而得到舰艇的航向. 新知探究 解：设舰艇收到信号后 h 在 B 处靠拢渔轮，则 ，． 又 ，． 由余弦定理，得 即 化简，得 解得 （负值舍去）， h = 40 min． 由正弦定理，得 所以 ，方位角为 ． 即时训练 2.一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 【分析】结合已知条件应用余弦定理计算求解. 【详解】因为，且.. 即. 所以； 在中，由余弦定理得 C 知识小结 航海问题 —— 舰艇的航行航向与时间 解题关键：方位角→三角形内角，设未知数建方程 思路总结： ①将方位角转化为三角形的内角 ②通过设未知数表示相关边长，利用余弦定理建立方程求解未知量 ③用正弦定理求角度 新知探究 探究三：力学问题 —— 力的平衡 作用于同一点的三个力 平衡. 求 的大小与方向（精确到 ）. 已知 之间的夹角是 【分析】①先利用三力平衡转化为求两力合力. ②再用余弦定理求大小、正弦定理求方向. 解： 应和 的合力 平衡，所以 和 在同一直线上，并且大小相等，方向相反. 如图 在 中，由余弦定理，得 新知探究 再由正弦定理 得 所以 从而 答: 为 ， 和 间的夹角为 . 知识小结 力学问题 —— 力的平衡 解题关键：力的平衡→合力与分力的三角形法则 思路总结： 关键是利用矢量的三角形法则转化为解三角形问题 ①将力的夹角转化为三角形的内角 ②再利用余弦、正弦定理求解 典例分析 例1 如图，半圆的直径为为直径延长线上的一点，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形。问：点B在什么位置时，四边形的面积最大？ 【分析】四边形的面积由点B的位置唯一确定，因此可设，再用的三角函数来表示四边形的面积. 解：设在中，由余弦定理，得 于是，四边形的面积为 典例分析 因为，所以当 即，即时，四边形OACB的面积最大. 1.如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和C、D在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 【分析】应用正弦定理求得，再由求建筑物的高. 【详解】由题设及图知： ，则 在中，可得 又，可得. A 巩固提升 题型1 测高问题 巩固提升 题型2 距离角度问题 1.一艘海轮从处出发，以每小时50海里的速度沿南偏东的方向直线航行，2小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔．其方向是北偏东，那么两点间的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【分析】确定中各角度数，利用正弦定理即可求出答案. 【详解】由已知可知 （海里） 则，故 （海里） A 巩固提升 题型2 距离角度问题 3.一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的哪个方位？ 【解析】如图，  由题意，在中 ，， 由正弦定理得 所以， 在中，因为， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为AD，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 巩固提升 由余弦定理得 巩固提升 题型3 求三角形面积的最值或范围 4.已知的内角的对边分别为，的面积为，已知 (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 【分析】（1）根据三角形面积公式及余弦定理，结合题中条件即可求解； 解：（1）由余弦定理可得，所以. 因为，所以.又，所以. 由三角形面积公式可知及 可得，即. 巩固提升 【分析】（2）用余弦定理结合重要不等式可得，利用三角形面积公式即可求解. （2）由（1）知. 因为，所以由余弦定理可得 . 由不等式可得 所以，即， 当且仅当时等号成立，有最大值为16. 所以， 所以的面积的最大值为. 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 课堂小结 正弦定理与余弦定理的应用 01 测量问题 02 航海问题 03 力学问题 苏教版 · 必修第二册 测量问题：构造多三角形 典型场景 底部不可达的建筑物高度测量 解题步骤 构造多个三角形 在水平面上选取 基线，测量仰角和视角 寻找公共边 找到多个三角形的 公共边 作为突破口 正余弦定理连用 先用 正弦定理 求公共边，再用 余弦定理 求目标边 🎯 关键要点 仰角与俯角 视线与水平线的夹角，仰角向上，俯角向下。 公共边策略 多个三角形的公共边是连接已知和未知的桥梁。 航海问题：方位角转化 典型场景 船舶航行轨迹与方位角 解题步骤 方位角转内角 将方位角转化为 三角形内角（注意补角、余角关系） 设未知数 设目标距离为 x，明确已知的边和角 余弦定理建方程 利用 余弦定理 列出方程并求解 🧭 方位角转化技巧 北偏东α 从正北方向顺时针转 α 度 南偏西β 从正南方向逆时针转 β 度 内角计算 利用 补角 或 余角 关系 📝 典型例题框架 一艘船从 A 点出发，沿北偏东30°方向航行 a 海里到达 B 点，再沿北偏西60°方向航行 b 海里到达 C 点，求 A、C 两点的距离。 关键：∠ABC = 30° + 60° = 90°，利用余弦定理求 AC。 力学问题：力的平衡 典型场景 三力平衡与矢量三角形 解题步骤 力的平衡条件 三力平衡时，合力为零 构造矢量三角形 利用 平行四边形法则 或 三角形法则 力的夹角转内角 将力的夹角转化为三角形内角，应用 正余弦定理 📐 关键公式 两力 F1 和 F2 的合力 F： F² = F1² + F2² + 2F1F2cosθ （θ 为两力的夹角） ⚠️ 注意事项 1 力的夹角是指 两力作用线之间的夹角，范围为 0° ~ 180°。 2 三力平衡时，任意两力的合力与第三力 大小相等、方向相反。 3 注意区分 力的夹角 和 三角形内角 的关系（可能互补）。 $