第8讲二次函数与幂函数课件-2026年广东省学考数学备考复习

该高中数学高考复习课件聚焦二次函数与幂函数核心考点，依据高考评价体系明确解析式求解、图象性质分析、闭区间最值、幂函数定义及性质四大考查要求。通过表格对比梳理二次函数a>0与a<0的单调性、值域等性质，结合近5年高考真题统计，突出二次函数最值（占比约45%）和幂函数单调性应用（占比约30%）的高频题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题演练+素养提升”双轨模式，收录2023广东高考及2024学考模拟题，如二次函数闭区间最值题用“三点一轴”法（端点、中点、对称轴）分析，培养数学思维与运算能力。特设“易错点警示”如幂函数定义域忽略，通过“题型归类+变式训练”帮助学生掌握分类讨论等解题技巧，教师可直接用于专题复习，助力学生高效冲刺高考。

第8讲　二次函数与幂函数 必备知识 1 考点精析 2 综合提升 3 必备知识 PART 01 第一部分 1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0). ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)二次函数的图象和性质： ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 2.幂函数 (1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义． ②幂函数的图象过定点(1，1). ③当α>0时，幂函数的图象都过点______________ ，且在(0，＋∞)上单调递增． ④当α<0时，幂函数的图象都过点_______ ，且在(0，＋∞)上单调递减． (1，1)和(0，0) (1，1) ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 1．幂函数y＝xα的图象在第一象限内的变化规律 (1)直线x＝1的右侧，图象由上至下，指数α由大到小； (2)y轴和直线x＝1之间，图象由上至下，指数α由小到大． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 考点精析 PART 02 第二部分 考点一　求二次函数的解析式 (1)已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的解析式为______________________________________． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________． 解析：由f(x)是偶函数知f(x)的图象关于y轴对称， 所以b＝－2，所以f(x)＝－2x2＋2a2， 又f(x)的值域为(－∞，4]， 所以2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4. －2x2＋4 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，利用所给出的条件，根据二次函数的性质进行求解． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 考点二　二次函数的图象和性质 (1)已知一元二次函数y＝x2－2x＋2，x∈(0，3)，则下列有关该函数的最值说法正确的为(　　) A．最小值为2，最大值为5 B．最小值为1，最大值为5 C．最小值为1，无最大值 D．无最值 √ 解析：由已知得函数图象的对称轴是直线x＝1，函数在(0，1]上单调递减，在[1，3)上单调递增，因此x＝1时，函数取得最小值为1，但无最大值．故选C. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)函数y＝x2－2x，x∈[0，2]的最大值为__________． 解析：函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1， 因为0≤x≤2，所以x＝0或x＝2时， 函数y＝(x－1)2－1取最大值，ymax＝0. 故答案为0. 0 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (3)(2024·广东学考模拟)已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. ①当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ②若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　(1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． (2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键： ①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数． ②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 考点三　幂函数的图象和性质 (1)已知幂函数的图象经过点P(8，4)，则该幂函数的大致图象是(　　) √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 3 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)第一象限内，幂函数y＝xα中指数α为正数，则幂函数单调递增，α为负数，则幂函数单调递减． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 综合提升 PART 03 第三部分 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 解析：幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0＜α＜1时，图象上凸，所以0＜m＜1；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2－1＜2n，则－1＜n＜0.综上可知，－1＜n＜0＜m＜1.故选D. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 5．已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是________． 解析：因为函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数， 所以2－m＝0， 即m＝2. 2 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 6．(2024·广东学考模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，则实数a的值为________． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 解：函数f(x)＝x2＋bx＋c，则g(x)＝f(x)＋2x＝x2＋(b＋2)x＋c，因为g(x)为偶函数，所以g(－x)＝g(x)， 即x2－(b＋2)x＋c＝x2＋(b＋2)x＋c，可得b＝－2， 所以f(x)＝x2－2x＋c，图象开口向上，对称轴为直线x＝1. 若选条件①，因为函数f(x)在区间[－2，2]上的最大值为5， 所以f(－2)＝4＋4＋c＝5， 解得c＝－3. 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 若选条件②，由函数f(x)≤0的解集为{1}， 可得f(1)＝0，即1－2＋c＝0，解得c＝1， 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x＋1.　 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 解析式 f(x)＝ax2＋ bx＋c(a＞0) f(x)＝ax2＋ bx＋c(a＜0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞)) 解析式 f(x)＝ax2＋ bx＋c(a＞0) f(x)＝ax2＋ bx＋c(a＜0) 值域 _________________ _________________ 单调性 在x∈(－∞，－ eq \f(b,2a) ]上单调递减，在x∈[－ eq \f(b,2a) ，＋∞)上单调递增 在x∈(－∞，－ eq \f(b,2a) ]上单调递增，在x∈[－ eq \f(b,2a) ，＋∞)上单调递减 对称性 函数的图象关于______________________对称 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))) x＝－ eq \f(b,2a) 2．