第7讲函数的奇偶性与周期性课件-2026年广东省学考数学备考复习

第7讲　函数的奇偶性与周期性 必备知识 1 考点精析 2 综合提升 3 必备知识 PART 01 第一部分 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且______________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于_______对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且__________________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于_______对称 f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且__________________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． f(x＋T)＝f(x) ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 1．函数的奇偶性 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 考点精析 PART 02 第二部分 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 解析：A项：易知函数f(x)的定义域为R关于原点对称，f(－x)＝(－x)4－1＝x4－1＝f(x)，故f(x)为偶函数； B项：定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数； ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　判断函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法： 确定函数的奇偶性时，必须先判断函数的定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立． (2)图象法： ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (3)性质法： 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇±奇＝奇，奇×奇＝偶，偶±偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 注意　分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x) 成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ 解析：由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的周期函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5.故选C. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题． (2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|). ②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 综合提升 PART 03 第三部分 1．(2024·广东学考模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)的周期为4，若f(－1)＝－2，则f(20)－f(21)＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数且周期为4，所以f(0)＝0，f(20)－f(21)＝f(0)－f(1)＝－f(1)＝f(－1)＝－2.故选A. √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 2．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)＝f(x＋6)，当x∈[0，3]时，f(x)单调递增，则f(x)在下列哪个区间上单调递减(　　) A．(3，7) B．(4，5) C．(5，8) D．(6，10) 解析：依题意知，f(x)是偶函数，且是以6为周期的周期函数．因为当x∈[0，3]时，f(x)单调递增，所以f(x)在[－3，0]上单调递减．根据函数周期性知，函数f(x)在[3，6]上单调递减．又因为(4，5)⊆[3，6]，所以函数f(x)在(4，5)上单调递减．故选B. √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1，2) C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 解析：因为f(x)是奇函数，所以当x<0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，   由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－2<a<1.故选C. ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 5．(2022·广东学考)已知函数f(x)是R上的偶函数，当x>0时，f(x)＝2x＋1，则f(－3)＝________． 解析：由题意得f(3)＝23＋1＝9，又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)＝9. 9 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 1 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)若m＝4，用定义证明f(x)是(2，＋∞)上的增函数，并求f(x)在[－8，－2]上的值域． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x＋2x＋m. (1)求f(x)在(－∞，0)上的解析式； 解：由题得f(0)＝1＋m＝0，则m＝－1.当x<0时，－x>0， 所以f(－x)＝(－x)2－x＋2－x－1＝x2－x＋2－x－1， 则f(x)＝－f(－x)＝ －x2＋x－2－x＋1， 所以所求解析式为 f(x)＝－x2＋x－2－x＋1(x<0). ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)若f(2a2－1)＋f(a)<0，求实数a的取值范围． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 2．函数的周期性 对f(x)定义域内任一自变量x的值： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝ eq \f(1,f（x）) ，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－ eq \f(1,f（x）) ，则T＝2a(a>0). 考点一　判断函数的奇偶性 (1)下列函数为偶函数的是(　　) A．f(x)＝x4－1 B．f(x)＝x2(－1＜x＜3) C．f(x)＝x＋ eq \f(1,x) D．f(x)＝ eq \f(x4,x) C项：易知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，f(－x)＝－x－ eq \f(1,x) ＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))) ＝－f(x)，故f(x)为奇函数； D项：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．f(x)＝x3，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，故f(x)为奇函数． 故选A. (2)判断下列函数的奇偶性： ①f(x)＝(x＋1) eq \r(\f(1－x,1＋x)) ； 解：要使f(x)有意义，需满足 eq \f(1－x,1＋x) ≥0且1＋x≠0， 所以－1<x≤1， 所以f(x)的定义域不关于原点对称， 所以f(x)为非奇非偶函数． ②f(x)＝ eq \f(\r(4－x2),x2) ； 解：因为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x2≥0，,x2≠0，)) 所以－2≤x≤2且x≠0，所以定义域关于原点对称．又f(－x)＝ eq \f(\r(4－（－x）2),（－x）2) ＝ eq \f(\r(4－x2),x2) ＝f(x)， 故函数f(x)为偶函数． ③f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x>0，,x2＋2x－1，x<0.)) 解：易知函数f(x)的定义域关于原点对称． 当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)； 当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x).　 所以f(x)为奇函数． 考点二　函数的周期性 已知函数f(x)在R上满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋a，－1≤x<0，,2－x，0≤x<1，)) 其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝(　　) A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5 考点三　函数性质的综合应用 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝－x3 B．y＝ eq \f(1,x) C．y＝|x| D．y＝ eq \f(1,x2) 解析：y＝－x3，y＝ eq \f(1,x) 都是奇函数，排除A，B. y＝|x|，y＝ eq \f(1,x2) 都是偶函数，y＝|x|在(0，＋∞)上单调递增，y＝ eq \f(1,x2) 在(0，＋∞)上单调递减．故选D. 3．已知函数f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函数，且其定义域为[6a－1，a]，则a＋b＝(　　) A． eq \f(1,7) B．－1 C．1　 D．7 解析：因为函数f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函数，且其定义域为[6a－1，a]，所以定义域关于原点对称， 6a－1＋a＝0，所以a＝ eq \f(1,7) ， 所以f(x)＝ eq \f(3,7) x2＋bx－ eq \f(5,7) ＋b. 再由偶函数的定义f(－x)＝f(x)得， b＝0，故a＋b＝ eq \f(1,7) . 故选A. 6．设f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x∈(－1，1]时，f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋m，－1<x<0，,\r(x)，0≤x≤1，)) 其中m∈R.若f( eq \f(1,16) )＝f( eq \f(3,2) )，则m的值是________．　 解析：由题意得，f( eq \f(3,2) )＝f(－ eq \f(1,2) )＝(－ eq \f(1,2) )2＋2×(－ eq \f(1,2) )＋m＝－ eq \f(3,4) ＋m，f( eq \f(1,16) )＝ eq \r(\f(1,16)) ＝ eq \f(1,4) ， 因为f( eq \f(1,16) )＝f( eq \f(3,2) )， 所以 eq \f(1,4) ＝－ eq \f(3,4) ＋m，解得m＝1. 7．已知f(x)＝x＋ eq \f(m,x) (m∈R). (1)判断并证明f(x)的奇偶性； 解：f(x)是奇函数．证明如下：函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称． 因为f(－x)＝－x＋ eq \f(m,－x) ＝ － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,x))) ＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． 解：因为m＝4，所以f(x)＝x＋ eq \f(4,x) . 设2＜x1＜x2， 则f(x2)－f(x1)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(4,x2))) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(4,x1))) ＝(x2－x1)－ eq \f(4（x2－x1）,x1x2) ＝(x2－x1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,x1x2))) . 因为2＜x1＜x2， 所以x2－x1＞0，x1x2＞4， eq \f(4,x1x2) ＜1. 所以f(x2)－f(x1)＞0，f(x2)>f(x1)， 即f(x)是(2，＋∞)上的增函数． 又因为f(x)是奇函数， 所以f(x)在[－8，－2]上单调递增， 因为f(－8)＝－8.5，f(－2)＝－4， 所以f(x)在[－8，－2]上的值域是[－8.5，－4]. 解：当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x＋2x－1， 则f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 又函数f(x)为奇函数，所以f(x)在R上单调递增， 因为f(2a2－1)＋f(a)<0， 所以f(2a2－1)<f(－a)， 所以2a2－1<－a， 解得－1<a< eq \f(1,2) ，即实数a的取值范围是(－1， eq \f(1,2) ). $