第9讲指数与指数函数课件-2026年广东省学考数学备考复习

该高中数学高考复习课件聚焦指数与指数函数专题，覆盖分数指数幂运算、指数函数图象及性质等高考核心考点，依据高考评价体系梳理运算性质、单调性、定义域等考查要求，通过归纳指数幂化简、大小比较等常考题型，精准对接高频考点权重。 课件亮点在于真题训练与应试技巧结合，如2024广东学考模拟题解析，培养学生运算能力与推理意识。通过例3定义域求解等典型题型，指导利用单调性、中间值法突破考点，助力学生掌握答题技巧，教师可据此系统开展复习教学，提升备考效率。

第9讲　指数与指数函数 必备知识 1 考点精析 2 综合提升 3 必备知识 PART 01 第一部分 1．分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是_________ (a＞0，m，n∈N*，且n ＞1)；正数的负分数指数幂的意义是__________________ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 2．指数函数的图象和性质 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 考点精析 PART 02 第二部分 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 考点二　指数函数的图象及应用 (1)若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有(　　) A．0<a<1且b<0 B．a＞1且b>0 C．0<a<1且b>0 D．a>1且b<0 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则实数b的取值范围为____________________． 解析：作出函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b，如图所示．由图象可得实数b的取值范围是(0，1). (0，1) ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ 解析：由题意得2x－8≥0，所以2x≥23，解得x≥3.故选D. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　指数函数的性质及应用问题的解题策略 (1)比较大小问题：常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法． (2)简单的指数方程或不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论． (3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 综合提升 PART 03 第三部分 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 3．(2024·广东学考模拟)a＝0.32，b＝1.90.3，c＝20.3的大小关系是(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<a<c D．b<c<a 解析：易知a＝0.32<1，b＝1.90.3>1，c＝20.3>1，又y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，所以1.90.3<20.3.综上，a<b<c.故选B. √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 6．已知函数f(x)＝ax－2＋1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点M(m，n)，则函数g(x)＝n－mx的图象不经过第______象限． 解析：因为f(x)的图象恒过定点(2，2)，所以m＝n＝2，所以g(x)＝2－2x，所以g(x)在R上为减函数，且其图象过点(0，1)，所以g(x)的图象不经过第三象限． 三 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 7．已知函数f(x)＝2x的定义域是[0，3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2). (1)求g(x)的解析式及定义域； ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)求函数g(x)的最大值和最小值． 解：由(1)知g(x)＝(2x)2－4×2x＝(2x－2)2－4. 因为x∈[0，1]，所以2x∈[1，2]， 所以当2x＝2，即x＝1时，g(x)取得最小值－4， 当2x＝1，即x＝0时，g(x)取得最大值－3. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 8．已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)·a－x(a＞0且a≠1)是奇函数． (1)求实数k的值； 解：因为f(x)是定义域为R的奇函数， 所以f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，所以k＝2， 经检验k＝2符合题意，所以k＝2. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)若f(1)＜0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)＞0，求实数m的取值范围． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 则原不等式可化为f(m2－2)＞f(－m)， 所以m2－2＜－m， 即m2＋m－2＜0， 解得－2＜m＜1， 所以实数m的取值范围是(－2，1). ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 aeq \s\up6(\f(m,n))＝ eq \r(n,am) a－eq \s\up6(\f(m,n))＝ eq \f(1,\r(n,am)) y＝ax a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 单调性 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 图象 特征 当x>0时，y＞1； 当x<0时，0＜y＜1 当x>0时，0＜y＜1； 当x<0时，y＞1 图象必过点(0，1) 1．指数函数图象的画法：画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))) . 2．函数y＝ax与y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))) eq \s\up12(x) (a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称．　 3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象以x轴为渐近线． 