二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，闭区间为[m，n]. (1)当－ eq \f(b,2a) ≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)；　 (2)当m＜－ eq \f(b,2a) ≤ eq \f(m＋n,2) 时，最小值为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a))) ，最大值为f(n)； (3)当 eq \f(m＋n,2) ＜－ eq \f(b,2a) ≤n时，最小值为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a))) ，最大值为f(m)； (4)当－ eq \f(b,2a) ＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m). y＝ eq \f(1,2) x2＋x－ eq \f(3,2) 或y＝－ eq \f(1,2) x2－x＋ eq \f(3,2) 解析：因为二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以可设二次函数为y＝a(x＋3)·(x－1)(a≠0)， 整理得，y＝ax2＋2ax－3a， 顶点的纵坐标为 eq \f(－12a2－4a2,4a) ＝－4a， 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2， 所以|－4a|＝2，即a＝± eq \f(1,2) ， 所以二次函数的解析式为y＝ eq \f(1,2) x2＋x－ eq \f(3,2) 或y＝－ eq \f(1,2) x2－x＋ eq \f(3,2) . 解：当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，函数图象的对称轴为直线x＝－ eq \f(3,2) ∈[－2，3]， 所以f(x)min＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))) ＝ eq \f(9,4) － eq \f(9,2) －3＝－ eq \f(21,4) ， f(x)max＝f(3)＝15， 所以函数f(x)的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(21,4)，15)) . 解：函数图象的对称轴为直线x＝－ eq \f(2a－1,2) . 当－ eq \f(2a－1,2) ≤1，即a≥－ eq \f(1,2) 时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，　 所以6a＋3＝1，即a＝－ eq \f(1,3) ，满足题意； 当－ eq \f(2a－1,2) ＞1，即a＜－ eq \f(1,2) 时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， 所以－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意． 综上可知，a＝－ eq \f(1,3) 或a＝－1. 解析：设幂函数为f(x)＝xα(α∈R)， 则8α＝4，即23α＝22，得3α＝2，得α＝ eq \f(2,3) ， 所以f(x)＝x eq \s\up16(\f(2,3)) ，定义域为R，所以排除A，D两项． 因为f(－x)＝(－x) eq \s\up16(\f(2,3)) ＝x eq \s\up16(\f(2,3)) ＝f(x)，所以函数为偶函数，所以排除B， 故选C. (2)已知幂函数f(x)＝x eq \s\up16(\f(1,2)) ，若f(a－1)＜f(14－2a)，则a的取值范围是(　　) A．[－1，3) B．(－∞，5) C．[1，5) D．(5，＋∞) 解析：因为幂函数f(x)＝xeq \s\up16(\f(1,2))在(0，＋∞)上单调递增，所以a－1＜14－2a， 且a－1≥0，解得1≤a＜5， 故选C. (3)若幂函数y＝f(x)的图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,8))) ，则f( eq \r(3,3) )＝________． 解析：设幂函数为f(x)＝xα(α∈R)， 则 eq \f(1,8) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(α) ，得α＝3， 所以f(x)＝x3， 所以f( eq \r(3,3) )＝( eq \r(3,3) )3＝3， 故答案为3. 1．若f(x)是幂函数，且满足 eq \f(f（4）,f（2）) ＝3，则f( eq \f(1,2) )＝(　　) A．3 B．－3 C． eq \f(1,3) D．－ eq \f(1,3) 解析：设f(x)＝xα，则 eq \f(4α,2α) ＝2α＝3， 所以f( eq \f(1,2) )＝( eq \f(1,2) )α＝(2α)－1＝ eq \f(1,3) . 2．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点( eq \f(1,2) ， eq \f(\r(2),2) )，则k＋α等于(　　) A． eq \f(1,2) B．1 C． eq \f(3,2) D．2 解析：由幂函数的定义，知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,\f(\r(2),2)＝k·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(α)．)) 所以k＝1，α＝ eq \f(1,2) .所以k＋α＝ eq \f(3,2) .故选C. 3．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1＜m＜0＜n＜1 B．－1＜n＜0＜m＜ eq \f(1,2) C．－1＜m＜0＜n＜ eq \f(1,2) D．－1＜n＜0＜m＜1 4．已知0＜x＜1，则x(3－3x)的最大值为(　　) A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,2) C． eq \f(3,4) D． eq \f(2,3) 解析：设y＝x(3－3x)， 则y＝－3(x2－x)＝ －3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(3,4) .　 因为0＜x＜1， 当x＝ eq \f(1,2) 时，函数取得最大值 eq \f(3,4) . 故选C. eq \f(3,8) 或－3 解析：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；当a>0时，函数f(x)在区间[－1，2]上单调递增，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝ eq \f(3,8) ；当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上单调递减，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，实数a的值为 eq \f(3,8) 或－3. 7．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1 (m∈N*)的图象经过点(2， eq \r(2) )，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围． 解：因为幂函数f(x)的图象经过点(2， eq \r(2) )，所以 eq \r(2) ＝2(m2＋m)－1， 即2 eq \s\up16(\f(1,2)) ＝2(m2＋m)－1， 所以m2＋m＝2， 解得m＝1或m＝－2. 又因为m∈N*，所以m＝1. 所以f(x)＝x eq \s\up16(\f(1,2)) ， 则函数的定义域为[0，＋∞)， 并且f(x)是增函数． 由f(2－a)＞f(a－1)得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－a≥0，,a－1≥0，,2－a>a－1，)) 解得1≤a＜ eq \f(3,2) . 所以实数a的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) . 8．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，且g(x)＝f(x)＋2x为偶函数，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求f(x)的解析式． 条件①：函数f(x)在区间[－2，2]上的最大值为5； 条件②：函数f(x)≤0的解集为{1}； 条件③：方程f(x)＝0有两根x1，x2，且x eq \o\al(2,1) ＋x eq \o\al(2,2) ＝10. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 若选条件③，方程f(x)＝0有两根x1，x2，且x eq \o\al(2,1) ＋x eq \o\al(2,2) ＝10. 由根与系数的关系可得x1＋x2＝2，x1x2＝c， 又(x1＋x2)2＝x eq \o\al(2,1) ＋x eq \o\al(2,2) ＋2x1x2， 所以4＝10＋2c，解得c＝－3.所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3. $