第10讲对数与对数函数课件-2026年广东省学考数学备考复习

该高中数学高考复习课件聚焦对数与对数函数专题，覆盖对数运算、对数函数图象与性质、反函数等高考核心考点。依据高考评价体系，梳理了对数运算法则、换底公式、比较大小等高频考点，归纳了运算化简、图象应用、性质分析三大常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于融合高考真题训练与应试技巧指导，如以2023广东高考“比较对数值大小”题为例，详解中间量法与单调性分析，培养学生数学思维与符号意识。通过“必备知识+考点精析+综合提升”体系，帮助学生掌握运算规律与图象特征，教师可据此高效规划复习，提升备考实效。

第10讲　对数与对数函数 必备知识 1 考点精析 2 综合提升 3 必备知识 PART 01 第一部分 1．对数的概念知识要点 (1)概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，log10N通常写成lg N. 自然对数：以e为底的对数叫做自然对数，loge N通常写成ln N. x＝logaN ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝0，logaa＝1(a>0，且a≠1). ②a ＝N(a>0，且a≠1). ③logaaN＝N(a＞0，且a≠1). logaN ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 logaM＋loga N loga M－logaN nlogaM ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 3．对数函数图象和性质 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 考点精析 PART 02 第二部分 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 考点二　对数函数图象及应用 (1)已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1，a，b为常数)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)   A．a>0，b<－1 B．a>0，－1<b<0 C．0<a<1，b<－1 D．0<a<1，－1<b<0 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 解析：因为函数f(x)＝loga(x－b)为减函数，所以0<a<1， 又因为函数图象与x轴的交点在正半轴， 所以1＋b>0，即b>－1， 又因为函数图象与y轴有交点， 所以b<0，所以－1<b<0.故选D. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)函数y＝loga(2x－3)＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图象上，则f(3)＝________．　 解析：由题意2x－3＝1，则x＝2，则y＝8，定点A为(2，8). 设f(x)＝xα，则2α＝8，α＝3，所以f(x)＝x3，所以f(3)＝33＝27. 故答案为27. 27 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (3)已知a＝1.50.2，b＝log0.81.2，c＝0.80.2，则(　　) A．a>c>b B．c>b>a C．a>b>c D．c>a>b 解析：因为a＝1.50.2>1，b＝log0.81.2<0，c＝0.80.2∈(0，1)，所以a>c>b， 故选A. √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　比较对数值大小的方法 (1)若底数为同一常数：可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论． (2)若底数不同，真数相同：可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (3)若底数与真数都不同：常借助1，0等中间量进行比较． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 综合提升 PART 03 第三部分 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ 解析：由题意知f(x)＝logax(x＞0).因为f(2)＝1，所以loga2＝1，所以a＝2.所以f(x)＝log2x. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 4．若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是(　　) √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 解析：由函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象可知，函数a＝3，则题图中对于选项A，y＝3－x是减函数，故A错误；对于选项B，y＝x3是增函数，故B正确；对于选项C，y＝(－x)a＝－x3是减函数，故C错误；对于选项D，函数y＝log3(－x)是减函数，故D错误．故选B. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 5．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是(　　) √ 解析：函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.故选C. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (1，＋∞) ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 解析：如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．   由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点，即方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 8．已知函数f(x)＝logax＋loga(4－x)(a＞0，且a≠1)，且f(2)＝2. (1)求a的值及f(x)的定义域； ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 9．设函数g(x)＝log3x，且函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象关于直线y＝x对称． (1)求函数y＝f(x)的解析式； 解：由题意得，f(x)与g(x)互为反函数． 因为g(x)＝log3x， 所以f(x)＝3x. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)是否存在实数m＞0，使得对∀x∈R，不等式2m－3＜mf(x)恒成立？若存在，求出m；若不存在，说明理由． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 eq \f(n,m) logaM (2)对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝______________． ②loga eq \f(M,N) ＝______________． ③logaMn＝______________ (n∈R). ④logamMn＝______________ (m，n∈R，且m≠0). (3)对数的重要公式． ①换底公式：logab＝ eq \f(logcb,logca) (a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). ②logab＝ eq \f(1,logba) ，推导出logab·logbc·logcd＝logad.　 