4如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 考点一　指数幂的运算 (1)化简\up6(\f(1,2)) eq \f(a\s\up6(\f(2,3))\r(b),a－·\r(3,b)) ÷( eq \f(a－1\r(b－1),b\r(a)) )－eq \s\up6(\f(2,3))＝_____________________. a eq \s\up16(\f(1,6)) b－ eq \s\up16(\f(5,6)) 解析：原式＝\up10(\f(1,2)) eq \f(a\s\up10(\f(2,3))·b\s\up10(\f(1,2)),a－·b\s\up10(\f(1,3))) ÷\up10(\f(1,2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1·b－,b·a\s\up10(\f(1,2))))) eq \s\up12(－\f(2,3)) ＝\up10(\f(1,2)) eq \f(a\s\up10(\f(2,3))·b\s\up10(\f(1,2)),a－·b\s\up10(\f(1,3))) ÷(a－1－eq \s\up10(\f(1,2))b－eq \s\up10(\f(1,2))－1)－eq \s\up10(\f(2,3)) ＝aeq \s\up10(\f(2,3))＋eq \s\up10(\f(1,2))beq \s\up10(\f(1,2))－eq \s\up10(\f(1,3))÷(a－eq \s\up10(\f(3,2))b－eq \s\up10(\f(3,2)))－eq \s\up10(\f(2,3)) ＝a eq \s\up10(\f(7,6)) b eq \s\up10(\f(1,6)) ÷ab＝a eq \s\up10(\f(7,6)) －1b eq \s\up10(\f(1,6)) －1＝a eq \s\up10(\f(1,6)) b－ eq \s\up10(\f(5,6)) . (2)计算： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,8))) eq \s\up12(－\f(2,3)) ＋0.002－eq \s\up16(\f(1,2))－10×( eq \r(5) －2)－1＋π0＝________． － eq \f(167,9) 解析：原式＝(－ eq \f(3,2) )－2＋500 eq \s\up16(\f(1,2)) － eq \f(10×（\r(5)＋2）,（\r(5)－2）（\r(5)＋2）) ＋1＝ eq \f(4,9) ＋10 eq \r(5) －10 eq \r(5) －20＋1＝－ eq \f(167,9) . 解析：如图所示，从图象上可以看出y＝ax＋b－1是减函数，则0<a<1， 图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，即a0＋b－1<0，可得b<0，所以0<a<1且b<0. 考点三　指数函数性质及应用 (1)函数y＝ eq \r(2x－8) 的定义域为(　　) A．(－∞，3) B．(－∞，3] C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) (2)设a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(3,\a\vs4\al(5))) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(2,\a\vs4\al(5))) ，c＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))) eq \s\up12(－\f(2,\a\vs4\al(5))) ，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b 解析：因为y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) 是减函数且a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(3,\a\vs4\al(5))) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(2,\a\vs4\al(5))) ，所以b>a. 又b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(2,\a\vs4\al(5))) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(\f(1,\a\vs4\al(5))) ，c＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))) eq \s\up12(－\f(2,5)) ＝(25) eq \s\up12(\f(1,\a\vs4\al(5))) ， 因为函数y＝x eq \s\up12(\f(1,\a\vs4\al(5))) 是增函数，所以c>b， 所以c＞b＞a.故选C. 1．下列运算正确的是(　　) A． eq \r(54) × eq \r(\f(1,2)) ＝ eq \f(3\r(6),2) B． eq \r(（a3）2) ＝a3 C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b))) eq \s\up12(2) ÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－\f(1,b2))) ＝ eq \f(b＋a,b－a) D．(－a)9÷a3＝(－a)6 解析： eq \r(54) × eq \r(\f(1,2)) ＝ eq \r(27) ＝3 eq \r(3) ，A错误； eq \r(（a3）2) ＝|a3|，B错误； eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b))) eq \s\up12(2) ÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－\f(1,b2))) ＝ eq \f(（a＋b）2,a2b2) × eq \f(a2b2,b2－a2) ＝ eq \f(b＋a,b－a) ，C正确； (－a)9÷a3＝(－a9)÷a3＝－a6，D错误．故选C. 2．已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为(　　) A． eq \f(1,2) B．1 C． eq \f(3,2) D．2 解析：由题意得2a2－5a＋3＝1，所以2a2－5a＋2＝0，所以a＝2或a＝ eq \f(1,2) . 当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 当a＝ eq \f(1,2) 时，f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) 在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意，所以a＝2. 4．指数函数y＝ax的图象经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,8))) ，则a的值是(　　) A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,2) C．2 D．4 解析：由题意得，a3＝ eq \f(1,8) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(3) ， 故a＝ eq \f(1,2) ， 故选B. 5．如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝3x，y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) 的一个是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 解析：根据函数的图象，函数的底数决定函数的单调性， 当底数a>1时，函数单调递增，当0<a<1时，函数单调递减． 当底数a>1，满足底数越大函数的图象在x>0时，越靠近y轴， 则③是对应函数y＝3x的图象，④是对应函数y＝2x的图象， 根据对称性，①是对应函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) 的图象，所以②不是． 故选B. 解：因为f(x)＝2x， 所以g(x)＝f(2x)－f(x＋2)＝22x－2x＋2.　 因为f(x)的定义域是[0，3]， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤2x≤3，,0≤x＋2≤3，)) 解得0≤x≤1. 即g(x)的定义域为[0，1]. 解：由(1)知，f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)， 因为f(1)＜0，所以a－ eq \f(1,a) ＜0， 又a＞0且a≠1，所以0＜a＜1， 则y1＝ax在R上单调递减，y2＝a－x在R上单调递增， 故由函数单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减． $