y＝logax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 增函数 减函数 图象 特征 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0；　 当0＜x＜1时，y＞0 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 对数函数图象的特点 (1)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)) ，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象； (2)函数y＝logax与y＝log eq \s\do9(\f(1,a)) x(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴对称； (3)在第一象限内，不同底数的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大． 考点一　对数的运算 计算：(1)log3 eq \r(27) ＋lg 25＋lg 4＋7log72＋(－9.8)0； 解：log3 eq \r(27) ＋lg 25＋lg 4＋7 log72＋(－9.8)0＝ log33 eq \s\up16(\f(3,2)) ＋lg (25×4)＋2＋1＝ eq \f(3,2) ＋2＋2＋1＝ eq \f(13,2) .　 (2) eq \f(lg 8＋lg 125,lg \r(10)·lg 0.1) －log2 3×log3 4. 解：原式＝ eq \f(lg （8×125）,\f(1,2)×（－1）) －log23× eq \f(log2 4,log2 3) ＝－6－2＝－8. 解析：因为a＝log3 eq \f(1,2) <0，b＝3 eq \s\up16(\f(1,2)) >1，0<c＝( eq \f(1,2) )3<1，所以a<c<b，故选A. 考点三　对数函数性质的应用 (1)(2024·广东学考)已知a＝log3 eq \f(1,2) ，b＝3 eq \s\up16(\f(1,2)) ，c＝( eq \f(1,2) )3，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<c<b B．b<a<c C．c<a<b D．a<b<c (2)已知f(x)＝|lg x|，若a＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) ，b＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) ，c＝f(2)，则(　　) A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 解析：依题意，f(x)＝|lg x|＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lg x，x>1，,－lg x，0<x<1，)) 所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 又f(2)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) ， 所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) ＞f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) ＞f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) ＝f(2)， 所以c＜b＜a， 故选D. 1．(2024·广东学考模拟)若 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))) eq \s\up12(a) ＝3，则a－log eq \r(5) eq \f(\r(15),15) ＝(　　) A．－1 B．1 C． eq \f(1,5) D．3 解析：因为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))) eq \s\up12(a) ＝3，所以－a＝log53， 所以a－log eq \r(5) eq \f(\r(15),15) ＝ a－ eq \f(－\f(1,2)（log53＋1）,\f(1,2)log55) ＝ a＋(－a)＋1＝1. 故选B. 2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A．log2x B． eq \f(1,2x) C．log eq \f(1,2) x D．2x－2 3．已知lg a＋lg b＝0(a，b>0且a，b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝log eq \f(1,b) x的图象可能是(　　) 解析：由题意得，ab＝1，所以a＝ eq \f(1,b) ，所以g(x)＝log eq \s\do9(\f(1,b)) x＝logax，则函数f(x)＝ax与函数 g(x)＝log eq \s\do9(\f(1,b)) x互为反函数， 所以函数f(x)＝ax与g(x)＝log eq \s\do9(\f(1,b)) x的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性，故B选项符合．故选B. 6．若loga eq \f(3,4) <1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是____________________． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) ∪(1，＋∞) 解析：当0<a<1时，loga eq \f(3,4) <loga a＝1，所以0<a< eq \f(3,4) ； 当a>1时，loga eq \f(3,4) <loga a＝1，所以a>1.所以实数a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) ∪(1，＋∞). 7．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3x，x≤0，)) 且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是____________． 解：由f(2)＝2得，loga2＋loga(4－2)＝2，解得a＝2， 所以f(x)＝log2x＋log2(4－x). 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞0，,4－x＞0，)) 解得0＜x＜4， 故f(x)的定义域为(0，4). (2)求f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(7,2) )) 上的值域． 解：由(1)及条件知f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2[x(4－x)]＝ log2[－(x－2)2＋4]， 设t(x)＝－(x－2)2＋4，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(7,2))) ，则当x＝2时，t(x)max＝4； 当x＝1时，t(x)＝3； 当x＝ eq \f(7,2) 时，t(x)＝ eq \f(7,4) ， 所以当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(7,2))) 时，t(x)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，4)) ， 所以f(x)max＝log24＝2， f(x)min＝log2 eq \f(7,4) ＝log27－2， 所以f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(7,2))) 上的值域为 [log27－2，2]. 解：存在．不等式2m－3＜mf(x)恒成立，即2m－3＜m·3x恒成立． 令t＝3x(t＞0)，则关于t的不等式2m－3＜mt，即mt－2m＋3＞0在t∈(0，＋∞)上恒成立． 令h(t)＝mt－2m＋3，t∈(0，＋∞)，因为m＞0，所以h(t)在(0，＋∞)上单调递增，由题意知h(0)＝－2m＋3≥0，解得m≤ eq \f(3,2) ，所以0＜m≤ eq \f(3,2) .　 所以实数m的取值范围是(0， eq \f(3,2) ]. $